Экстремальное строение выпуклых множеств линейных операторов на пространстве непрерывных функций

Пусть Q — компакт, C(Q) — пространство непрерывных действительных функций на Q, E — порядково полная векторная решетка, и 0 < e G E. Обозначим через S e множество всех линейных положительных операторов T : C(Q) ^ E таких, что T ( 1 q ) = e. Ясно, что S _e — выпуклое множество. Цель настоящей работы — описать крайние точки множества S _e .

• ^# Работа выполнена в Северо-Кавказском центре математических исследований ВНЦ РАН при поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-02-2026-738.

• 2.    Порядковое интегрирование

В цикле работ [1–5] С. С. Кутателадзе предложил геометрическое изучение выпуклых множеств линейных операторов, в частности опорных множеств сублинейных операторов, на основе пространств Канторовича, именуемых также порядково полными векторными решетками. В работе [5] была изложена принципиально новая идея о представлении произвольного сублинейного оператора в виде композиции линейного оператора и конкретного сублинейного оператора ε _U , именуемого в литературе каноническим сублинейным оператором Кутателадзе. При этом все остальные сублинейные операторы со значениями в E получаются из оператора ε U с помощью линейной замены переменной, а крайние точки произвольного сублинейного оператора представляют собой композицию некоторого линейного оператора и крайних точек канонического сублинейного оператора Кутателадзе. В свою очередь, крайние точки канонического сублинейного оператора Кутателадзе представляют собой поточечный равномерный предел чистых состояний, являющихся решеточными гомоморфизмами. Эти результаты позволяют описать крайние точки множества S _e при соответствующем выборе сублинейного оператора.

В разделе 2 кратко изложена конструкция порядкового интегрирования по мере со значениями в порядково σ-полной векторной решетке. Данный тип порядкового интегрирования также называется интегралом Канторовича — Райта. Раздел 3 посвящен описанию канонического сублинейного оператора Кутателадзе. Там же приводятся необходимые вспомогательные утверждения. В разделе 4 приводятся основные результаты. В теореме 4.1 дается описание крайних точек множества S _e через решеточные гомоморфизмы, используя понятие чистых состояний. В теореме 4.2 приводится наиболее полное описание крайних точек, привлекая теорему 4.1, а также установленные в статье [6] результаты. В настоящей статье используются стандартные обозначения и терминология теории векторных решеток и положительных операторов из [7, 8].

В этом параграфе приводится набросок конструкции порядкового интеграла по мере на произвольной σ-алгебре со значениями в порядково σ-полной векторной решетке. Данная конструкция была предложена в работе [9]. Порядковое интегрирование по мере на произвольном δ-кольце предложено в работе [10].

Пусть Q — некоторое непустое множество, X — ст-алгебра подмножеств множества Q, E — порядково ст-полная векторная решетка. Введем в E символ ж и будем полагать, что x <  ж для всех x g E.

Определение 2.1. Функция ^ : X ^ E U {ж} называется мерой, если выполняются следующие условия:

• (1)    М0) = О;

• (2)    ^(A) ^ 0 для всех A g X;

• (3)    для любой последовательности (A n ) П=1 С X, удовлетворяющей условию A i И A j = 0 для всех i = j , справедливо равенство

  ^µ

  
  

  ( U An) ' n=1 А

  
  

n

= sup ) ^(A r )• ne N Г=1

Как обычно, пару (Q, X), где X — ст-алгебра подмножеств Q, называют измеримым пространством, а множества из X — измеримыми.

Символом L ° (^) := L ⁰ (Q, X,^) будем обозначать множество всех X-измеримых функций f : Q ^ R.

Определение 2.2. Функция v : Q ^ R называется S-ступенчатой, если она пред- ставима в виде

n v = ^OKAi, i=1

где a i ,..., a n G R, A i ,..., A n € S попарно не пересекаются и y(A i ) <  от для всех i = 1,..., n, n G N.

Обозначим символом St(S) множество всех S-ступенчатых функций. Положим по определению

n v dy := £«iy(Ai) i=i для всех v = 1X1 aiXAi G St(S).

Можно показать, что множество St(S) является векторной подрешеткой L ⁰ (y), а отображение If : St(S) ^ E корректно определено, т. е. If (v) не зависит от представления v = En =i a i X A i G St(S), и является линейным оператором.

Определение 2.3. Говорят, что некоторое свойство P выполняется µ -почти всюду (µ-п.в.), если мера множества, на котором свойство P не выполняется, равна нулю.

Определение 2.4. Функция 0 С f G L ⁰ (y) y-п.в. называется интегрируемой, если

существует последовательность S-ступенчатых функций (v n ) П=1 такая, что 0 С V n t n f y-п.в. и sup n J v n dy <  от . При этом будем полагать I ^ (f ) := f f dy := sup n J v n d^.

Таким образом,

J ^f dy ^:

= sup n

ϕ n dµ

> 0.

Можно показать, что I ^ (f ) не зависит от выбора (v n ) “=i G St(S).

Определение 2.5. Произвольная функция f G L ⁰ (y) называется интегрируемой, если интегрируемы функции f + := f V 0 и f - := f Л 0. При этом будем полагать

W) := f fdy := У f+ dy - J f- dµ.

Символом L 1 (y) будем обозначать множество всех интегрируемых функций. Доказательства следующих двух теорем приведены в работе [10].

Теорема 2.1. Справедливы следующие утверждения:

• (1)    Множество L 1 (y) является порядковым идеалом в L ⁰ (y);

• (2)    Отображение I ^ : f ^ f fdy из L 1 (y) в E является линейным положительным оператором;

• (3)    Если f G L 1 (y) и g G L ⁰ (y) такие, что f = g y-п.в., то g G L 1 (y) и I ^ (f ) = I _M (g) ;

• (4)    Если f,g G L ¹ (y) и f >  g y-п.в., то I ^ (f ) >  I ^ (g)

• (5)    Для функции g G L 1 (y) выполняется I ^ ( | g | ) = 0 тогда и только тогда, когда g = 0 µ-п.в.

• 3.    Канонический сублинейный оператор Кутателадзе

Теорема 2.2 (О мажорированной сходимости) . Пусть последовательность (f n ) ^=i С L 1 (y) удовлетворяет условиям \ f _n \ С g y-п.в. и g G L 1 (y) для всех n G N . Если f _n ^ f y-п.в., то f G L 1 (y) и выполняются равенства lim n f f_n dy = J lim n f n dy = f f dy.

В данном параграфе приводятся вспомогательные леммы, а также описание крайних точек сублинейного оператора посредством канонического сублинейного оператора Кутателадзе. Подробности можно найти в монографии [11, гл. 2].

Всюду далее X, E — векторные решетки, E порядково полна. Символом L(X, E) будем обозначать множество всех линейных операторов из X в E . Линейный оператор T G L(X,E) называется положительным, если Tx ^ 0 для всех 0 С x € X. Символом L(X, E) + будем обозначать множество всех линейных положительных операторов из X в E. Оператор p : X ^ E называется сублинейным, если p(x + у) С p(x) + p(y) и p(Ax) = Ap(x) для всех x,y G X и А >  0.

Определение 3.1. Сублинейный оператор p : X ^ E называется

• (1)    возрастающим, если p(x 2 ) ^ p(x i ) для всех x i ,X 2 G X, Х 2 ^ x i ;

• (2)    субморфизмом, если p(x V у) = p(x) V p(y) для всех x,y G X.

Ясно, что всякий субморфизм является возрастающим.

Определение 3.2. Опорным множеством сублинейного оператора p : X ^ E называется множество всех линейных операторов T G L(X, E), для которых выполняется Tx С p(x) для всех x G X. Символически, dp := {T G L(X, E) : Tx С p(x) для всех x G X}.

Определение 3.3. Пусть C — выпуклое множество некоторого векторного пространства. Элемент z ∈ C называют крайним или экстремальным , если из условий z = Ax + (1 — А)у, 0 <А< 1 и x,y G C следует, что z = x = у. Символом Ch(p) будем обозначать множество всех крайних точек опорного множества ∂p сублинейного оператора p. Символически,

Ch(p) := { T G L(X, E) : T — крайняя точка dp } .

Лемма 3.1. Пусть X , E — векторные решетки, E — порядково полна, p : X ^ E — субморфизм. Тогда справедливы следующие утверждения:

• (1)    Каждый оператор T G dp положителен, т. е. dp С L(X, E) + ;

• (2)    Каждый оператор T G Ch(p) является решеточным гомоморфизмом.

• <1    Пусть x i ,x 2 G X, x 2 ^ x i . Так как p субморфизм, то выполняются соотношения p(x ₂ ) = p(x 1 V x ₂ ) = p(x 1 ) V p(x ₂ ) ^ p(x 1 ). Следовательно, p возрастает, и справедливость утверждения (1) следует из [11, § 2.1.1(2)]. Доказательство утверждения (2) можно найти в [7, §3.3.9(1)]. О

Пусть U — произвольное непустое множество. Обозначим символом l ^ ( U ,E) совокупность всех отображений f : U -^ E таких, что множество значений { f (а) : а G U } порядково ограничено в E. Множество l ^ ( U ,E) является порядково полной векторной решеткой относительно поточечных операций сложения, умножения на скаляры и отношения порядка:

^{( f} + g^{)( a ) :}= ^{f ( а )} + g^, ^{( A ) f ( а ) :}= ^{Af ( а )} f С g « f (а) С g(a)

для всех f,g G l ^ (U,E), a G U и A G R.

Определение 3.4. Оператор e u : l ^ ( U ,E) ^ E, действующий по правилу

EU(f) := sup{f(a) : a G U} для всех f G l^(U, E), называется каноническим сублинейным оператором Кутателадзе.

Из определения 3.4 непосредственно следует, что ε U сублинеен и возрастает. Рассмотрим теперь некоторое множество U С L(X, E) слабо порядково ограниченных линейных операторов. Напомним, что U называется слабо порядково ограниченным , если для всякого x g X множество { Tx : T G U } порядково ограничено в E. Для каждого фиксированного x G X обозначим символом { U > x отображение, сопоставляющее каждому T G U элемент Tx G E, т. е.

{ U > x(T ) := Tx                                   (1)

для всех T G U . Так как U слабо порядково ограничено, то { U > x G l ^ (U,E) для каждого x G X. Таким образом, возникает линейный оператор { U > : X ^ l ^ (U,E), действующий по правилу

{U> : x H {U>x для всех x G X. С множеством U можно связать еще один оператор Pu : X H E, действующий по правилу

P u x := sup { Tx : T G U }                           (2)

для всех x G X. Оператор P u сублинеен.

Лемма 3.2. Пусть X,E — векторные решетки, E порядково полна и U С L(X, E) — множество слабо порядково ограниченных линейных операторов. Справедливы следующие утверждения:

• (1)    P u = E u о { U > ;

• (2)    Ch(P u ) С { S о { U > : S G Ch(E u ) } .

• <1 Справедливость (1) непосредственно следует из определений P u , e u и { U > . Доказательство (2) следует из (1) и [11, теорема 2.2.10]. >

Пусть P(E) — полная булева алгебра порядковых проекторов в E. Напомним, что семейство (п g ) g_e= С P(E) называется разбиением единицы в P(E), если Vge = п g = Ie и п g Л П п = 0 для всех £ = п, где Ie — тождественный оператор на E.

Определение 3.5. Пусть (T g ) ^_е= С L(X, E). Оператор T G L(X, E) называется перемешиванием семейства (T g ) g_e= , если найдется разбиение единицы (п g ) ^_е= такое, что Tx = £^ _е= п ^ T g x для всех x G X.

Зафиксируем произвольный элемент A G U . Положим по определению

E A f ) := f (A)

для всех f G l ^ ( U ,E). Тогда ea : ^(U,E) H E называется 6-функцией.

Определение 3.6. Пусть (A g ) g_e= С U . Перемешивание семейства 5-функций ( e a _€ ) ges называется чистым состоянием, т. е. чистые состояния представляют собой операторы вида f H £g _e5 п g f (A g ) для всех f G l ^ ( U ,E), где (п g ) g_e= — разбиение единицы в P(E), (A g ) g_es С U .

Лемма 3.3. Пусть S — крайняя точка опорного множества канонического сублинейного оператора Кутателадзе eu : l ^ ( U ,E) H E. Тогда существует сеть из чистых состояний (S A ) AeЛ С L(l ^ (U,E),E) + такая, что для любых g G l ^ (U,E) и e >  0 найдутся e g G E + и A(g, e) G Л такие, что \Sg — S \ g\ <  Ee g для всех A ^ A(g, e ).

• < Доказательство следует из [11, утверждение 2.4.8]. >

• 4.    Основной результат

Всюду далее Q — компакт, C (Q) — пространство всех непрерывных функций из Q в R, E — порядково полная векторная решетка, P(E) — полная булева алгебра порядковых проекторов в E и 0 < e G E. Обозначим символом S _e множество всех положительных операторов из C(Q) в E, отображающих тождественную единицу 1 q в е. Символически,

S e := { T G L(C(Q),E) + : T ( 1 q ) = e } .

Далее опишем крайние точки S _e , что составляет цель настоящей статьи.

Лемма 4.1. Отображение p : C(Q) ^ E, осуществляемое по правилу

P(f) := sup {f (q): q G Q}e для всех f G C(Q), является субморфизмом и имеют место равенства dp = Se, p(1q) = е.

• <1 Ясно, что p — сублинейный оператор и p ( 1q ) = е. Для произвольных f,g G C (Q) справедливы равенства

P ^{( f} V g) = sup { ^{( f} V g⁾⁽q) ^: q ^{G Q}}e = sup { ^{f (}q) V g⁽q) : q ^{G Q}}e = ( sup { ^{f (} q) ^: q ^{G Q}}^e) ^V ( sup { g⁽q)^: q ^G Q}) = p ^{( f} ) ^V p ⁽ g).

Таким образом, p — субфорфизм. Покажем, что dp = S e . Пусть T G dp. Так как p возрастает, то T ^ 0 в силу [11, Утверждение 2.1.1(2)]. Из соотношений T ( 1 q ) С p ( 1q ) = е и —Т ( 1 q ) = T ( - 1 q ) С p( — 1 q ) = — е следует, что T ( 1 q ) = е. Следовательно, dp С S e .

Обратно, пусть T G S e . Тогда T(f ) С T (sup { f (q) : q G Q } 1 q ) = sup { f (q) : q G Q } e = p(f ) для всех f G C (Q). Следовательно, S e С dp. Таким образом, dp = S e . >

Теорема 4.1. Пусть Q — компакт, E — порядково полная векторная решетка, 0 < е G E и S e := { T G L(C(Q),E) + : T ( 1 q ) = е } . Для произвольного оператора T G S e равносильны утверждения:

• (1)    T является крайней точкой множества S e ;

• (2)    Существует сеть (T x ) xeA операторов из C (Q) в Е ₊ вида f н £^_е5 f (q ^ )п ^ е, где (q ^ ) ?е= — подмножество в Q, (п ^ ) ^_е= — разбиение единицы в P(E) такая, что для любых f G C (Q) и Е >  0 найдется элемент X(f,E~) G Л такой, что справедливо неравенство | Tf — T x f\ С Ее для всех X ^ X(f, е ) ;

• (3)    T является решеточным гомоморфизмом.

< (1) ^ (2). Пусть p : C (Q) ^ E из леммы 4.1 и T — крайняя точка S e , т. е. T G Ch(p) (см. определение 3.3). Покажем, что существует семейство U С L(C(Q),E) такое, что справедливо равенство p = P u , где P u : C (Q) ^ E — сублинейный оператор, определяемый по формуле (2). Для произвольного q G Q положим по определению

q(f) := f (q)e для всех f G C(Q) и обозначим символом U := {q : q G Q}. Тогда U С L(C(Q),E) + и U — слабо порядково ограничено. В силу леммы 4.1 и формулы (2) выполняются равенства

p ^{( f} ) = sup { ^{f (}q)^: q ^{G Q} } ^e = sup { ^{f (}q^{) e :} q ^{G Q} } = sup { ^{q ( f} )^{: q G} U } = P u ^{( f} )

для всех f G C (Q). Таким образом, p = P u и по лемме 3.2 справедливо соотношение

Ch(PU) С {S o(U) : S G Ch(Eu)}, где Ей : l^(U, E) H E — канонический сублинейный оператор Кутателадзе (см. определение 3.4), (U) : C(Q) н lfU, E) — линейный оператор, определяемый по формуле (1)

( Uf (q) = q(f ) = f ^е                            (3)

для всех f G C(Q) и q G U . Следовательно, существует оператор S G Ch(E U ) такой, что справедливо представление

T = S o( U ) .                                 (4)

В силу леммы 3.3 существует сеть из чистых состояний ( S a ) acA С L(l ^ (U,E),E) + такая, что для любых g G lfU,E) и Е >  0 найдутся e g G E + и X(g,E) G Л такие, что выполняется неравенство

|Sg - S\g\ С Eeg для всех X ^ Х(д, е). Так как образ каждого оператора из Se содержится в главном идеале Ie в E, порожденном элементом е, то, полагая E := Ie, можно ограничится одним регулятором сходимости е для всех g G l^(U, E). Таким образом, для любых g G l^(U, E) и е > 0 существует элемент X(g, е) G Л такой, что выполняется неравенство

\Sg - S\g\ С Ее для всех X ^ X(g,E~). Полагая в последнем неравенстве g := (U)f для произвольного f G C(Q) и T\ := S\ о (U) для всех X G Л, с учетом формулы (4) получим

\ Tf - Tf\C Ее для всех X ^ X(f, е). Осталось показать, что каждый оператор T\ : C(Q) н E (X G Л) имеет вид f н £^c5 f (q^)п^е, где (q^)^с= — подмножество в Q, (п^)^с= — разбиение единицы в P(E).

Возьмем произвольный X G Л. По определению чистого состояния оператор S \ : l ^ (U,E) н E имеет вид g н £^ ₅ п ^ g(q ^ ), где (п ^ ) ^_с= — разбиение единицы в P(E), (q ^ ) ^_Cs — подмножество в U . Полагая g := ( U f , с учетом формулы (3) справедливы равенства

• (2)    ^ (3). Пусть верно утверждение (2). Всякий оператор из C (Q) в E вида f н £^ _с5 f (q ^ )п ^ е, где (п ^ ) ^_с= — разбиение единицы в P(E), (q ^ ) ^_с= С Q, является решеточным гомоморфизмом. Следовательно, T является решеточным гомоморфизмом как поточечный равномерный предел сети решеточных гомоморфизмов.

• (3)    ^ (1). Пусть T — решеточный гомоморфизм и верно равенство T = aT i + (1 - a)T 2 для некоторых T i ,T 2 G S e и 0 < a <  1. Тогда T ^ aT i и по теореме Кутателадзе [7, теорема 3.3.3] существует ортоморфизм 0 С р С Ie такой, что aT i = pT или T i = p/aT . Следовательно, е = T i ( 1 q ) = p/a(e). Обозначим через п порядковый проектор на полосу { е } ¹¹ в E, порожденную элементом е. Тогда в виду равенств п(е) = е = p/a(e') получим п = пр/a. Следовательно, так как образ каждого оператора из S e содержится в { е } ¹¹ , то справедливы равенства T i = пT 1 = пр/aT = пT = T . Таким образом, T = T i . Тогда T ₂ = (T - aT )/(1 - a) = T , т. е. T = T = T ₂ . о

Пусть Bor(Q) — ст-алгебра, порожденная всеми открытыми множествами в Q. Напомним, что всякая мера ^ : Bor(Q) ^ E называется борелевской. Борелевская мера ^ : Bor(Q) ^ E называется квазирегулярной, если выполняется равенство

^(G) = sup {^(K) : K G Bor(Q), K замкнуто в Q, K C G} для всех открытых множеств G G Bor(Q).

Теорема 4.2. Пусть Q — компакт, E — порядково полная векторная решетка, 0 < e G E и S e := TT G L(C(Q),E) + : T ( 1q ) = e} . Для произвольного оператора T G S e равносильны утверждения:

• (1)    T является крайней точкой множества S e ;

• (2)    Существует сеть (T x )\<^ операторов из C(Q) в Е ₊ вида f ^ £^_е5 f (q ^ )п ^ e, где (q ^ ) ge= — подмножество в Q, (n ^ ) g_e= — разбиение единицы в P (E) такая, что для любых f G C(Q) и Е >  0 найдется элемент X(f,E~) G Л такой, что справедливо неравенство

  \Tf - T x f | <  Ее для всех X >  X(f,e);

  
  

• (3)    T является решеточным гомоморфизмом;

• (4)    Ядро ker(nT) оператора T является порядковым идеалом в C(Q) для любого порядкового проектора п G P (E);

• (5)    Существуют экстремальный компакт Y, непрерывное отображение £ : Y ^ Q и решеточный изоморфизм h : I e ^ C(Y ) из главного идеа.ла I e C E, порожденного элементом е, на C(Y ) такие, что справедливо представление

((h ◦ T)f )(y)= f (£(y))

для всех f G C(Q) и у G Y;

• (6)    Существует единственная квазирегулярная борелевская мера ^ : Bor( Q) ^ C (e) со значениями в полной булевой а.лгебре C (e) осколков элемента е такая, что справедливо представление

Tf = f fd^

Q для всех f G C(Q). При этом мера ^ является ст-непрерывным булевым гомоморфизмом;

• (7)    Существует единственная квазирегулярная борелевская мера ^ : Bor( Q) ^ P (E) такая, что справедливо представление

Tf = f fd^y для всех f G C(Q). При этом мера ^ является ст-непрерывным булевым гомоморфизмом из Bor(Q) в главный идеал {п G P(E) : п ^ ^(Q)} в булевой алгебре P(E).

• <1    Равносильность утверждений (1), (2) и (3) показана в теореме 4.1, а равносильность (3) и (4) следует из [12, теорема 3.4.2]. Равносильность утверждений (3), (5) и (6) установлена в [6, теорема 3.4]. Осталось показать, что (6) и (7) равносильны.

• (6)    ^ (7). Пусть верно утверждение (6), т. е. имеем представление

  

  Tf = f fd^

  Q

  
  

для всех f G C (Q), где p : Bor(Q) ^ C(e) — единственная квазирегулярная борелевская мера со значениями в полной булевой алгебре C(e) осколков элемента е, и мера p является σ-непрерывным булевым гомоморфизмом. Очевидно, что все операторы из S _e действуют в полосу B _e в E, порожденную элементом e. Как известно (см. [7, теорема 1.3.7(1)]), отображение i : C(e) ^ P(B _e ), которое каждому осколку z G C(e) ставит в соответствие порядковый проектор n z G P (B e ) на полосу в B e , порожденную элементом z, является булевым изоморфизмом полных булевых алгебр C(e) и P (B e ). При этом обратный оператор i ^-1 : P ( Be ) ^ C (e) действует по правилу | ^-1 (п) = пе для всех п G P (B _e ). Положим по определению

^(A) := i(p(A)

для всех A G Bor(Q). Тогда p : Bor(Q) ^ P(B _e ) — квазирегулярная борелевская мера. Из равенств P (B _e ) = { п G P (E) : п ^ п _е } и п _е = p(Q) следует, что P (B _e ) = { п G P (E) : п ^ ^(Q)}. Возьмем произвольную ступенчатую функцию g = ^2П ₌1 a i X A i , где A i G Bor(Q), a i G R для всех i = 1,..., n. Тогда справедливы равенства

nn g dp) e = ^ ^ aip(Ai)) e = ^ aip(Ai)e nn  n

= ^ар(р(А))е = ^a i i 1 i(p(A)) = ^ a i p(A) = / gdp. i=1                 i=1                   i=1            Z

Следовательно, по теореме 2.2 о мажорированной сходимости выполняется равенство

J f dpj e = J f dp

QQ для любой измеримой ограниченной функции f : Q ^ R, в частности для всех f G C(Q).

Таким образом, T f = Q f f dp = Q Q f f dpje для всех f G C (Q).

Пользуясь равенством p = i ^{- 1} p, можно показать, что (7) ^ (6). >