К необходимым условиям оптимальности первого и второго порядка в задаче оптимального управления дискретными системами уравнений типа Россера

Ряд процессов из техники описывается дискретными системами уравнений типа Россера (см., например, [1–5]). Заметим, что дискретные двумерные системы уравнений типа Россера представляют собой дискретный аналог канонического гиперболического уравнения первого порядка [6–10]. В работе [11] изучены некоторые задачи оптимального управления процессами, описываемые нелинейными дискретными системами уравнений типа Россера и установлены некоторые необходимые и достаточные условия оптимальности.

В предлагаемой работе исследуется одна задача оптимального управления процессом, описываемая разностным уравнением Россера при предположении, что одно из краевых условий системы уравнений определяется как решение нелинейного разностного уравнения Вольтерра. Применяя один вариант метода приращений, при предположении об ограниченности и открытости области управления, вычислены первая и вторая вариации функционала цели и с их помощью получены непосредственно выраженные через параметры задачи управления необходимые условия оптимальности первого и второго порядков.

Заметим, что ряд необходимых условий оптимальности первого и второго порядка в задаче оптимального управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с нетиповым критерием качества, получен также в работе [12].

• 1.    Постановка задачи

Предположим, что управляемый сложный процесс описывается системой нелинейных двумерных разностных уравнений:

z(t + 1, %) = f(t, х, z(t, х), y(t, х)), t = t o , t o + 1,... ,^ — 1,Х = X o , X o + 1, ... , Х 1 , y(t,х + 1) = g(t, x,z(t, х),y(t, х)), t = t o , t o + 1, ..., t i , х = % o , X o + 1, . , % i - 1,     (1)

с краевыми условиями

z(t₀,x) = а(х) х £ X = {х = x₀,x₀ + 1, .,х 1 },

y(t,X o ) = b(t), t = t o ,t o + 1, ...,t i .                           (2)

Здесь f(t,x,z,y) (g(t,x,z,y)) — заданная n ( m )-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (z, у) до второго порядка включительно, t_o, x₀, t 1 , х 1 —заданные числа, причем, разности t 1 — t_o и х 1 — x₀ есть натуральные числа, b(t) — заданная m -мерная дискретная вектор-функция, а(х) — n -мерная вектор-функция, являющаяся решением одномерного нелинейного обыкновенного разностного уравнения типа Вольтерра:

X

• а⁽х + 1) = У F(x, s, a(s'), u(s)) , х = x₀, x₀ + 1,..., х 1 — 1,           (3)

S=X o с начальным условием

a(x o ⁾ = a o .                                    (4)

где F (х, s, а, и) — заданная, n -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (а, и) до второго порядка включительно, a₀ — заданный постоянный вектор, а и(х) — г-мерная, дискретный вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и открытого множества U с R^r , т.е.

и(х) £ U с R^r,x = x₀,x₀ + 1, ..,х 1 — 1.                       (5)

Управляющие функции и(х), с подобными свойствами, назовем допустимыми управлениями , а соответствующие им процессы (u(x'),a(x'),z(t,x'),y(t,x)^>)— допустимыми процессами .

На дискретных решениях краевой задачи (1)-(2), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим функционал:

X 1 -1                  ^ 1 -1

S(u) =

^(а⁽Х 1 )) + У G 1 ⁽z(t 1 ,x^) + У G 2 ⁽y(t,X 1 )'⁾.

X=X0                  t=t0

Здесь ^(а), G1(z^ и G2(y) — заданные дважды непрерывно-дифференцируемые, скалярные функции.

Допустимое управление u ( x ), доставляющее минимальное значение функционалу

• (6)    при ограничениях (1)-(5), назовем оптимальным управлением .

2. Формула приращения функционала критерия качества

Рассмотрим задачу о минимуме функционала (6) при ограничениях (1)-(5), при предположении, что минимальное значение функционала (6) при ограничениях (1)-(5)

существует.

Целью работы является вывод необходимых условий оптимальности первого и второго порядка в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Предположим, что (u(x), a(x), z(t, x), y(t, %)) - некоторый допустимый, а (u(x) = и(х) + Au(x),a(x~) = a(x) + Aa(x),z(t,x) = z(t,x) + Az(t,x'),y(t,x) = y(t,x) + Ay(t, x)) — произвольный допустимые процессы.

Запишем приращение функционала качества (6):

S(u + Au) — S(u) = ^(a(x₁)') — ^(a(x 1 )) +

xi-1

^t i -1

+ У ^[G 1 ⁽z(t 1 ,x)) — G 1 ⁽z(t 1 ,x)^)] + У [G 2 ⁽)/(t,x 1 )⁾ — G 2 ⁽y(t,x 1 ))^]. x=x₀                                    t=t₀

Ясно, что Az(t, x), Ay(t, x) и Aa(x) будут решениями задач

Az(t + 1, x) = f(t, x, z(t, x), y(t, x)) — f(t, x, z(t, x), y(t, x)), Ay(t,x + 1) = g(t,x,z(t,x),y(t,xy) — g(t,x,z(t,x~),y(t,x)), Az(t₀,x) = a(x),

Ay(t, x₀) = 0, x

Aa(x + 1) = У (F(x,s,a(s),u(s)~) — F(x,s,a(s'),u(s))'), s=x 0

a(x0) = 0.

Введем аналоги функции Гамильтона–Понтрягина:

H(t, x, z, y, p, q) = p ' f(t, x, z, y) + q ’ g(t, x, z, y)),

X i

M(x,a,u,^) = У ^ ' (s)F(s,x, a(x),u(x)).

s=x

Здесь p(t,x),q(t,x) и ^(x) — пока неизвестные дискретные соответствующих размерностей.

Легко видеть, что

функции

t i -1 x i -1

t i -1 x i -1

У У p ' (t,x)Az(t + 1, %) +УУ q'(t,x)Ay(t,x + 1) = t=t₀ x=x₀                          t=t₀ x=x₀

t_i X j -1

t i -1 x i

= У ^ p ' (t-1,x)Az(t,x)+ ^ У q ' (t,x-1)Ay(t,x) =

t=t0+1 x=x0

t = t0 x=x0+1

x i -1                                                t i -1 x i -1

= У [p'(t1,x)Az(t1,x) — p'(t0,x)Aa(x)] +УУp'(t — 1, x)Az(t, x) + x=x0                                           t=t0 x=x0

^t i ^-1

t i -1 x i -1

+ У q'(t,x 1 )Ay(t,x 1 ) +УУq ' (t 1 ,x — 1')Ay(t,x'). t=t₀                        t=t₀ x=x₀

Учитывая введенные обозначения, тождества (8)–(12), и применяя формулу

Тейлора до второго порядка, приращение (7) функционала (6) представляется в виде

S(u) — S(u) = °^ (a(x1)) Aa(x1) + 1Aa'(x1) d2V(a(x1) Aa(x1) + O1(^Aa(x1)^2) + oa             2oa xi-1      ,         4x

+ У        x1^ Az^^^^Az^x-) +

2—I      oz                 2 2—1oz x=x0x=x

X 1 -1                        ^ 1 -1

+ У O 2 (|Zz(t₁.x)|²) + ^

x=x0                       t=t0

1 t 1 -1

+ ^У Ay'^xO t = t o

d²G 2 (y⁽t. x ^ )) dy²

dG2(y(t.x1)) ----—----Ay(t.x1) + t1-1

Ay^.xJ + ^ ОзО^у^х^!!²) + t = t o

X₁-1                       X₁-1

dM ' [x.^]

^ ' (x — 1)Aa(x) — у l-- —--Aa(x) +

=X o                      x=x o

dM’[x.^]      1   1^Xf^¹[

+--^r^Au(x)| —2У \Aa ' (x)

X = X o

32M[x.^]

+2Au ' (x)———--- Aa(x) + Au ' (x)

duda

d2M[x.^] da2

d²M[x, ^] du²

Aa(x) +

Au(x)] —

X1-1                                   X1-1

— У 0 4 ^([!^a⁽x)^! + \\Au⁽x)\\^]2) + У p ' ⁽t 1 — 1.x)Az⁽t 1 .x) —

X=X o                                 X=X o

X 1 -1                           t 1 -1 X 1 -1

— У p ' (t₀ — 1.x)Aa(x) + У У p ' (t — 1.x')Az(t.x') +

X=X o                         t=t o X=X o

^t 1 ^-1

t 1 -1 X 1 -1

+ У q'(t.x 1 — 1)Ay(t.x 1 ) + У ^У q ' (t. x — 1)Ay(t.x) — t=t₀                               t = t₀ X=X₀

t 1 -1 X 1 -1

—Hl t = t₀ X=X₀^L

dH[t. x, p.q] dz

dH[t.x.p.q]        I

Az(t. x) +-- LL^a, Ay(t. x) I —

Oy            J

t 1 -1 X 1 -1

1 V     Г         d²H[t.x.p.q]

— 2У У [Az ' (t.x)--- ₂^.^4J Az(t.x)+Az ' (t.x)

t = t0 X=X0 L

d2H[t, x.p.q]

d2H[t.x.p.q] ,   . л        d2H[t,x,p,q]

+Ay (t. x)---——----Az(t. x) + Ay (t. x)----——---- dydz                        oy2

t 1 -1 X 1 -1

—УУo^Az^.x^W + ^Ay^.x^]2).

t=t0 X=X0

dzdy

Ay(t.x)] —

Ay(t. x) +

Здесь по определению

H[t.x.p.q] = H(t.x.z(t.x).y(t.x).p(t.x).q(t.x)).

M[x.^] = M(x.a(x).u(x).^(t.x)).

Учитывая произвольность вектор-функций, p(t.x).q(t.x) и ^(x). теперь предположим, что вектор-функции p(t.x).q(t.x) и ^(x) — являются решениями задач (аналоги задач Коши для разностных уравнений):

dH[t.x.p.q] p(t —1.x) =------------.

oz

p⁽t 1

—

1,x) =

q(t.x — 1) =

dH[t. x. p.q] dy .

^(y^i)) q(t,x± - 1) =---------, dy dM[x, —]

-⁽x - 1) = —-----+ p⁽t₀ - 1,x), oa

M^a(x i )) ^^(xi ^— 1) =--д-----.

oa

Следуя общепринятым терминам (см. напр., [8, 9,  13–15]), их назовем сопряженными системами или задачами для рассматриваемой задачи оптимального управления.

Тогда формула приращения (13) примет вид:

S(u)-S(u) = -Aa'^)— ^⁽ ( ⁱ)⁾ Aa(x₁) + o₁(|Aa(x₁)H²) +

X1-1                             .X

+ |У Az'(ti,x)^1^1^Az(ti,x)+ У O2(|zlz(ti,x)H2) + + 2

X=X o

1 ^£ 1 -1

+ 2 У Ay '^ x i )

0 2 ^ 2 (y⁽t, x i ))

t=t o

X1-i

-У

X=X o

0M ' [x, -0] du

dy2

X=X o t i -i

△y(t,xi) + У O3(HAy(t,xi)H2) - t=to

X 1 -1

Au(x) — - У [

X=X o

02M[x, —]

△a' (x)--—--Aa(x) + oa2

o2M[x,—]              92M[x,-]

+2Au'(x)———---Aa(x) + Au'(x)--7-5--Au(x)l - ouoa                   ou2        J

Xi-i

- У оЛИМ*)» + |Mu(*)l|]2) +

X=Xo ti-i Xi-i

--У У [Az ' (t,x)^d^^^Az(t,x)₊Az ' (t,*)^d^[^

2 2_। 2-i               oz2                            ozoy t = t0 X=X0 L o2H[t,x,p,q] ,   . A        d2H[t,x,p,q]         1

+Ay (t, x)---—----Az(t, x) + Ay (t, x)----—----Ay(t, x) l - oyoz                          oy2            J ti-i Xi-i

-УУo5([||Az(t,x)|| + IMy^x)!!]2).          (14)

t=t0 X=X0

Из разностных нелинейных задач (8)–(9) и (10)–(11), в силу гладкости правых частей уравнений (1) и (3) применяя формулу Тейлора, получаем, что приращения Az(t, x), Ay(t, x) и Aa(x) являются решениями следующих неоднородных линеаризованных краевых задач:

Az(t + 1, x) = /^(t, x, z(t, x), y (t, x))^z(t, x) + /y(t, x,z(t, x),y(t, x))Ay(t, x) + +o6(HAz(t,x)H + HAy(t,x)H),(15)

Az(t0,x) = Aa(x),(16)

Ay(t,x + 1) = ^z(t,x,z(t,x),y(t,x))Az(t,x) +^y(t,x,z(t,x),y(t,x))Ay(t,x) + +07(||Az(t,x)|| + ||Ay(t,x)||),(17)

4y(t,xo) = G,(18)

X

Aa(x + 1) = У F_a(x,s,a(s),v(s))Aa(s) + F_v(x,s,a(s),v(s))Au(s) +

S=X o

+o8(I\Aa(s)\I + \lAu(s)\I),(19)

Aa(t,x0) = 0.(20)

Учитывая открытости области управления U, специальное приращение допустимого управления u(x) можно определить по формуле

△u£(x) = г8u(x),x = x0,x0 + 1,..., x1 — 1.(21)

Здесь г достаточно малое по абсолютной величине число, а 8u(x) £ R^r,x = x₀,x₀ + 1, ., x 1 — 1 — произвольная дискретная и ограниченная вектор-функция (допустимая вариация управления u(x)).

Через (Aa_£(x), Az_£(t, x), 6y_£(t, x)), обозначим специальное приращение состояния (Aa(x), Az(t, x), Ay(t, x)), соответствующее специальному приращению (21) управления u(x).

Учитывая формулу (21) и линеаризованные задачи (15)–(16), (17)–(18) и (19)–(20) доказывается следующее утверждение.

Лемма. При сделанных предположениях имеют место разложения:

Az£(t, x) = z8z(t, x) + o9(t, x; г)(22)

Ay£(t,x) = г8y(t,x) + o10(t,x;г),(23)

Aa£(x) = г8a(x) + o11(x; г)(24)

где o₉(t, x; г), o₁₀(t, x; г) и o₁₁(x; г) порядки малости

Здесь      (8a(x), 8z(t, x),8y(t, x)),      вариация      вектора      состояния

(a(x), z(t, x),y(t, x))), являющаяся решением линейной задачи:

8z(t + 1,x) = f_z(t, x, z(t, x),y(t, x))8z(t,x) + f_y(t,x,z(t,x),y(t,x))8y(t,x), (25)

8z(t0,x) = 8a(x),(26)

8y(t,x + 1) = gz(t,x,z(t,x),y(t,x))8z(t,x) + gy(t,x,z(t,x),y(t,x))8y(t,x),(27)

8y(t,xQ) = 0,(28)

X

8a(x + 1) = У Fa(x, s, a(s), v(s)) 8a(s) + Fv(x, s, a(s), v(s))8u(s),(29)

S=X o

8a(t,x0) = 0.(30)

Принимая во внимание формулу (21) и разложения (22), (23), (24) из приращения (14) функционала получаем, что

X1-1X

, ч d2M[x,^]   , ч

8 a’(x)--—--8a(x) + da2

S^Su)—S(u) = ^y Э-^^)—^, du2

X=X0X=X d2M[x,^]               d2M[x,^]1

+28u’(x)———---8a(x) + 8u'(x)----8u(x) — duda                   du2J ti-1 Xi-1

£² V V Г        o²H[t,x,p,q]                 o²H[t,x,p,q]

• — ^ЪЪ \8z ' tt,x)---j^^-8z(t,x++8z’(t,x)---^,_L_^_Sy(t,x+ +

t=t0 X=X0 L o2H[t,x,p,q]                    d2H\t,x,p,q]1

+8y ' tt,x)--- t^p^Sztt.x+Sy’tt.x)--- ^Ld_y/^,qJ Mt,x)l +

X i -1

+ ^Sa‘txi)^2^^^.Satxi)+^2 ) Sz^i.xf61^+

2            oa2              2oz

X=XQ tl — 1                         x

£² V           d²G₂(ytt,x₁))

+ -) 8y'(t,x1)---2-^-^>Sytt,x1).(31)

• 2 Z_i

• 3. Необходимые условия оптимальности

t=t0

Из доказанного специального приращения (31) функционала (6) получаем, что первая и вторая вариации (в классическом смысле) функционала имеют соответственно вид:

Xi-1

.            v oM ' [x,^]

81S(u;8u) = — ) --------

8u(x),

t32)

Z—।

X=X0

,                   o2^(atx1))                        d2G1(z(t1,x))

82S(u; 8u) = 8a'tx1)----—=----8atx1) +  )  8z'(t1,x')-----—-----8ztt1,x) + oa2              Z—।

X=X0

t1-1                    z         x

. V c     A °^2G 2 ⁽y^(t,x 1 ⁾) _c . V L ^м&ф] _{f A} ,

+ Ъ 8y (t,x1)----^2----8y(t,x1) — ) \8a tx)—--8a(x) + t=t0                                           X=X0 L s d2M[x,d]   „ ч       „  d2M[x,ip]   л J

+28u'(x)———---8atx) + 8u'tx)--—-;--8u(x) — ouoa                   ou2        J ti-1 Xi-1

Z V Г        d²H[t,x,p,q]                 d²H[t,x,p,q]

)   \8z ' (t,x)----'^-^-88z(t,x++8z'(t_lx)---- 1 '_я     8y(t,x) +

£—1              oz2                          ozoy t=t0 X=X0

d²H[t,x,p,q]                    d²H[t,x,p,q]        1

+8у' tt, x)---- g ,_ydP   8z(t, x) + 8y ' (t, x)---- ^L _9y2 ^,P,qJ 8y(t, x) l.      (33)

Ясно, что в силу открытости области управления для оптимального допустимого управления необходимо, чтобы первая вариация функционала равнялась нулю:

Xi-1

V °^M ' ^[x,^^] — > --------8u(x) = 0.

• Z—1     ou

X=X0

Здесь ^aW^ '^ ^] градиент скалярной функции M[(, ф] по u .

Отсюда, в силу произвольности допустимого управления 8u(x), следует следующее утверждение

Теорема 1. (необходимое условие оптимальности первого порядка). Для оптимальности, допустимого управления utx), необходимо, чтобы соотношение

QM[^,^] о du t34)

выполнялось для всех { = x₀, x₀ + 1, ^, x 1 — 1.

Необходимое условие оптимальности (34) является аналогом уравнения Эйлера из вариационного исчисления (см., например, [13]) для рассматриваемой задачи оптимального управления.

Введем в рассмотрение одно определение.

Определение. Каждое допустимое управление, являющееся решением уравнения Эйлера, назовем классической экстремалью .

Для сужения множества классических экстремалей надо иметь новые необходимые условия оптимальности.

Из классического вариационного исчисления известно, что для оптимальности классической экстремали необходимо чтобы вдоль него вторая вариация (33) функционала (6) была неотрицательной.

Следовательно, справедливо следующее необходимое условие оптимальности второго порядка.

Теорема 2. Для оптимальности классической экстремали u(x), в рассматриваемой задаче управления необходимо, чтобы неравенство д2р (a(x1))         V         д2G1(z(t1,x))

a a'(x1)----—----aa(x1) + > az'(t1,x')-----—-----az(t1,x) + да2                  ।                 дz2

X = X o

^1~1                    Z         \X

,          A ^d 2 ^G 2 ⁽y(^t,X 1 ⁾)_{f Л} V L ,Г ^ММ] _f

+ > ay (t,X1)---—----ay(t,X1) — > laa (x)——--аа(х) + t=t0                                           X=X0 L д2M[x, b]                d2M[x,ib]1

+2au'(x)————aa(x) + au(x)———au(x) — дида                   ди2J ti~1 Xi~1

Г         д²H[t,x,p,q]                   д²H[t,x,v,q]

• > laz ' (t,x)—^^az(t,x) + az ‘ (t,x)— ,’^р,^ ay(t, x) +

Z_i              дz2                          дzдy t=t0 X=X0

д²H\t,x,p,q\                    д²H[t,x,p,q]        1

+ay ' (t,x)—^:r^az(t,x) + ay ' (t,x)—L_^ay(t,x)l>0    (35)

выполнялось для всех допустимых вариаций au(x) Е R^r,x = x₀,x₀ + 1, .„,x₁ — 1 управления.

Как видно, неравенство (35) является общим необходимым условием оптимальности второго порядка, носящим неявный характер и поэтому проверка его выполнения – достаточно сложная задача.

Следовательно, возникает необходимость в получении новых необходимых условий оптимальности, носящих явный характер.

Займемся этим вопросом.

Введем обозначения

F_u[s,x] = F_u(s,x,a(x),u(x)), f_y[t,x] = f y (t,x,z(t,x~),y(t,xS), f z [t,x] = f_z(t,x,z(t,x),y(t,xy).

Заметим, что линейные задачи (25)–(26), (27)–(28) и (29)–(30) являются аналогами уравнений в вариациях (см., например, [13]) для рассматриваемой задачи оптимального управления.

На основе формулы о представлениях линейных неоднородных разностных уравнений типа Вольтерра (см., например, [14]), решение задачи (29)-(30) 8а(х) представляется в виде

Ф(х, s —

х-1

1) = ^Ф(х,т)

dF [т, s] да ,

T=S

Ф(х,х — 1) = Е,

где Е — (п х п) —единичная матрица.

Далее через V j_;- (t, х; т, s), i,j = 1,2 — обозначим решения линейных неоднородных разностных матричных задач:

7ц(^х;т — 1,s) = V 11 (t,х;т,s)f_z[т,s] + V^Ct, х; т, s)#^, s],

V 12 (t, х; т, s — 1) = Гц (t, х; т, s)f_y [т, s] + V 12 (t, х; т, s)g_y [т, s] У 21 (^х;т — 1,s) = V 21 (t,х;т,s)f_z[т,s] + V 22 (t,х;т,s)g_z[т,s],

= V 21 (t,х;т,s)/ y [т,s] + V 22 (t,х;т,s)g y [т,s],

V 11 (t,х;t — 1,х — 1) = Е 1 , V 11 (t, х; t — 1, s) = 0, х₀< s < х — 1, V₂₁(t,х; t — 1,х) = 0,х₀< s < х — 1,

V 22 (t,х; t — 1,х — 1) = Е 2 ,

V12 (t, х; т, х — 1) = 0, t0 < т < t — 1,

V22 (t, х; т, х — 1) = 0, t0 < т < t — 1

Решения (5z(t,х), 8y(t, х)) задач (25)-(26) и (27)-(28) могут быть представлены в виде

8z(t,х) = V 11 (t, х + 1; t₀ — 1, х)5а(х) +

х-1

^ V 11 (t,х + 1;

t0 — 1, s)5a(s),

s=% 0

х-1

8y(t,х) = У V₂₁(t + 1, х; t₀ — 1,s)5a(s).

s=% 0

Отсюда, принимая во внимание представление (36) для решения 5а(х), получим, что х-1

6z(t,х) = У [V 11 (t,х + 1; t o — 1,s)Q 1 (х,s) +

S=X o

х-1

+ У V 11 (t,х + 1; t o — 1,s)Q 1 (т,s)l 5u(s),

T=S                                 J

X-1 г X-1

5y(t,х) = У I У V 21 (t + 1,х; t o

S=X0 Lr=s + 1

—

1,т)^ 1 (т, s)] 5u(s).

Введя обозначения x-1

Q2(t,x,s)= У Vii(t,x + 1; to - 1,t)Gi(t,s) + 7ii(t,x + l; to - 1,x)Qi(x,s), t=s+1

x-1

Q 3 (t,x,s)= У Vn(t + 1,x; t o

T=S + 1

формулы (37) и (38) записываются в виде

-

1,t)G i (t, s'),

x-1

8z(t, x) = У Q₂(t, x, s) 8u(s),

S=X o x-1 8y(t,x) = У Q₃(t,x,s) 8u(s).

S=X o

Используя представления (36), (39), (40) займемся преобразованием слагаемых в неравенстве (35).

Следуя схемам, применяемым в работах [15, 16], доказывается, что

Xi-1Xi-1

d²m(a(x1))          v^-1 V                d²w(a(x1))

8a'(x 1 )---— ---^8a(xJ = У У 8u ' (t)Q i (x i ,t) ---—----Q i (x i ,s)8u(s), (41)

oa²              Z—1 z_1                    oa²

T=X o S=X o

XT1          02G1(z(t1,x))

У 8z'(t1,x)---1y^-^8z(t1,x) = oz2

X=X o

x_i-1x_i-1        Г x_i-1

= Il8ud У .

t=x₀ s=x₀        [x=max(r,s)+1

t i —1

У 8y ' (t,x i ) t=t o

0²G 1 (z(t 1 , x))           1

Q 2 (t, x, t)-----— ----- Q 2 (t, x, s) I 8u(s) ,

d²G 2 (y⁽t,x i ))

-----ay-----⁸y^(t,^x i ) =

X i — 1X i — 1         [^ 1 — 1

= У У 8и ' (т⁾|У Q 3 ⁽t,X i ,T)

T=X0 s=x0         [t=t0

d²G 2 (y(t,x i )) dz²

Q₃(t, X i ,s)j 8u(s),

t i -1 X i -1

o2H[t, x, p, q]

У 8z'(t, x)---^-p^8z(t,x) = t=t0 x=x0

X i -1X i -1        rt i -1    X i -1

= УУ8и ' (т)|У У t=x₀ s=x₀        [t=t₀ x=max(r,s)+1

02H[t, x, p, q]

Q2 (t, x, t)-----—-----Q2 (t, x, s) 8u(s) , oz2

t i ^{-1 x} i ^-1

Z V       o²Hlt,x,p,ql

У 8z'(t,x)---^^fq8y(t,x) = t=to X=Xo

X i -lX i -1        rt i -1    X i -1

= УУ8и ' (т)|У У t=x₀ s=x₀        [t=t₀ x=max(r,s)+1

d2H[t,x,p, q]

Q2 (t, x, t)-----——------Q3 (t, x, s) \ 8u(s) , ozdy

t i -1 X i -1

Z V        d²H[t,x,p, q]

Z ^'(t,*)—^г^5^-х= = t=to X=Xo

X i -1 X i -1         rt i -1     X i -1

ZZ  ■ Z Z t=x0 5=x0         |_t=t0 X=max(r,s)+1

Q3(t, X, T^-^t,*^^      s)] 8u(s), dydz

t i -1 X i -1

Z V         d²H[t, x, p, q]

Z 8y'(t,x)----^,^2^P,qZ8y(t, x) = t=t0 x=x0

Xi-1 Xi-1

= Z Z *u'W

T=X o S=X o

t i -1     X i -1

Z J   Q 3 (t.x,r)°^2HI^Q₃(t,x,s)

t=t_o x=max(r,s)+1

8u(s) ,

d2M[x,^]

Z 8a'(x)--r^-^8a(x) = oa2

X=Xo xi—1 xi—1         Г    xi-1                                      ]

= ZZ8u'(T)l Z   Q1(x,T)—^^Q1(x-s)|8u(s), t=x0 s=x0        [x=max(r,s)+1                              J

xi-1                                xi-1Г xi-1

Z«u7x)⁰²^^Sa(x)=Zli’u ' (s)

X=Xo                            X=Xo [s=X+1

d²M[x,^] duda

Q 1 (s, x)8u(x)].

• (46)

• (47)

• (48)

• (49)

Введем в рассмотрение (n x n) матричную функцию:

д²ф (a(x₁)) y(T_>s) = —Q ' (x_1>T)   ^2

Xi-1

d2M[x, ^]

Q 1 ⁽x 1 , s) +    Z     Q 1 ⁽x, T) ——---Q 1 ⁽x, s) —

Z— ।               da²

—

Xi-1

Z Q 2 (t,x,T)

x=max(r,s)+1

x=max(r,s)+1

d2G1(z(t1,x))

--- ^2    Q 2 (t,x,s)

—

t i -1

V           d²G₂(y(t, x 1 ))

— Z Q 3 ⁽t, x 1 , T)-----—----- Q 3 ⁽t, x i ,s) +

Z—1dz t=to ti-1X

' d2H[t, x, p, q]

Z Q2 (t, x, t)----—----Q2 (t, x, s) + t=to x=max(r,s)+1

ti-1X

Z V            d²H[t, x, p, q]

Z      Q 2 (t, x, t)---- 1         Q 3 (t, x, s) +

Z—1                dzdy t=to x=max(r,s)+1

t i -1     X i -1

Z V           d²H[t,x,p, q]

Z     Q3 (t, x, T)----—---— Q4 (t, x, s) +

Z_i                dydz t=to x=max(r,s)+1

^t i ^{-1     X} i ^-1

Z V          d²H[t,x,p,q]

Z     Q 3 (t, x, t)---- ^ ?,' Q 3 (t, x, s).

t=to x=max(r,s)+1

Учитывая доказанные тождества (41)–(49) и обозначение (50), неравенство (35) записывается в виде

Х 1 -1Х 1 -1                          Х 1 -1 ГХ 1 -1

ЕЕ 6u'(t')K(t,s')6u(s') + 2

Т=Х₀ S=X₀                         Х=Х₀ [х=х+1

д2М[х/ф]             ]

би'(s')———---Q1(s,x)би(x)\ + дида

Х 1 -1

_ д2М[х,^]   _ _ би'(х)----—г---би(х) < 0.

ди2

Х=Х0

Сформулируем полученный результат.

Теорема 3. Для оптимальности классической экстремали и(х) необходимо, чтобы неравенство (51), выполнялось для всех допустимых вариаций 8и(х) управления и(х).

Неравенство (51) является необходимым условием оптимальности второго порядка и носит довольно общий характер.

Из него, определяя допустимую вариацию би(х) управления специальным образом, нетрудно получить ряд необходимых условий оптимальности второго порядка, непосредственно выраженных через параметры рассматриваемой задачи оптимального управления.

Приведем одну из них.

Теорема 4. Для оптимальности классической экстремали и(х) необходимо, чтобы неравенство

(         д2М[х,ф]\ к' ( К(0, 0) +--)v<0

\            ди2   )

выполнялось для всех в Е Х\х 1 и v Е R^r .

Доказательство. Используя произвольность вектор-функции би(х) определим его по формуле г г Л _ Гк,х = ^Е Х\х1, би(х (  и(е),х*%.                  (53)

Здесь v Е R^r — произвольный, ограниченный вектор, а f произвольная точка.

Учитывая формулу (53) в неравенстве (51), приходим к необходимому условию оптимальности (52).

Теорема доказана.

Заметим, что необходимое условие оптимальности (52) менее информативно, чем необходимое условие оптимальности (51).

Самым сильным, т.е. информативным, необходимым условием оптимальности второго порядка является неравенство (51).

Заключение

Рассматривается дискретный управляемый процесс, описываемый системой нелинейных разностных уравнений типа Россера. Процесс управляется с помощью начального условия, являющегося решением нелинейного разностного уравнения типа Вольтерра.

При предположении открытости области управления вычислены первая и вторая вариации функционала качества. С их помощью доказано необходимое условие оптимальности первого порядка в форме уравнения Эйлера из теории классического вариационного исчисления и ряд необходимых условий оптимальности второго порядка, выраженных через параметры рассматриваемой дискретной двухпараметрической задачи оптимального управления.