Элементарная сеть, ассоциированная с элементарной группой
Автор: Дряева Роксана Юрьевна, Койбаев Владимир Амурханович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.18, 2016 года.
Бесплатный доступ
Для элементарной сети Ω, ассоциированной с элементарной сетевой группой E(σ) (определенной для элементарной сети σ) доказывается, что она является наименьшей дополняемой элементарной сетью, содержащей элементарную сеть σ. Устанавливается связь между элементарной сетью Ω и производной сетью ω (определенной для элементарной сети σ.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318545
IDR: 14318545
Текст научной статьи Элементарная сеть, ассоциированная с элементарной группой
Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число, n > 3. Снетома ст = (CT ij ). 1 6 i, j 6 n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетъю [1] над кольцом R порядка n, если CT ir CT rj С CT ij при всех значениях индексов i, r, j. Для сети принята также терминология «ковер» [2]. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью ^элементарный ковер [3, 4, вопрос 15.46]). Для элементарной сети в [5] введено понятие производной элементарной сети.
Пусть e — единичная матрица порядка n. e ij — матрипа, у котюрой на позиции ( i, j ) стоит 1, а на остальных местах нули. Если а Е R, то через t ij ( а ) = e + «e ij обозначается элементарная трансвекция. Положим, далее, t ij ( A ) = {t ij ( а ) : а Е A}.
Для элементарной сети ст через Е(ст) обозначается элементарная сетевая группа:
E (ст) = (tij- (CT ij ) : 1 6 i= j 6 n\
Элементарная сеть ст = (CT ij ). 1 6 i = j 6 n называется пополняемой. если для неко торых аддитивных подгрупп CT ii кольца R таблица (с диагональю) ст = (CTij), 1 6 i, j 6 n, является (полной) сетью. Элементарная сеть ст = ( CT ij) является дополняемой (см., на пример, [1]) тогда и только тогда, когда CT ij CT ji CT ij С CT ij для любых i = j .
В [6] определены замкнутые (допустимые) сети. Для элементарной сети ст рассмотрим элементарную сеть CT = ( CTij), индуцированную трансвекциями из элементарной группы E ( ст). Точнее, посмотрим, какие элементарные трансвекции появились (содержатся) в E ( ст). А именно, для любых i = j положим
CTij = {а Е R : t ij (а) Е Е(ст)}.
Очевидно, что CT ij — аддитивные группы и в силу известного коммутаторного соотношения (для попарно различных i, r, j)
[tir (а),trj (в)] = t ij (ав )
мы имеем CTirCTrj С CTij, а потому таблица CT = (CTij)i=j является элементарной сетью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарную сеть о мы называем за мыканием сети ст. Если ст = ст, то сеть о мы называем замкнутой (или допустимой).
Предложение 1. Всякая дополняемая элементарная сеть является замкнутой.
C Пусть о = (o ij ) — дополняемая элементарная сеть (и мы дополнили ее диагональю до (полной) сети). В этом случае в силу сетевого соотношения O ir o rj С o ij (выполненное для всех 1 6 i,r,j 6 n) множество матриц
M(о) = {a = (aj) : aj Е oj, 1 6 i, j 6 n} является кольцом, следовательно, e+M(о) — полугруппа, в частности, E(о) С (e+M(ст)), а потому никаких новых элементарных трансвекций в E(о) быть не может: если а Е orj, т. е. tij(а) Е Е(о). то tij(а) Е (e + M(о)) ^ aeij Е M(о) ^ а Е oij ^ о = ст. B
С другой стороны в [6] приводятся примеры замкнутых сетей, которые не являются дополняемыми. Интерес к дополняемым сетям состоит в том, что по таким сетям строятся сетевые группы [1].
Пусть а. в подгруппы аддитивной группы кольца R. Для элементарной сети т второго порядка т=

положим y = Р&=1(ав)k• Рассмотрим элементарную группу E(т ) = (t2i(в)Д12 (а)).
1 + ail ai2
Можно показать, что если а Е Е(т), a = . , то ац, а»» Е y, ai2 Е а + aY, a21 1 + a22
а»1 Е в + eY. Последнее замечание индуцирует следующее построение.
Для любых i = j положим
∞
Y ij = X (o ji o ij )m.
m =1
Для произвольных i = j поло жим ^ ij = o ij + o ij Y ij •
Предложение 2 [5, предложение 5]. Таблица П = (Qj), 1 6 i = j 6 n, является дополняемой элементарной сетью.
С другой стороны в [5] для элементарной сети определяется производная элементарная сеть. А именно, Пусть о = (o ij ) — элементарная сеть над кольцом R порядка n. Рассмотрим набор ш = (ш ^ ) аддитивных подгрупп w ij кольца R, определенных для любых i = j следующим образом:
n
ω ij
σ ik σ kj , k =1
где, очевидно (так как о — элементарная сеть), суммирование берется по всем k, отличным от i и j. Ясно, что Ш ij С o ij, следовательно, для любой тройки попарно различных чисел i. r. j, мы имеем
ωir ωrj ⊆ ωij .
Таким образом, набор ш = (шij ) аддитивных подгрупп Шij, i = j, кольца R является элементарной сетью, которую мы называем производной элементарной сетью.
Предложение 3. Для любой тройки попарно различных индексов г, r, j справедливы включения nir nrj С шij, nir шrj С шij, шir nrj С шij.
Элементарная сеть, ассоциированная с элементарной группой
C Заметим, что второе и третье вк.ткннтшя вытекают из первого и того, что w rj С П ^. W ir С П ir. Поэтому докажем первое.
Пусть i, r, j — попарно различные натуральные числа. Заметим вначале, что
O ir ^O jr o rj ) С o ir , o rj (o ir O ri ) С o rj .
Поэтому
(O ir + O ir (O ir O ri ) k )(O rj + O rj (O jr O rj ) s )
= ° ir ° rj + ° ir ° rj (° jr ° rj ) + (o ir ° rj )(o ir o ri ) (o jr o rj ) + (oir o rj )(o ir o ri )
= O ir O rj + [O ir (O rj O jr ) s ] O rj + [O ir (O rj O jr ) s ][( o ri O ir ) k O rj ] + O ir [(O ri O ir ) k O rj ] С Oir Or j С W ij . >
Как нетрудно видеть, элементарную сеть П = (П^), 1 6 i = j 6 n, можно дополнить до сети кольцами
Пп = ^2^ ik П
i ,
k 6= i
где суммирование берется по к = 1, 2,... , n, к = г. Заметим, что n
Пи = £ Y ik .
k=1, k6=i
Так. например. Пи = Y 12 + Y 13 + • • • + Y in .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сеть П = (П^) мы называем сетью, ассоциированной с элементарной группой E(o) для элемептарной сети o.
Ясно, что o С П.
Теорема. Сеть П является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элемен тарную сеть o.
C Пусть т — дополняемая сеть ho С т. Покажем, что П С т. Сначала покажем, что для i = j. П ^ С T ij. Напомиим. что (i = j)
П ij — o ij + o ij (o ji o ij ) + o ij (o ji o ij ) + . . .
Имеем O ij С T ij. далее, в силу дополияемоети сети т mbi имеем T ij T ji T ij С T ij. а потому
Oij (ojioij ) С тijтjiтij С тij, из последнего включения мы имеем
O ij (o ji o ij ) С т ij (o ji o ij ) С т ij т ji т ij С т ij .
и так далее. Следовательно, для i = j мы имеем П ij С T ij. Далее, в силу того, что мы стандартным образом (т. е. наименьшей диагональю, определенной через недиагональные элементы сети П, которые, как мы уже доказали, не больше соответствующих элементов сети т) дополнили элемептарпую сеть П диагональю, мы имеем Пц С тп- B
Список литературы Элементарная сеть, ассоциированная с элементарной группой
- Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями. Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1978. T. 75. C. 22-31.
- Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.
- Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона. Алгебра и логика. 1983. Т. 22, № 5. С. 504-517.
- Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд-е 17-е. Новосибирск, 2010.
- Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями. Владикавк. мат. журн. 2010. Т. 12, вып. 4. С. 39-43.
- Koibaev V. A, Nuzhin Ya. N. Subgroups of the Chevalley Groups and Lie Rings Definable by a Collection of Additive Subgroups of the Initial Ring. J. Math. Sci. 2014. Vol. 201, Issue 4. P. 458-464.