Экстремальные значения объема на трехмерных параллелепипедах с заданным геодезическим диаметром

Пусть P = ABCDA BC'D' — прямоугольный параллелепипед в E 3 с ребрами длины | AB | = a , | AD | = b , | AA ' | = c , где 0 6 a 6 b 6 c . Обозначим через d ( P ) — поверхность параллелепипеда P (его границу в естественной топологии трехмерного евклидова пространства). Пусть d(M,N ) — геодезическое (внутреннее) расстояние между точками M Е д(P ) и N Е д(P ), т. е. минимум длин ломаных, лежащих в d (P ) и соединяющих точки M и N . Через D(P ) обозначим геодезический (внутренний, в другой терминологии) диаметр параллелепипеда P (точнее, его поверхности) — максимальное геодезическое (внутреннее) расстояние между парой точек на поверхности параллелепипеда. О свойствах геодезического расстояния на поверхности параллелепипеда можно узнать, например, из работ [1] и [2].

Сопоставим параллелепипеду P следующие интегралы поперечных мер Минковского W i (i = 0 , 1 , 2 , 3) [5]: W o (P ) = V (P ), W i (P ) = F(P ) / 3, W 2 (P ) = M(P ) / 3, W 3 (P ) = const = 4 п/ 3, где V (P ) = abc — объем, F(P ) = 2(ab + ac + bc) — площадь поверхности, M(P ) = n ( a + b + c ) — интеграл средней кривизны.

Интересной задачей является нахождение экстремальных значений интегралов поперечных мер Минковского (исключая тривиальный случай константы W 3 = 4 п/ 3) для прямоугольного параллелепипеда P = ABCDA'B'C'D' с заданным геодезическим диаметром. Для удобства мы будем рассматривать также вырожденные параллелепипеды, что соответствует случаю a = 0.

Экстремальные значения площади поверхности F(P ) параллелепипеда P были найдены Ю. Г. Никоноровым и Ю. В. Никоноровой в [6], где было доказано, что максимум площади поверхности достигается на параллелепипеде с соотношением длин ребер a : b : c = 1:1: V2- В частности, для произвольных параллелепипедов выполняется соотношение ab + ac + bc 6 1+V2 ( D ( P )) 2 . Минимум в данном случае, очевидно, равен 0 и достигается в точности на (вырожденных) параллелепипедах со свойством a = b = 0.

(с) 2013 Рассказова Н. В.

В [3] были получены экстремальные значения для интеграла средней кривизны M (P ). В частности, наибольшее значение M(P ) достигается в точности на параллелепипедах с соотношением длин ребер a : b : c = 0 : 1 : 1, а наименьшее значение — на параллелепипедах с соотношением длин ребер a : b : c = 0:0: 1. Таким образом, для произвольного прямоугольного параллелепипеда выполнено неравенство nD ( P ) 6 M(P ) 6 п p2D(P ).

В настоящей работе мы исследуем экстремальные значения объема V ( P ) параллелепипеда. Очевидно, что минимум равен 0 и достигается в точности на (вырожденных) параллелепипедах при a = 0. Случай максимума освещает следующая

Теорема 1. Среди всех прямоугольных параллелепипедов с заданным геодезическим диаметром наибольшее значение объема V(P) достигается в точности на параллелепипедах с соотношением длин ребер a : b : c = 1:1: V2. Таким образом, для произвольного прямоугольного параллелепипеда выполнено неравенство abc 6 ^3 D(P)3,                              (1)

где D(P ) — геодезический диаметр параллелепипеда.

Для доказательства данной теоремы приведем некоторые результаты работы [6]. В частности, в [6] Ю. Г. Никоноровым и Ю. В. Никоноровой была получена явная формула для расчета внутреннего диаметра поверхности произвольного прямоугольного параллелепипеда:

Предложение 1 [6, Теорема 1] . Пусть D(P ) — это геодезический диаметр параллелепипеда P со сторонами длины 0 < a 6 b 6 c . Тогда справедливо следующее:

• ( I )    если ( a, b, c ) G ME , то D(P ) = p(a + b ) ² + c ² ;

• ( II )    если ( a, b, c ) G M \ ME и a²b² 6 c ² ( b - a )( a + b + 2 c ) , то

D(P ) = b ² + 3 c ² + 2 b ( a + c ) - 2 c P( b + c ) ² - 2 a ( c - b ) - 0 2 ;

• ( III )    если ( a, b, c ) G M \ ME и a ² b ² >  c ² ( b - a )( a + b + 2 c ) , то D(P ) = l , где l — единственный действительный корень уравнения

pl ² - ( a + c ) ² + pl ² - ( b + c ) ² + p2 l ² - ( a + b + c ) ² = c, удовлетворяющий неравенству l >  max { b + c, p(a + b ) ² + c ² } . Здесь

M = {( a, b, c ) G R ³ : 0 < a 6 b 6 c } ,

ME = |( a, b, c ) G M : pmax { 0 , a ² + 2ab - 2 bc }

+ pmax { 0 , b ² + 2ab - 2 ac } > 2 c - a - b}. (2)

Предложение 2 [6, Лемма 2] . Внутреннее расстояние между точками A и C 0 ( т. е. внутреннее расстояние между двумя противолежащими вершинами параллелепипеда P ) удовлетворяет равенству d(A, C 0 ) = р (a + b ) ² + c ² .

Рассмотрим функции d i (1 6 i 6 5) [6], вычисляемые по следующим формулам:

di(x,y) = P(a + c)2 + (b - 2У)2, d2(x,y) = p(b + c)2 + (a — 2x)2, d3(x,y) = V (c + x + У)2 + (a + b — x — у)2 , d4(x,y) = p(a + b)2 + (c + 2y)2, d5(x,y) = p(a + b)2 + (c + 2x)2, где 0 6 x 6 a/2, 0 6 y 6 b/2 и функцию D(x,y) : [0,a/2] x [0, b/2] ^ R, равную

D ( x, y ) = min { d i ( x, y ) : 1 6 i 6 5} .                            (3)

Предложение 3 [6, Предложение 3] . Внутренний диаметр параллелепипеда P вычисляется по формуле

D(P ) = max

{ D^y)

: 0 6 x 6 a/ 2 , 0 6 y 6

b/ 2 ,

где функция D ( x, y ) определяется из равенства (3) .

C Для произвольного параллелепипеда P с соотношением длин сторон a : b : c = 1 : 1 : V2 получим D ( P ) = Va a, т. е- в этом случае V ( P ) = abc = V^a ³ = 6^ 7 3 D ( P ) ³ .

Поскольку D(x, у) 6 D(P) (см. предложение 3), то для доказательства неравенства (1) достаточно отыскать точку (x,y) G [0, a/2] x [0, b/2] такую, что abc 6 6^73(D^))3                            (4)

Возьмем точку ( x,y ) = (0 , 0). Согласно предложению 2, геодезическое расстояние между двумя противолежащими вершинами параллелепипеда определяется формулой ( a + b ) ² + c ² , что эквивалентно равенству D (0 , 0) =   ( a + b ) ² + c ² .

Используя подобие, мы без ограничения общности полагаем c =1. Тогда 0 6 a 6 b 6 1 и неравенство (4) примет вид ab 6      ((a + b)2 + 1))2, или

108a2b2 6 ((a + b)2 + 1)3.

Используя очевидное неравенство 4 ab 6 ( a + b ) ² (равенство здесь лишь при равных a = b ), достаточно доказать, что

27t2 6 4(t + 1)3, где 0 6 t = (a + b)2 6 4. Последнее неравенство можно представить в виде

(4t + 1)(t - 2)2 > 0, при этом равенство возможно лишь при t = (a + b)2 = 2, а именно при a = b = 1/V2. Тем самым мы показали справедливость неравенства (1) для произвольного прямоугольного параллелепипеда, причем равенство выполняется только при a = b = 1/ V2, т. е. для параллелепипедов с соотношением длин ребер a : b : c =1:1: V2 B