К численному решению задачи Дирихле методом локально-канонического разбиения

Применяются квадратурные формулы повышенной точности, аналогичные методу дискретных особенностей, для решения граничной задачи Дирихле на областях, ограниченных гладкими замкнутыми контурами. Доказывается существование решений приближенных систем, оценивается погрешность вычислительной схемы.

Метод граничных интегральных уравнений, как известно (см. [1]), является одним из наиболее эффективных средств численного решения некоторых классов задач математической физики и механики. При этом, как было показано в [2], решение аналогичных задач на. основе аппроксимации сингулярных интегралов может обладать определенными преимуществами перед обычно рассматриваемыми схемами, основанными на. приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма. Метод аппроксимации сингулярных интегралов в определенном смысле обладает некоторой возможностью увеличения порядка. точности схемы. Это обстоятельство и аспекты конструирования метода, дискретных особенностей (см. [2, 3, 4]) мы будем пояснять более подробно на. примере задачи Дирихле.

Пусть D - конечная односвязная область в плоскости комплексного переменного 2 = хУД, ограниченная замкнутым контуром Ляпунова. L, уравнение которого относительно дуговой абсциссы s есть t = t^ = х^ + iy^, 0 < s <  I, f^ - заданная на. L (действительная) функция. Представление решения соответствующей задачи Дирихле в виде

U(x, у) =Re- f^dt Д G D, 1трД = 0), где рД - искомая действительная функция, приводит к граничному интегральному уравнению (см. [1; §61])

ДКИКеД [ ^-dt = Д^ (t₀ G L). тгг у t-t₀

L

Решение указанной задачи методом аппроксимации сингулярных интегралов заключается в аппроксимации уравнения (1) непосредственно на. основе замены сингулярного интеграла.

(^)(f0) = - [ ДД dt тег J t - to

L

его некоторым приближенным выражением. Конкретно, в этом качестве мы используем метод локально-канонического разбиения контура. L с использованием далее метода, дискретных особенностей, изложенного в [5]. Указанная схема, строится следующим образом. ”

Считая, что L — замкнутый (ляпуновский) контур на. комплексной плоскости, введем систему точек ДД²₃Д разбивающих L на. равные части. Зафиксировав произвольно и (1 ^ и ^ 2п) и положив to = т_р, рассмотрим

1/ тгг J

L

t - т.

dt = (рДД + —

dt t-Tv

(подразумевается, что возрастание индексов в узлах соответствует положительному направлению на. L), причем под обозначением т₈т_р (s < р) понимается кратчайшая дуга, с концами т₈,т_р- т₀ = т_2п (r_J±2n = ту j = 1, 2,... , 2п). Далее, исходя из (1), подынтегральное выражение на. каждой дуге Ту_+аТу_+а+1 будем аппроксимировать линейным интерполянтом по узлам Ту_+а, Ту₊/₊₁. Что касается интеграла, по дуге Ту__1Ту₊₁, то в качестве интерполяционных узлов используем Ту_уТу^_х обходя тем самым узел t_Vi который в данном случае будет контрольным аналогично методу дискретных особенностей (см. [5]). В результате получается следующая квадратурная формула, (см. [4]):

¹ Г W^        X , /     , ДДи-^-рДД             (Д-Щщ) - (ДтД

—  -----dt и <рД^ + Ду_₂ + Pz/O)-- н VPvO + PvVO-------------

Тг J t Ту                                Ту — I    Ту                        Ту_И Ту

L

2n—3

+ 52 ^T" + РиТачД

(7=1

^(Ty+a+l) -

^zv+tr + l   T_v

(z/= l,2,...,2n),

где

_ Ty+1   Ту- l        _ Ty+j + l Ty+j j = 1, 2,... , 2n — 2.

^Pl/0"    2^    ’ ^P"^+]" 2xi ’

Полученная формула. (3) является своеобразной модификацией метода, дискретных особенностей (см. [5])“ так как интеграл рассматривается на. дуге Ту__1Ту₊₁, а. параметр сингулярности to принимает значение Ту в середине дуги Ту-рГу^.

В дальнейшем формулу (3), по определенному соображению, удобнее переписать так

—   ;----dt и Дту) + ) Ду+а +ру+(т+1)----------------,(4)

тг J t - Ту                                     Ту^а^х - Ту гДе

Ту I 1 ^— Ту— 1            4/+? + ! ^{— T}v4i

PvTO =Pv-\- PM = ---X—---, PvT3 = --", j = -n, -n + 1,... ,n _ 1 (7- д -1, j д 0).

Для сингулярного интеграла, в точке t₀ G ТуТу₊₁, t₀ Д т^+i воспользуемся формулой

¹ f v№         х              „     ^(^+<7+1) - L_ny(^-to)

•    , dt ~ p(to) + / VPvTcr + PidTaTl)                 ,,

Tl J t - to                                            Ту+ст+1 - to

L-nv^Vi О) — ^L^^pip'j (tg) — До (to)рДу) + ^i (to)^(^+1) ’

Mto) = ——-^-, ^i(to) = ———, to G t_vt_vVV, to ^ T_vVV. Tv — T^+l              Щу | — T_v

Тогда, квадратурный процесс можно записать в виде

(S^Hto) и p(to) + (Q_nZ/^)(to), t₀ G т„т„₊1, to Д т^, 1 < z/ < 2n, где

(9п^)Ы = 52 (Pv+. _+p„_+a+1)?<^±ik^ „                      ^Tv-\-a-\-i "

К доопределению (QmzpMto) в точке т^+i (как соответствующего предельного значения) достаточно заметить уДу+Д - Lw(ip] to)       _ Д-щ+1) - (Дту)

Tv+l - to ,             Т„+1 - Tv го—тэ+i

При этом непосредственным образом убеждаемся, что вообще

VQn₃^V^T₃^ Д VQn₃^^3^ U = 1,2,... , 2п),

(Q2n,2n’)(^T2n) = (Q2nO^)(To), Т₀ = Т_2п.

В связи с этим, с целью построения заведомо непрерывной на. всем L аппроксимации (что существенно с точки зрения обоснования схемы), мы в дальнейшем, полагая

IQnVHM = IQnjVHM, to G t₃t_jU (t₀ Д 7j₊i), j = 1,2,... , 2n,

(

(^)(t₀) « (5^)(t₀), to EL, где (5_П<Д(!_О) = <Д1₀ЖММ

Доказывается, что оценка, точности приближения (S

 0), причем рм принадлежит классу Гёльдера с показателем /z, выражается формулой max|(SV)(t„) - (SM(to)l = О ||Уг|||НМ.(5)

где.

(^^((^о) — ^(to) + (Qn^)(to) (to G L),

Ь11н(„) = max|<^(t) + sup ^^ /1^ (fi ^ ^),(5')

^L У^еь \t\-W которая справедлива, и для г = 0 и г = 1.

Перейдем теперь к доказательству ряда, утверждений, относящихся к обоснованию изложенной здесь схемы. Обозначим через Н^Д (0 < /z < 1) пространство функций, удовлетворяющих на L условию Гёльдера с показателем р при соответствующем (5') определении нормы. Покажем что при достаточно болвшом п для

(Яп^М^о) = (S'y)(t0) - (S„

при ip Е Н^Д (0 < а < 1) справедлива, оценка.

(111 ть \

_а_р ) Ит’Нящ) (0 3 < а).

Действительно, полагая to Е т^т^-щ (1 < и< 2п), воспользуемся неравенством

(7?_п<р)(1₀) < ^So^HM - Е^ДЗорШо^ + \L_uv Q_ny)(to)|,         (7)

где

^ш^-Д-УДД^»».

лг J t -t0

Учитывая L_ni/(l;tg) = 1, согласно теореме Племеля — Привалова. ([1; §18]) для первого слагаемого в первой части (7) нетрудно получить оценку Оф-Д |Ия_(а) • Ко второму же слагаемому применим оценку (5) при г = 0 (/z = а). В результате получаем

тах|(Д_п^)(1₀) = О — |И1ящ) Д > 1)-соЕЬ                     \      /

Далее, пусть НД2 Е L. В силу (8) находим

\(,Н_пДД^ - (Я„<р)(1₂)

= °(ДД^|М|Н|Ч

Slip                         q

|Щ—#₂|>Я/2      Д-М

Для НД2 таких, что Н — 12 < h/2 можно при достаточно большом п считать НД2 G т₃т_]+1 U т_]+1т_]+2 (1 < / < 2п - 2). Полагая пока, что обе эти точки находятся на. одной дуге разбиения, воспользуемся для Д^ДД - (В_п^)(1₂) аналогичным (7) неравенством. Тогда, учитывая

Фо(Н) ” Фо(^) — Ф1(Н) — ^1(^2) —

Н — ^2

Т//+1 - T_v

= ОДД^! - 12^,

для рассматриваемого выражения нетрудно получить оценку

№¥>№) - №у)(1₂)| = о Д - l₂|^bh_M.

Случай, когда. НД2 находятся на. разных дугах ПП+Ь Tj+iTj+2; очевидным образом сводится к предыдущему.                               .

Возвращаясь к уравнению (1) заметим, что в силу известных утверждений относительно его разрешимости и сингулярных операторов вида. (ЗД(1₀) (см. [2]), оператор К = I + l/2ReS₀ (Я(/Д -Д НД\ 0 < р< 1) непрерывен и непрерывно обратим. В принятом в начале предложении ляпуновости контура. L аналогичное справедливо и в пространстве непрерывных функций. В дальнейшем наряду с уравнением (1), которое будем считать всюду ниже записанным в виде Кр = 1/2/, в пространстве Нф^ будем рассматривать

(Я_п^)(1о) = рДМ + |Re(Q_n^)(to) = ^НМ.

Для разрешимости уравнения (9) рассматривать соответствующие однородные уравнения                                                        '

^(io) + l/2Re(Qn^)(io) = 0                       (90)

и докажем, что начиная с некоторого п они имеют лишь нулевое решение. Для этого воспользуемся утверждениями 1)-2) доказанными в [2]:

• 1)    Пусть {Д} - любая последовательность натуральных номеров с условием j_n/n Щ 0 (п Щ оо). Тогда, при любом v (1 < v< 2п) и ст_оДоД1 таких, что тТ+^ту+^ + х, т_и+Хо,т_и+Х1 G т^т^, справедливо

—^ТД--= ~_;J__A хМОДД/Д Д^оо), Т//+Ао О? ■ A 2ти(А₀Ai)

(Ю)

ГДе wjnh = max Дж (Д - ж (7/)|, |у (Д - У Д)|} -^ 0 (п ^ оо). у-пез^^+аИ

• 2)    При достаточно большом п имеем

1Ш1я(,3) = O(lnn)/i^(^„), где tpn — решение уравнения (9о), а

Кр^Р-пЗ

max l^J^n

^пМ - ^„(тД In - ^ТЛ⁹

U = Z7 + А, А к 0).

Использование (И) вместе с (8) для <р„ (с заменой а на /3) дает max (Дп(р„)(10) = О

КррРт?)

рп —> оо).

Кроме того, можно написать

(М)(Д -

№п^ = |Re(R„^)(i0).

Отсюда, в силу (12) и замеченного выше об обратимости оператора. К находим, что равномерно относительно t₀ G L выполняется

<аДД) = О (     ) К^^Ф^ ^^°°Y                 (13)

Теперь, используя (10), (13) можно показать, что при достаточно большом п уравнение (90) не может иметь нетривиальных решений. Для этого, очевидно, исходя из структуры сумм Q„, достаточно доказать, что начиная с некоторого п имеет место /гп/зДп) = 0.

В дальнейших рассуждениях считаем указанную в утверждении 1) последовательность {Д} выбранной так, что для заданного р G (0,1) и любого б G (0,1] верно j9 In2 п -Д 0,   п"5з9+5 -Д 0 (n Н- оо).                       (14)

Переходя непосредственно к оценке Д^ДД, разделим множество узлов t_Vit^ = т_у^\ на. j - Ц > j_n, j - Ц < Д. Используя (13), получаем

ДпДД - рпДД\                      (\Дп\ max --=-----5--= О — щах ДДтр^ = О —з- Д^ДД Д -Д оо).

и-^1>у Д-м \jU ^x^²ⁿ         \ jn /

, ,

В оценке соответствующего выражения при \j — v\ ^ j_n, очевидно, достаточно ограничится j = и + А (А = 1,2,...      1 < j_n< f, ! < j< 2п). Учитывая, что в силу

(9о)

^„(т^+а) - <РпДД + -Re [(Qn^+A^nK^+A) - (Qn^nK^)] = 0,(16)

разобьем суммы в выражениях ДД^рД ДД и ^ппдх^рДД^ соответственно на. Е^мЕ^иЕ^з-Е^.где

7 V^ Е          ( I \ ^Дп+а+Д - РДД

( / . . , ) (^п) — / у kPv+a+l + Рп+Д,

Tv^a^-Tv

ДДы- Е w-.m»^-^^^.,

V 7                                т^+^+1 - т^+А сгДХ — 1

^а Еу^Еущ содержат суммы остальных слагаемых соответственно в ^_п^ДДД и ^^+х^ДДплхУ

Воспользовавшись в суммах Еу„1’Еу„з представлением (10), убеждаемся (учитывая 1_тфДД = 0), что в получающихся в результате слагаемых главные члены оказываются чисто мнимыми, поэтому

Ref q ~ УЁ • 1 ) ^Д ^— ОДод^ДН.прДДК    ^|-з ~ ^ ЗпОДу^нД^рДД.

\      Jn

4                      7                                       <7=1

К (EJn4,EJn2)(^) применим представление

(-(2j„ + l)       п А

<7=-(n-l) a=2_Jn41j

/ ^-(2jn + l) п

^Pn+a+1 + Pn+a ,        Д V-^      Y^-^

x------------+ Дп+Х - Т_У) X + У

^tx + ^ + l 1"v                       \      ( л\ —о¹ 1 1

У<7= —(n—1)   <7—2jn + l

^(Tiz+a+l) - ^(т^+а)

ДпЛаЛ\ - Tz/+A)(Tz/+ff+i - тД ’ заметив при этом, что сумма со множителем т^х - т„ в соответствующем представлении может быть оценена, выражением вида.

ОД²Х^ max (р„(т„)

1^р^2п

Д1/+а+1 + Piv+a')

=2?п + 1 ^^^^Т^{1 s}i/+a| |^si/±si/

На основании этого, воспользовавшись соотношением (13) убеждаемся, что рассматриваемая сумма

^Тр+х - т^

— (2jn + l)       п

Е + Е а= — (п — 1) a—2jn + l

(Piz+o-H + Ру+сг)

^(Ty+a+l) - ^(т^+д)

(Ту_+ст+1 - T^+AjtT^+^+i - Т„)

^(^n)’

Оставшуюся сумму в выражении Sj„4 ^—^j_n2 ) (^п) представим в виде Аущ^Д +

^jnl^Tl'l —

Py+2j_n + l        Ру-23п

[^„(т^+а) - ^ДтД],

TvVljn-W ^{— т}и ^ту-2з_п^{— т}у

Pi/+2j_n+2 __^_ у^ Ру+а-Н + Pv^a

Ту^23^2 - TV ^^ Т^ + г - Tv

Py—2jn — l

Ty-2jn — ТУ

+

Ру—<т+1 + Ру—а

Ту—(т+1   T_v

\хДТу+Х^ - Pn^Y

Очевидно Aj_ni(y„) = Of/i^A^ ^/г,^ (?„). Относительно X_jn2 заметим, что множитель для Ш^+аЬ^Ы) можно рассматривать как усложненную квадратурную сумму (см. [6]) для интеграла

1 f ^dt

-кг J t-Tv'

l_n = L\T„__2jnT„_+2jn (п^оо).

Для соответствующего остаточного члена гп(?п), можно написать

|г_п(у_п) = О(/г²) 52 ™ I,¹ 12 = ОШ 52 А = °^п^ ^ ⁰ Ьг ^ оо). (18) _CT=23n + l^{tEn d Tv}'          a=2j„ + l^(T

Легко вычисляется, что (см. (10))

1      = ^Т-И^ ~ ^Т-₌ 1 + In f 1 +       ₌ I + О_М.

кг] t-Tv кг Tv^2jnVV-Tv        \   1 - wJnh ]

Последнее вместе с (18) дает

Ау,₁₂(^п) = [-1 + О(7п^Х) + Otwy^JJ^nt^+A) - <£пЫ], гг -Д оо.

В результате, с учетом (16) получаем

Рп^+х") - РпМ 1       рДТу+х') - VnM

\ту+х-ту\3         1 + М \ту+х-ту\3

+^О^п-⁵з^⁵НОи;³^п^_п3Ы=0₁ 1<А<ь,        (19)

где б (0 < б< 1) показатель в условии Ляпунова для контура L, е_п —> 0 (п —> оо). На основании этого и (14), (15) следует требуемое утверждение Н_пДД = 0 при достаточно большом п. А это означает, что у_п(1₀) = 0 - тривиальное решение для уравнения (9₀) начиная с некоторого п> по.

Далее рассмотрим тождество ф-фп = ^К;ЧКп-К)К"Д.

Из выше доказанного следует, что операторы К_п в пространстве НД) имеют непрерывные обратные. Тогда, на. основании оценки (6), учитывая, что у и у„ решения уравнений (1) и (9) при у) G НН (а > /1), имеет место

(In²п \                                         ,

ДДД)  Ь^зД.               (20)

Таким образом справедлива.

Теорема. Пусть D - конечная односвязная область, ограниченная замкнутым контуром Ляпунова. L, /(f) - заданная функция на. L Действительная), удовлетворяющая условию Гёльдера НД) (0 < a< 1), тогда, вычислительная схема (9) для граничной задачи (1) при п > п₀ имеет единственное решение ф_п и справедлива оценка. (20), где a > /3.

Наконец отметим, что можно построить квадратурные формулы по методу локальноканонического разбиения более высокой степени точности. В частности, вместо интерполяции с двумя узлами можно взять три или четыре узла. В этом случае обоснование вычислительной схемы проводится аналогично, но при существовании соответствующих производных оценки будут более высокого порядка.