Экстремальные продолжения меры

• 1.    Пусть Ω – непустое множество, на котором выделена некоторая алгебра подмножеств A . Всюду далее B ⊂ A – подалгебра алгебры A и µ – мера (то есть конечная конечно-аддитивная неотрицательная функция множеств), определенная на алгебре B . Обозначим через S _µ ( A , B ) множество всех продолжений меры µ на алгебру A и пусть ex S _µ – множество его экстремальных точек, называемых экстремальными продолжениями меры µ .

• 2.    Пусть µ – мера, определенная на алгебре B . Всюду в дальнейшем предполагается, что мера µ является вероятностной, т.е. µ ( Ω ) = 1. Мера µ называется двузначной, если µ ( B ) = { 0,1 } . Символами µ _∗ и µ ^∗ обозначаются, соответственно, внутренняя и внешняя меры, определенные для всякого A ∈ 2 ^Ω как

Известно, что S _µ ( A , B ) ≠ ∅ и если алгебра A порождена алгеброй B и некоторым непустым подмножеством A ⊂ Ω, A ∉ B , тогда и ex S _µ ≠ ∅ ([1], раздел 3). Соотношение ex S _µ ≠ ∅ имеет место и во многих других случаях [1, 2].

Свойства меры λ ∈ ex S _µ ( A , B ) изучались в предположении, что алгебра A порождена алгеброй B и некоторым семейством D ⊂ 2 ^Ω [1, 3, 4]. В настоящей работе получены некоторые представления экстремальных продолжений в предположении счетной аддитивности меры µ в ситуации, когда алгебра A порождена алгеброй B и некоторой алгеброй подмножеств C , такой что B ∩ C = { ∅ , ω } .

µ _∗ ( A ) = inf { µ ( B ), B ⊂ A , B ∈ B } , µ ^∗ ( A )=sup { µ ( B ), A ⊂ B , B ∈ B } .

Для A , B ∈ A символом A Δ B будет обозначаться симметрическая разность элементов A , B ∈ A , т.е. A Δ B = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ), где A – дополнение элемента A в алгебре A . Для алгебры A , порожденной алгебрами B и C будет использоваться обозначение A = a ( B ∪ C ).

Пусть B ⊂ A – подалгебра алгебры A . Тогда алгебра B ^∗ , порожденная алгеброй B и элементом A ∈ A , A ∉ B состоит из всех элементов A ^∗ ∈ A , представимых в виде

A ^∗= ( B ₁ ∩ A ) ∪ ( B ₂ ∩ A ), B ₁, B ₂ ∈ B , что вытекает из того, что объединение и дополнение элементов такого вида являются элементами того же вида. Отсюда следует, что если алгебра B является σ -алгеброй, то и алгебра B ^∗ также будет σ -алгеброй.

Пусть µ – мера, определенная на алгебре B и λ – некоторое ее продолжение на алгебру B ^∗ . Если B является σ - алгеброй, а мера µ σ -аддитивна, тогда и мера λ также σ -аддитивна ([5], лемма 4).

Пусть q _ц - канонический гомоморфизм алгебры B на алгебру В/ ц классов ц -эквивалентности. Обозначим через /2 фактор-меру, определенную на алгебре В/ ц равенствами

/2( q / ( B )) = ц ( B ), B е В .

Если h : A ^ В/ ц - гомоморфизм, продолжающий гомоморфизм q _ц , тогда равенства

Л ( A ) = /2( h ( A )), A е A определяют некоторое продолжение меры ц на алгебру A . Обозначим через Н _ц ( A , B ) множество всех таких продолжений. Из ([3], теорема 1) вытекает, что H _ц ( A , B ) с ex S _ц , но эти множества не совпадают, как показывает следующий пример.

Пример 1. Пусть Q - счетное множество, на котором выделена некоторая алгебра, но не ст - алгебра подмножеств В, содержащая все одноточечные подмножества Q , например, алгебра, порожденная всеми конечными подмножествами Q . Положим ц ({ ® „ }) = 2 - ⁿ , n = 1 , 2 ,... для to n gQ . Таким образом, определена мера на В . Пусть, далее, C с Q, C £ В. Определим A как алгебру, порожденную В и N , и положим

Л ( A ) = ц * ( A n C ) + ц * ( A n C ‘ ) для всякого A е A .

Тогда Л - строго положительная мера на A и экстремальное продолжение меры ц (см. [3], пример 1). Ясно, что не существует такого гомоморфизма h : A ^ В, что Л ( A ) = ц ( h ( A )), A е A . Более того, в этом примере вообще не существует ни одного гомоморфизма h : A ^ В, оставляющего неподвижными элементы из алгебры В . Действительно, если предположить существование такого гомоморфизма h : A ^ В, что h ( B ) = B для всякого B е В и положить v ( A ) = ц ( h ( A )) для A е A, то v е S _ц ( A , В ) и для A е h '( 0 ) получим 0 = v ( A ) >  ц * ( A ) > 0, т.е. h ^{- 1} ( 0 ) = 0 . Однако алгебры A и В не изоморфны, то есть Н _ц ( A , B ) = 0 .

Тем не менее, если алгебра В является ст -алгеброй, а мера ц ст -аддитивна, тогда будет выполняться равенство Нц (A,B) = exSц .

Теорема 1. Пусть В является ст - алгеброй, мера ц ст - аддитивна и Л е S _ц ( A , B ) . Тогда следующие условия эквивалентны:

• (1)    Л е ex S ц ( A , В ) ;

• (2)    для всякого A е A существует такое B е В , что Л ( A N B ) = 0 ;

• (3)    существует такой гомоморфизм h : A ^ В/ ц, что B е h ( B ) для всякого B е В и Л ( A ) = /2 ( h ( A )) для всякого A е A .

Доказательство . (1) fi (2). Действительно, для всякого A е A существуют такие B_n е В, n е • , что Л ( ANB_n ) ^ 0 при n ^ да . Тогда Л ( B k NB_n ) ^ 0 при k , n ^ да. Так как ц - ст -аддитивна, а В является ст -алгеброй, то существует такое B е В , что Л ( BNB_n ) ^ 0 при n ^ да . Отсюда Л ( A N B ) = 0, что доказывает требуемую импликацию.

• (2)    fi (3). Для каждого A е A положим h ( A ) = q _ц ( B ), где множество B е В удовлетворяет условию Л ( A N B ) = 0. Для проверки корректности этого определения необходимо показать, что элемент, стоящий в правой части, не зависит от выбора множества B е В . Другими словами, необходимо показать, что если множества B 1 , B ₂ е В удовлетворяют условиям Л ( ANB i ) = 0, i = 1,2, то ц ( B 1 NB ₂) = 0. Действительно, пусть Л ( ANB i ) = 0, i = 1,2 . Справедливы соотношения

( B 1 n A ) и ( B 1 n A ) 2 ( B ₂ n B 1 n A ) и ( B ₂ n B 1 n A ),

( B ₂ n A ) и ( B ₂ n A ) 2 ( B ₂ n B 1 n A ) и ( B ₂ n B 1 n A ).

Объединяя эти соотношения, получаем ( ANB 1 ) и ( ANB ₂) 2 ( B 1 NB ₂). Отсюда

ц ( B 1 NB ₂) = Л ( B 1 NB ₂) <  Л ( ANB 1 ) + Л ( ANB ₂) = 0.

Таким образом, равенство h ( A ) = q _ц ( B ) однозначно определяет отображение алгебры A в алгебру Blц , причем h ( B ) = q _ц ( B ) для B е B . Осталось показать, что это отображение является гомоморфизмом.

Пусть A е A и B е B таковы, что Л ( A A B ) = 0. Тогда A AB = A AB и, следовательно, h ( A ) = h ( A ). Пусть, далее, A₁, A ₂ е A и B₁, B ₂ е B таковы, что Л(A₁AB 1 ) = 0 и Л ( A ₂A B ₂) = 0 . Тогда

( A₁ и A ₂) A ( B₁ и B ₂) = ( ( A₁ и A ₂) n ( B₁ n B ₂) ) и ( ( B₁ и B ₂) n ( A n A ₂) ) .

Поскольку

( A₁ и A ₂) n ( B₁ n B ₂) c ( A₁ n B-^ и ( A ₂ n B ₂),

( B₁ и B ₂) n ( A n A ₂) c ( B₁ n A₁) и ( B ₂ n A ₂), то ( A₁ и A ₂)A( B₁ и B ₂) c ( A₁AB 1 ) и ( A ₂ A B ₂) и, значит,

Л ( ( A ! и A ₂) A ( B₁ и B ₂) ) < Л ( A₁ A B 1 ) + Л ( A ₂ A B ₂) = 0.

Отсюда следует, что h ( A₁ и A ₂) = h ( A ₁) и h ( A ₂).

• (3)    fi (1). Эта импликация непосредственно следует из ([3], теорема 1) поскольку для всякого A е A множество B е q _/ —¹ ( h ( A )) удовлетворяет соотношению Л ( A A B ) = 0. Теорема доказана.

Следующий результат характеризует экстремальные продолжения Л * е ex S _ц ( A , B ) максимальностью идеала Л * (0) множеств меры нуль. (В несколько иной ситуации эта характеризация была получена в [4].) Более точно, введем отношение предпорядка на множестве S _ц ( A , B ), полагая Л ? Л если Л - (0) c Л - (0) . Символом S ^ будем обозначать множество минимальных элементов относительно введенного порядка.

Следствие 1. Пусть B является ст - алгеброй, мера ц ст - аддитивна и Л е S _ц ( A , B ) . Тогда

• (i)     найдется такая мера Л * е H _ц ( A , B ) c ex S _ц ( A , B ) , что Л* (0) з Л ^{- 1}(0) ;

• (ii)     если Л * е ex S _ц ( A , B ) и Л * (0) c Л ^{- 1}(0) тогда Л* = Л ;

• (iii)    8 Ц = ex S _ц , причем равенство понимается в том смысле, что либо оба множества

пусты, либо, если хотя бы одно из них не пусто, тогда не пусто и другое и эти множества совпадают.

Доказательство. ( i ). Для всякого B е B/ ц положим i ( Bi ) = q _Л ( B ) для некоторого B е 15 . Поскольку Л ^{- 1} (0) з ц '(0) , то i ( Bi ) не зависит от выбора B е B , и значит, таким образом, корректно определено отображение алгебры B/ ц в алгебру А/ Л . Ясно, что ядро этого отображения пусто. Кроме того, если B_x е 6 и B ₂ е B для некоторого 6 е B/ ц , то B ₁ n B ₂ е ц '(0) и Q \( B ₁ и B ₂) е ц ^{- 1}(0).     Значит, i ( ii ) = i ( ii ) . Аналогично проверяется равенство

г ( B ₁ и B ₂ ) = i ( B ₁ ) и i ( B ₂ ) для B ₁, B ₂ е B/ ц . Следовательно, i - изоморфизм. В условиях следствия алгебра Blц является полной булевой алгеброй. Согласно ([6], теорема 33.1) изоморфизм i ¹ может быть продолжен до гомоморфизма h : А/ Л ^ B/ ц . Поэтому в силу предыдущей теоремы мера Л* , определенная равенствами

Л (A) = /1 (h(qл (A))), A е A, является экстремальным продолжением меры ц . Ясно, что Л* (0) з Л-1(0).

• ( ii ) . Пусть теперь Л * е ex S _ц ( A , B ) и Л * (0) c Л ^{- 1}(0). Согласно теореме 1, для всякого A е А найдется такое B е B , что Л * ( A A B ) = 0. Отсюда следует, что Л * ( A n B ) = Л * ( A n B ) = 0 . Тогда, в

силу предположения, имеем Л ( A A B ) = 0 и потому Л ( A n B ) = Л ( A n B ) = 0. Значит, справедливы равенства

Л * ( B ) = Л * ( A n B ) + Л * ( A n B ) = Л * ( A n B ),

Л(B) = Л(A n B) + Л(A n B) = Л(A n B).

Поскольку Л * ( B ) = Л ( B ) для всякого B e B, то Л * ( A n B ) = Л ( A n B ). Отсюда для всякого A e A получаем

Л *( A ) = Л *( A n B ) + Л *( A n B ) = Л * ( A n B ) = Л ( A n B ) = Л ( A n B ) + Л ( A n B ) = Л ( A ), что завершает доказательство.

• ( iii ) . Пусть Л e S ^ . В силу утверждения ( i ) существует такая мера Л * e ex S _ц ( A , B ) такая что Л * (0) з Л ^{- 1}(0) . Из минимальности меры Л следует тогда, что Л * (0) = Л '(0) . Согласно ( ii ) это означает, что Л* = Л . С другой стороны, если Л * e ex S _ц ( A , B ) и для некоторой меры Л e S _ц ( A , B ) выполняется соотношение Л * (0) с Л ^{- 1}(0), то согласно ( ii ) Л* = Л , т.е. Л* e S ^ .

Замечания. (1) Утверждение ( i ) остается в силе и без дополнительного предположения о ст -аддитивности меры ц если мера ц конечнозначна (в частности, двузначна), т.е. когда множество { ц ( B ); B e B } - конечно, поскольку тогда алгебра В/ ц является полной булевой алгеброй и в случае конечной аддитивности меры ц .

• (2)    Для двузначной меры ц импликация (1) fi (2) теоремы 1 остается справедливой и без предположения о ст -аддитивности меры ц . Действительно, пусть v e ex S _ц ( A , В ). В силу предыдущего замечания, из следствия 1( i ) вытекает существование такой меры Л* e H _ц ( A , B ) , что Л * (0) з v ^{- 1}(0) . Согласно утверждению ( ii ) следствия 1 имеем Л* = v . Это означает, что существует такой гомоморфизм h : A ^ B/ ц , что v ( A ) = / 2 ( h ( A )) для всякого A e A . Ясно, что для всякого A e A множество B e q~^( h ( A )) удовлетворяет соотношению v ( A A B ) = 0. Аналогичным образом можно показать, что импликация (1) fi (2) теоремы 1 верна для всякой меры ц такой, что алгебра B/ ц является полной булевой алгеброй.

• 3.    Пусть Л * e ex S _ц ( A , B ) и C - алгебра, порожденная идеалом Л * (0). Тогда мера Л ₀ = Л* |C , представляющая собой сужение меры Л* на алгебру C , является двузначной мерой. Согласно теореме 1 для всякого A e A найдется такое B e B , что C = A A B e Л* (0), т.е. всякое A e A может быть представлено в виде A = B A C , B e B, C e C . Отсюда следует, что A = a ( B и C ) . Меры ц и Л ₀ согласованы в том смысле, что Л ₀| _{B n C} = ц | _{B n C} , а мера Л* является совместным продолжением мер ц и Л ₀. Возможно ли охарактеризовать экстремальные продолжения меры ц как совместные продолжения меры ц и некоторой двузначной меры Л ₀ , определенной на подалгебре C с A, такой что A = a ( B и C ) ? В этом разделе будет дан ответ на этот вопрос в том случае, когда B n C = { 0 , 0 } . Согласованность мер в такой ситуации означает что ц (О) = Л ₀ (О).

Начнем с рассмотрения следующего частного случая. Пусть ( О , A ) и ( 0 , B ) - два непустых множества с выделенными алгебрами подмножеств; п _О и п @ - канонические проекции декартова произведения 0x0 на О и 0, соответственно; A 0 B - булево произведение алгебр A и B, определяемое как минимальная алгебра на множестве 0x0, содержащая п О ¹ ( A ) и п f—¹ ( B ).

Пусть, далее, ц - мера на алгебре A и v - мера на алгебре B . Существует и притом единственная мера ц 0 v , определенная на алгебре A 0 B и удовлетворяющая для всех A e A , B e B соотношению

( ц 0 v )( п О 1 ( A ) n п 0 1 ( B )) = ц ( A ) - v ( B ).

Отождествляя алгебры A и B с их изоморфными образами в алгебре A 0 B, получаем, что какова бы ни была мера v на алгебре B, мера ц 0 v является продолжением меры ц , но не все продолжения меры ц на алгебру A 0 B исчерпываются мерами такого вида, как показывает следующий простой пример.

Пример 2. Пусть Q = 0 = { a , b}, A = B и являются алгебрами всех подмножеств, и ц({a }) = ц({b }) = 1/2. Определим меру X на алгебре A0B, положив X ({ a , a }) = X ({ b , b }) = 2 a ,

X ({ a , b }) = X ({b , a }) = 2(1 - a ), a e (0,1). Тогда X продолжает ц , но не существует такой меры v на алгебре B, чтобы X = ц 0 v .

Пусть v - двузначная (т. е. принимающая значения 0 и 1) мера на B, X = ц 0 v и

I = v-1(0). Для всякого A e A положим h (n ^( A) n n 01( B)) =

0,    B e I;

‘, q ц ( A ),   B e I .

Это отображение может быть продолжено до гомоморфизма h : A 0 B ^ A/ ц (см., например, [6], теорема 12.2). Тогда для всякого C e A 0 B справедливо соотношение X ( C ) = ц ( h ( C )). Согласно теореме 1 это означает, что X e ex S _ц ( A 0 B , A ).

Естественно возникает вопрос о возможности представления всякого экстремального продолжения меры ц в виде ц 0 v для некоторой двузначной меры v на алгебре B .

Предложение 1. Пусть A является ст - алгеброй, мера ц ст - аддитивна и X e ex S _ц ( A 0 B , A ) . Тогда найдется такая двузначная мера v на алгебре B , что X = ц 0 v .

Доказательство. Будем отождествлять алгебры A и B с их изоморфными образами в A 0 B. Поскольку мера X является экстремальным продолжением, то в силу теоремы 1 существует такой гомоморфизм h : A 0 B ^ A/ ц , что X ( C ) = ц ( h ( C )) для каждого C e A 0 B. Значит X ^{- 1}(0) = h ^{- 1}( 0 ) и h ^{- 1}( 0 ) n A = ц ^{- 1}(0). Положим I ₀ = X ^{- 1}(0) n B и пусть I - некоторый максимальный идеал алгебры B, такой что I₀ с I. Определим двузначную меру v на алгебре B , соответствующую этому идеалу и положим X* = ц 0 v .

При таком определении меры X* справедливо отношение X-1(0) с X* (0). Действительно, поскольку A n B *0 для произвольных A e A и B e B , то h(A n B) = h(A) n h(B) = 0 только если либо h(A) = 0, либо h(B) = 0. Поэтому X(A n B) = 0 для некоторых A e A и B e B , только тогда, когда либо X(A) = 0, либо X(B) = 0. Если X(A) = 0, тогда и ц(A) = 0. Поэтому X*(AnB) = ц(A)v(B) = 0. Если X(B) = 0, то в силу определения меры v , имеем v(B) = 0. По этому и в этом случае получаем X* (A n B) = ц(A)v (B) = 0 .

Покажем, что справедливо и обратное включение. Пусть C e A 0 B и X * ( C ) = 0. Согласно предыдущей теореме найдется такое A e A, что X ( A A C ) = 0, а, значит, в силу предыдущего рассуждения, и X * ( A A C ) = 0. Тогда из равенства 0 = X * ( A A C ) = X * ( A n C ) + X * ( A n C ) и соотношения X * ( A n C ) <  X *( C ) = 0 следует, что X * ( A n C ) = 0. Теперь из равенства X * ( A ) = X * ( A n C ) + X* ( A n C ) и соотношения X* ( A n C ) <  X* ( C ) = 0 следует, что X* ( A ) = 0 .

Поскольку X * ( A ) = X ( A ) = ц ( A ), то X ( A n C ) <  X ( A ) = 0. Из равенства 0 = X ( A A C ) = X ( A n C ) + X ( A n C ) получаем соотношение X ( A n C ) = 0. Поэтому X ( C ) = X ( A n C ) + X ( A n C ) = 0. То есть I₀ = I.

Это означает, что сужение меры X на алгебру B совпадает с мерой v и потому меры X и X * совпадают на подалгебрах A и B . Осталось показать, что X = X* .

Пусть A е A и B g B . Если v ( B ) = 0, тогда X ( A n B ) <  X ( B ) = v ( B ) = 0. Значит, в этом случае X ( A n B ) = ц ( A ) - v ( B ). Если v ( B ) = 1, тогда X (A n B ) <  X (B ) = v ( B ) = 0 и потому

ц (A ) = X (A ) = X (A n B ) + X (A n B ) = X (A n B ).

Таким образом, и в этом случае получаем, что X ( A n B ) = ц ( A ) - v ( B ). Следовательно, X = X* . Предложение доказано.

Пусть теперь алгебра A порождена алгеброй B и некоторой алгеброй подмножеств C, такой что B n C = { 0 , Q } , B ® C - минимальная алгебра на QxQ , содержащая п ₁ ^{- 1}( B ) и п 2 - ¹( C ), где п 1 и п ₂ - канонические проекции декартова произведения QxQ на первый и второй сомножители, соответственно. Положим у ( п ₁ ^{- 1}( B ) n п ₂ 1 ( C )) = B n C для всяких B g B и C g C . Множества вида п^ B ) n п _:-¹ ( C ) порождают алгебру B ® C и поскольку из соотношения п ₁ ^{- 1}( B ) n п ₂ 1 ( C ) = 0 вытекает что либо п ₁ ^{- 1}( B ) = 0 , либо п - ¹( C ) = 0 , то это означает, что B n C = 0 . Согласно ([6], теорема 12.4), отображение у может быть продолжено до гомоморфизма алгебры B ® C на алгебру A = a (B и C).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Предложение 2. Пусть алгебра A порождена объединением алгебр B и C . Тогда существует такой гомоморфизм у : B ® C ^ A , что Y ( п ₁ ^{- 1}( B )) = B для всякого B g B и Y ( п - ¹( C )) = C для всякого C ∈ C .

Теорема 2. Пусть B является ст - алгеброй, A = a (B и C) и мера ц ст - аддитивна. Тогда X е ex S _ц ( A , B ) в том и только в том случае, кода существует такая двузначная мера v на алгебре C , что λ является совместным продолжением мер µ и ν .

Доказательство . Обозначим через X меру на алгебре B ® C , определенную равенствами X ( A ) = X ( y ( A )). Поскольку X е ex S _ц ( A , B ), тогда в силу теоремы 1 существует такой гомоморфизм h : A ^ B/ ц , что B е h ( B ) для всякого B g B и X ( A ) = /2 ( h ( A )) для всякого A g A . Тогда X ( A ) = X ( y ( A )) = /2( h ( y ( A ))). Поэтому в силу теоремы 1 справедливо соотношение X е ex S _ц ( B ® C , B ). Согласно предложению 1 существует такая двузначная мера v на алгебре C , что ( ц ® v )( A ) = X ( A ) для всякого A g B ® C .

Для всякого C g C имеем

X ( C ) = X ( y ( п ^C C )) = X ^21 ( C )) = ( ц ® v )( п 21 ( C )) = v ( C ).

Это означает, что мера X является совместным продолжением мер ц и v .

С другой стороны, пусть X является совместным продолжением меры ц и некоторой двузначной меры v , определенной на алгебре C . Согласно утверждению ( i ) следствия 1 найдется такая мера X * е ex S _ц ( A , B ), что X * (0) з X ^{- 1}(0). Обозначим через I идеал в алгебре A всех таких A g A, что найдется такое C g v ^{- 1}(0) и A с C . Заметим, что X* ( A ) = X ( A ) = 0 для всякого A g I . Рассмотрим множество A₀ всех элементов вида B A C , B g B, C g I . Поскольку B A C = B A C , это множество замкнуто относительно операции дополнения. Кроме того для B 1 , B ₂ g B и C 1 , C ₂ g I имеем

( B 1 A C 1 ) n ( B ₂ A C ₂) = ( B 1 n B ₂) A ( C 1 n B ₂) A ( B 1 n C ₂) A ( C 1 n C ₂) =

= ( B , n B ₂ ) A C ’A C 2 A ( C , n C ₂), C / = ( C , n B ₂), C 2 = ( B , n C ₂).

Так как C ; = ( C 1 n B ₂) с C 1 и C 2 = ( B 1 n C ₂) с C ₂, то C ;A C 2 с C 1 и C ₂ g I. Поэтому C ;a C 2 A( C 1 n C ₂) с ( C 1 и C ₂) A( C 1 n C ₂) с ( C 1 и C ₂) g I.

Следовательно, множество A0 замкнуто относительно операции объединения и потому является алгеброй, которая содержит алгебру B и, в силу максимальности в C идеала v-1(0) , алгеб- ру C , т.е. A0 = A. Другими словами, всякий элемент A ∈ A может быть представлен в виде A=BΔC, B∈B, C∈I.

Пусть A ∈ λ ^{∗- 1} (0) и A = B Δ C , B ∈ B, C ∈ I. Поскольку λ ^∗ ( C ) = 0 в силу определения идеала I , то отсюда следует, что

• λ ^∗ ( B ) = λ ^∗ ( B \ C ) + λ ^∗ ( B ∩ C ) ≤ λ ^∗ ( B Δ C ) + λ ^∗ ( C ) = 0.

Тогда

λ ( A ) = λ ( B Δ C ) ≤ λ ( B ∪ C ) ≤ λ ( B ) + λ ( C ) = λ ^∗ ( B ) + λ ( C ) = 0.

Таким образом, λ ^∗- (0) = λ ^{- 1} (0) . Согласно утверждению ( ii ) следствия 1 получаем отсюда что λ = λ ^∗ ∈ ex S _µ ( A , B ). Теорема доказана.