Элективный курс "Элементы дискретной математики" как средство внутрипрофильной специализации обучения в старших классах естественно-математического профиля

В рамках реализации целей и задач, поставленных перед современной системой образования, на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение, призванное создавать условия для качественной дифференциации обучения старшеклассников. Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные (примерно соотношение их объ¸мов определяется как 50:30:20). Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне или служить для внутрипро- фильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий [2].

Создание соответствующего учебнометодического обеспечения представляется в этой ситуации серь¸зной проблемой, которая в настоящее время активно исследуется. Однако уже разработанных программ элективных курсов по математике и материалов по их проведению не хватает для удовлетворения всех запросов современной профильной школы.

Так, большинство из существующих в настоящее время методических средств направлено главным образом на обучение школьников непрерывной математике, место же дискретной математики в школьном курсе в настоящее время окончательно не определено. При этом дискретная математика и смежные с ней разделы привлекают большое внимание специалистов различных областей науки и техники, являясь эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Кроме того, дискретная математика предоставляет большие возможности для первоначального знакомства, например, с такими важными понятиями, как «модель» и «алгоритм». Работа с моделями помогает избежать формализма в обучении математике, при котором учащиеся не видят связи заученных формул с реальной жизнью. Особое значение дискретная математика приобретает с началом изучения информатики, теоретической основой которой она является.

Дискретную математику можно также использовать для решения методических задач в математическом образовании. Так, с ее помощью возможно эффективное знакомство школьников с математической индукцией, сложными для них понятиями, такими как «необходимые и достаточные условия» и т.д. [8]. Таким образом, разрабатывая программы новых курсов для общеобразовательной школы, нельзя обойти вниманием основные разделы дискретной математики, которая, наряду с непрерыв- ной математикой, изучаемой в школе, важна для формирования общей математической культуры учащихся и будет востребована в дальнейшем при обучении в вузах.

Исследованию проблем преподавания дискретной математики в школе и вузе посвящены работы О.И. Мельникова, Е.А. Перминова и др., однако тематика исследований, как правило, связана с обоснованием необходимости непрерывного обучения дискретной математике на всех ступенях образования. Практических же разработок для обучения старших школьников недостаточно, в частности, предлагаемые элективные курсы по дискретной математике посвящены элементам теории графов (О.И. Мельников) и имеют целью применение знаний к решению прикладных задач, построение графовых моделей и исследование их с помощью компьютера, совершенствование навыков программирования [8]; данных об исследовании других аспектов проблемы нет.

В концепции профильного обучения [2] предлагается четыре основных профиля (однако есть тенденция к определению своих профилей каждой школой); при разработке элективного курса «Элементы дискретной математики» мы ориентировались на естественно-математический профиль со специализацией «Математика» для школьников, планирующих поступать на математический факультет педвуза.

В этой связи необходимо рассматривать дискретную математику не столько как основу информатики, сколько как средство формирования математической культуры будущего педагога. При разработке курса было уделено большее внимание не алгоритмическому подходу, а общей логике математических рассуждений, что позволяет изучить не только исторические аспекты рассматриваемых проблем, но и новые, зачастую весьма сложные для школьников, математические методы и при¸мы решения задач.

Предлагаемый элективный курс «Элементы дискретной математики» рассчитан на изучение в течение двух лет учащимися классов естественно-математического профиля и состоит из тр¸х разделов: «Графы», «Комбинаторика и рекуррентные соотношения» и «Целые точки», каждый из которых может изучаться как вместе с двумя другими, так и отдельно.

В данном курсе акцент сделан на математической стороне рассматриваемых вопросов, но при необходимости он может быть смещ¸н в сторону поддержки таких предметов, как информатика, физика, химия (особенно это применимо к разделу «Графы»). Таким образом, предлагаемый курс может рассматриваться как средство внутрипрофильной специализации обучения не только в классах естественноматематического, но и (при незначительной переработке) технологического профиля (специализация «Информационные технологии»). Остановимся подробнее на содержании каждого из разделов курса.

С практической точки зрения, теория графов – один из наиболее востребованных сегодня разделов дискретной математики. Она используется при проектировании интегральных схем и систем управления, исследовании автоматов и логических цепей, при системном анализе, автоматизированном управлении производством, разработке вычислительных и информационных сетей. Обширное применение теория графов находит также в вычислительной технике и кибернетике – в теоретическом программировании, проектировании ЭВМ и баз данных. Исследования электрических сетей, структур молекул и строения кристаллов, применения к решению проблем биологии и психологии послужили мощным катализатором в становлении данного раздела математики. Графы также успешно применяются для решения задач планирования – выбора оптимальных маршрутов (транспортная задача), построения сетевых графиков, исследования потоков в сетях.

Материал раздела рассчитан на изучение в течение одного года (2 урока в неделю), объ¸м которого, степень строгости изложения, методы и приемы обучения могут варьироваться учителем в соответствии с его склонностями и возможностями с учетом возрастных особенностей учащихся и их подготовленности. Учитывается также начальное знакомство с графами на факультативах в предшествующих классах.

Изучение материала начинается с некоторых фактов из истории теории графов и обоснования важности этого раздела математики для решения задач других наук. Далее излагаются основные понятия и простейшие утверждения, с ними связанные: степени вершин графа, лемма о «ру- копожатиях», операции над графами, полный, пустой, связный граф, путь, цикл. Далее рассматриваются различные виды графов: деревья, регулярные графы, двудольные, плоские [5], эйлеровы, гамильтоновы, ориентированные графы. Порядок изучения тем обусловлен выбранными определениями и подбором задач и на практике оказался достаточно удобным. В классах естественно-математического профиля со специализацией «Математика», учащиеся которых не ориентированы на поступление в педвуз, из рассмотрения могут быть исключены игры и головоломки, связанные с ориентированными графами, а также решение олимпиадных задач. Последняя в разделе «Графы» тема связана с рассмотрением понятия «отношение» и его связи с графами [10], в частности, отношения эквивалентности и частичной упорядоченности. Для подбора материалов к занятиям можно воспользоваться, например, пособиями [3] и [11].

Перейд¸м к содержанию второго раздела курса – «Комбинаторика и рекуррентные соотношения». В настоящее время роль комбинаторики существенно изменилась. После появления ЭВМ и связанного с этим расцветом конечной математики комбинаторные методы стали ещ¸ более востребованными, они применяются сегодня в теории случайных процессов, вычислительной математике, планировании экспериментов. Изучение этого раздела предполагается в течение первого полугодия 11-го класса (два урока в неделю). Материал раздела во многом является знакомым учащимся классов естественноматематического профиля (в соответствии с образовательным стандартом среднего (полного) общего образования по математике для профильного уровня). Цель его рассмотрения – не столько повторение и систематизация, сколько углубление имеющихся комбинаторных знаний и изучение новых сложных математических методов.

Изучение раздела предлагается начинать с повторения необходимого материала из школьного курса алгебры – схемы Горнера и метода математической индукции. В содержание темы «Комбинаторика» [1] рекомендуется включить рассмотрение понятий множества, кортежа и отображения. В зависимости от уровня подготовлен- ности учащихся необходимо изучить (или повторить) правила суммы и произведения и основные комбинаторные соединения, остановиться на применении элементов комбинаторики к нахождению вероятностей. Отдельного рассмотрения требует связь между сочетаниями, биномиальными коэффициентами и треугольником Паскаля. Изучение темы «Рекуррентные соотношения» имеет смысл начинать с рассмотрения уже знакомых учащимся арифметической и геометрической прогрессий, последовательности Фибоначчи, поскольку освоение работы с рекуррентными соотношениями традиционно сложно для учащихся. Далее осуществляется переход к решению других рекуррентных соотношений, изучению их связи с конечными суммами. Рассмотрение некоторых методов суммирования также представляет опреде-л¸нную методическую сложность. В зависимости от специализации учащихся асимптотические методы суммирования и понятие об асимптотических формулах можно опустить. Однако необходимо учитывать, что в этом случае переход к изучению третьего раздела «Целые точки» элективного курса «Элементы дискретной математики» становится затруднительным. Завершать изучение раздела «Комбинаторика и рекуррентные соотношения» целесообразно циклом уроков, посвящ¸нных решению различных комбинаторных задач [6].

Материал, включ¸нный в третий раздел «Целые точки», является наиболее непривычным и сложным не только для учащихся, но и для учителей. Данный раздел призван познакомить старшеклассников с одной из значительных отраслей современной математики – теорией чисел, содержание которой, как правило, связывается с изучением свойств натуральных чисел, поскольку исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают вс¸ более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. К их числу относится и проблема подсч¸та числа целых точек в некоторых замкнутых областях, ограниченных, например, прямой, параболой, гиперболой, окружностью. Для решения этой проблемы используются специфические методы аналитической теории чисел, которые интересны не только сами по себе, но и как средство повторения, обобщения, углубления уже имеющихся знаний в области алгебры и математического анализа. В литературе не найдено примеров систематического изложения школьникам материалов раздела «Целые точки», однако, ввиду вышеперечисленного, это представляется необходимым.

Основная методическая проблема, возникшая при разработке курса, – так организовать его изучение, чтобы, не поступаясь строгостью математических доказательств, сделать их доступными для учащихся. В связи с этим задачи подсч¸та числа целых точек являются «сквозными» для данного курса – к их решению учащиеся будут возвращаться каждый раз после изучения нового метода. Таким образом, достаточно сложная задача подсч¸та количества целых точек в некоторой области будет разбита на ряд доступных учащимся подзадач.

При решении задачи о подсч¸те числа целых точек в криволинейной трапеции, которая ограничена кривой y = f ( x ), возникают две подзадачи: а) нахождение формул для вычисления суммы значений функции f ( x ) на промежутке ( a,b ]; б) возможно более точная оценка суммы дробных частей значений функции f ( x ) на заданном промежутке.

На изучение этого раздела отводится 16 часов во втором полугодии 11-го класса в соответствии со следующим планом: функции y = [ x ] и y = { x }, их свойства (5 ч); постановка задачи суммирования целых точек (2 ч); символ O( ) и его свойства (2 ч); первообразная, интеграл, метод интегрирования по частям (3 ч); формула Эйлера-Маклорена – замена конечных сумм интегралом (4 ч). Для изучения теоретического материала и решения задач при изучении функций y = [ x ] и y = { x } и их свойств можно использовать, например, материалы книги [9]. Для знакомства с задачей суммирования целых точек учащимся рекомендуется статья А.Г. Кушниренко [7], а учителям – пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов [4].

Практическая апробация предлагаемых материалов проведена учителями математики гимназии ¹ 1549 г. Москвы в 2005 – 2008 гг. В процессе апробации разработана система заданий, обеспечиваю- щая усвоение содержания элективного курса «Элементы дискретной математики» и раскрытие связей между различными темами школьной математики. Показано, что широкое использование нестандартных учебных задач в рамках курса созда¸т условия для активизации познавательной деятельности учащихся, развития их творческих способностей и интереса к предмету. Кроме того, в результате мониторинговых исследований по алгебре в экспериментальной, изучавшей элективный курс, и контрольной группах 11-го класса было выявлено, что учащиеся экспериментальной группы лучше справляются с заданиями повышенного и высокого уровней сложности, связанными с применением свойства периодичности функций, интегрированием и дифференцированием функций (задания такого типа рассматриваются в разделе «Целые точки»). Такие задания являются неотъемлемой частью ЕГЭ по математике, их выполнение необходимо как при поступлении в вуз, так и при дальнейшей специализации, связанной с математикой.

Изучение элективного курса «Элементы дискретной математики» как средства внутрипрофильной специализации обучения в классах естественно-математического профиля позволяет достичь следующих результатов:

• 1)    дальнейшее развитие общей математической культуры учащихся;

• 2)    формирование представления о практическом значении теории графов;

• 3)    знакомство с основными понятиями и алгоритмами теории графов;

• 4)    углубление и расширение уже имеющихся знаний из курса алгебры и начал анализа – в ходе обучения приводятся дополнительные примеры периодических функций, рассматриваются новые виды кривых (например, эллипс, астроида, локон Аньези) и их свойства, изучается новый метод интегрирования – по частям и т.д.;

• 5)    знакомство учащихся с современными математическими методами исследований;

• 6)    формирование системно-комбинаторного мышления;

• 7)    подготовка к дальнейшему изучению дискретной математики в вузе.