Эквивалентность рекуррентности и лиувиллева свойства для симметричных форм Дирихле

Рассмотрим симметричную форму Дирихле (ℰ,ℱ) на - конечном (нетривиальном) метрическом пространстве (𝐸, ℬ,𝑚) с ассоциированной марковской полугруппой {𝑇𝑡}𝑡∈(0,∞). В работе доказано, что (ℰ,ℱ) несократимая и рекуррентная тогда и только тогда, когда не существует непостоянной ℬ-измеримой и ℰ-эксцессивной функции : → [0,∞], то есть такой, что ≤ 𝑚-a.e. для всех ∈ (0,∞). Так же доказано, что эти условия эквивалентны равенству {𝑢 ∈ ℱ𝑒 | ℰ(𝑢, 𝑢) = 0} = R1, где ℱ𝑒 означает расширенное пространство Дирихле, ассоциированное с (ℰ,ℱ). Доказательство чисто аналитическое и не требует дополнительных ограничений на фазовое пространство и форму. В процессе доказательства так же представлена характеристика ℰ-эксцессивности в терминах ℱ𝑒 и ℰ, которая справедлива для любой симметричной формы, сохраняющей положительность.