Экспоненциально-полиномиальный базис в пространстве решений однородного уравнения свертки на классах ультрадифференцируемых функций
Автор: Абанина Дарья Александровна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.13, 2011 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается однородное уравнение свертки в классах ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на конечном интервале. Установлено, что в пространстве его решений имеется экспоненциально-полиномиальный базис.
Ультрадифференцируемые функции, уравнение свертки, экспоненциально-полиномиальный базис.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318362
IDR: 14318362
Текст научной статьи Экспоненциально-полиномиальный базис в пространстве решений однородного уравнения свертки на классах ультрадифференцируемых функций
Продолжая классические работы Л. Эйлера, многие математики (см., например, [5– 9, 11, 12, 14, 15]) занимались проблемой существования базиса ядра оператора свертки в различных пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций. В настоящей работе указанная задача решается для классов ультрадифференцируемых функций (УДФ) Б¨ерлинга нормального типа на конечном интервале.
Пусть ш : [0, го ) ^ [0, го) — весовая функция, т. е. непрерывная неубывающая функция, обладающая свойствами:
-
(а) ( V p > 1) ( 3 C > 0) : ш(х + у) 6 р(ш(х) + ш(у)) + C (x,y > 0);
(а 0 ) ш(t) = o(t), t → ∞ ;
(Y) Int = o(ш(t)) , t → ∞ ;
-
(5) у ш (x) := ш(е х ) выпукла на [0, го ).
Без ограничения общности будем предполагать, что ш(1) = 0. Положим ш(z) := ш( | z | ), z Е C. Далее, пусть у * (у) = sup { xy — у ш (x) : x > 0 } , у > 0, — сопряженная по Юнгу к функции ϕ ω . Пространство УДФ Б¨ерлинга нормального типа на заданном конечном интервале I = ( — a, а) в R определяется следующим образом:
(j)
E (L) (I) = f Е c ' I) : ( V q Е (0,1)) ( V l Е (0,a)) | f U,q,i : = sup sup f-^ < го .
I je N o |x| 6 l *q: u/q ) J
В своей естественной топологии Ey, ) (I) является (FS)-пространством (см. [3]).
С помощью преобразования Фурье — Лапласа функционалов F : у ^ (b(z) : = y x (e - ixz ), z Е C, сопряженное пространство (E (^) (I)) в с сильной топологией реализуется (см. [1, теорема 1]) в виде пространства целых функций
H (^),I := {f Е H ( C ) : ( 3 q Е (0, 1))( 3 l Е (0,a)) k f \Uq,l :=sup еq. (R f zHl I Im z | < ГО) • z ∈ C e
(О 2011 Абанина Д. А.
Пространство Н ( ш ) i наделяется естественной индуктивной топологией и является в ней (DFS)-пространством [3]. В соответствии с [2, предложение 1] множество всех непрерывных мультипликаторов пространства Н ( ш ) i совпадает с
МИ = (д е H(C) : ( V е > 0) ||д|| ш , е , е = sup *^zl^ < ~}-
^ C e c^ V1Le z ) + ^ । "*"^m z I
Пусть ^ — какой-нибудь нетривиальный мультипликатор из М ( ш ) , а ^ , := F -1М — соответствующий ему линейный непрерывный функционал на E^^I). Оператор свертки T , с характеристической функцией ^ в E^ ) (I ) определяется следующим образом:
(T , f)(x):= h ^ , ,f(x + y) i y , f е E^(I ), x е I.
Он действует непрерывно в E^) (I ) и является сопряженным к непрерывно действующему в Н (ш) I оператору умножения Л , : f ^ ^f •
Как установлено в [2, теорема 1], для того чтобы уравнение свертки T , f = g было разрешимо в E (^) (I) при любой правой части g е E^ (I ), необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция µ удовлетворяла условию:
(SC) ( V е > 0) ( V 5 > 0) ( 3 r 0 > 0) ( V z = x + iy е C, | x | > r 0 , | y | 6 5 | x | ) найдется окружность C z с радиусом R z 6 дш(х) + 5 | y | , содержащая точку z внутри себя, для всех точек ζ которой выполняется неравенство
In | ц(z ) | > - e^(Rez) - е | Im z | . (1)
Кроме того (см. [2, теорема 1]), условие (SC) равносильно тому, что µ — делитель H m,i • Это означает, что если f е Н ( Ш ),1 и , е H( C ), то , е H h,i •
Рассмотрим в E^ ) (I) однородное уравнение свертки T , f = 0. Здесь и всюду в дальнейшем предполагается, даже если специально не оговаривается, что µ удовлетворяет условию (SC). Стандартным образом, используя степенное разложение экспоненты e-i Xx = р ^=0 ( i^x ) в E (^) (I) (см. [1, лемма 3]) и непрерывность оператора T £ , получаем, что при всех А е C и l е N o справедливо представление
l
[T, (( - ix) l e -‘Xx)] (y) = £ C j ^ 'j> (A)( - iy) l - j e-‘x» .
j=0
Из этого вытекает, что если (A s ) — нули функции ^ кратностей k s , то экспоненциальные «мономы»
( - ix) l e - iXsx , l = 0, ...,k s - 1, s = 1, 2,..., (2)
являются решениями рассматриваемого однородного уравнения, т. е. принадлежат ker T , . Более того, указанная система функций будет полна в ker T , , т. е., другими словами, ker T , допускает спектральный синтез. Данный факт стандартным образом получается с помощью критерия Банаха о полноте на основании того, что µ — делитель H (w) I . Естественно возникает вопрос о существовании в ker T , базиса, состоящего из приведенных элементарных решений, а точнее, из их линейных комбинаций, поскольку, как установил А. Ф. Леонтьев в [6], элементарные решения необходимо группировать, чтобы обеспечить абсолютную сходимость соответствующих рядов. Ясно, что имеет смысл рассматривать лишь случай бесконечного числа нулей, когда ker T , бесконечномерно.
Основным результатом работы является
Теорема 1. Пусть целая функция ^(z) принадлежит М ( ш ) , удовлетворяет условию (SC) и имеет бесконечное множество нулей A i , A 2 ,... с кратностями k i ,k ^ ,... Тогда в пространстве решений однородного уравнения свертки Tf = 0 в E ^ (I ) имеется базис, состоящий из конечных линейных комбинаций элементарных решений (2) .
Доказательство проводится по традиционной схеме. В Н ( ш ) i рассматривается замкнутый (благодаря условию (SC)) главный идеал J := ^H^ ) i и факторпространст-во Н ( ш ) i / J . Из общих результатов функционального анализа вытекает, что ker T^ изоморфно (H^ ) i /J) в . Основной этап доказательства — построение открытого покрытия (U j ) °=i нулевого множества N функции ^, вне которого | ^ | имеет подходящую оценку снизу. Покрытие (U j ) j=i разбивает нули функции ^ и соответствующие им элементарные решения однородного уравнения свертки на конечные группы
{( — ix) l e - iA s x : l = 0,..., k s - 1, A s G U j }, j = 1, 2,...
Размерность линейной оболочки, натянутой на j-ую группу, равна m j = ^A s G u j ks — количеству (с учетом кратностей) нулей функции µ, содержащихся в U j . После этого (Н 1 Ш ) i /J ) в в два этапа реализуется в виде некоторого пространства последовательностей, на основании чего доказывается сформулированная теорема 1. Полученный результат позволит в дальнейшем установить существование линейного непрерывного правого обратного оператора к оператору свертки в пространствах E^(.I ), чему будет посвящена отдельная статья.
Из предшествующих результатов наиболее близкими являются результаты, представленные в работах [11, 12, 14], в которых рассматривались предельные случаи пространств УДФ — классы минимального и максимального типов. Специфика пространств нормального типа, гораздо более тонких по сравнению с классами минимального и максимального типов, проявляется в основном на этапе построения покрытия для множества N µ . Именно для классов нормального типа невозможно, как прежде в [11, 12], проводить рассуждения единообразно для всей плоскости. Суть предлагаемого в настоящей работе способа преодоления этой трудности состоит в том, что вблизи вещественной оси используется само условие (SC), а для остальных точек — классическое условие полной регулярности роста.
2. Покрытие нулевого множества характеристической функции
Пусть ^ — мультипликатор пространства H 1ш) i , удовлетворяющий условию сюръективности (SC), т. е. порождающий разрешимое для любой правой части уравнение свертки. Пусть, далее, (As)S=i — последовательность его нулей, |As| f го; ks — кратность нуля As. Заметим, что из определения класса М(ш) всех мультипликаторов с учетом условия (а0) на вес ш вытекает, что целая функция ^ имеет нулевой тип при порядке 1, а значит, является функцией вполне регулярного роста при этом порядке. Из этого следует, что имеется исключительное множество кружков Ej = {z G C : |z — Zj | < Pj} нулевой линейной плотности ( limr .^ Г P|Zj| |z|→∞ z∈/Ej |z | При этом в силу [4, лемма 1] кружки Ej можно считать попарно не пересекающимися. Для произвольного е > 0 введем в рассмотрение следующее открытое в C множество: Ue = {z G C : In |^(z)| < —E^(Rez) — e| Imz|}, содержащее в себе нулевое множество Nµ функции µ. Для дальнейшего нам необходимо оценить размеры связных компонент множества Ue. С этой целью возьмем 5 G (0, 4) и, пользуясь условием (SC), по ε и δ найдем соответствующее r0 . Будем сразу предполагать r0 настолько большим, что 1 X Pj< 52, r > ro; (3) |ζj| |z| εδ 5 + 1’ |z | > r0 , z ∈/ Ej . j Заметим сразу, что для всех z с |z| > ro и | Im z| > 5| Re z|, не попадающих в исключи- тельные кружки Ej , ln |^(z)| > — 5^ |z| > — 5^ (11 Imz| + | Imz|) = —e| Im z|, так что эти z не принадлежат Uε . Всюду в дальнейшем для z G C используется обозначение ||z|| = max{| Rez|, | Im z|}. Докажем следующую лемму. Лемма 1. Пусть V — произвольная связная компонента множества Uε, целиком лежащая вне квадрата |z| 6 ro. Если в V имеется точка z с | Im z| 6 5| Re z|, то diam(V) 6 25w(Re z) + 25| Im z|. В противном случае diam(V) 6 85| Im z|, где z — произвольная точка из V . C 1) Сначала рассмотрим случай, когда V содержит в себе точку z с | Im z| 6 5| Re z|. При этом |z| = | Re z| > ro, так что на основании (SC) существует окружность Cz, содержащая z внутри себя, для всех точек ζ которой выполняется неравенство (1). Значит, Czне пересекается с V , так что V целиком лежит внутри Cz. Поэтому diam(V) 6 2Rz 6 25w(Re z) + 25| Im z|. 2) Разберем теперь ситуацию, когда | Im z| > 5| Re z| для всех z G V. Приведенные перед леммой рассуждения показывают, что тогда V целиком содержится в каком-то исключительном кружке Ej, так что diam(V) 6 2pj. Так как |Zj | + Pj > ro, то из (3) при r = |Zj | + Pj получаем, что Pj< 52(|Zj | + Pj), откуда |Zj | > 1-т2Pj. Если теперь z — произвольно выбранная точка из V , то 1 — 252 1 |z|> Kj| —Pj > 52 Pj > 252 Pj• Следовательно, diam(V) 6 2Pj 6 452|z| 6 452(| Re z| + | Im z|) < 85| Im z|. B Перейдем теперь к построению искомого открытого покрытия (Uj)j=1 нулей функции ^. Для этого возьмем две числовые последовательности Ek ^ 0 и 5k ^ 0. Положим U(k) = {z G C : In |^(z)| < —Ek^(Rez) — Ek| Imz|}, k G N. Ясно, что N С U(1)С U(2)С ... Далее, в соответствии с (SC) для εkи δkнайдем подходящие rk , rk ↑ ∞. В дальнейшем нам понадобится предполагать rk настолько большими, что Ekw(Re z) + Ek| Im z| > 2, |z| > rk,(4) ^(t) < 5kt, t > rk,(5) In |^(z)| В силу (а) можно также считать выполненным неравенство ^(t + 2) + 2 6 2w(t), t > ri.(7) Наконец, понятно, что rk+i можно при необходимости увеличить так, чтобы ни одна из компонент множества U(k+1), пересекающихся с ||z|| = rk, не выходила за пределы множества |z| < rk+i. Выберем те связные компоненты множества U(1), которые пересекаются с квадратом ||z|| 6 ri и содержат внутри себя нули функции ^. Занумеруем их Ui,..., Uj1-i. Тем самым покрыты все нули в квадрате |z| 6 ri и даже, возможно, некоторые дополнительные нули. Рассмотрим теперь компоненты множества U(2), пересекающиеся с ri < |z| 6 rk и имеющие внутри себя нули, не покрытые на предыдущем шаге. Возьмем находящиеся в них компоненты U(i), содержащие указанные нули. Обозначим их Uj1,..., Uj2-i. Они автоматически содержатся в области |z| > ri. На данном шаге точно покрыты все нули в |z| 6 rk и, возможно, еще часть. Проведем еще один этап построения. Выберем связные компоненты множества U(3), пересекающиеся с rk < |z| 6 гз и содержащие еще не покрытые нули функции ^. Эти нули попадают в какие-то компоненты множества U(2), которые не рассматривались на предыдущем шаге, а значит, во-первых, не пересекаются с Ui,..., Uj2-i, а во-вторых, целиком находятся в области |z| > rk. Занумеруем их Uj2,..., Uj3-i. Продолжая этот процесс далее, получим открытое покрытие (Uj)j=i множества N^, обладающее следующими свойствами. Во-первых, при каждом k Е N для jk 6 j < jk+i ln |^(z)| < -Ek^(Rez) — Ek| Imz|, z Е Uj.(8) Во-вторых, Uj С {z Е C : |z| > rk} при тех же j и k, а для diam (Uj) имеют место следующие оценки: а) Если в Uj есть точка zj с | Im zj | 6 5k | Re zj |, то diam (Uj) 6 25k^(Re zj) + 25k| Im zj|;(9) б) Если же в Uj таких точек нет, то diam (Uj) 6 85k | Im zj |,(10) где zj — произвольно взятая точка из Uj . Обозначим mj := 52AsGuj ks, j Е N. В следующей лемме для |µ| устанавливается оценка снизу в некоторой окрестности границы множества Uj . Для jk 6 j < jk+i (k Е N) положим aj := min e-4ekw(Re z)-4ek1 Im z| . z∈Uj Через (dUj )(oj) будем обозначать oj-окрестность границы dUj множества Uj, т. е. (dUj)(^j) = {z Е C : d(z, dUj) < oj}, где d(z, dUj) — расстояние от z до dUj. Лемма 2. Пусть k Е N, jk 6 j < jk+i. Тогда для всех z Е (dUj)(oj) In |^(z)| > —3Ekw(Re z) — 3Ek| Im z|. C Зафиксируем k Е N, jk 6 j < jk+i и z Е (dUj)(oj). Найдем точку Z Е dUj с |z — Z| < Oj, а затем точку n, лежащую между z и Z и такую, что ^(z) = ^(Z)+ ^'(n)(z — Z). Введем для краткости обозначение B : = Ek^(ReZ)+ Ek| ImZ|. Так как Z Е dUj, то |Z| > rk, так что B > 2 на основании (4). Кроме того, |^(Z)| > e-B• Оценим |ц,(n)|• Имеем, что |^0(n)| 6 max{|^(Z)| : |Z—n| 6 1} 6 max{|^(Z)| : |Z-Z| 6 2}. Так как для всех £ с |Z-Z| 6 2 выполняется неравенство |£| > |Z| —2 > rk — 2, то в силу (6) и (7) |^(£)| 6 e^k((Re €)+ek 1 Im Zl 6 е£кш(1 Re Z|+ 2)+ek(| Im z |+2)6 e2B. Значит, |^0(n)| 6 e2B. Таким образом, Mz)| > |д«)| — W(n>3 > e-B— e2B• = e-B— e-2B> e 3B. Снова применяя оценку (7), которая обеспечивает 322 6 I (Ekш(| Rez| + 1) + Ek(| Imz| + 1)) 6 3Ekw(Rez) + 3Ek| Imz|, получаем нужное неравенство (11). B В заключение параграфа докажем две полезные технические леммы, которые будут использоваться в дальнейшем. Лемма 3. Для любых положительных чисел q, l и e найдется постоянная C > 0 такая, что при всех j ∈ N и z ∈ Uj qw(Re z) + l| Imz| 6 (q + E)w(Re zj) + (l + e)| Im zj| + C, (12) qw(Re zj) + l| Im zj| 6 (q + E)w(Re z) + (l + e)| Im z| + C. (13) C Установим сначала неравенство (12). Зафиксируем q, l и ε. Поскольку, как известно, limaji limsupt^^ ^(((tt) = 1, а 6k ^ 0, то существуют к Е N и Ci > 0 такие, что q^((1 + 46k)t) 6 (q + 2) ^(t) + Ci, 2i6k < 2, t > 0, (l+q5-k)(1 + 86k) Пусть j > jk. Найдем k > k такое, что jk 6 j < jk+i. Рассмотрим отдельно случаи а) и б) расположения множества Uj . а) Если Uj позволяет выбрать точку zj Е Uj с | Im zj | 6 6k| Re zj |, то для diam (Uj) справедлива оценка (9), так что для произвольной точки z∈Uj с учетом (5) имеем | Re z| 6 | Re zj| + diam (Uj) 6 (1 + 46k)| Re zj|, | Im z| 6 | Im zj | + diam (Uj) 6 26k^(Re zj) + (1 + 26k)| Im zj |. Следовательно, на основании (14)–(16) qu(Re z) + l| Im z| 6 q^((1 + 45k) Rezj) + l(25kw(ReZj) + (1 + 25k)| ImZj|) 6 ^q + 2 + 2l5k^ w(Re Zj) + l(1 + 25 k) | Im Zj | + Ci < (q + e)w(Re Zj) + (l + e)| Im Zj | + Ci. б) Пусть теперь | Im z| > 5 k| Re z| для всех z E Uj. Зафиксируем z E Uj. Если || z k = | Re z|, то | Re z| > rk ив силу (5) qw(Re z) 6 q5k| Re z|< q5k| Im z|. А если |z| = | Imz|, то | Imz| > rk, так что снова на основании (5) qw(Rez) 6 qw ( — | Imz| ) 6 q52 — | Imz| = q5k| Imz|. δk δk Таким образом, для всех z ∈ Uj qw(Re z) + l| Imz| 6 (l + q5k)| Im z| 6 (l + q5k)(| ImZj| + diam(Uj)) 6 (l + q5k)(1 + 85k)| Im z| < (l + e)| Im z| . Объединяя теперь случаи а) и б) и полагая C := Ci + max{qw(Re z) + l| Im z| : z E Uj, 1 6 j 6 j,}, получим неравенство (12). Докажем неравенство (13). Заметим, что если множество Uj расположено как в пункте б), то точки z и zj равноправны (обе — произвольные точки Uj), так что в (12) их можно просто поменять местами и получить (13). Соответственно, (13) нужно установить лишь для Uj из пункта а). В данном случае выберем k E N и Ci > 0 так, чтобы (q + 4l5k)w( 1 - ■и k t) < (q + e)w(t) + Ci, l - k < l + e. Для j > j, находим k E N такое, что jk 6 j < jk+i. Тогда аналогично (17) | Re Zj| 6 | Re z| + diam (Uj) 6 | Re z| + 45k| Re Zj |, откуда | Re Zj| 6 i-45k | Re z|. Следовательно, | Im Zj | 6 | Im z| + diam (Uj) 6 | Im z| + 25kw(Re Zj) + 25k| Im Zj | | Im z| + 25kw 1- 45k Re z 1 + 25k | Im Zj |, так что 1 Im Zj1 6 r-1% ('Im Z| + 25kw (Г-14& Re Z Тогда окончательно на основании (18) и (19) имеем qw(Re Zj) + l| Im Zj| 6(q+1 2l5k \ / 1 — 25k ' 1 — 45k Re Z)+r—2k'Im Z| < (q + e)w(Re z) + (l + e)| Im z| + Ci. Полагая C:= Ci + max {qw(ReZj) + l| ImZj| : 1 6 j 6 j,}, получаем (13). B Лемма 4. Имеют место соотношения j mj lim -—- = 0, lim -—= 0. j→∞ |zj | j→∞ |zj | C Как обычно, через пДг) будем обозначать считающую функцию нулей целой функции ц, т. е. пДг) = 52|As|6rks. Поскольку ц имеет нулевой тип при порядке 1, то пДг) = o(r) при r ^ го. Далее, в силу условия (а0) на вес ш с учетом ш(1) = 0 найдется А > 1, при котором ш(t) 6 At для всех t > 0. Если теперь подобрать k Е N так, чтобы А5, < 1, то для j > j, получим |zj| + diam (Uj) 6 |zj| + 25 kw(Rezj) + 85 k| Imzj| 6 (1 + 10A5&)|zj| 6 11|zj|. Так как множества Uj попарно не пересекаются, причем в каждом Uj содержится хотя бы один нуль функции ц, то j 6 n^(|zj| + diam (Uj)) 6 n^(11|zj |) при j > je. Отсюда вытекает, что lim sup j 6 lim sup 6 11 limsup ”"' r' = 0. j→∞ |zj| j→∞ |zj| r→∞ r Таким образом, первое соотношение доказано. Аналогично mj = 52 ks 6 n^dzj। + diam (Uj)) 6 пДи^'|), i > i,, λs∈Uj так что выполнено и второе доказываемое равенство. B
3. Изоморфная реализация ker T^ Данный параграф посвящен изоморфному описанию ker T^, которое устанавливается в три этапа и позволяет в дальнейшем получить основной результат о существовании базиса в ker T^. Сначала в Н(ш) i рассмотрим замкнутый главный идеал, порожденный функцией ц: J = цН1ш),1 = {g Е Н(ш),1 : ^(Лз) = 0, 1 = 0, . . . , ks - 1,5 = 1, 2, . . . } и соответствующее факторпространство H^) i/ J, которое, как и само H^) i, относится к классу (DFS)-пространств. Для [f ] Е Н(ш) i/ J положим ।||[f IHL^.q.l =inf kf\Uq,l = inf Ilf + hlkq,l, q Е (0, 1), 1 Е (0,a)-f e[f ] heJ Тогда фактортопология в Н(ш) i/J — это топология индуктивного предела семейства банаховых пространств {[f] : |||[f]|||^,q,i < го}, q Е (0,1), 1 Е (0, a). Из общей теории двойственности с учетом свойств (FS) и (DFS)-пространств стандартным образом вытекает Лемма 5. Отображение Ф : ker T^ ^ (Н(ш) I/J)0, действующее по правилу hФf, [g]i = (f,F-1 (g)> , f Е kerT^, [g] Е H^v/J, устанавливает топологический изоморфизм между ker T^ и (H^) i/J)в■ Перейдем теперь к изоморфной реализации факторпространства H.) i/J и, как следствие, его сильного сопряженного (H1.) i/J)в• Пусть (Uj)j=i — построенное в §2 покрытие нулевого множества функции ц. Как обычно, через H^(Uj) будем обозначать пространство всех ограниченных аналитических в Uj функций с нормой kgk^,j = supzGuj. \g(z) \. Рассмотрим замкнутые подпространства этих пространств Jj = {g G H^(Uj) : g(l)(Xs) = 0, l = 0,...,ks - 1, As G Uj} и соответствующие факторпространства Xj : = H^(Uj)/Jj, j G N. По построению \ц\ отграничен от нуля в некоторой окрестности dUj, так что в Xj класс [f ], f G H^(Uj), совпадает с {f + цд : g G H^(Uj)}. Норма класса [f] равна "f■ ,j = fM IlfIk ,j = ^HfUj)Ilf + . g = ^tofUj) sup I/(z) + ^(z)g(z)|. Понятно, что все Xj конечномерны, причем dim Xj = mj, j G N. Обозначим X := Hj=i Xj и введем в рассмотрение следующий весовой подкласс класса X: IV = L = ([^ ') хg X : (3q G (0,1)) (3l G (0,a)) fL,= sup--to3-^—< ^1. jJ/j = 1 ' J v V vм ГГ\Ш ,q,l j> eq.(Re zj )+l| Im zj | J Пространство k∞наделяется естественной индуктивной топологией и является в ней (DFS)-пространством. Лемма 6. Отображение p : [f] G H1.) i/J ^ ([f \uj])j=i устанавливает топологический изоморфизм между H.) i/J и k^ • <1 Инъективность отображения p очевидна. Далее, зафиксируем q G (0,1), l G (0, a) и возьмем e > 0 так, чтобы q + e< 1, l + E < a. В силу леммы 3 найдется C > 0, при котором выполнено неравенство (12). Для [f] G H1.) i/J имеем |Mf \u3HU,j = inf , suP \f (z) + ^(z)g(z) | 6 inf7 suP \f (z) + h(z) \ j gEH^(Uj) z^uj heJzeUj 6 111 [f ] 111 ш ^ sup . R z)+l|Im z| 6 ec 111 [f ] 111 ш ^ e^q^^ zj)+(l+e)I Im zj |, z∈Uj откуда |p([f])|ш q+e l+ 6 eC\\\ [f]\\\шд,ь Это означает, что p действует непрерывно из Hi.),I/J в k^. ’ Поскольку для (DFS)-пространств справедлива теорема об открытом отображении, остается проверить лишь сюръекивность р. Зафиксируем ^ = ([^j])j=i G k^. Тогда имеются q G (0,1) и l G (0, a), при которых \^\. qi < то. Функции ^j G H^(Uj), представителей классов [^j], будем считать такими, что |^j |^ ,j = \\\ [^j] \\\ ^ ,j. Тогда \^3 (z)\ 6 \^\. ,q,i eq.(Rezj)+l|Imzj I, z G Uj, j G N. (20) Возьмем e > 0 так, чтобы q + 9e< 1, l + 9e< a. Найдем k G N такое, что e^,< E. 1) Для j G N введем в рассмотрение множества Vj = {z G Uj : d(z,dUj) > CTj}, где, как и выше, Oj = min{e-4ek^(Rez)-4ek|Imz|: z G Uj}. В соответствии с леммой 2 для всех z∈Uj \ Vj выполняется неравенство (11), из чего, во-первых, следует, что Nµ⊂jVj, а во-вторых, что Как известно, существует бесконечно дифференцируемая в R2функция g, обладающая свойствами g(z) = 1 на U Vj, supp g С U Uj, 0 6 g(z) 6 1 в C. jj При этом dg(z)|6C, ■ Uj \Vj- где Cq от j не зависит. В силу выбора чисел oj найдется точка Zj Е Uj такая, что oj = exp(-4skш(Не Zj) — 4ek| Im Zj|). Значит, при j > jk — VA < Сое4еш(Кеzj)+4e|Imj1 dzv ’ q ’ z∈Uj\Vj. Выбрав теперь в соответствии с леммой 3 константу Ci > 0, при которой 4еш(Не z) + 4e| Im z| < 5еш(Не zj) + 5е| Im zj| + C1, z Е Uj, j Е N, окончательно получим, что — < G/' е5еш(Ке zj)+5e| ImzjI dzv ’ q " 2) Положим теперь «z'-fc(z)' z∈Uj, j∈N, z ЕUj- Uj, h(z):= ФЦ) ^(z) ∂g dz■ z ∈C. Функция h будет бесконечно дифференцируема в R2, h(z) = 0 при z / Uj (Uj \ Vj-). Снова пользуясь леммой 3, найдем C2 > 0 такое, что для всех j Е N (q + 5е)ш(Не zj) + (l + 5е)| Im zj| < (q + 6е)ш(Не z) + (l + 6e)| Im z| + C2, z E Uj. Тогда, объединяя (20)-(22) и полагая C := Cq eC1 +C2, заключаем, что при z Е Uj \ Vj, j > jk |h(z)l 6 ce(q+9e)^(Re z)+(l+9e)| Imz|. 3) Находим теперь бесконечно дифференцируемую в R2функцию v, являющуюся решением d-задачи dV = h. При этом dV = 0, z Е Vj, j Е N, так что v аналитична в каждой из областей Vj . В качестве искомой функции f возьмем f (z) = v(z)^(z) + Ф(z)g(z), z E C. Тогда l^f = 0 в C, т. е. f E H(C). Более того, из (23) стандартным образом вытекает, что f Е Н"1Ш) i. При этом в областях Vj-, j Е N, функция f совпадает с v(z)^(z) + ^j (z), так что f (l)(As) = ^jl)(As), l = 0,..., ks— 1, As Е Vj-. Это означает, что [f |uj] = [^j] в Xj, j E N, т. е. p([f]) = у. B Следствие. Отображение R: ^Е(H(L),i/J)0 ^ ^ ◦ p 1 устанавливает топологический изоморфизм между (H^) i/J)в и (k^)e" Завершая настоящий параграф, получим изоморфное описание (к”)0в. Пусть X, (j Е N) — сопряженное к банахову пространству X, с сопряженной нормой 11|VC,j = sup {|v([у])| : [у] Е Xj, |||[у]|||”., 6 1} . Само Xj, является банаховым пространством размерности т,. Положим теперь X0 := Пj=i Xj и рассмотрим в X0 весовой подкласс А ' = {v = (v, )”= Е X0 : (V q Е (0,1)) (V 1 Е (0, a)) IVI„,q,l = sup 11| Vj I||”.., eq— zj >+l|Imzj I < го} . Понятно, что λ∞относится к классу (FS)-пространств. Наконец, определим еще следующие естественные отображения: Sj : [у,] Е Xj i—— (0,..., 0, [у,], 0,...) Е к , j tj : Vj Е Xj ——— (0,..., 0, Vj, 0,...) Е A . j Лемма 7. Отображение S : v Е (k”)0 — (v о s,)”=i устанавливает топологический изоморфизм между (к”)в и А”. C В силу свойств веса ш и достаточно быстрого стремления |z, | к го (см. лемму 4) получаем, что ln j = o(Yш(Re z,)+y| Im Zj|) при j — го для произвольного y > 0. Из этого легко следует, что для любого у = ([у,])j=i Е к” ряд 'ZLjjjLi Sj([у,]) сходится абсолютно к ϕ в k∞. А тогда ∞ V(у) = X(v о sj)([у,]), V Е (k”)0, j=i откуда вытекает инъективность отображения S . Сюръективность S получается из тех же соображений. Достаточно для (v, )”=i Е А” положить ∞ V(у):= Xv,([у,]), У = ([У,])”=i Е k”- j=i Наконец, поскольку сильная топология в (к”)0 задается набором преднорм |vL,q,i = sup{|v(у)|: у Е k”, M^z6 1}, qЕ (0,1), 1Е (0,a), и так как для любого V Е (к”)0 выполнено |SvL.,.i =s>peq^fR*zj"l R' zj sup {|(v о Sj)([у,])| : [у,] e Xj, |||[у,]|||”.j- 6 1} = sup {|v(У)| : У Е k”, WL.q.l 6 1} = IvL.q.1, то S взаимно непрерывно. B Из лемм 5–7 вытекает Теорема 2. Отображение L := S о R о ф есть топологический изоморфизм ker T^ на λ∞.
4. Доказательство основного результата Итак, построенное в § 2 покрытие (Uj)j=i множества N^ разбило нули функции ^ и соответствующие им элементарные решения однородного уравнения свертки на группы. Введем в рассмотрение линейные оболочки этих групп решений: Ej := span{(—ix)le iXsx : l = 0,..., ks — 1, As G Uj}, j G N. Множество Ej является подпространством размерности mj в ker T^. Лемма 8. Для отображения L из теоремы 2 справедливы равенства L(Ej) = tj(X'j), j G N. C Отображение 5ls : [g] ^ g(l)(As), s G N, l = 0,..., ks — 1, является линейным непрерывным функционалом на Н(ш) i/ J• Для тех s G N, при которых As G Uj, можно рассмотреть «сужение» δλls|Xjэтого отображения на пространство Xj . Непосредственно проверяется, что в пространстве А“ при каждом j G N для s G N с As G Uj и l = 0,..., ks — 1 выполняется равенство L((—ix)le-iAsx) = tj ◦ 5lxs |xj. Из этого следует, что L(Ej) С tj(X'j). Учитывая еще, что dimL(Ej) = dimEj = mj и dimtj(X'j) = dimX'j = mj, заключаем, что имеет место равенство L(Ej) = tj(X'j). B Лемма 9. В пространстве λ∞имеется абсолютный базис вида {tj(vj,p):p = 1,...,mj, j G N}, где {vj,p : p = 1,..., mj} — некоторый базис в X'j, j G N. C Зафиксируем j G N. В соответствии с леммой Ауэрбаха (см. [13, 10.5]) в Xj и X'j можно выбрать базисы {[^j,p] : p = 1,..., mj} и {vj,p : p = 1,...,mj} такие, что h [^j,p], vj,m i — 5pm = p = m, p = m. При этом разложение произвольного элемента Vj G X'j по базису {vj,p : p = 1,..., mj} имеет вид mj vj = h[^j,p], vj ivj,p- p=1 В пространстве A“ теперь для произвольного элемента v = (vj)j=i рассмотрим ряд ∞ mj У2У2 hVjpw itj j) j =1 p=1 Возьмем произвольные q G (0,1) и l G (0,a). Пусть e > 0 таково, что q + e < 1, l + e < a. Для всех j G N и p = 1, . . . , mj |tj (vj,P)|^,q,l __ eqiotiRe Zj )+l| Im Zj | lh[^j,p],vjil 6 |VlL,q+e,i+ee-(q+e)"(Rezj)-(l+e)|Imzj|. Далее, в силу свойства (y) веса ш найдется C > 0 такое, что ew(Re zj) + е| Im zj | > 3ln(1 + |zj |) — C при всех j E N. В свою очередь, из леммы 4 вытекает, что A := Ej°=1 (i+mj.|)3< го. Поэтому ,~. 52 52 |h[^j,pbVjil • |tj(Vj,P)|^,q,i j = 1 P=1 —0 ~ eq4Rej))+l| Im zj| C f 6 |vEq+ejl+e / j mj (q+e)w(Rezj)+(i+e)| Imzj| 6^e |vEq ■ zJ ■ z. j=1 e Таким образом, ряд (25) сходится абсолютно в λ∞. Понятно, что его сумма совпадает с ν. Ясно также, что разложение элемента ν по системе (24) обязательно имеет вид (25), а значит, оно единственно. B В качестве следствия теперь легко получается основной результат работы. Сформулируем его несколько более точно, чем во введении. Теорема 3. Пусть ^ E М(ш) удовлетворяет условию (SC). В пространстве решений однородного уравнения свертки Tf = 0 имеется абсолютный базис {ej,p:Р = 1,...,mj,j E N}, (27) состоящий из элементов ej,p(p = 1,..., mj) подпространств Ej, натянутых на элементарные решения (—ix')1 e-i^sx (l = 0,..., ks — 1, As E Uj) этого уравнения. C Положим ej,p := L-1(tj(vj,p)), p = 1,..., mj, j E N, где {tj(vj,p) : p = 1,..., mj, j E N} — абсолютный базис в A“ из леммы 6. В силу леммы 8 тогда ej,p E Ej, p = 1,..., mj, j E N. Поскольку L — топологический изоморфизм ker Tpна A^, то (27) — абсолютный базис в ker Tp. B В заключение работы заметим, что полученные результаты позволяют отождествить ker Tpс некоторым пространством степенных рядов конечного типа, что может быть полезно в различных вопросах (по поводу пространств степенных рядов см. [10]). Пусть mj, j E N, те же, что и выше, а mg := 0. Зафиксируем j E N. Для k такого, что Ej=0 mi < k 6 Pj=g mi положим ak := w(Re Zj) + | Im Zj|. Рассмотрим пространство степенных рядов конечного типа, порожденных последовательностью a = (ak)k=i: Л(а) = {^ = (&)£=1 E CN: (Vn E N) ||£||n = sup |^k|e n< го}. 1 k>1 } Теорема 4. Пространства ker Tpи Л(а) изоморфны. C Из тех же соображений, которые использовались в конце доказательства леммы 9, вытекает, что единичные орты (ek) образуют абсолютный базис пространства Л(а). При этом для PjZg1 mi < k 6 Pj=0 mi kek ||n = e-ank = e-n ^(Re z))- 1 1 Im z) |. (28) Установим взаимно одназначное соответствие Q между абсолютным базисом {tj (vj,p) : p = 1,..., mj-, j E N} пространства A“ и абсолютным базисом {ek : k E N} пространства Л(а), положив для j E N и p = 1,..., mj Q(tj (vj^ = emo+...+mj-1+pe^(Rezj)+| Im zj|. Топология в λ∞может быть задана набором норм ω,1- , a , n, 1 n ∞ n=n0 no > 2 : a 1 > 0 n Из (26) и (28) вытекает, что --- 0 HQCtj (Vj,p))^n = \tj ^j^L, 1- 1, a- 1 nn при всех n. Значит, отображение Q взаимно непрерывно, т. е. Q — топологический изоморфизм A^ на Л(а). Соответственно, L о Q — топологический изоморфизм ker T^ на Л(а). B
Список литературы Экспоненциально-полиномиальный базис в пространстве решений однородного уравнения свертки на классах ультрадифференцируемых функций
- Абанин А.В., Филипьев И.А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций//Сиб. мат. журн.-2006.-Т. 47, №3.-С. 485-500.
- Абанина Д. А. Разрешимость уравнений свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на интервале//Сиб. мат. журн.-2011.-(Принята к печати).
- Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS//Успехи мат. наук.-1979.-Т. 34, № 4.-С. 97-131.
- Красичков-Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона//Мат. заметки.-1978.-Т. 24, № 4.-С. 531-546.
- Кривошеев А. С. Базис Шаудера в пространстве решений однородного уравнения свертки//Мат. заметки.-1995.-Т. 57, вып. 1.-С. 57-71.
- Леонтьев А. Ф. Дифференциально-разностные уравнения//Мат. сб.-1949.-Т. 24.-С. 347-374.
- Напалков В. В. О базисе в пространстве решений уравнения свертки//Мат. заметки.-1988.-Т. 43, вып. 1.-С. 44-55.
- Berenstein C. A., Taylor B. A. A new look at interpolation theory for entire functions of one variable//Adv. in Math.-1979.-Vol. 33.-P. 109-143.
- Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables.-New York: Wiley Interscience, 1970.-506 p.
- Meise R. Sequence space representation for (DFN)-algebras of entire functions modulo closed ideals//J. Reine Angew. Math.-1985.-Vol. 363.-P. 59-95.
- Meise R., Schwerdtfeger K., Taylor B. A. On kernels of slowly decreasing convolution operators//Doga Tr. J. Math.-1986.-Vol. 10, № 1.-P. 176-197.
- Meise R., Taylor B. A., Vogt D. Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions//Indiana Univ. Math. J.-1987.-Vol. 36, № 4.-P. 729-756.
- Meise R., Vogt D. Introduction to functional analysis.-Oxford: Univ. Press, 1997.-437 p.
- Meyer T. Surjectivity of convolution operators on spaces of ultradifferentialble functions of Roumieu type//Studia Math.-1997.-Vol. 125, № 2.-P. 101-129.
- Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques//Ann. of Math.-1947.-Vol. 48.-P. 857-929.