Эффективность использования блоков укрупненных задач на уроках геометрии

• 1.    Г. Л, В, С. D, Е - произвольные точки плоскости. Могут ли точки А, В, С быть вершинами треугольника АВС такого, что точка Е принадлежит его сто

роне АС, если DB — DC = DA — DE ?

• 1.2.    Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Может ли этот четырехугольник быть прямоугольником, если

ON-OM = OP-OQ ?

Задачу, решение которой укрупняет решение какой-либо другой задачи посредством выполнения дополнительных действий, назовем укрупненной задачей и в данной статье рассмотрим эффективность использования на уроках геометрии нескольких таких задач, объединенных в блок.

Методика включения блоков укрупненных задач в процесс изучения геометрии, на наш взгляд, должна включать в себя следующие этапы:

• 1)    работа школьников с готовыми блоками укрупненных задач;

• 2)    совместная деятельность учителя и учащегося по составлению таких блоков;

• 3)    их образование учащимися без помощи учителя (самостоятельно).

• 2.1.    В треугольниках АВС и АВС АВ = А Др АС = А Др РА = РАр На сторонах АВ и АД] отмечены точки Р и Р ] так, что АР = А Др Углы МСР и МД Др построенные на лучах СР и СД, как на сторонах, - прямые. Докажите, что ^MPC = ЬМДДр если МС = МД

• 2.2.    В треугольниках АВС и A _tB](J_t АВ = А Др АС = А Др РА = РА_Г На сторонах АВ и АД] отмечены точки Р и Р₍ так, что АР = АД, Углы МСР и МД Др построенные на лучах СР и СД, как на сторонах, - прямые. Докажите равенство треугольников АМР и А]МД, если МС = МД] (пары точек А, М и Ар М лежат по одну сторону от прямых PC " гр;.

• 2.3.    В треугольниках АВС и АД Др у которых АВ = А Др АС = АД_р РА = РА] на сторонах АВ и АД] отмечены точки Е и Е] так, что АЕ = А Др На отрезках СЕ и СД] как на сторонах построены прямые углы DCE и ЬдДр причем DE пересекает АС в точке О, a DЕ пересекает АД] в точке О_г Верно ли, что треугольники AOD и А Д Д _t равны, если DC = ОД]?

Цель первого этапа - выявление школьниками основных приемов образования данных блоков и их усвоение как бы на теоретическом уровне. Процесс решения учащимися готовых блоков укрупненных задач должен сопровождаться обязательным проведением ими анализа этих задач, обнаружением сходств и различий между их условиями, требованиями, сравнением соответствующих им чертежей и т.д. Все это будет эффективно способствовать развитию у школьников многих умственных операций - анализа, синтеза, сравнения и т.д.

Подобную работу целесообразно выполнять при решении учащимися предложенных им готовых блоков на разных этапах урока: при проверке домашнего задания, при изучении нового материала или при его закреплении и т.д. В зависимости от того, на каком этапе урока используется тот или иной блок, эффективность его включения в учебный процесс может несколько различаться. Пусть для мотивации изучения новой темы «Второй признак равенства ~64

треугольников» школьникам предложили блок, включающий в себя задачи 2.1 — 2.3, причем для решения задачи 2.3 в отличие от предыдущих двух кроме знания первого признака равенства треугольников необходимо знать еще и второй признак равенства.

Тогда подобный блок будет способствовать формированию у школьников познавательной активности и интереса к изучаемому предмету.

В случае же предназначения блока для закрепления учащимися нового материала, он может быть составлен таким образом, что решение его задач, кроме того, позволит школьникам повторить значительный объем ранее изученного материала. При этом их новые знания будут органически вплетаться в систему уже имеющихся у них знаний, способствуя тем самым их обобщению и систематизации.

В то же время наряду с формированием обобщенных и систематизированных знаний учащихся использование на уроках геометрии блоков укрупненных задач помогает формировать у школьников более прочные знания, как и умения или навыки.

благодаря неоднократному выполнению действий, адекватных решению таких задач, и наличию в блоках задач, взаимно обратных друг другу. Причем эффект от решения школьниками таких взаимосвязанных геометрических задач значительно усиливается, если они составляют эти задачи сами (под руководством учителя или самостоятельно). Общеизвестно то положительное влияние, которое оказывает процесс составления задачи на развитие речи обучаемых, их памяти, воображения и т.д.

Однако при использовании на уроках геометрии блоков укрупненных задач можно несколько разнообразить предлагаемые школьникам упражнения, требующие от них образования новых задач. Так, например, в случае совместной с учителем деятельности ученика по составлению подобных блоков обучаемому может быть предложено такое упражнение:

«Решите задачи 3.1 и 3.2. Составьте и решите такую задачу 3.1 , чтобы выполнялись следующие условия;

• а)    решение задачи 3.1] расширяет решение задачи 3.1;

• б)    решение задачи 3.2 расширяет решение задачи 3.1 .

• 3.1.    Вне окружности на расстоянии 8 см от ее центра взята точка А, через которую проведены к данной окружности две касательные АВ и АС. Найдите радиус окружности, если угол .между касательными равен 60°

• 3.2.    Вне окружности с центром О взята точка Р так, что угол, образующийся между двумя касательными, проведенными через данную точку Р к окружности, равен 60" Найдите периметр треугольника АРВ, где А и В - точки касания, если ОР = 10 дм».

Выполнение учащимися такого упражнения наряду с развитием их воображения, интуиции, речи, памяти и т.д. (то есть всего того, что позволяет им развивать составление любой отдельно взятой задачи) способствует также, в частности, развитию вариативности их мышления. Применительно к данным задачам 3.1 и 3.2 промежуточной задачей 3.1, может быть задача, в которой требуется вычислить или расстояния от точки Р до точек касания А и В, или расстояние между самими точками

А и В, или просто длины сторон треугольника АРВ (по чертежу к задаче 3.2).

Кроме того, составление такой промежуточной задачи 3.1, способствует и развитию логического мышления школьников, так как данное упражнение фактически требует от них составления задачи, решение которой логично бы вписывалось между решениями предложенных им двух задач. Хотя для развития логики мышления обучаемых при использовании на уроках геометрии блоков укрупненных задач можно предложить им и другое упражнение.

Предположим, что существует блок из трех-четырех задач, последовательно укрупняющих друг друга: 1) 3 ; 2) 3,: 3) 3.; 4) 3₄. Тогда, предложив их школьникам в перепутанной каким-либо образом последовательности (например, в следующем порядке: 1) 3,; 2) 3₄; 3) 3^ 4) 3.), формулируем перед ними задание: «Восстановите логическую последовательность решения предложенных вам задач».

Также вполне очевидно, что такое упражнение будет эффективно способствовать не только развитию логического мышления обучаемых, но и многих их умственных операций, как и в случае анализа задач из блоков, составленных для них учителем и предложенных в готовом виде.

В то же время хорошую возможность для развития у учащихся различных умственных операций предоставляют упражнения по самостоятельному составлению школьниками блоков укрупненных геометрических задач на основе готовых чертежей. Многие авторы (Т.Н. Саранцев, Л.Ф. Черникова, А.В. Шатилова и др.) не раз отмечали, что упражнения на готовых чертежах являются хорошим средством интеллектуального развития школьников, активизирующим их мыслительную деятельность; средством, позволяющим связывать у них формально-логическое рассуждение с образным мышлением, развивать пространственные представления, творческие способности и т.д.

Действительно, упражнения, предлагаемые учащимся при использовании на уроках геометрии блоков укрупненных задач и требующие от них самостоятельного составления целого блока (или только лишь продолжения предложенных задач) на ос- нове готового чертежа в значительной мере способствуют, в частности, раскрытию их творческих способностей. Например, в зависимости от того, какой «кусочек» предложенного им чертежа будет взят в качестве чертежа первой блочной задачи, а также от последовательности укрупнения этого «кусочка» (достраивания его до основного чертежа), они могут составить различные блоки задач. Т.е. готовый геометрический чертеж предоставляет школьникам достаточно большое пространство для их творческой деятельности.

В то же время подобные упражнения на готовых чертежах способствуют формированию у школьников комплекса действий, на которых основано общее умение решать геометрические задачи (выделение отдельных элементов, установление отношений между ними и их комбинирование, выведение следствий из данных условий и др.), повышая тем самым эффективность процесса обучения решению таких задач. Но использование блоков укрупненных задач на уроках геометрии в любой форме (в форме предлагаемых учащимся готовых блоков; в форме упражнений, требующих от школьников продолжения предлагаемых им блоков или составления новых блоков, в том числе и на основе готовых чертежей, и т.д.) способствует повышению эффективности процесса обучения учащихся решению геометрических задач. Процессы обучения учащихся и их развития, естественно, взаимосвязаны между собой: необходимо обучать, развивая, и развивать, обучая. На основе всего вышесказанного нетрудно заметить, что использование на уроках геометрии блоков укрупненных задач способствует всестороннему развитию учащихся, активизируя их мыслительную деятельность, воспитывая в них многие положительные личностные качества, систематизируя и обобщая их знания, умения и навыки и т.д. Тем самым повышается эффективность не только процесса обучения школьников решению геометрических задач, но и процесса их обучения в целом.

РЕШЕНИЕ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ

Диофантовы уравнения - это алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами, решение которых отыскивается в целых или рациональных числах (см.: Математическая энциклопедия. М„ 1979. Т. 2. Стб. 168-171). Как правило, число неизвестных в диофантовых уравнениях больше числа уравнений, поэтому они также называются неопределенными уравнениями (подробнее об этом см.: Соловьев Ю. Неопределенные уравнения первой степени И Школа в «Кванте»: Арифметика и алгебра. М., 1994. С. 32 - 40). Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. И в настоящее время исследование диофантовых уравнений представляет собой пограничную область между теорией чисел и алгебраической геометрией.

Известно, что существует большое число конкретных диофантовых уравнений, решаемых элементарными методами (см.: Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. М„ 1961). В общем случае проблема разрешимости диофантовых уравнений - это проблема отыскания алгоритма для распознавания по любому диофантову уравнению, имеет ли оно решение. Столь важная проблема и в настоящее время остается открытой и не исследованной до конца. Все известные методы и способы для распознавания наличия решений у диофантовых уравнений приме-