Эволюция и разрушение линии роста кристалла в переохлажденном расплаве
Бесплатный доступ
Изучена макроскопическая форма линии роста кристалла в переохлажденном расплаве чистого вещества. Центральным пунктом проведенного анализа является учет пространственной неоднородности переохлаждения на фазовой границе кристаллизации. Показано, что существует пороговое значение параметра неоднородности, и этому порогу соответствует периодическая по поперечной направлению роста координате ячеистая структура фронта кристаллизации. Отношение периода структуры к радиусу кривизны отдельной ячейки равно числу π. По обе стороны порога вершина линии роста имеет клиновидную форму, а при переходе через порог наблюдаются бифуркативные ситуации, обусловленные тем, что ячейки являются промежуточной структурой между плоским фронтом и дендритами. Анализ выполнен для случая, когда малой величиной первого порядка малости является угол между нормалью и осью симметрии линии роста. В рамках такого приближения уравнение роста имеет вид уравнения Бюргерса. Известным в литературе точным решениям этого уравнения дана новая физическая интерпретация, позволившая рассмотреть следующие процессы: волна возмущения, вызванного разрывом кривизны; волна разрушения - предвестник расщепления вершины; излом - сильный разрыв угла заострения; опрокидывание линии роста - предвестник втягивания внутрь носика вершины. Выполнен сопоставительный анализ устойчивого и неустойчивого изломов линии роста. Обнаружено, что различия между затуплением вершины за изломом и опрокидыванием обусловлены именно направлением перехода через пороговое значение параметра неоднородности. Даны примеры расчетов, иллюстрирующие свойства скорости волн возмущения и разрушения.
Высокоскоростная кристаллизация, ячеистая структура, форма дендрита, расщепление вершины, морфологическая неустойчивость
Короткий адрес: https://sciup.org/147247583
IDR: 147247583 | DOI: 10.14529/mmph250108
Текст научной статьи Эволюция и разрушение линии роста кристалла в переохлажденном расплаве
Эти фундаментальные задачи служат теоретической основой при разработке современных технологий кристаллизации веществ в неравновесных условиях [7, 8]. При больших переохлаждениях расплава тепловые процессы в твердой фазе обладают отчетливо выраженными локальнонеравновесными свойствами, поэтому применяем модель Максвелла [9], учитывающую релаксацию теплового потока:
q + Y ^ dq/d t ) = - Agrad T .
Уравнение энергии имеет вид с (бТ/ dt) + div q = 0.
Здесь Т – температура; q – вектор удельного теплового потока; с = ρ с p – объемная теплоемкость; ρ – плотность; t – время; γ – время релаксации теплового потока. Далее рассматриваем двухмерную задачу на плоскости декартовых координат ( x , y ). Моделируем ФГК линией сильного разрыва теплового поля. Применяем известный алгоритм [10] и выводим динамическое условие совместности на этом разрыве как следствие интегрального закона сохранения энергии. Отличительная черта изучаемых решений – учет пространственной неоднородности переохлаждения на фронте кристаллизации. Детальный анализ этого подхода к исследованию свойств линии роста представлен в [11, 12].
Цель настоящей работы – определить закономерности влияния конечного возмущения кривизны на устойчивость/неустойчивость линии роста в окрестности ее вершины.
Уравнение роста. Двухмерная фазовая граница (линия сильного разрыва) x – F ( y , t ) = 0 перемещается со скоростью N справа налево: N = N n , N < 0 (рис. 1). Координатная ось x направлена вдоль оси симметрии в сторону твердой фазы; y – поперечная декартова координата. Внутренняя нормаль n границы образует угол Ө с осью x : cos Ө = 1/ G , G = (1 + (д F/ ду)2) 12 . Отсчет угла Ө выполняется от n в сторону оси x . Угол Ө 1 = (п/ 2) - Ө характеризует заострение линии роста и отсчитывается от оси x тоже против хода часовой стрелки (см. рис. 1). Возрастание/убывание с течением времени угла θ 1 относится к режимам затупления/заострения линии роста.

Рис. 1. Геометрические параметры линии роста
Замкнутая система трех граничных условий на фронте кристаллизации имеет следующий вид. Баланс энергии:
q j = N ( c j T j - c * T * ) + NT ( c * - C j ) - Q , Q = LL . N + ү ; d N J ,
где звездочкой отмечены параметры расплава, который находится в однородном отрелаксиро-вавшем тепловом состоянии: q ≡ 0, T ≡ const; индекс j относится к функциям, вычисленным на правой стороне сильного разрыва, в твердой фазе; qj – нормальная к границе составляющая вектора теплового потока; Tj – температура кристалла; Tc – равновесная температура кристаллизации; L – теплота фазового перехода единицы объема вещества. Теплофизические свойства расплава и кристалла считаем постоянными по обе стороны сформировавшегося сильного разрыва.
Кинетическое соотношение
I ^ = vT - T j ) , T e = T c [ 1 - ( UKL ) ] (2) определяет нормальный механизм роста из расплава. Здесь μ – кинетический коэффициент роста; U – поверхностная энергия границы раздела фаз; Т е – температура равновесия между твердой и жидкой фазами; средняя кривизна границы равна K = ( д 2 ғ/ду 2)/ G 3 .
Зависимость переохлаждения ФГК от угловой координаты θ постулируем в виде
Tc - T j = ( cosO ) 8 B , B , 5 - const, (3) который обусловлен отклонением температуры кристалла T j от равновесного значения T c . Здесь B = T c - T j ( Ө = 0 ) > 0; положительный параметр S характеризует пространственную неоднородность переохлаждения T c – T j . Существенно, что правая часть выражения (3) неявным образом зависит от кривизны K = дӨ/д s , где s - дуговая координата, которая отсчитывается от вершины вдоль линии роста. Дополнительные сведения, относящиеся к анализу формулы (3), имеются в
[11]. Выражения (1)–(3) составляют замкнутую систему уравнений для трех неизвестных функций N , T j , q j . Уравнение роста, определяющее зависимость F = F ( y , t ), получаем из (2), (3) с учетом формулы N = ( d FI д t ) G 1< 0 :
д F д 2 F/ д у 2
Ф— =------г д t 1 + (дF/ ду )2
- аВ
Z ч 2 1(1—8)/2
1+ff-1
< д у )
.
а = L/ ( UT c ) , Ф = а/ц .
Безразмерные и размерные уравнения записываем в одинаковой форме, взяв следующее соответствие между безразмерными и размерными величинами: x →( x / x b ), y →( y / y b ), T →( T / T b ), μ B →(μ B )/| N b |, B →( B / T b ), φ→φ y b | N b |, α→α y b T b , x b = y b =| N b | t b . Нижним индексом b отмечены масштабы величин, применяемые при обезразмеривании; | Nb | – масштаб модуля скорости ФГК.
Ясно, что ∂F/∂y = tgθ, поэтому (4) можно записать в виде дғ дө
Ф— =аВ [cos Ө] .(5)
д t ду
Модуль скорости перемещения линии роста и ее кривизна выглядят так:
—
N = Nm = ц ( cos Ө )8 В — 1cos Ө— , K = cos Ө —.
m ду J ду
α
Ячеистая периодическая структура. Уравнение (4) при δ = 1 имеет точное решение:
F ( у, t ) = A 1 t + A 2 ( у ) , A 1 = const < 0 ;
A = dAT = tg у ' + n n о ) , у' = у ф ( ц В + A 1 ) ;
dy
A 2 ( У ) = [ ^ ( ц B + A 1 ) J 1 ln|cos ( У ' + nn0 )| 1 ; n 0 = 0,1,2,...
0 < ( — A 1 ) < ц В ; N ( Ө ) = A 1cos Ө .
Это решение представляет собой семейство стационарных контуров, расположенных на интервалах вида: n0 = 0, у' е (— л/2,п/2); n0 = 1, у' е (п/2,3п/2) и т. д. Вершины этих контуров (А = 0, А2 = 0) находятся в точках у'=пn0, а сами контуры смыкаются друг с другом при x ^ да (рис. 2). Каждая ячейка такой периодической структуры имеет конечные размеры по отношению к координате y. А именно: период yc структуры равен ус = п/ K (Ө = 0), (7)
где K ( Ө = 0 ) = ф [ ц В + N ( Ө = 0 ) ] есть кривизна вершины отдельной ячейки.
Дальнейшее рассмотрение уравнения роста (5) – это построение и анализ его решений в конечных левой и правой окрестностях значения δ = 1. Будут даны примеры бифуркативных ситуаций, относящихся к переходу через порог δ = 1. Полученные аналитические результаты показывают, что по обе стороны этого порога вершина линии роста имеет клиновидную форму: y = 0, θ > 0, ∂θ/∂ y > 0. Вместе с тем заострение исходной клиновидной вершины ассоциируется с начальной стадией перехода к игольчатой форме дендрита; затупление означает переход к плоскому фронту.
Уравнение Бюргерса. Продифференцировав обе части уравнения (5) по y , получаем дифференциальное следствие уравнения роста:
ф—= cos 2 Ө^Ц + а В ( 8 — 1 )( cos Ө )8 sin Ө— . (8)
д t д у 2 д у
Для достаточно малых углов Ө, а именно: при Ө е [0, Өе), где ӨЕ - малая величина первого порядка малости, считаем приближенно cos2 Ө^ 1, sinӨ-Ө. Например, для углов Ө = п/180; п/90; п/60 имеем соответственно 1 — cos2 Ө = 0,3046-10—3; 1,2179• 10—3; 2,7390• 10—3; 1 — (sind/d) = 0,5074 • 10—4; 2,0306x10—4; 4,5685x10—4. Следовательно, в малой окрестности Ө = 0 уравнение (8) имеет вид уравнения Бюргерса дӨ д t
1 д 2 Ө „„дӨ R л
--- + р Ө — , р = и B ( 5 - 1 ) . ф д у 2 д у

Рис. 2. Ячеистая (δ = 1) периодическая структура фронта кристаллизации
Далее рассматриваем значения 5 е ( 0,2 ] . Интересный в физическом отношении случай 5 = 3 (изолированный дендрит игольчатой формы) был изучен в [11,12] на основе уравнения (4). На рис. 3 показано влияние параметра δ на качественные свойства переохлаждения Tc – T j . Если 5 = 1, то (9) выглядит как обычное уравнение теплопроводности. По обе стороны порогового значения 5 = 1, т. е. при в < 0 и в > 0 конвективный член уравнения Бюргерса имеет разные знаки. Следовательно, если мы имеем решение Ө = Ө( у , t ) при в > 0, то формальная замена Ө ^ (-Ө) дает решение уравнения (9) при в < 0. Вопрос о физическом истолковании этих решений должен быть предметом отдельного анализа. Дело в том, что не для каждого точного решения существует нужное нам физическое содержание. В дальнейшем будем применять следующие варианты записи уравнения (9):
= h+ Ө^, h = 1 (Рф), t' = Рt, Р * 0;(10)
д t д у2
дӨ д 2Ө „дӨ _ „ -„2
--Ө, у = рФу, t = р Фt, р *0.
д t д у 2 д у

Рис. 3. Качественная зависимость переохлаждения T c –T j от параметра неоднородности δ
Для β < 0 удобно записывать θ=–Φ посредством решения уравнения дФ дt
д2 Ф дФ „ - т
— +Ф , у = - р ф у , t = р 2 Ф t .
д у 2 д у
Согласно (6) имеют физический смысл (Nm > 0, K > 0) решения Ө = Ө(у, t), удовлетворяю- щие неравенствам
0 < Ө <ӨЕ, 0 < ( дӨ/д у ) < аВ ( cosӨ )s 1
Уравнение (9) можно рассматривать как следствие интегрального закона сохранения [13]
( ( ө dy + в
С V
Ө 2 1 дӨ к п
-
1---I dt — 0 ,
-
2 ф д у I
где С – произвольный замкнутый контур, ограничивающий область переменных ( y , t ). На основе
-
(13) выводим динамическое условие совместности на сильном разрыве y = y j ( t ), который пере-
- мещается со скоростью D = dyj/dt:
D {Ө} +
1 дӨ о ө2 — + е— ф д у 2
^ — 0 .
Здесь фигурные скобки – символ скачка функции при переходе через разрыв. В условии (14) допускаются ненулевые скачки { § } / 0, { В } / 0, т. е. { р } / 0, а для упрощения формул естественно принять { ц } — 0. Пример развернутой записи: { Ө } —Ө (2) —Ө , , Ө j — Ө ( y j , t ) ; { в } — в2 - в 1 и т. Д., где индексы «1» и «2» относятся к состояниям линии роста перед и за скачком y = y j ( t ) сответст-венно. Ясно, что сильный разрыв { ө } / 0 представляет собой излом линии роста. Если { Ө } — 0, то (14) дает непрерывную первую производную { дӨ/д у } — 0 при любом конечном D .
На разрыве (14) должен быть выполнен закон возрастания энтропии { S } > 0, где
T
S — J( c p/ T dT , c P }— 0.
Условие {S} — cp ln(T(2)/Tj^)> 0 дает неравенство j > Tj1 > 0, которое с учетом (3) приводит к оценке термодинамически допустимых значений параметров задачи:
0 < В 2 ( cos Ө^,2) ) 5 2 < B 1 ( cos Ө^1. (15)
Другой самостоятельный объект нашего исследования – волна возмущения y = ym ( t ), т. е. слабый разрыв функции θ( y , t ). Здесь терпит разрыв первого рода первая производная по координате ∂θ/∂ y , т. е. имеем разрыв кривизны линии роста, см. (6). Этот слабый разрыв не является следствием (14), его скорость распространения dy m / dt определяется единственным образом для фиксированного фона θ = θ p ( y ) перед фронтом волны возмущения.
Во всех последующих задачах будем применять такие обозначения: Ө р — Ө p ( у — 0 ) ,
Ө ^ — Ө р ( у ^ да ) ; у = 0, kp = d Ө p dy ; у = 0, t = 0, k о = д Ө/ ду .
Волны возмущения и разрушения. Подстановка Хопфа [14] Ө —(2h/u)ди/ду сводит урав- нение (10) к уравнению теплопроводности ди/ дt' — h (д 2 и/ ду 2 ).
Решение и = и (у , t ‘) не зависит от перемены знака параметра в. Этот знак проявляет себя в итоговом выражении Ө( у , t '). Обсудим два примера, основанных на известных элементарных решениях уравнения теплопроводности.
Пусть и = и 1 + и 2, иі = a i E i , E i — exp ( hc i2 1 ' — c i- у ) , i = 1, 2; a i , c i - произвольные постоянные.
Тогда
Ө —— 2 h ( c 1 E 1 + a 21 c 2 E 2 )/( E 1 + a 21 E 2 ) , a 21 — a 2 / a .
Примем в > 0 и получим Ө > 0, если a 21 > 0, c i < 0, c 2< 0. Волна возмущения ут = mt ‘ , m = const > 0 распространяется по неоднородному фону
Ө р ( у ) —— 2 h ( c 1 E 1 p + C 2 a 21 E 2 p M E 1 p + a 21 E 2 p ) ,
E ip — exP
( h
m
—
C i 1 у , i =1, 2; у > 0;
I
ө р =ө ( y = о, t ' = о ) , ө ; =ө ( y = о, t '^® ) =ө . .
Здесь Ө; = -2 hc1 = Ө;, если ci < c 2 < 0 либо Ө; = -2 hc 2 = Ө;, если c 2 < ci < 0. В обоих случаях 0 < Өр < ө; = Ө;, а также (dӨpIdy) ^ 0 при y ^ ∞. На вершине, в точке y = 0, имеем в начальный момент времени:
y =0, t '=0, k 0 = 2 ha 21 ( c 1 - c 2 ) 2 /( 1 + a 21 ) 2 ;
y =0, kp
= k 0 1 - m ( c 1 + c 2 ) > k
Следовательно, волна возмущения инициируется разрывом кривизны K линии роста. При t ‘ > 0 происходит заострение ( ө; > Ө р ) исходной клиновидной вершины, т. е. уменьшается угол Ө1, рис. 1. Кривизна на вершине клина y = +0 с течением времени уменьшается и стремится к нулю.
Решение (17) содержит произвольные постоянные a21, c1, c2, m. Приведем описание последовательности вычислений при c1< c2< 0. Задаем ӨР и Ө; >Өр, находим c1 =Ө;/(-2h); применяем вспомогательный параметр §0 е (0,1) и определяем k0 = 80 ӨР (ө; - ӨР )/(2h), а затем выбираем (независимо от ӨР, Ө;) дробь (kpIk0)>1. Теперь подсчитываем a21 =(ө; -Өр)/(өР 80), c2 = [ө; - (1 + a21 )Өр ]/(2ha21), 2m = [ө; + Өр (1 - 80 )]/[(kp /k0 )-1].
Именно разрыв производной ∂θ/∂ y обеспечивает конечную скорость m β волны возмущения. В предельном случае k p / k 0 = 1 + 0 волна уходит на бесконечность y →∞ с неограниченно большой скоростью.
Теперь рассмотрим случай, когда в (16) u = u1 + u2, u1 = a1 exp(hc21' + c1 y)+ b1, u2 = a2 exp(- yJ®/2h )
ωπ
Y = - y J — + a t + — ; a 1, b 1, c 1, a 2, ю - const.
Решение уравнения (10) имеет вид:
cos Y ,
^ ( sin Y - cos Y )
c i 2 E +
Ө = 2 h-------- ---.
E + cos Y + b 12 exp y-^^
,
E = exp hc 2 1' + c1y + y. k
r^
' — , a 21 = a 2 І a i , b
\2h
12 = b 1 / a 2 , c 12 = c 1 / a 21 .
Волна возмущения ym = mt ', m = 4 2 h о > 0 распространяется по неоднородному фону
ө р
( y ) = 2 hc12 E p^
у
E p + 4 + b 12 exp y
Л
k
1 1 ’ Ep(y ) = exp(yh11),h v2 h j
hc 1 2
' 11 = + c 1 +
m
Условия выполнения неравенств Ө р > 0, d Ө р I dy > 0, y > 0 указаны ниже. Обсудим два интересных варианта решения (18).
Вариант 1 заключает в себе следующие связи: c 2 = a 21 о/ h , c 2 = 2 a 21 , где c 1 = c 0 J a/ 2 h > 0, a 21 > 0 . В этом случае в области определения решения y е [ 0, y m ] , t '> 0 имеем Ө ( y , t ) > 0 , ∂θ/∂ y > 0 при c 0 > 3,
= (Wa+E^^^, E0 = exp(c2 п/8), co( E0 -1)
где δ 12 > 1 – вспомогательный параметр, определяющий выбор b 12 . Параметры фона такие:
ӨРӨ = [1 + (V^) + ^Г1, Ө; = 2m/c0 , kp -^/WeO/V + Co+U + b^
k 0
c 0[ b 12 - (12) - ( b nA/2)]
Выражение k p через c 0 , b 12 здесь не приводится: его нетрудно воспроизвести. Порядок расчетов соответствует обратной задаче, а именно: находим k 0 и k p , при которых существует априорно заданная скорость m в. Сначала задаем константу c 0 > 3 и угол Ө р , тем самым фиксируя величину m = c 0 Ө р /2 . Находим о = m 2/( 2 h ) ; задаем 812 > 1 и вычисляем b 12, kp , Ө p /Ө р , kp / k 0 , а также Ө p и k 0 .
В возмущенной области (и, в частности, на вершине y = 0) экспонента E быстро подавляет колебания. Вершина клина заостряется: Ө ( y = 0, t = о ) < Ө ( y = 0, t ^ р ) , и при этом K ( y = 0, t ^р ) = 0. Своеобразие данного решения в том, что для каждого фиксированного c 0 дробь k p / k 0 зависит от Ө p /Ө ^р , а именно: ^ p/ k 0 ' е р Л> 0 . В этом его отличие от решения (17), в котором эти параметры независимы друг от друга и [ d ( m в )/ d ( kp/k 0 ) ] < 0 . Отметим еще, что при больших b 12>>1 имеем ( kp/k 0 ) = ( с 0 + 2 )/ ( 2 - 72 ) , и тогда для рассматриваемого режима роста скорость m e - монотонно возрастающая функция аргумента ( kp/k 0 ) > 1, характеризующего скачок кривизны за волной возмущения. Этот частный пример показывает, что корреляция (kp/k 0 ) ^ ( ө p /Ө р ) может влиять существенным образом на свойства скорости волны возмущения.
Вариант 2 решения (18): c 1 =- m/h , a 21 = -1. Входные параметры: e p , е р , k p > 0. Последующие оценки и формулы расчета такие:
[1 + (1/V2 J1 < (ep/Өр)< 1; m = 2hho , b12 =
1 + }~
. 2- J Ө'
p - 1
Iр
p
1 -
V
Ө
Ө
^ г
“ p J
k p
, о =-^
1 -
V
Ө
Ө
г
Iz p J
.
Для дальнейшего важно, что при b 12 > 0 за фронтом слабого разрыва ym = mt' получаем дӨ/дy < 0, т. е. кривизна K терпит разрыв первого рода, и еще при этом меняет знак «+» → «–». Таким образом, в начальном (t = 0) состоянии в точке y = 0 имеем предвестник расщепления клиновидной вершины: kp > 0, k0 < 0. В данном случае |k01 = kp [b12 (4 - V2)+1 + 3^2 ]/22 . Волна ym = mt' пред ставляет собой волну разрушения линии роста; ее скорость равна β 2h ω . Величину |k0| можно назвать параметром разрушения. Действительно, если kp = 0, то |k0| = 0, и разрушение отсутствует. Другой предельный случай: если (Өр ^pp ) = 1 - £, где £ > 0 малое число, то |k0|~kpс-1, m~ г-1 ,Jkp . Следовательно, при ε → 0 неограниченно большие значения |k0| и m характеризуют начальное (t = 0) состояние уже сформировавшегося расщепления клиновидной вершины.
Пример расчета. Для переохлажденного расплава чистого никеля имеем следующие значения теплофизических параметров: Tc = 1728 К; L = 2,14 • 10 9 Дж/м3; U = 0,38 Дж/м2. Возьмем Д T = 166 К; | N b | = 5,3 м/с; В = 1К; μ = 9,53 м/(К с). Обоснование выбора этих числовых значений и необходимые библиографические ссылки приведены в [12]. Такие же входные данные будем применять в последующих иллюстративных расчетах.
Пусть 8 = 1,5; Ө p /е р = 0,6. В результате получаем ф = 7,1795 4 0 4 с/м2; h = 2,9231 - 10 - 6м; в = 4,765 м/с; b 12 = 0,0607; о = k p х 2,2097 м-1; ( dy m/ dt ) = m в = ^ к~р х 17,1261-10 - 3 м/с. Отсюда видно, что если, например, k p ~ 106 м–1, то ( dy m / dt ) ~ 17 м/с.
Перемена знака β и неавтомодельность. Будем рассматривать процессы роста при β < 0. Известное точное решение [15, с. 15] уравнения (12) дает выражение
-ф = Ө = ( y - a )Д t + b ) в2 p t , a < 0, b > 0; a , b — const.
Волна возмущения y m = — mвt , m > 0 распространяется по неоднородному фону Ө р ( y ) = m ( y - ha )Д y + mhb ) , h i = 1/( - в ф ),
Ө p =- a/b , е ; = m , 0 < ( ""p;)< i, k 0 = V ( bh ) ,
( kp/k о ) = 1 - ( " ?/ " » ) > 0.
Порядок расчетов соответствует обратной задаче: фиксируем m = Ө » , т. е. указываем скорость волны (- m в); задаем Ө 0 р и kp . Подсчитываем kp / k0 и находим к 0 ; теперь определяем b = 1/ ( hk 0 ) и a = -b Ө Р . Отличия от режима роста в > 0, (18), (19) состоят в следующем: 1)
Ө Р =Ө(у = 0, t = 0)> Ө(у = 0, t ^^) = 0 ; при t > 0 угол Ө уменьшается, угол заострения Ө 1 растет, т. е. происходит затупление клиновидной вершины дендрита, K(у = +0, t ^^) = 0; 2) теперь ска чок кривизны подчиняется неравенству 0 < (кр / ко) < 1, и знак производной
d ( k P « о ім »!/" » )
< 0 меняется на противоположный.
Проанализируем неавтомодельное решение [15, с.16] уравнения (12):
-Ф = Ө =
- m 1
ІҒ” m 1 1 + a
(
2 th
I
- m l У + Ь m l t + a ?
- m i У - b
, a , b , m 1 - const.
Волна возмущения ym = -m 1 m2pt, m 1 > 0, m2 = b/a > 0 распространяется по неоднородному фону Өр (y) = Гm2y + m1 h (b - 2 th m2 )]^ha + (ym1 /m2)]> 0, d"p (y)/dy > 0, a > [(b - 2 thm2 )/m2 ]> 0, Ө» = m1 m2 Ө Р/ө; =[(b - 2th m 2)/ b ]< 1,
(ө:-ө0)2 к г ө»■
. _ \ р р/ Рр Рр1
p = --------- , -- = ------7
2 hm 2th m 2 к 0 ^Ө » -Ө Р
0< ( кр / к 0) <«, m 2 = 2 m 2/ sh m 2 , m 2 е ( 0,1 ) .
Для неавтомодельного решения (22) значение ӨР /Ө»» является пороговым при выборе m2 или, что то же самое, при выборе кр: если
(»0 "Р І' m2/(1 + m2)]< 1 ■ то кр/к0 > 1; если
Г m 2/ ( + m 2 ) ]< ( "Р /" » ) < 1 .
то 0 < ( кр / к 0 ) < 1. В обоих случаях д ( кр/к 0 )/ ә ( ө Р /Ө» )
< 0. После формального перехода m 2^х,
m 2 ^ 0 [для конечных значений b и Ө » ] дробь кр / к 0 в (23) имеет вид, полученный при анализе автомодельного решения (21). Порядок расчета соответствует обратной задаче: фиксируем m 1 m 2 = Ө » , т. е. указываем скорость волны (- m 1 m 2в); задаем Ө Р и m 2; последовательно находим m 1 , b , a , кр , кр / к 0 , к 0 .
Дадим в дополнение к (18), (20) еще один пример волны разрушения. Для β < 0 уравнение (12) имеет точное решение [15, с. 16]:
- ф = Ө = - m 1 - 2 a th [ a ( у - m 1 t ) + b ] ; a , b , m 1 - const. (24)
Аналог этого решения при β > 0 описывает волну возмущения, имеющую такие же свойства, как в случае (17). Зависимости (24) соответствует волна ym = - m в t , перед фронтом которой располагается неоднородный фон, имеющий положительную кривизну линии роста:
Ө p ( У ) = m 1 - 2 a th
- a в Ф У I 1 -

У > У т
d Ө p /dy > 0; m 1> m > 0, a < 0, b > 0; 0 < th b < ( ө р / Ө “ ) < 1;
Ө р = m1 - 2 a th b , ө » = m1 - 2 a .
Вместе с тем за фронтом волны имеем ∂θ/∂ y < 0, что означает разрушение линии роста, предшествующее расщеплению клиновидной вершины. В начальном ( t = 0) состоянии предвестник разрушения находится в точке y = 0: k p > 0, k 0 < 0. Основные формулы:
thb = (1 - b1 )/(1 + b1), b1 =-в фө»-өр )2/(2| k 01), - 2 a (1 - thb )=ө»-өр,
2 Ф 1 = - в Ф ( ө р ) 2 - ( ө р ) 2 ,
-
- р Ф m = k 0 |( Ф 1 - k 0^/[(l k 0І + kp \&» -ө р Л, (25)
-
1 (rfi л»^ I k 0І
m 1= 2( ө р +ө р )-(өда ■
Отметим, что здесь выполнено равенство k p /| k 0 | = ( m 1 / m ) – 1. Решение содержит четыре константы a , b , m 1, m , которым соответствуют четыре входных параметра ө р , ө » , | k 0|, кр , и при этом оказывается, что значения | k 0| располагаются в конечном интервале
Ф 1 8 ө < | k 0І <Ф 1 , (26)
5 ө = ( ө » -ө р )/( ө » +ө р ) , 5 ө е ( 0Д ) .
Неравенства (26) получены как следствия условий m 1 > 0, 0 < th b < 1. При фиксированном k p функция m = m (| k 0|) в (25) немонотонная, имеет максимум при
I k 0 1 = I k 0 1 m = - kP + Jк р + ф 1 kP . (27)
Цепочка неравенств (26) будет выполнена для параметра разрушения (27), если кр > кр, кр = [ф1 5ө/(1 -25ө)]> 0. Отметим еще, что если 0<кр <(ф1/3), то kp <|k0|т; если кр >(Ф1/3), то кр > |к0| ^. Для дальнейшего анализа функции (25) и неравенств (26) учтем, что кр = к о 12 /(ф1 - 2| к о I m) и будем пользоваться аргументами s m, п вместо |к 01 , |к 01: т 4^0 , п»Ы2-Л£ m )(1 -S m )
m1 = ч( ө р + ө р )—т г,
-
2 S m + 2П(1 S m )
(
2 5
ө/
£
m
)
I к 0І m = S m Ф 1/ 2, І к 0І =п| к 0І m , к р =Ф 1 е m /[4(1 -S m ) ] .
Здесь η = 1 соответствует точке максимума (27), а ε m = 1 – 0 характеризует предельное исходное состояние кр ^®, | к 0І ^ ( ф 1/2 ) , которое остается неподвижным, m ^ 0. Если 2 5Ө /sm > 1 , то
η = 1 не входит в физически содержательную область определения функции (28), т. е. имеем монотонное убывание: dm/дп < 0. Если 0 < (2 5ө /еm )< 1, то функция m = m(n,sm) немонотонная по отношению к аргументу п, она имеет максимум m (п = 1) = (өр + ө» )(1 - е m)/ 2. Отметим еще, что
∂m/∂εm < 0, т. е. ∂m/∂kp < 0. Такое поведение m(η, εm) отличается от режима разрушения β > 0, (18), (20), для которого скорость волны пропорциональна к^ и зависит от өр /ө» . Кроме того, решение (28) не содержит вырожденный случай kp = 0, |k0| = 0. Качественные различия между режимами разрушения при β > 0 и β < 0 дают количественные различия для скорости волны dym/dt. Порядок расчетов: задаем өр, ө»; находим 5Ө, ф1; задаем sm или, что то же самое, кр; находим k0 и границы интервала (29), в котором располагается η; выбор η означает выбор параметра разрушения |k0| и влияет на величину m.
Пример расчета: 5 = 0,5; 0 ^ = 1,8 х 10 - 2 , 0 ” = 3 х 10 - 2 ; 5Ө = 0,25; ф і = 98,5260 1/м; s m = 0,8; |k o|m = 39,4104 1/м; k p = 78,8208 1/м; 0,625 < n < 2,5; если П = 1, то dy m / dt = (- т в) = 2,2872·10–2 м/с. Для сравнения изменим только один входной параметр: пусть ε m = 0,1. Тогда |к 0|т = 4,9263 1/м; k p = 0,2737 1/м; 5 < n < 20; если n = 6, то dy m / dt = (- m в) = 7,9318'Ю-2 м/с.
Излом линии роста. Уравнение (11) имеет точное решение [14]:
Ө = 2 b /[ 1 + a exp ( - b 2 t - by ) ] ; a , b - const. (30)
Физическое истолкование этого решения при β>0 дает такие же результаты, как в случае (17). Примем β < 0 и рассмотрим сильный разрыв (излом) вида (14), который распространяется по однородному фону Ө(1) = const: yj = Dt, D = -p2b2, ві = в2 = в < 0. Решение Ө(2)(у,t), y e [0,yj ], t > 0 дается формулой (30), содержащей константы b2 > 0, a2 e (-1,0). За фронтом излома имеем О’21 2b2/(1 + a2)> 0, кj2) = (әӨ(2)/дғ)j = a 2в2Ф(ө(27 /2, и тогда находим n- »nоГГө^п2 і^І/Lp0 зі
D 2321 -^ / 2H.1 > 0 , (31)
_< J 7 J J/ L v j 7J
ө( 2 )=ө(2) ( y = 0, t ^” | = 2 b 2.
Соотношения между углами выглядят так: 0 < Ө ” 2) < Ө - 2) < Ө (1). На этих неравенствах основан порядок расчетов: задаем угол θ (1) > 0, характеризующий исходный клин перед изломом, а затем выбираем соответствующие этим неравенствам углы Ө - 2) и Ө ” 2); подсчитываем D , см. (31). Теперь остается найти b 2 = D /(—в г ) и вычислить a 2 e ( - 1,0), априорно задавая k - 22 с учетом оценки 0 < 2 k ( 2) < ( Ө ( 2) ) 2 ( -fop ) . Отметим еще, что выпуклость излома обращена вверх, рис. 4, а, и за этим сильным разрывом происходит затупление клиновидной вершины. Предельный случай: Ө (1) = Ө - 2) + 0 ; излом вырождается в клин, удаляясь на бесконечность с неограниченно большой скоростью. Условие (15) возрастания энтропии будет выполнено при подходящем выборе Ө 1^, если B 2/ B 1 = [( 5 1 - 1 )/( S2 - 1 )] < 1, т. е. 0 < 52 < 5 1 < 1.
Пример расчета. Пусть В 1 =1 К; В 2 = 0,9 К; 5 1 = 0,5; 5 2 = 4/9; Ө(1) = 340-2; O j '1 = 2 х 10 - 2; ө ” 2 ) = 1 х 10 - 2. В результате получаем D = 0,1906 м/с.
Для уравнения (11) возьмем точное решение [15, с. 16]:
Ө(1) Е Ө ( y , t ) = - D ' + 2 a th [ a ( y - D't ) + b ] , (32)
-
a , b , D ‘ - const,
и на его основе рассмотрим излом, для которого в = в 1 = в 2 > 0, Ө ( 2 ) = О121 = const , дӨ(2)/д y = 0. Решение (32) определяет состояние линии роста перед сильным разрывом y j = D' t ', D = в D', y > y j , t > 0 . Основные формулы:
Ө *1) = - D' + 2 a 1 th b 1 > 0, Ө ” = Ө (1) [ ( y - y j ) ^ ” ] = - D' + 2 a 1 > 0, к W = ( dOm/d v ^ = a 1 ( 1 + th b 1 ) ( ө( 2 ) - Ө^У h , h = 1 ( Рф ) ,
Ө( 2) -Ө( 1 ) 2 k J1) h - ( ө(2) -Ө^
a 1 = , th b = —7,
2(1- thb) 2 kWh + (ө(2)-Ө(1))
k ( 1 ) h j
D ө ( 2 ) -ө (1 )
- 1 ( ө <2) +ө ( , ‘»).
y
а y

б

Рис. 4. Схематическое изображение углов заострения слева и справа от излома линии роста. Излом движется слева направо – от вершины на периферию
Входные параметры должны удовлетворять неравенствам: Ө(2)>Ө*1)> 0, k !">[(’|!|)!-W]/2 h)■
и тогда а 1 > 0, 0 < th b < 1, D' > 0. Если кj1^
не превышает указанное
пороговое значение, то излом (33) не существует. Условие (15) возрастания энтропии будет выполнено, если В 1 = В 2 , δ 1 = δ 2 . Здесь, в отличие от решения β < 0, (30), (31), излом вогнутый, рис. 4б. С течением времени исходная линия роста трансформируется в клин Ө = Ө(2) = Ө ^,) . Предельный случай Ө (2) = Ө |1) + 0 аналогичен тому, что наблюдался для (31).
Пример расчета. В 1 = В 2 = 1 К; 5 1 = 5 2 = 1,5; Ө(2) = 3^10 2 ; ӨП 2 - 10 2;
D = к Р х 1,3928 - 10 - 3 - 0,1191 м/с; к ^ > 86 1/м.
Теперь рассмотрим излом yj = Dt > 0, для которого ві > 0, в2 < 0. Состояние линии роста пе ред сильным разрывом определяется решением (32), y > yj - всем константам, входящим в эту формулу, присваиваем индекс «1». За разрывом применяем точное решение уравнения (12) вида [15, с. 15]:
Ө(2) = - b 2-- y + b 2t + a 2
y e[ 0, Уз ] .
Сюда входят произвольные константы а 2 < 0, b 2 < 0. Стыковка решений (32) и (34) на линии y j = Dt выполняется с помощью условия (14). Основные формулы: D = D ’ в 1 = b 2 в 2 ;
к j ')=
•-1 = 2a к и=
^ d y )j h 1 ch 2 b 1
;- i j j
2 , h 2 a 2
Һ 1 = 1 ( Р 1 ф ) , h 2 = 1 ( -в 2 ф ) ,Ө( 1 )=Ө(1) ( y ^® , t = 0 ) = 2 a 1 - D ’, Порядок расчетов основан на цепочке неравенств: 0 < Ө |1) < Ө ^
Ө( 2 ) = Ө(2) ( y = 0, t ^« ) = - b 2.
< Ө^ ) < Ө|,2) . Сначала задаем уг-
лы Ө|P и Ө^, характеризующие начальное состояние правой части излома. Подсчитываем oSM? 1 -(J в 2 - в1в 2 /в 2 J
, определяя тем самым b 2 и скорость D = b 2 в2 . Тогда D { = D /в 1 ,
2 a 1 = D { + Ө^. Задаем Ө (2) и находим а 2, b 1 :
2/ a 2 = Ө < 2) - Ө^ < 0, 1 - th b = ( Ө^ - ө ' Ч ( 2 a 1 ) .
Здесь выполнено ограничение 0 < th b 1< 1. Выпуклость излома обращена вниз (рис. 4, б ); с течением времени происходит затупление вершины клина. Условие (15) возрастания энтропии выполняется для всех B 2< Вх при подходящем выборе ө J P, Ө ^ . На основе формул (35) получаем
k (1) R
D =^ j j - + - 1, k j = Ө - h 2) .
Излом существует ( D > 0), если 2 k j 1 h > [( Ө ®)2 - ( Ө ^)2 ] .
Приведем два примера. Пусть В 1 = 1 К; В 2 = 0,9 К. Если Ө^ = 0,01; Ө^) = 0,012; 5 1 = 1,5; 5 2 = 0,5, то допускается излом, для которого Ө( 2 ) = 0,0294 ; Ө^ р = 0,03; D = k1 x 6,9643 - 10 - 3 - 0,0524 м/с; к W > 8 1/м; k J2) = 4,904 - 10 - 2 1/м. Если Ө ( ;" 0,005; Ө^ = 0,01; 5 1 = 1,01; 5 2 = 0,9, то допускается излом Ө( 2 ) = 0,0205 ; О1/= 0,024; D = k Px 2,7857 - 10 —3 - 0,0357 м/с; k ^ > 13 1/м;
k *2)= 1,8420 - 10 - 4 1/м.
Опрокидывание линии роста. Продолжим работу с решением (32), выполнив инверсию: теперь, в отличие от излома (35), берем в і < 0, в 2 > 0. Фон перед сильным разрывом y j = Dt > 0 однородный: Ө (1) = Өр = const > 0, д Ө^ 1 /д у = 0. Левая часть излома Ө(2) = Ө(2)( у , t ), y е[0, y j ] определяется решением (32): здесь константам a , b , D' присваиваем индекс «2». Основные формулы: 0 < О 12 < Ө (1),
Ө (2) ( у = 0, t ) =- D 2 + 2 a 2 th( b2 - a 2 p 2 ^ D 2 1 ) , Ө { 2) = Ө (2) ( у = 0, t = 0 ) =- D 2 + 2 a 2 th b 2 > 0 ; а 2 >0, b 2 >0;
к И =
( дӨ( 2 )
2 a 2
I d y J j h 2 ch 2 b 2
, h 2 = 1/ (M, D = D 2 в 2 ,
D Ө ’4" Ө 2,) = p +Ь Ө ) - в( Ө '11)2.
Своеобразие ситуации в том, что в конечный момент времени t = t 0 > 0 имеем Ө (2) ( У = 0, t = 1 0 ) = 0, а при t > t о начинается опрокидывание линии роста, Ө (2) ( y = 0, t > 1 0 ) < 0.
Значит, при t = t 0 появляется предвестник втягивания внутрь носика клиновидной вершины: th ( a 2 1 0 ) = Ө (2)/ ( 2 a 2 - D 2 th b 2 ) , a 2 = a 2 в 2 ф D 2 .
Такой физический смысл данного решения обусловлен двумя обстоятельствами: 1)
Ө(1) > Ө(2) > 0, т. е. в начальном состоянии выпуклость излома обращена вверх; 2) в2 > 0, что обеспечивает условие кj2) > 0. Обращаем внимание на то, что опрокидывание происходит в левой части излома, где угол заострения Ө(2) = (п/2)-Ө(2) больше, чем в правой части, (рис. 4, а). Порядок расчетов: задаем Ө(1), Ө j2^ и кР > 0; определяем D из (36); находим D2 = D/в2 ; для вы числения а2 > 0 и th b2 е (0,1) применяем формулы
2 a 2 2 = k j 2 ) h , + [( D 2 + Ө <2))2/2], th b 2 = ( D 2 + Ө < 2))/(2 a 2 )
и подсчитываем th( a 2 1 0) е (0,1). Чем больше параметр кривизны kр , тем быстрее происходит опрокидывание: д 1 0/д( k ( 2^) < 0. Для фиксированных Ө(1), ff j 2', 5 1 , 5 2 всегда существует такое 0 < В 2< В 1 , что (15) выполнено при t е [0, 1 0). Отметим, что здесь нет порога при выборе k ( 2) > 0 . Данное решение, содержащее предвестник опрокидывания, можно рассматривать и при β 1 > 0, β 2 > 0, но тогда, согласно (36), условие D > 0 указывает оценку нижней границы положительных значений kр - запись не приводится.
Пример расчета: Ө(1) = 0,03; Ө (2) = 0,02; 5 1 = 0,9; 5 2 = 1,01; В 1 = 1 К; В 2 = 0,9 К; в 1 = —0,953 м/с; в 2 = 8,53720-2 м/с; kР = 2 - 10 3 1/м; D = 2,83028 м/с; а 2 = 16,5142; th b 2 = 0,9997; 1 0 = 1,928 - 10 - 6 с.
Заключение. Для ячеистого (β = 0) фронта кристаллизации получена корреляция (7) между периодом структуры и радиусом кривизны вершины отдельной ячейки. Значение β = 0 является пороговым: по обе его стороны наблюдаются различия качественных свойств роста. Волны разрушения различаются характером зависимости скорости волны от кривизны фона: [решение (18), (20); β > 0, ∂ m /∂ k p > 0] ↔ [решение (24)–(29); β < 0, ∂ m /∂ k p < 0]. Другие различия соотносятся с режимами заострения и затупления вершины. Волна возмущения: [решения (17) и (18), (19); β > 0, заострение] ↔ [решение (21); β < 0, затупление]. Устойчивый излом: [решение (30), (31); β 1 = β 2 < 0, затупление вершины за изломом, (см. рис. 4, а )]; [решение (32); β 1 = β 2 > 0, заострение вершины за изломом, (см. рис. 4, б )]; [решение (32), (34); β 1 > 0, β 2 < 0, затупление вершины за изломом]. Таким образом, для устойчивых ситуаций (возмущение, излом) положительно-му/отрицательному значению β соответствует заострение/затупление клиновидной вершины. Неустойчивый излом – режим опрокидывания: [решение (32), (36); β 1 < 0, β 2 > 0, опрокидывание за линией излома]. Этот пример в сравнении с устойчивым изломом показывает, что важную роль играет направление перехода, которое характеризуется знаками β перед и за изломом.
Список литературы Эволюция и разрушение линии роста кристалла в переохлажденном расплаве
- Brener, E.A. Pattern Selection in Two-Dimensional Dendritic Growth / E.A. Brener, V.I. Mel’nikov // Advances in Physics. – 1991. – Vol. 40, Iss. 1. – P. 53–97.
- Kurz, W. Progress in Modeling Solidification Microstructures in Metals and Alloys. Part II: Den-drites from 2001 to 2018 / W. Kurz, M. Rappaz, R. Trivedi // International Materials Reviews. – 2021. – Vol. 66, Iss. 1. – P. 30–76.
- Strickland, J. On Directional Dendritic Growth and Primary Spacing – A Review / J. Strickland, B. Nenchev // Crystals. – 2020. – Vol. 10, Iss. 7. – P. 627–656.
- Gurtin, M.E. Interface Evolution in three Dimensions with Curvature-Dependent Energy and Sur-face Diffusion: Interface-Controlled Evolution, Phase Transitions, Epitaxial Growth of Elastic Films / M.E. Gurtin, M.E. Jabbour // Archive for Rational Mechanics and Analysis. – 2002. – Vol. 163. – P. 171–208.
- Шибков, А.А. Морфологический отбор евклидовых и фрактальных форм неравновесного роста льда в переохлажденной воде / А.А. Шибков, М.А. Желтов, А.Е. Золотов // Кристаллография. – 2011. – Т. 56, № 2. – С. 362–366.
- Glicksman, M.E. Capillary-Mediated Interface Perturbations: Deterministic Pattern Formation / M.E. Glicksman // Journal of Crystal Growth. – 2016. – Vol. 450. – P. 119–139.
- Herlach, D.M. Metastable Solids from Undercooled Melts / D.M. Herlach, P. Galenko, D. Hol-land-Moritz – Oxford: Pergamon, 2007. – 448 p.
- Математическая модель образования кристаллических зародышей в переохлажденном расплаве эвтектического сплава / А.Д. Дрозин, М.В. Дудоров, В.Е. Рощин и др. // Вестник ЮУр-ГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». – 2012. – № 11(270), Вып. 6. – С. 66–77.
- Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х Касас-Баскес, Дж. Лебон – Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. – 528 с.
- Седов, Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. / Л.И. Седов. – М.: Наука, 1973. – 492 с.
- Шабловский, О.Н. Морфологические свойства линии роста двухмерного дендрита в переохлажденном расплаве / О.Н. Шабловский // Прикладная физика. – 2012. – № 4. – С. 40–46.
- Шабловский, О.Н. Динамика неустойчивости волновых возмущений и боковое ветвление дендрита в переохлажденном расплаве / О.Н. Шабловский, Д.Г. Кроль // Успехи прикладной физики. – 2022. – № 2. – С. 189–202.
- Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. – М.: Наука, 1968. – 592 с.
- Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. – Москва: Мир, 1977. – 622 с.
- Полянин, А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения / А.Д Полянин, В.Ф. Зайцев. – М.: Физматлит, 2002. – 431 с.