Экспоненциально-полиномиальный базис в пространстве решений однородного уравнения свертки на классах ультрадифференцируемых функций

Продолжая классические работы Л. Эйлера, многие математики (см., например, [5– 9, 11, 12, 14, 15]) занимались проблемой существования базиса ядра оператора свертки в различных пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций. В настоящей работе указанная задача решается для классов ультрадифференцируемых функций (УДФ) Б¨ерлинга нормального типа на конечном интервале.

Пусть ш : [0, го ) ^ [0, го) — весовая функция, т. е. непрерывная неубывающая функция, обладающая свойствами:

• (а) ( V p > 1) ( 3 C >  0) : ш(х + у) 6 р(ш(х) + ш(у)) + C (x,y >  0);

(а ⁰ ) ш(t) = o(t), t → ∞ ;

⁽Y) Int = ^o(ш(t)) , t → ∞ ;

• (5) у _ш (x) := ш(е ^х ) выпукла на [0, го ).

Без ограничения общности будем предполагать, что ш(1) = 0. Положим ш(z) := ш( | z | ), z Е C. Далее, пусть у * (у) = sup { xy — у _ш (x) : x > 0 } , у >  0, — сопряженная по Юнгу к функции ϕ _ω . Пространство УДФ Б¨ерлинга нормального типа на заданном конечном интервале I = ( — a, а) в R определяется следующим образом:

(j)

E (L) (I) = f Е c ' I) : ( V q Е (0,1)) ( V l Е (0,a)) | f U,q,i : = sup sup f-^ <  го .

I                                                                           je N o |x| 6 l *q^{: u/q )} J

В своей естественной топологии Ey, ) (I) является (FS)-пространством (см. [3]).

С помощью преобразования Фурье — Лапласа функционалов F : у ^ ⁽b(z) : = y x (e ^{- ixz} ), z Е C, сопряженное пространство (E (^) (I)) в с сильной топологией реализуется (см. [1, теорема 1]) в виде пространства целых функций

H (^),I ^:= {^{f Е} H ^{( C ) : ( 3} q ^{Е (0}, ^{1))( 3} l ^{Е (0},^{a)) k f} \Uq,l ^:=^sup _еq. (R f zHl I Im z | <  ^ГО) • z ∈ C e

(О 2011 Абанина Д. А.

Пространство Н ( _ш ) i наделяется естественной индуктивной топологией и является в ней (DFS)-пространством [3]. В соответствии с [2, предложение 1] множество всех непрерывных мультипликаторов пространства Н ( _ш ) i совпадает с

^МИ = (д ^е H(C) : ( V е > 0) ||д|| _ш , _е , _е = sup     *^zl^ < ~}-

^ C e ^c^ V^1Le z ) + ^ । "*"^m z I

Пусть ^ — какой-нибудь нетривиальный мультипликатор из М ( _ш ) , а ^ , := F ^-1М — соответствующий ему линейный непрерывный функционал на E^^I). Оператор свертки T , с характеристической функцией ^ в E^ ) (I ) определяется следующим образом:

(T , f)(x):= h ^ , ,f(x + y) i y , f е E^(I ), x е I.

Он действует непрерывно в E^) (I ) и является сопряженным к непрерывно действующему в Н (ш) I оператору умножения Л , : f ^ ^f •

Как установлено в [2, теорема 1], для того чтобы уравнение свертки T , f = g было разрешимо в E (^) (I) при любой правой части g е E^ (I ), необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция µ удовлетворяла условию:

(SC) ( V е > 0) ( V 5 > 0) ( 3 r ₀ >  0) ( V z = x + iy е C, | x | >  r ₀ , | y | 6 5 | x | ) найдется окружность C z с радиусом R z 6 дш(х) + 5 | y | , содержащая точку z внутри себя, для всех точек ζ которой выполняется неравенство

In ^| ц^(z ) | >  ^{- e}^⁽Re^z) ^{- е |} Im ^z | .                                ⁽¹⁾

Кроме того (см. [2, теорема 1]), условие (SC) равносильно тому, что µ — делитель H m,i • ^{Это означает}, ^{что если f е Н} ( _Ш ),1 ^и , ^е H^{( C )}, ^то , ^е H h,i •

Рассмотрим в E^ ) (I) однородное уравнение свертки T , f = 0. Здесь и всюду в дальнейшем предполагается, даже если специально не оговаривается, что µ удовлетворяет условию (SC). Стандартным образом, используя степенное разложение экспоненты e-i Xx = р ^=₀ ⁽ i^^{x )} в E (^) (I) (см. [1, лемма 3]) и непрерывность оператора T £ , получаем, что при всех А е C и l е N o справедливо представление

l

[T, (( - ix) l _e -‘^Xx)] (y) = £ C j ^ '^j> (A)( - iy) ^{l - j} e-‘^x» .

j=0

Из этого вытекает, что если (A s ) — нули функции ^ кратностей k s , то экспоненциальные «мономы»

( - ix) l e ^{- iXs}x , l = 0, ...,k s - 1, s = 1, 2,...,                        (2)

являются решениями рассматриваемого однородного уравнения, т. е. принадлежат ker T , . Более того, указанная система функций будет полна в ker T , , т. е., другими словами, ker T , допускает спектральный синтез. Данный факт стандартным образом получается с помощью критерия Банаха о полноте на основании того, что µ — делитель H (w) I . Естественно возникает вопрос о существовании в ker T , базиса, состоящего из приведенных элементарных решений, а точнее, из их линейных комбинаций, поскольку, как установил А. Ф. Леонтьев в [6], элементарные решения необходимо группировать, чтобы обеспечить абсолютную сходимость соответствующих рядов. Ясно, что имеет смысл рассматривать лишь случай бесконечного числа нулей, когда ker T , бесконечномерно.

Основным результатом работы является

Теорема 1. Пусть целая функция ^(z) принадлежит М ( _ш ) , удовлетворяет условию (SC) и имеет бесконечное множество нулей A i , A 2 ,... с кратностями k i ,k ^ ,... Тогда в пространстве решений однородного уравнения свертки Tf = 0 в E ^ (I ) имеется базис, состоящий из конечных линейных комбинаций элементарных решений (2) .

Доказательство проводится по традиционной схеме. В Н ( _ш ) i рассматривается замкнутый (благодаря условию (SC)) главный идеал J := ^H^ ) i и факторпространст-во Н ( _ш ) i / J . Из общих результатов функционального анализа вытекает, что ker T^ изоморфно (H^ ) i /J) в . Основной этап доказательства — построение открытого покрытия (U j ) °=i нулевого множества N функции ^, вне которого | ^ | имеет подходящую оценку снизу. Покрытие (U j ) j=i разбивает нули функции ^ и соответствующие им элементарные решения однородного уравнения свертки на конечные группы

{( — ix) l e ^{- iA} s ^x : l = 0,..., k s - 1, A s G U j }, j = 1, 2,...

Размерность линейной оболочки, натянутой на j-ую группу, равна m j = ^_A s _G u j ks — количеству (с учетом кратностей) нулей функции µ, содержащихся в U j . После этого (Н 1 _Ш ) i /J ) в в два этапа реализуется в виде некоторого пространства последовательностей, на основании чего доказывается сформулированная теорема 1. Полученный результат позволит в дальнейшем установить существование линейного непрерывного правого обратного оператора к оператору свертки в пространствах E^(.I ), чему будет посвящена отдельная статья.

Из предшествующих результатов наиболее близкими являются результаты, представленные в работах [11, 12, 14], в которых рассматривались предельные случаи пространств УДФ — классы минимального и максимального типов. Специфика пространств нормального типа, гораздо более тонких по сравнению с классами минимального и максимального типов, проявляется в основном на этапе построения покрытия для множества N _µ . Именно для классов нормального типа невозможно, как прежде в [11, 12], проводить рассуждения единообразно для всей плоскости. Суть предлагаемого в настоящей работе способа преодоления этой трудности состоит в том, что вблизи вещественной оси используется само условие (SC), а для остальных точек — классическое условие полной регулярности роста.

2.    Покрытие нулевого множества характеристической функции

Пусть ^ — мультипликатор пространства H 1ш) i , удовлетворяющий условию сюръективности (SC), т. е. порождающий разрешимое для любой правой части уравнение свертки. Пусть, далее, (As)S=i — последовательность его нулей, |As| f го; ks — кратность нуля As. Заметим, что из определения класса М(ш) всех мультипликаторов с учетом условия (а0) на вес ш вытекает, что целая функция ^ имеет нулевой тип при порядке 1, а значит, является функцией вполне регулярного роста при этом порядке. Из этого следует, что имеется исключительное множество кружков Ej = {z G C : |z — Zj | < Pj} нулевой линейной плотности ( limr .^ Г P|Zj|

|z|→∞ z∈/Ej     |z |

При этом в силу [4, лемма 1] кружки Ej можно считать попарно не пересекающимися.

Для произвольного е > 0 введем в рассмотрение следующее открытое в C множество:

Ue = {z G C : In |^(z)| < —E^(Rez) — e| Imz|}, содержащее в себе нулевое множество Nµ функции µ. Для дальнейшего нам необходимо оценить размеры связных компонент множества Ue. С этой целью возьмем 5 G (0, 4) и, пользуясь условием (SC), по ε и δ найдем соответствующее r0 . Будем сразу предполагать r0 настолько большим, что

¹ X Pj< ⁵², r > ro;                              ⁽³⁾

|ζj|

|z|

εδ

5 + 1’

|z | > r0 , z ∈/     Ej .

j

Заметим сразу, что для всех z с |z| > ro и | Im z| > 5| Re z|, не попадающих в исключи- тельные кружки Ej , ln |^(z)| > — 5^

|z| > — 5^ (11 Imz| + | Imz|) = —e| Im z|, так что эти z не принадлежат Uε .

Всюду в дальнейшем для z G C используется обозначение ||z|| = max{| Rez|, | Im z|}. Докажем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть V — произвольная связная компонента множества U_ε, целиком лежащая вне квадрата |z| 6 ro. Если в V имеется точка z с | Im z| 6 5| Re z|, то diam(V) 6 25w(Re z) + 25| Im z|. В противном случае diam(V) 6 85| Im z|, где z — произвольная точка из V .

C 1) Сначала рассмотрим случай, когда V содержит в себе точку z с | Im z| 6 5| Re z|. При этом |z| = | Re z| > ro, так что на основании (SC) существует окружность C_z, содержащая z внутри себя, для всех точек ζ которой выполняется неравенство (1). Значит, C_zне пересекается с V , так что V целиком лежит внутри C_z. Поэтому diam(V) 6 2R_z 6 25w(Re z) + 25| Im z|.

• 2)    Разберем теперь ситуацию, когда | Im z| > 5| Re z| для всех z G V. Приведенные перед леммой рассуждения показывают, что тогда V целиком содержится в каком-то исключительном кружке Ej, так что diam(V) 6 2pj. Так как |Zj | + Pj > ro, то из (3) при r = |Zj | + Pj получаем, что Pj< 5²(|Zj | + Pj), откуда |Zj | > 1-т²Pj. Если теперь z — произвольно выбранная точка из V , то

1 — 25²      1

^|z|> Kj| ^—Pj >    ₅2 Pj > 252 Pj•

Следовательно, diam(V) 6 2Pj 6 452|z| 6 452(| Re z| + | Im z|) < 85| Im z|. B

Перейдем теперь к построению искомого открытого покрытия (Uj)j=1 нулей функции ^. Для этого возьмем две числовые последовательности Ek ^ 0 и 5k ^ 0. Положим

U^(k) = {z G C : In |^(z)| < —Ek^(Rez) — Ek| Imz|}, k G N.

Ясно, что N С U⁽¹⁾С U⁽²⁾С ... Далее, в соответствии с (SC) для ε_kи δ_kнайдем подходящие rk , rk ↑ ∞. В дальнейшем нам понадобится предполагать rk настолько большими, что

Ekw(Re z) + Ek| Im z| > 2, |z| > rk,(4)

^(t) < 5kt, t > rk,(5)

In |^(z)|  rk — 2.(6)

В силу (а) можно также считать выполненным неравенство

^(t + 2) + 2 6 2w(t), t > ri.(7)

Наконец, понятно, что rk+i можно при необходимости увеличить так, чтобы ни одна из компонент множества U^(k+1), пересекающихся с ||z|| = rk, не выходила за пределы множества |z| < rk+i.

Выберем те связные компоненты множества U⁽¹⁾, которые пересекаются с квадратом ||z|| 6 ri и содержат внутри себя нули функции ^. Занумеруем их Ui,..., Uj_1-i. Тем самым покрыты все нули в квадрате |z| 6 ri и даже, возможно, некоторые дополнительные нули.

Рассмотрим теперь компоненты множества U⁽²⁾, пересекающиеся с ri < |z| 6 rk и имеющие внутри себя нули, не покрытые на предыдущем шаге. Возьмем находящиеся в них компоненты U⁽ⁱ⁾, содержащие указанные нули. Обозначим их Uj1,..., Uj2-i. Они автоматически содержатся в области |z| > ri. На данном шаге точно покрыты все нули в |z| 6 rk и, возможно, еще часть.

Проведем еще один этап построения. Выберем связные компоненты множества U⁽³⁾, пересекающиеся с rk < |z| 6 гз и содержащие еще не покрытые нули функции ^. Эти нули попадают в какие-то компоненты множества U⁽²⁾, которые не рассматривались на предыдущем шаге, а значит, во-первых, не пересекаются с Ui,..., Uj_2-i, а во-вторых, целиком находятся в области |z| > rk. Занумеруем их Uj2,..., Uj₃-i.

Продолжая этот процесс далее, получим открытое покрытие (Uj)j=i множества N^, обладающее следующими свойствами. Во-первых, при каждом k Е N для jk 6 j < jk+i ln |^(z)| < -Ek^(Rez) — Ek| Imz|, z Е Uj.(8)

Во-вторых, Uj С {z Е C : |z| > rk} при тех же j и k, а для diam (Uj) имеют место следующие оценки:

• а)    Если в Uj есть точка zj с | Im zj | 6 5k | Re zj |, то

diam (Uj) 6 25k^(Re zj) + 25k| Im zj|;(9)

• б)    Если же в Uj таких точек нет, то

diam (Uj) 6 85k | Im zj |,(10)

где zj — произвольно взятая точка из Uj .

Обозначим mj := 52_As_Guj ks, j Е N.

В следующей лемме для |µ| устанавливается оценка снизу в некоторой окрестности границы множества Uj . Для jk 6 j < jk+i (k Е N) положим aj := min e-4ekw(Re z)-4ek1 Im z| .

z∈Uj

Через (dUj )(oj) будем обозначать oj-окрестность границы dUj множества Uj, т. е. (dUj)(^j) = {z Е C : d(z, dUj) < oj}, где d(z, dUj) — расстояние от z до dUj.

Лемма 2. Пусть k Е N, jk 6 j < jk+i. Тогда для всех z Е (dUj)(oj)

In |^(z)| > —3Ekw(Re z) — 3Ek| Im z|.

C Зафиксируем k Е N, jk 6 j < jk+i и z Е (dUj)(oj). Найдем точку Z Е dUj с |z — Z| < Oj, а затем точку n, лежащую между z и Z и такую, что ^(z) = ^(Z)+ ^'(n)(z — Z). Введем для краткости обозначение B : = Ek^(ReZ)+ Ek| ImZ|. Так как Z Е dUj, то |Z| > rk, так что B > 2 на основании (4). Кроме того, |^(Z)| > e^-B•

Оценим |ц^,(n)|• Имеем, что |^0(n)| 6 max{|^(Z)| : |Z—n| 6 1} 6 max{|^(Z)| : |Z-Z| 6 2}. Так как для всех £ с |Z-Z| 6 2 выполняется неравенство |£| > |Z| —2 > rk — 2, то в силу (6) и (7)

|^(£)| 6 e^k^((Re €^)+ek ^{1 Im Z}l 6 _е^£к^{ш(1 Re Z|}+ ²⁾+^ek^{(| Im z |+2)}6 e^2B.

Значит, |^⁰(n)| 6 e^2B. Таким образом,

Mz)| > |д«)| — W(n>₃ > e^-B— e2B•    = e^-B— e^-2B> e 3B.

Снова применяя оценку (7), которая обеспечивает

322 6 I (Ekш(| Rez| + 1) + Ek(| Imz| + 1)) 6 3Ekw(Rez) + 3Ek| Imz|, получаем нужное неравенство (11). B

В заключение параграфа докажем две полезные технические леммы, которые будут использоваться в дальнейшем.

Лемма 3. Для любых положительных чисел q, l и e найдется постоянная C > 0 такая, что при всех j ∈ N и z ∈ Uj qw(Re z) + l| Imz| 6 (q + E)w(Re zj) + (l + e)| Im zj| + C,              (12)

qw(Re zj) + l| Im zj| 6 (q + E)w(Re z) + (l + e)| Im z| + C.              (13)

C Установим сначала неравенство (12). Зафиксируем q, l и ε. Поскольку, как известно, limaji limsupt^^ ^(((tt) = 1, а 6k ^ 0, то существуют к Е N и Ci > 0 такие, что q^((1 + 46k)t) 6 (q + 2) ^(t) + Ci, 2i6k < 2, t > 0,

(l⁺q5-_k)(^{1 + 86}k) ^{+ e}-

Пусть j > jk. Найдем k > k такое, что jk 6 j < jk+i. Рассмотрим отдельно случаи а) и б) расположения множества Uj .

• а)    Если Uj позволяет выбрать точку zj Е Uj с | Im zj | 6 6k| Re zj |, то для diam (Uj) справедлива оценка (9), так что для произвольной точки z∈Uj с учетом (5) имеем

| Re z| 6 | Re zj| + diam (Uj) 6 (1 + 46k)| Re zj|, | Im z| 6 | Im zj | + diam (Uj) 6 26k^(Re zj) + (1 + 26k)| Im zj |.

Следовательно, на основании (14)–(16)

qu(Re z) + l| Im z| 6 q^((1 + 45k) Rezj) + l(25kw(ReZj) + (1 + 25k)| ImZj|)

6 ^q + 2 + 2l5k^ w(Re Zj) + l(1 + 25 k) | Im Zj | + Ci

< (q + e)w(Re Zj) + (l + e)| Im Zj | + C_i.

• б)    Пусть теперь | Im z| > 5 k| Re z| для всех z E Uj. Зафиксируем z E Uj. Если || z k = | Re z|, то | Re z| > rk ив силу (5)

qw(Re z) 6 q5k| Re z|< q5k| Im z|.

А если |z| = | Imz|, то | Imz| > rk, так что снова на основании (5)

qw(Rez) 6 qw ( — | Imz| ) 6 q52 — | Imz| = q5k| Imz|. δk                δk

Таким образом, для всех z ∈ Uj qw(Re z) + l| Imz| 6 (l + q5k)| Im z| 6 (l + q5k)(| ImZj| + diam(Uj)) 6 (l + q5k)(1 + 85k)| Im z| < (l + e)| Im z| .

Объединяя теперь случаи а) и б) и полагая C := Ci + max{qw(Re z) + l| Im z| : z E Uj, 1 6 j 6 j,}, получим неравенство (12).

Докажем неравенство (13). Заметим, что если множество Uj расположено как в пункте б), то точки z и zj равноправны (обе — произвольные точки Uj), так что в (12) их можно просто поменять местами и получить (13). Соответственно, (13) нужно установить лишь для Uj из пункта а). В данном случае выберем k E N и Ci > 0 так, чтобы

(q ^{+ 4l5}k)^w( 1

-

■и k

t) < (q + e)w(t) + Ci,

l

-

k

< l + e.

Для j > j, находим k E N такое, что jk 6 j < jk+i. Тогда аналогично (17)

| Re Zj| 6 | Re z| + diam (Uj) 6 | Re z| + 45k| Re Zj |, откуда | Re Zj| 6 i-45k | Re z|. Следовательно,

| Im Zj | 6 | Im z| + diam (Uj) 6 | Im z| + 25kw(Re Zj) + 25k| Im Zj |

| Im z| + 25kw

¹- ⁴⁵k

Re z 1 + 25k | Im Zj |,

так что

^{1 Im Z}j^{1 6} r-1% ('^{Im Z| + 25kw} (Г-14& ^{Re Z}

Тогда окончательно на основании (18) и (19) имеем qw(Re Zj) + l| Im Zj|

⁶(q⁺1

2l5k \ /    1

— 25k    ' 1 — 45k

^{Re Z})⁺r—2k'^{Im Z|}

< (q + e)w(Re z) + (l + e)| Im z| + C_i.

Полагая C:= Ci + max {qw(ReZj) + l| ImZj| : 1 6 j 6 j,}, получаем (13). B

Лемма 4. Имеют место соотношения j           mj lim -—- = 0,   lim -—= 0.

j→∞ |zj |         j→∞ |zj |

C Как обычно, через пДг) будем обозначать считающую функцию нулей целой функции ц, т. е. пДг) = 52|A_s|6_rks. Поскольку ц имеет нулевой тип при порядке 1, то пДг) = o(r) при r ^ го. Далее, в силу условия (а⁰) на вес ш с учетом ш(1) = 0 найдется А > 1, при котором ш(t) 6 At для всех t > 0. Если теперь подобрать k Е N так, чтобы А5, < 1, то для j > j, получим

|zj| + diam (Uj) 6 |zj| + 25 kw(Rezj) + 85 k| Imzj| 6 (1 + 10A5&)|zj| 6 11|zj|.

Так как множества Uj попарно не пересекаются, причем в каждом Uj содержится хотя бы один нуль функции ц, то j 6 n^(|zj| + diam (Uj)) 6 n^(11|zj |) при j > je. Отсюда вытекает, что lim sup j 6 lim sup          6 11 limsup ”"' r' = 0.

j→∞ |^zj|    j→∞    |^zj|          r→∞ ^r

Таким образом, первое соотношение доказано.

Аналогично mj = 52 ks 6 n^dzj। + diam (Uj)) 6 пДи^'|), i > i,, λs∈Uj так что выполнено и второе доказываемое равенство. B

3.    Изоморфная реализация ker T^

Данный параграф посвящен изоморфному описанию ker T^, которое устанавливается в три этапа и позволяет в дальнейшем получить основной результат о существовании базиса в ker T^.

Сначала в Н(_ш) i рассмотрим замкнутый главный идеал, порожденный функцией ц:

J = цН1ш),1 = {g Е Н(ш),1 : ^(Лз) = 0, 1 = 0, . . . , ks - 1,5 = 1, 2, . . . } и соответствующее факторпространство H^) i/ J, которое, как и само H^) i, относится к классу (DFS)-пространств. Для [f ] Е Н(ш) i/ J положим

।^||[f IHL^.q.l =ⁱⁿf ^kf\Uq,l = inf Ilf ^{+ h}lkq,l, q ^{Е (0,} 1), ^{1 Е (0,a)}-f e[f ]               heJ

Тогда фактортопология в Н(_ш) i/J — это топология индуктивного предела семейства банаховых пространств {[f] : |||[f]|||^,q,i < го}, q Е (0,1), 1 Е (0, a).

Из общей теории двойственности с учетом свойств (FS) и (DFS)-пространств стандартным образом вытекает

Лемма 5. Отображение Ф : ker T^ ^ (Н(ш) I/J)0, действующее по правилу hФf, [g]i = (f,F-1 (g)> , f Е kerT^, [g] Е H^v/J, устанавливает топологический изоморфизм между ker T^ и (H^) i/J)в■

Перейдем теперь к изоморфной реализации факторпространства H.) i/J и, как следствие, его сильного сопряженного (H¹.) i/J)в• Пусть (Uj)j=i — построенное в §2 покрытие нулевого множества функции ц. Как обычно, через H^(Uj) будем обозначать пространство всех ограниченных аналитических в Uj функций с нормой kgk^,j = sup_zGuj. \g(z) \. Рассмотрим замкнутые подпространства этих пространств

Jj = {g G H^(Uj) : g(l)(Xs) = 0, l = 0,...,ks - 1, As G Uj} и соответствующие факторпространства Xj : = H^(Uj)/Jj, j G N. По построению \ц\ отграничен от нуля в некоторой окрестности dUj, так что в Xj класс [f ], f G H^(Uj), совпадает с {f + цд : g G H^(Uj)}. Норма класса [f] равна

"f■   ,j = fM IlfIk ,j = ^HfUj)Ilf ⁺ . g     = ^tofUj) sup I/(^z) + ^(z)^g(^z)|.

Понятно, что все Xj конечномерны, причем dim Xj = mj, j G N.

Обозначим X := Hj=i Xj и введем в рассмотрение следующий весовой подкласс класса X:

IV = L = ([^ ') ^хg X : (3q G (0,1)) (3l G (0,a)) fL,= sup--to³-^—< ^1.

j^J/j = 1          ' ^{J v} V ^vм ГГ\Ш ,q,l    j> eq.(Re zj )+l| Im zj |        J

Пространство k^∞наделяется естественной индуктивной топологией и является в ней (DFS)-пространством.

Лемма 6. Отображение p : [f] G H¹.) i/J ^ ([f \uj])j=i устанавливает топологический изоморфизм между H.) i/J и k^ •

<1 Инъективность отображения p очевидна. Далее, зафиксируем q G (0,1), l G (0, a) и возьмем e > 0 так, чтобы q + e< 1, l + E < a. В силу леммы 3 найдется C > 0, при котором выполнено неравенство (12). Для [f] G H¹.) i/J имеем

|Mf \u3HU,j =    inf  , suP \f (z) + ^(z)g(z) | 6 inf7 suP \f (z) + h(z) \ j         gEH^(Uj) z^uj                      heJzeUj

6 111 [f ] 111 ш ^ sup .    R z)+l|Im z| 6 ec 111 [f ] 111 ш ^ e^q^^ zj)+(l+e)I Im zj |, z∈Uj откуда |p([f])|ш q+e l+ 6 eC\\\ [f]\\\шд,ь Это означает, что p действует непрерывно из Hi.),I/J в k^. ’

Поскольку для (DFS)-пространств справедлива теорема об открытом отображении, остается проверить лишь сюръекивность р. Зафиксируем ^ = ([^j])j=i G k^. Тогда имеются q G (0,1) и l G (0, a), при которых \^\. _qi < то. Функции ^j G H^(Uj), представителей классов [^j], будем считать такими, что |^j |^ ,j = \\\ [^j] \\\ ^ ,j. Тогда

\^3 (z)\ 6 \^\. ,q,i e^q.^(Rezj^)+l|^Imzj I, z G Uj, j G N.                     (20)

Возьмем e > 0 так, чтобы q + 9e< 1, l + 9e< a. Найдем k G N такое, что e^,< E.

• 1)    Для j G N введем в рассмотрение множества Vj = {z G Uj : d(z,dUj) > CTj}, где, как и выше, Oj = min{e^-4ek^^{(Rez)-4ek|Imz|}: z G Uj}. В соответствии с леммой 2 для всех z∈Uj \ Vj выполняется неравенство (11), из чего, во-первых, следует, что N_µ⊂_jVj, а во-вторых, что

• ln \^(z) \ > — 3Ew(He z) — 3e\ Im z\, z G Uj \ Vj, j > j,.

Как известно, существует бесконечно дифференцируемая в R²функция g, обладающая свойствами

g(z) = 1 на U Vj, supp g С U Uj, 0 6 g(z) 6 1 в C. jj

При этом

dg^(z)|⁶C,     ■ Uj \^Vj-

где Cq от j не зависит. В силу выбора чисел oj найдется точка Zj Е Uj такая, что oj = exp(-4skш(Не Zj) — 4e_k| Im Zj|). Значит, при j > jk

— VA < Сое4еш(Кеzj)+4e|Imj1 dzv ’ q                        ’ z∈Uj\Vj.

Выбрав теперь в соответствии с леммой 3 константу Ci > 0, при которой

4еш(Не z) + 4e| Im z| < 5еш(Не zj) + 5е| Im zj| + C1, z Е Uj, j Е N, окончательно получим, что

—    < G/' е5еш(Ке zj)+5e| ImzjI

dz^v ’ ^q                               "

• 2)    Положим теперь

  «z'-fc^(z)'

  
  

  z∈Uj, j∈N,

  ^{z Е}Uj- Uj,

  
  

  h^(z):=

  
  

  ФЦ) ^^(z)

  
  

  ∂g

  dz■

  
  

  z ∈C.

  
  

Функция h будет бесконечно дифференцируема в R², h(z) = 0 при z / Uj (Uj \ Vj-). Снова пользуясь леммой 3, найдем C2 > 0 такое, что для всех j Е N

(q + 5е)ш(Не zj) + (l + 5е)| Im zj| < (q + 6е)ш(Не z) + (l + 6e)| Im z| + C₂, z E Uj.

Тогда, объединяя (20)-(22) и полагая C := Cq eC1 +C2, заключаем, что при z Е Uj \ Vj, j > jk

|h(_z)l 6 ce⁽q^+9e)^^{(Re z)}+(l+^{9e)| Im}z|.

• 3)    Находим теперь бесконечно дифференцируемую в R²функцию v, являющуюся решением d-задачи ^dV = h. При этом ^dV = 0, z Е Vj, j Е N, так что v аналитична в каждой из областей Vj .

В качестве искомой функции f возьмем f (z) = v(z)^(z) + Ф(z)g(z), z E C. Тогда l^f = 0 в C, т. е. f E H(C). Более того, из (23) стандартным образом вытекает, что f Е Н"1_Ш) i. При этом в областях Vj-, j Е N, функция f совпадает с v(z)^(z) + ^j (z), так что f ^(l)(A_s) = ^jl)(As), l = 0,..., k_s— 1, As Е Vj-. Это означает, что [f |uj] = [^j] в Xj, j E N, т. е. p([f]) = у. B

Следствие. Отображение

^R: ^^Е(H(L),i^/J)0 ^ ^ ◦ p ¹

устанавливает топологический изоморфизм между (H^) i/J)в и (k^)e"

Завершая настоящий параграф, получим изоморфное описание (к”)0в. Пусть X, (j Е N) — сопряженное к банахову пространству X, с сопряженной нормой

11|VC,j = sup {|v([у])| : [у] Е Xj, |||[у]|||”., 6 1} .

Само Xj, является банаховым пространством размерности т,. Положим теперь X0 := Пj=i Xj и рассмотрим в X0 весовой подкласс

А ' = {v = (v, )”= Е X0 : (V q Е (0,1)) (V 1 Е (0, a))

IVI„,q,l = sup 11| Vj I||”.., eq— zj >+l|^Imzj I < го} .

Понятно, что λ^∞относится к классу (FS)-пространств.

Наконец, определим еще следующие естественные отображения:

Sj : [у,] Е Xj i—— (0,..., 0, [у,], 0,...) Е к ,

j tj : Vj Е Xj ——— (0,..., 0, Vj, 0,...) Е A .

j

Лемма 7. Отображение S : v Е (k”)0 — (v о s,)”=i устанавливает топологический изоморфизм между (к”)в и А”.

C В силу свойств веса ш и достаточно быстрого стремления |z, | к го (см. лемму 4) получаем, что ln j = o(Yш(Re z,)+y| Im Zj|) при j — го для произвольного y > 0. Из этого легко следует, что для любого у = ([у,])j=i Е к” ряд 'ZLjjjLi Sj([у,]) сходится абсолютно к ϕ в k^∞. А тогда

∞

V(у) = X(v о sj)([у,]), V Е (k”)0, j=i откуда вытекает инъективность отображения S .

Сюръективность S получается из тех же соображений. Достаточно для (v, )”=i Е А” положить

∞

V(у):= Xv,([у,]), У = ([У,])”=i Е k”- j=i

Наконец, поскольку сильная топология в (к”)0 задается набором преднорм

|vL,q,i = sup{|v(у)|: у Е k”, M^z6 1}, qЕ (0,1), 1Е (0,a), и так как для любого V Е (к”)0 выполнено

|SvL.,.i =s>peq^fR*zj"l ^R' zj sup {|(v о Sj)([у,])| : [у,] e Xj, |||[у,]|||”.j- 6 1}

= sup {|v(У)| : У Е k”, WL.q.l 6 1} = IvL.q.1, то S взаимно непрерывно. B

Из лемм 5–7 вытекает

Теорема 2. Отображение L := S о R о ф есть топологический изоморфизм ker T^ на λ^∞.

4.    Доказательство основного результата

Итак, построенное в § 2 покрытие (Uj)j=i множества N^ разбило нули функции ^ и соответствующие им элементарные решения однородного уравнения свертки на группы. Введем в рассмотрение линейные оболочки этих групп решений:

Ej := span{(—ix)le ^iXs^x : l = 0,..., ks — 1, As G Uj}, j G N.

Множество Ej является подпространством размерности mj в ker T^.

Лемма 8. Для отображения L из теоремы 2 справедливы равенства L(Ej) = tj(X'j), j G N.

C Отображение 5ls : [g] ^ g^(l)(As), s G N, l = 0,..., ks — 1, является линейным непрерывным функционалом на Н(_ш) i/ J• Для тех s G N, при которых As G Uj, можно рассмотреть «сужение» δ_λ^l_s|X_jэтого отображения на пространство Xj . Непосредственно проверяется, что в пространстве А“ при каждом j G N для s G N с As G Uj и l = 0,..., ks — 1 выполняется равенство L((—ix)le^-iAsx) = tj ◦ 5^l_xs |xj. Из этого следует, что L(Ej) С tj(X'j). Учитывая еще, что dimL(Ej) = dimEj = mj и dimtj(X'j) = dimX'j = mj, заключаем, что имеет место равенство L(Ej) = tj(X'j). B

Лемма 9. В пространстве λ^∞имеется абсолютный базис вида

{tj^(vj,p)^:p = ^1,...^,mj, j ^G N},

где {vj,_p : p = 1,..., mj} — некоторый базис в X'j, j G N.

C Зафиксируем j G N. В соответствии с леммой Ауэрбаха (см. [13, 10.5]) в Xj и X'j можно выбрать базисы {[^j,p] : p = 1,..., mj} и {vj,p : p = 1,...,mj} такие, что h [^j,p], vj,m

i — 5pm

=

p = m, p = m.

При этом разложение произвольного элемента Vj G X'j по базису {vj,p : p = 1,..., mj} имеет вид mj vj =     h[^j,p], vj ivj,p- p=1

В пространстве A“ теперь для произвольного элемента v = (vj)j=i рассмотрим ряд

∞ mj

У2У2 hVjpw itj j) j =1 p=1

Возьмем произвольные q G (0,1) и l G (0,a). Пусть e > 0 таково, что q + e < 1, l + e < a. Для всех j G N и p = 1, . . . , mj

|tj ^(vj,P)|^,q,l

__ eqiotiRe Zj )+l| Im Zj |

lh[^j,p],vjil 6 |VlL,q_+e,i_+ee^-(q+e)"^(Rezj^)-(l+e)|Imzj|.

Далее, в силу свойства (y) веса ш найдется C > 0 такое, что ew(Re zj) + е| Im zj | > 3ln(1 + |zj |) — C при всех j E N. В свою очередь, из леммы 4 вытекает, что A := Ej°=1 (i+mj.|)3< ^го. Поэтому

,~.

52 52 ^|h[^^j,pb^Vjil • ^|tj(Vj,P^)|^,q,i j = 1 P=1

• —0        ~       eq4^Rej)⁾⁺l| Im zj|         C f

• ^{6 |v}Eq+ejl+e / j m^j (q+e)w(Rezj)+(i+e)| Imzj| ⁶^e ^|vEq ■ zJ ■ z^. j=1 ^e

Таким образом, ряд (25) сходится абсолютно в λ^∞. Понятно, что его сумма совпадает с ν. Ясно также, что разложение элемента ν по системе (24) обязательно имеет вид (25), а значит, оно единственно. B

В качестве следствия теперь легко получается основной результат работы. Сформулируем его несколько более точно, чем во введении.

Теорема 3. Пусть ^ E М(_ш) удовлетворяет условию (SC). В пространстве решений однородного уравнения свертки Tf = 0 имеется абсолютный базис

^{ej,p^:Р = ¹,...,mj^{,j E N}},                            ⁽²⁷⁾

состоящий из элементов ej,_p(p = 1,..., mj) подпространств Ej, натянутых на элементарные решения (—ix')¹ e-i^s^x (l = 0,..., ks — 1, As E Uj) этого уравнения.

C Положим ej,_p := L^-1(tj(vj,_p)), p = 1,..., mj, j E N, где {tj(vj,_p) : p = 1,..., mj, j E N} — абсолютный базис в A“ из леммы 6. В силу леммы 8 тогда ej,p E Ej, p = 1,..., mj, j E N. Поскольку L — топологический изоморфизм ker T_pна A^, то (27) — абсолютный базис в ker T_p. B

В заключение работы заметим, что полученные результаты позволяют отождествить ker T_pс некоторым пространством степенных рядов конечного типа, что может быть полезно в различных вопросах (по поводу пространств степенных рядов см. [10]). Пусть mj, j E N, те же, что и выше, а mg := 0. Зафиксируем j E N. Для k такого, что E^j=0 mi < k 6 Pj=g mi положим ak := w(Re Zj) + | Im Zj|. Рассмотрим пространство степенных рядов конечного типа, порожденных последовательностью a = (ak)k=i:

Л(а) = {^ = (&)£=1 E C^N: (Vn E N) ||£||n = sup |^k|e n< го}. ¹                                                  k>1                   ^}

Теорема 4. Пространства ker T_pи Л(а) изоморфны.

C Из тех же соображений, которые использовались в конце доказательства леммы 9, вытекает, что единичные орты (ek) образуют абсолютный базис пространства Л(а). При этом для PjZg1 mi < k 6 Pj=0 mi kek ||n = e-ank = e-n ^(Re z))- 1 1 Im z) |.                             (28)

Установим взаимно одназначное соответствие Q между абсолютным базисом {tj (vj,_p) : p = 1,..., mj-, j E N} пространства A“ и абсолютным базисом {ek : k E N} пространства Л(а), положив для j E N и p = 1,..., mj

Q(tj (vj^ = emo+...+mj-₁+pe^^(Rezj^{)+| Im z}j|.

Топология в λ^∞может быть задана набором норм

ω,1- , a

, _n,

1 n

∞ n=n0

no > 2 : a

1 > 0 n

Из (26) и (28) вытекает, что

• --- 0

HQCtj (Vj,p))^n = \tj ^j^L, 1- 1, a- 1 nn при всех n. Значит, отображение Q взаимно непрерывно, т. е. Q — топологический изоморфизм A^ на Л(а). Соответственно, L о Q — топологический изоморфизм ker T^ на Л(а). B