К расчету собственных частот крутильных колебаний моторно-трансмиссионной установки транспортных и тяговых машин

В практике машиностроения крутильные колебания, возникающие в двигателе внутреннего сгорания (ДВС) или моторно-трансмиссионной установке (МТУ) транспортных и тяговых машин, неоднократно становились непреодолимым препятствием при создании разного рода машин. Известен опыт Челябинского тракторного завода, Курганмашзавода и др., когда неверное задание некоторых параметров этих систем на ранней стадии проектирования серьезно задержало, а в ряде случаев сделало невозможным доводку машин.

Существуют методы оптимального совмещения характеристик ДВС и гидротрансформатора (ГДТ), обеспечивающие машине наивысшую эффективность путем введения между ними согласующего редуктора [1], однако в практике отечественного и зарубежного тракторостроения не удалось решить проблему крутильных колебаний в системе ДВС – редуктор – ГДТ даже при постановке довольно мощных гасителей.

Методы расчета крутильных колебаний сложных машинных систем достаточно хорошо разработаны. Однако они довольно трудоемки. Расчет включает в себя два основных этапа: составление уравнений движения колебательной системы и нахождение частот собственных колебаний как результат решения частотного уравнения [2, 3].

Покажем, как упростить нахождение собственных частот, если известна динамическая модель системы, без составления и решения частотных уравнений, сведя задачу к нахождению корней характеристического уравнения некоторой матрицы, численное решение которой дается в пакете Mathcad, встроенными процедурами.

Рассмотрим для примера динамическую модель МТУ (рис. 1).

I ₁           I 2        I 3                  I n–1          I n–1–1

с 1		с 2					с n–1

Рис. 1. Динамическая модель МТУ

Расчет и конструирование

Математическая модель движения этой динамической системы может быть представлена в виде системы n дифференциальных уравнений второго порядка:

I 1 Ф 1 = c ( ф 2 - Ф 1 ) ;

I 2 ^ф 2 = - c ( ф 2 -Ф 1 ) ⁺ c 2 ( ф з - Ф 2 ) ;

I n -1 ^ф n -1 = c n -1 ( Ф n ^-Ф n -1 ) ^- c n -2 ( ф n -1 ^-Ф n -2 ) ;

In ф n = - cn-1 (ф n -Фn-1), где сi – жесткость i-го участка трансмиссии; Ii – момент инерции i-й массы; φi – угол поворота i-й массы.

Решениями системы (1) являются уравнение равномерного вращения фо = а0 + гоt и уравне- ния упругих колебаний:

Ф i = a i sin ( pt + a ) .

Подставляя (2) в (1) получим:

c ( a 2 - a ) = ^- I 1 p ^{2 a} 1 ;

c ₂( a з - a 2 ) - c 1 ( a ₂ - a 1 ) = - 1 ₂ p ² a ₂;

c n - 1 ⁽ a n ^- a n - 1 ) ^- c n - 2 ⁽ a n - 1 ^- a n - 2 ) =^- I n - 1 p ² a n - 1 ;

^- c n - 1 ⁽ a n ^- a n - 1 ) =^- I n p ² a n .

Элементарными преобразованиями система (3) приводится к виду: ( - c 1 + 1 1 p ²) а 1 + с 1 а ₂ = 0;

с 1 а 1 + ( - c 1 - c ₂ + 1 ₂ p ²) а ₂ + с ₂ а ₃ = 0;

с ₂ а ₂ + ( - c ₂ - c 3 + 1 3 p ²) а з + c ₃ а 4 = 0;

• ^Cn -2 ^аn -2 ^{+ (} - c n -2 - c n -1 ⁺ I n -1 p ^{2) а}n -1 = 0;

• ^Cn -1 ^аn -1 ^{+ (} - c n -1 ⁺ I n p ² ) ^аn = 0.

Система (4) есть система однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд. Условием существования ненулевого решения этой системы является равенство нулю определителя матрицы А (рис. 2).

	(      т 2
	-Cj+ljP      Cj          1      III         1 , 2	1
	С1 ^ГС2 + 12Р       C2       ' ' '            ' , 2	1
A:=	1            c2       ^г-^"1" зр сз 1 1            1	1
	।    ।     1111     । ,      2	1
	1      1        1    IIC_-C,-C,+J,p n-2   n-2   n—1   n-lr	1 T 2
	1          1           1       III         c , n-1 Рис. 2. Матрица А	-c 1 + I p n-1 nr J

Это обстоятельство и служит основанием для составления частотного уравнения. Действительно, вычисляя определитель матрицы А, получаем алгебраическое уравнение порядка n относительно квадратов частот. Решая это уравнение тем или иным способом, получим n – 1 час-

Позин Б.М.

К расчету собственных частот крутильных колебаний моторно-трансмиссионной установки… тот собственных колебаний и одну скорость общего вращения. Можно, однако, предложить другой способ нахождения собственных частот системы без составления и решения частотного уравнения.

Разделим в матрице А каждый j -й столбец на –I j .

Матрица А преобразуется к виду (рис. 3).

A1 ^:=

к

c

к

^^^^^в

к I1 У

p

к

I, к ¹ У

- c

к

к 2 У

^с1 ^{+ с}2

к

^^^^^в

к

I2

У

^{( - с)}2

J2

p

- с₂

к

I, к ³ У

^с2 ^{+ с}3

к

^^^^^в

к

I3

p

- с

к

У

к I4

У

в

c n-2

к

c

n-.

+ с n—1

к

в

к

I „ n - 2 У

к

In1

У

c

n -

к

I к n-1 У

p

c

n -

к

в

к

I

p

n У

Рис. 3. Матрица А 1

Ясно, что определители этих матриц равны.

Матрица А 1 является характеристической матрицей матрицы А 2 (рис. 4) [4].

/

c

/

- с

А 2 :=

I,

к 1 У

c1

/

к

c

к

I ₁

У

к

I.

2У

+ с2 )

c 2

I ₂

У

к

I 3 У

( - с)

/

c ₂

+ с3 )

/

в

c

J ₂

к

I ₃

У

к

I ₄

У

/

в

c n— 2

/

c

n-:

+ с

n-

к

I n-2

У

к

I n-1

У

/

c n— 1

Л

/

c

n-

I к n— 1 У

к

I

n

У

Рис. 4. Матрица А 2

Характеристические корни А 2 имеют, таким образом, в рассматриваемой задаче смысл квадратов собственных частот колебаний.

В пакете Mathcad имеется встроенная программа нахождения характеристических корней матрицы eigenvals, применив которую к матрице А 2 получим весь спектр квадратов собственных частот.

Пример. Путь имеется трехмассовая система с характеристиками: с 1 = 211 · 10 6 ; с 2 = 14,8 · 10 6 ;

I 1 = 17 000; I 2 = 85 000; I 3 = 27 000; p = ω = 122,166 (пример заимствован у Я.Г. Пановко [4]).

Составим матрицу А ₂ и применим к ней встроенную процедуру eigenvals (рис. 5).

Расчет и конструирование

Извлекая квадратные корни из членов результирующей матрицы, получим собственные частоты: р 1 = 26,303 (26,3) с –1 ; р 2 = 122,147 (122,5) с –1 ; частоту общего вращения р 3 = 0. В скобках приведены собственные частоты, вычисленные Я.Г. Пановко.

c1

cl eigenvals (A2)

' 1.492 - 104 '

- 3.305 - 10 - ¹³

A2 :

V 691.833 )

I1

I2

cl

I1

(cl + c2>

I2

c2

I3

c2

I2

Рис. 5. Применение процедуры eigenvals к матрице А 2