Экстремальные значения интеграла средней кривизны на множестве параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром

Интересной задачей выпуклой геометрии в трехмерном евклидовом пространстве является поиск экстремальных значений естественных функционалов на множестве выпуклых тел, рассматриваемых на подмножестве тел с заданным геодезическим диаметром поверхности тела. Однако вычисление геодезического диаметра выпуклой поверхности является весьма непростой задачей, далекой в настоящее время от своего полного решения. Поэтому целесообразно провести соответствующее исследование для тех семейств выпуклых тел, для которых соответствующая информация доступна. К таким семействам относится семейство трехмерных прямоугольных параллелепипедов, для которых геодезический диаметр поверхностей вычислен в работе [5].

Весьма естественными функционалами на множестве выпуклых тел в k-мерном евклидовом пространстве являются интегралы поперечных мер Минковского W i , где i = 0,1,..., k (см., например, [4, п. 6.1.6]). Пусть A — выпуклое тело, т. е. замкнутое и выпуклое точечное множество, в трехмерном евклидовом пространстве R ³ . Ему можно сопоставить следующие интегралы поперечных мер Минковского: W o (A) = V(A) — объем, W 1 (A) = F (A)/3, W 2 (A) = M (A)/3, W a (A) = const = 4п/3, где F (A) — площадь поверхности, а M (A ) — интеграл средней кривизны. Все эти величины естественно появляются в формуле Штейнера для объема ε-отступления (внешнего параллельного тела) A _ε [4, п. 6.1.8]:

4п

V (A _e ) = V (A) + F (A)e + M (A)e 2 + 3 ; ³ = W o (A) + 3W i (A)e + 3W 2 (A)e 2 + W 3 (A)e ³ .

Напомним значения интегралов поперечных мер Минковского для прямоугольного параллелепипеда P = ABCDA'B'C'D' в E ³ с ребрами длины | AB | = a, | AD | = b, | AA ’ | = c, где 0 6 a 6 b 6 c. Общеизвестные формулы для объема W o (P) = V (P) = abc и площади

поверхности F(P ) = 2(ab + ac + bc) = W i (P)/3 дополняются формулой W 3 (P) = 4п/3 и M(P ) = n(a + b + c) = W 2 (P )/3 [3].

Для параллелепипеда P будем обозначать через d (P ) поверхность этого параллелепипеда (его границу в естественной топологии трехмерного евклидова пространства). Пусть d(M, N ) — геодезическое (внутреннее) расстояние между точками M Е д(P ) и N Е д(P ), т. е. минимум длин ломаных, лежащих в d(P ) и соединяющих точки M и N . Через D(P ) обозначим геодезический (внутренний, в другой терминологии) диаметр параллелепипеда P (точнее, его поверхности) — максимальное геодезическое (внутреннее) расстояние между парой точек на поверхности параллелепипеда. Отметим, что геодезическое расстояние на поверхности параллелепипеда обладает рядом интересных свойств, о которых можно узнать, например, из работ [1, 2].

Интересной задачей является нахождение экстремальных значений интегралов поперечных мер Минковского (исключая тривиальный случай константы W 3 = 4п/3) для прямоугольного параллелепипеда P = ABCDA'B'С ' D ' с заданным геодезическим диаметром. Для удобства мы будем рассматривать также вырожденные параллелепипеды , что соответствует случаю a = 0.

Максимум площади поверхности был найден в [5] Ю. Г. Никоноровым и Ю. В. Ни-коноровой (минимум в данном случае, очевидно, равен 0 и достигается в точности на (вырожденном) параллелепипеде со свойством b = a = 0), он достигается на параллелепипеде с соотношением длин ребер a : b : c =1:1: V2. В частности, для произвольных параллелепипедов выполняется соотношение ab + ac + bc 6 1+6^ (D(P)) ² .

Произведенные автором численные расчеты для объема позволяют предположить, что максимальное значение объема достига е тся на параллелепипеде с таким же соотношением длин ребер a : b : c = 1:1: V2", как и в случае с площадью поверхности (минимум равен 0 и достигается в точности на вырожденных параллелепипедах).

В настоящей работе мы исследуем экстремальные значения интеграла средней кривизны . Основным результатом настоящей заметки является следующая

Теорема 1. Среди всех прямоугольных параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром наибольшее значение интеграла средней кривизны M (P ) достигается в точности на параллелепипеде с соотношением длин ребер a : b : c = 0 : 1 : 1, а наименьшее значение — на параллелепипеде с соотношением длин ребер a : b : c = 0:0:1. Таким образом, для произвольного прямоугольного параллелепипеда выполнено неравенство nD(P ) 6 M(P ) 6 n V2D(P ), где D(P ) — геодезический диаметр, а M(P ) — интеграл средней кривизны параллелепипеда P .

В дальнейшем нам понадобятся некоторые результаты работы [5], которые мы для удобства читателей процитируем ниже. В частности, в [5] была получена явная формула для расчета внутреннего диаметра поверхности произвольного прямоугольного параллелепипеда.

Предложение 1 [5, теорема 1] . Пусть D(P ) — это геодезический диаметр параллелепипеда P со сторонами длины 0 < a 6 b 6 c. Тогда справедливы следующие утверждения:

• (I)    если (a, b, c) Е ME , то D(P ) = p(a + b) ² + c ² ;

• (II)    если (a, b, c) Е M \ ME и a²b² 6 c ² (b — a)(a + b + 2c), то

D(P ) = b ² + 3c ² + 2b(a + c) — 2cP(b + c) ² — 2a(c — b) — a ² ;

• (III)    если (a, b, c) Е M \ ME и a ² b ² >  c ² (b — a)(a + b + 2c), то D(P ) = l, где l —

единственный действительный корень уравнения pl2 — (a + c)2 + pl2 — (b + c)2 + p2l2 - (a + b + c)2 = c, удовлетворяющий неравенству l > max{b + c, p(a + b)2 + c2 }. Здесь M = {(a, b, c) E R3 : 0 6 a 6 b 6 c},

ME = {(a, b, c) E M : pmax { 0, a ² + 2ab — 2bc}

+pmax { 0, b ² + 2ab — 2ac } >  2c — a — b}.

Отметим, что для вырожденного параллелепипеда P (т. е. прямоугольника, поскольку a = 0) его поверхностью d(P) естественно считать дважды накрытый прямоугольник P , пр и этом его геодезический диаметр, очевидно, вычисляется по формуле D(P) = V b ² + c ² .

Нам понадобится еще один результат из [5].

Предложение 2 [5, лемма 2] . Геодезическое расстояние между точками A и C ⁰ (т. е. геодезическое расстояние между двумя противолежащими вершинами параллелепипеда P ) удовлетворяет равенству d(A, C 0 ) = р(a + b) ² + c ² .

Теперь мы можем доказать основное утверждение настоящей работы.

• <1    Доказательство теоремы 1. Мы рассматриваем фиксированное отличное от нуля значение диаметра D(P ). Поэтому для всех параллелепипедов с таким диаметром обязательно выполнено неравенство c >  0.

Заметим, что для вырожденных параллелепипедов (a = 0) неравенство nD(P) 6 M(P ) 6 пp2D(P ) принимает вид nVb ² + c ² 6 n(b + c) 6 пp2Vb ² + c ² . Справедливость последнего неравенства очевидна. Понятно также, что Vb ² + c ² = b + c в точности при b = 0, b + c = V2Vb ² + c ² — в точности при b = c. Таким образом, нам осталось доказать неравенство nD(P) <  M(P ) < п p2D(P ) для всех невырожденных параллелепипедов ( a >  0).

Сначала займемся доказательством оценки сверху для интеграла средней кривизны M(P ). По предложению 2 геодезическое расстояние между двумя противолежащими вершинами определяется формулой р(a + b) ² + c ² . Следовательно, для произвольного прямоугольного параллелепипеда P с длинами ребер 0 6 a 6 b 6 c выполнено неравенство

D(P) >  p(a + b) ² + c ² . (2)

Далее, из неравенства

(D(P )) ² >  (a + b) ² + c ² — ^(a + b + c) ² + ^(a + b — c) ² >  ^(a + b + c) ²

следует p2D(P) >  a + b + c, что эквивалентно неравенству пp2D(P) >  M(P ).

Определим теперь случаи, когда последнее неравенство обращается в равенство. Из предложений 1 и 2 следует, что это равенство не может быть выполнено при (a, b, c) E ME (см. (1)), поскольку в этом случае D(P ) > р(a + b) ² + c ² . Поэтому мы можем считать, что (a, b, c) E ME и D(P) = p(a + b) ² + c ² .

Понятно, что равенство p2p(a + b) ² + c ² = a + b + c эквивалентно равенству c = a + b. Осталось проверить, какие значения (a, b, c) E ME удовлетворяют условию c = a + b.

Первое подкоренное выражение из (1) при c = a + b примет следующий вид:

a ² + 2ab — 2bc = (a + b) ² — 2bc — b ² = c ² — 2bc — b ² = (c — b) ² — 2b ² = a ² — 2b ² .

Поскольку a ² — 2b ² 6 0, то m i := max { 0, a ² + 2ab — 2bc } = 0. Аналогично второе подкоренное выражение в формуле (1) принимает вид b ² + 2ab — 2ac = b ² — 2a ² . Нас интересует случай, когда b ² — 2a ² > 0, тогда m 2 := max { 0, b ² + 2ab — 2ac } = b ² — 2a ² (в противном случае неравенство в формуле (1) принимает вид 0 = ^'m i + ^ m 2 >  2c — a — b = a + b, откуда a = b = c = 0, что мы не рассматриваем).

Подставив найденные выражения в формулу (1), получаем

Vb ² — 2a ² = V m 1 + V m 2 >  2c — a — b = a + b.

Последнее неравенство выполнено только при a = 0 и b = c, что соответствует уже разобранному случаю вырожденных параллелепипедов. Таким образом, наибольшее значение интеграла средней кривизны M (P ) достигается в точности на прямоугольных параллелепипедах с соотношением длин ребер a : b : c = 0:1:1.

Теперь перейдем к оценке снизу интеграла средней кривизны M(P). Нам требуется доказать неравенство a + b + c>D(P)                            (3)

для всех невырожденных параллелепипедов. Мы исследуем все три различных выражения для геодезического диаметра параллелепипеда в соответствии с предложением 1.

Рассмотрим сначала случай (I) в предложении 1. Неравенство (3) в данном случае выглядит следующим образом:

a + b + c> p(a + b) ² + c ² .                            (4)

Очевидно, что a + b + c > ^ (a + b) ² + c ² , а равенство здесь выполняется лишь при a = b = 0, что соответствует случаю вырожденных параллелепипедов. Таким образом, неравенство (4) выполнено.

В случае (II) предложения 1 (при a2b2 6 c2 (b — a)(a + b + 2c)) следует доказать неравенство a + b + c > bjb2 + 3c2 + 2b(a + c) — 2cp(b + c)2 — 2a(c — b) — a2.

Приведем цепочку эквивалентных неравенств:

4c2 ((b + c)2 — 2a(c — b) — a2) > 4c4 — 8ac3 + 4a3c + a4, b2 + 2(a + c)b — (a2 + — +     ) > 0.

c

Решив относительно b уравнение b2 + 2(a + c)b — (a2 + — + ~~ ) = 0, c получим

b = — 2a — 2c — a- ,   b = a- .

Теперь ясно, что неравенство (5) справедливо при b > ас (для 0 < a 6 b 6 c) и, следовательно, при b >  a( >  a 2 c ).

В случае (III) предложения 1 выполняется неравенство a ² b ² >  c ² (b — a)(a + b + 2c) (которое мы не будем использовать), а число l удовлетворяет уравнению

V l ² — (a + c) ² + V l ² — (b + c) ² + V2l ² — (a + b + c) ²

= c.

Нам следует доказать неравенство a + b + c > l.

Поскольку c = pl2 - (a + c)2 + pl2 - (b + c)2 + p2l2 — (a + b + c)2 > p2l2 — (a + b + c)2, то c2 > 2l2 — (a + b + c)2 и (поскольку обязано выполняться неравенство l > c)

(a + b + c)2 > 2l2 — c2 > 2l2 — l2 = l2, причем равенство a + b+c = l (как нетрудно заметить) влечет равенства c = l и a = b = 0.

Следовательно, мы доказали неравенство (6) для невырожденных параллелепипедов.

Таким образом, наименьшее значение интеграла средней кривизны M(P ) достигается в точности на прямоугольных параллелепипедах с соотношением длин ребер a : b : c = 0:0:1. B