Электрозвуковые волны, удерживаемые движущимся полосовым доменом в сегнетоэлектрическом кристалле

Ульяновское отделение Института радиотехники и электроники РАН

Обсуждаются особенности распространения междоменной щелевой электрозвуковой волны вдоль поперечно смещающегося в тетрагональном сегнетоэлектрике с постоянной скоростью полосового домена. В нерелятивистском квазистатическом приближении показано, что под влиянием движения полосового домена электрозвуковая волна из волны чисто поверхностного типа модифицируется в волну комбинированного подтекающе-оттекающего типа. Отмечается неодинаковый характер изменения параметров симметричной и антисимметричной моды электрозвуковой волны в результате движения полосового домена, проявляемый наиболее заметным образом в низкочастотной области спектра. Установлено, что в сегнетоэлектриках с высокой электромеханической связью масштаб локализации электрозвуковой волны в окрестности движущегося полосового домена не превышает нескольких длин волн, свидетельствуя об осуществимости трансляционного переноса электрозвуковой волны перемещающимся полосовым доменом.

Одно из характерных проявлений акус-тодоменного взаимодействия в полидомен-ных сегнетоэлектрических кристаллах состоит в способности доменных границ (ДГ) удерживать акустические волны [1-4]. В практическом отношении она привлекательна тем, что ввиду возможности направленного изменения доменной структуры сегнетоэлектриков внешним воздействием (электрическим полем, механическим нагружением, температурным нагревом и пр.), позволяет разрабатывать на основе регулярных доменных структур различного типа управляемые (перестраиваемые) устройства обработки сигнальной информации[5]. Несмотря на усилившийся в связи с этим интерес к акустодо-менным волноводным эффектам, их рассмотрение ограничивалось до сих пор случаем только стационарного (фиксированного) положения ДГ. Между тем очевидно, что в ходе регулировок или переключений управляемых акустодоменных устройств из-за перестройки доменной структуры кристалла приходится, вообще говоря, считаться с перемещением ДГ. Движение ДГ можно рассматривать и как результат “срыва” доменной структуры кристалла в режиме неустойчивого, нештатного функционирования устройства. По указанным обстоятельствам, а также в связи с расширением сферы приложений и поиском дополнительных возможностей обработки информации интересно рассмотреть влияние движения ДГ на свойства удерживаемых ими акустических волн.

Настоящую проблему обсудим на примере чисто сдвиговых, ортогонально-поляризованных к плоскости распространения х0у электрозвуковых поверхностных волн, удерживаемых в тетрагональном сегнетоэлектрике поперечно смещающимся со скоростью V_D || y, V_D = co nst полосовым доменом толщиной d с границами 180-градусного типа. Оценка волноведущих качеств движущегося полосового домена представляется наиболее актуальной потому, что именно полосовой домен выступает обычно основным элементом регулярной структуры полидоменных сегнетоэлектриков [6]. К тому же в управляемых акустодоменных устройствах вообще предпочитают использовать кристаллы с одиночным полосовым доменом [5].

Примем, что сегнетоэлектрик имеет кристаллографическую установку с осью 4 11 z лабораторной системы отсчета х0уz и содержит полосовой домен с (010)-ориентиро-ванными стенками пренебрежимо малой, в масштабе длин волн, толщиной. Для кристаллов типа ВаТ1О3 это оправдывается во всем диапазоне ультразвуковых частот. Чтобы исключить возможные процессы перестройки ДГ в ходе смещения, будем полагать, что сегнетоэлектрик находится вдали от фазового перехода, а скорости VD не очень близки к звуковому черенковскому пределу. В оговоренных условиях границы полосового домена можно рассматривать как бесструктурные и геометрически тонкие, с текущими координатами y1=VDt, у2 = VDt + d , где t - время.

По сложившейся традиции [1,3,4] сегнетоэлектрик рассматриваем как пьезокристалл, двойникующийся в плоскостях y = y ₁₂ . Антипараллельность полярных направлений 4 вдоль оси z в домене и за его пределами выразим изменением знака пьезомодуля е ₁₅ : е ₁₅ = ^{е п}р^и У 1 < у < У 2 , ^е 15 = ^- е ^пр^и у < У 1 ^и у > У 2 , где е - величина пьезомодуля монодоменно-го кристалла. В остальном различия в свойствах между выделенными областями кристалла отсутствуют.

Построение собственного решения в виде электрозвуковой волны, удерживаемой движущимся полосовым доменом, предполагает переход в систему покоя полосового домена xGy z. В ней полосовой домен выглядит неподвижным, тогда как кристалл предстает как среда, подвергаемая, как целое, непрерывному поперечному “сносу” со скоростью V D в сторону, противоположную фактическому перемещению. “Движение” среды означает, вообще говоря, релятивистский характер решения. Однако ввиду очевидных ограничений V D /c t << 1, c t /c << 1 и оговоренного выше условия V D < c t (c-скорость света, c t - скорость сдвиговых волн в монодомен-ном кристалле) релятивистские поправки в уравнениях электродинамики [7] и теории упругости [8], а также в материальных соотношениях Минковского для пьезоэлектрической среды, будут не выше обычно отбрасываемых поправок на запаздывание электрических полей [1,3]. Поэтому в нерелятивистском квазистатическом приближении для связи координат лабораторной системы отсчета и системы покоя полосового домена можно использовать преобразование Галилея

^~ x = x, y = y- VD t, z = z, t = t, (1) а в качестве исходных уравнений элект

роупругости в лабораторной системе отсчета взять отвечающие принятым условиям распространения сдвиговых волн, известные уравнения [1,3]:

S 2u     7 2

• —= = ^c_t V u,    у²Ф = 0,

St

4pe j =---u + Ф,

• S2Uj     2 22

• —У = ct V2Uj,VF 0,

St

4pe j j = -—- uj +F j.

Здесь u, j - сдвиговые смещения и потенциал электрического поля в полосовом домене при y 1 < у < у₂ ,u . и j . - сдвиговые смещения и потенциалы электрического поля вне полосового домена при y < y 1 и y > y ₂, V² = S² / Sx²₊ S² / Sy² , 8 - диэлектрическая проницаемость кристалла, Ф и Ф . - части потенциалов, представляющие электростатические поля рассеяния, индуцируемые с границ полосового домена пьезополяризационными зарядами. Выбор номера области за пределами полосового домена подчиним условию: j =1 при y < y 1 , j =2 при y > y 2 .

Граничные условия выражают непрерывность сдвиговых смещений, сдвиговых напряжений T yz , потенциалов и D y - компонент электрических индукций на границах домена. Существенно, что они не содержат временных производных и в соответствии с вытекающей из (1) заменой дифференциальных операторов

S / Sx > S / Sx,     S / Sy > S / Sy,

S / St ®S / St - VDS / Sy,        (4)

не меняя своего вида при переходе в систему покоя полосового домена, перено

сятся на плоскости у = y j , где y j = (j - 1) -d, j= 1,2. Напишем их сразу в системе покоя полосового домена:

(u-      -1 y=yj

= 0,

SF Sy

^SF j ^

= 0,

4pe

--u + Ф e

y=y j

4pe

- e Uj +Fj

y=y j (5)

При этом 14

W р ct 1 -P 2

OФ

* Ou   OФ

1 Oy + e Oy,

y=y j

, Ou:

у * j l - e oy

^OФ j

'V-'

Oy

y=y j

•

Опуская связи полных потенциалов с потенциалами полей рассеяния, из уравнений (2), (3) на основании (4) получим аналогичным образом в системе покоя полосового домена

1 (o_       _o_) ²

2 I j^~   VD      J c2 VOt        Oy0

-V ²

( u A

V ^u

= 0,

V ²

Ф w

= 0,

где v² = O² / Ox² +O²/ Oy².

Решение уравнений (6) ищем в виде exp i ( к । । х - W t ) . Замечая, что для потенциалов Ф, Ф j характеристическими коэффициентами соответствующих дифференциальных уравнений служат величины q= ± ^к || , а для u, u. - величины q = i к _± ± s, с учетом требования ограниченности u, ф при 0 <  y < d, а u . , Ф j - при у < 0, если j = 1 и при у

> d, если j = 2, напишем:

^u = U- e^{i X} e^{ik 1} ~ ^exP[^(-1>^+1s У1»

u = _piX_e ik 1 У [V _Р-sy +W_e sy 1, e e        e         e

^Ф , = F^ expK-1)^{1 к} || y]

Ф = _e i x [A_e ^{- к} || ~ + B_e^k || У 1•

В выражениях (7) X = k || ~Wt - фаза колебаний электрозвуковой волны вдоль полосового домена, а W -частота колебаний в системе его покоя. Величины k । ^и к i имеют смысл продольной и поперечной составляющей волнового вектора электрозвуковой волны к = к | । + к _± по отношению к границам полосового домена.

1        _{7         7}    W ²

s =---- к² • (1 -р ²) -—у

1 -P ² V          c_t² ’   ⁽⁸⁾

где P = V_D/c_t.

Подстановка выражений (7) в граничные условия (5) приводит к однородной системе алгебраических уравнений для амплитуд. Требование ее разрешимости единственным образом, выражаемое равенством нулю детерминанта, позволяет написать

Y²(1 - e^{-2 $} )(1 - e^{2 s} ) -

-2Y(1- e ^s e ^- cos к ₁ d)+1=0.     (9)

Данное равенство устанавливает дополнительную к (8) связь между спектральными параметрами решения s, к 1 , ^к | | , W и по принятой в теории электрозвуковых волн [1-4] терминологии может быть названо дисперсионным соотношением для электрозвуковой волны, удерживаемой движущимся полосовым доменом. В (9) обозначено: Y = - K²/ s , ж = ^к || d, s = sd, K²= 4 p e²( sX* )^-1 - квадрат коэффициента электромеханической связи сегнетоэлектрика , l* = р _c2 = l + 4 p e²/ e , р -плотность, l - модуль сдвига.

Разрешая (9) относительно Y, можно сделать заключение о существовании двух независимых спектральных ветвей ( мод ) электрозвуковой волны с дисперсионными соотношениями ж (1 - e-2-)(1 - e-2°r) K2 = s{(1-ese--cos кi d) ± ± [(1-ese-жcosk 1 d)2 -(1 - e 2: )(1 - e-2s)]1/2} (10)

Аналогичный вывод был получен в работе [3] для случая статического полосового домена из анализа уравнения s = ж K2 (1ie: )(1 m es).       (11)

Можно показать, что оно получается , как следует ожидать, из уравнения (10), если в соответствии с условием V D = 0 принять к ₁ = 0.

Основываясь на характере распределения смещений u по толщине полосового домена дисперсионные спектры (11) идентифицировались в [3] c симметричной и

(верхние знаки) и антисимметричной (нижние знаки) модой колебаний междоменной щелевой электрозвуковой волны. Первая из них существует во всем спектральном диапазоне ж > 0 и при отсутствии пьезоэффекта трансформируется в плоскую однородную сдвиговую волну. Диапазон существования антисимметричной моды имеет нижнюю границу ж _т ~1\К 2 , т. е. ж >  ж _т . Характерно, что ветви спектра обеих мод лежат в секторе между линейными спектрами объемных сдвиговых волн W = c t k и поверхностных сдвиговых волн на уединенной 180-градусной ДГ W = ^сЛ- VT - . к ⁴ , приближаясь асимптотически, по мере роста частоты к последнему из них. Эти особенности поведения мод сохраняют силу при учете движения полосового домена. Однако из-за неколлинеарнос-ти волнового вектора электрозвуковой волны границам домена распределение смещений по его толщине уже теряет выраженные геометрические признаки и сохраняемые названия мод приобретают условный смысл.

Выражения (7) показывают, что из-за обусловленного движением домена радиационного фазового множителя exp (i k ^ у ) элек-трозвуковая волна приобретает вид волны, подтекающей к домену при у < 0 и, напротив, - оттекающей от домена при у > d. Связанный с этим поперечный поток энергии призван компенсировать происходящий встречно перенос энергии средой из-за “сноса”, чтобы обеспечить стационарность продольного распространения электрозвуковой волны: кц > 0. Свойство граничной локализации волны по разные стороны полосового домена при этом сохраняется.

Особенности изменения граничной локализации электрозвуковой волны под влиянием движения полосового домена демонстрируют на рис.1 зависимости приведенного коэффициента амплитудного спадания s от ж , полученные численным решением уравнений (8),(10) для кристалла ВаTiO ₃ с параметрами К ² = 0.38, с _t = 3.4 - 10 3 м/с при значениях Р=0 (штриховые кривые) и Р = 0.9 (сплошные кривые). Хорошо видно, что симметричная мода (кривые 1) сильнее подвер-

Рис.1.Спектралъные зависимости коэффициента амплитудного спадания электрозвуковой волны жена влиянию движения полосового домена, которое способствует заметному усилению её локализации на низких частотах. Антисимметричная мода (кривые 2) претерпевает при этом относительно слабую делокализацию.

Соответствующие условиям расчета кривых рис.1 частотные зависимости W = W (k^ ) электрозвуковой волны показаны на рис.2. Здесь кривые 1 соответствуют случаю статического полосового домена (Р = 0 ), а кривые 2 получены при Р = 0.9. Спектры симметричных и антисимметричных мод даны штриховыми и сплошными кривыми. Влияние движения полосового домена отразится преимущественно уменьшением наклона частотных зависимостей. Это объясняется тем, что вытекающая из (7) с учетом (1) связь частоты W колебаний с частотой w задающего генератора (лабораторная система отсчета) имеет вид W = w - k _± V D , где всегда к ^ V D > 0. Отсюда ввиду (8) получаем W = w (1— Р 2 ).

Уместно заметить, что частотная диспер-

Рис. 2. Частотные зависимости спектра электрозвуковых волн, удерживаемых полосовым доменом при b = 0 (кривые 1) и b = 0.9 (кривые 2)

сия элекгрозвуковых волн выражена слабо и для ангисиммегричной моды пракгически ог-сугсгвуег. Выполнение условия w >  W при b> 0 можно ингерпрегировагь как следствие доплеровского сдвига часгог при регистрации колебаний элекгрозвуковой волны. Существенно, чго оно не зависит ог положения приемника по огношению к движущемуся полосовому домену. Данное обстоятельство представляется прямым следствием гого факга, чго ульгразву-ковая волна, сцепляясь с полосовым доменом посредсгвом пьезополяризационных зарядов на его границах, вовлекается в движение по оси у полосовым доменом. Поэтому, если даже приемник располагается в области у < 0 и полосовой домен удаляется, он продолжает реаги-ровагь на колебания гой часги поля элекгрозвуковой волны, когорая набегаег на него.

Численные оценки показываюг, чго при b < 0.3 масшгаб локализации элекгрозвуковой волны полосовым доменом для кристаллов с высокой элекгромеханической связью K 2 <  0. 5 не превышаег двух-грех длин волн. Таким образом, имеегся реальная возможность грансляционного переноса элекгрозвуковых волн движущимся полосовым доменом, чго интересно для приложений.

В заключение выражаем благодарность Филиппову О.Э. за помощь в численных расчетах.

Рабога выполнена в рамках проекга А 0065 ФЦП “Интеграция”.