К теореме об обратной функции для отображений класса липшица

Работа посвящена доказательству теорем об обратной функции [1–5] для липши-цевых отображений, заданных в областях банаховых пространств. В этих теоремах не используются какие-либо условия гладкости отображений. В качестве приложений полученных результатов дается доказательство теоремы о неявной функции.

Пусть Y, Z — нормированные пространства. Если a Е Y , то символом B(a, г) обозначим открытый шар с центром а радиуса r >  0 в пространстве Y. Обозначим через L (Z, Y ) пространство линейных непрерывных операторов, действующих из Z в Y . Если a ∈ Z и M ⊂ Z , то

п(а, M) = {z Е Z : z = а + (m — a) t, m Е M, t Е R , t > 0} — объединение всех точек, каждая из которых лежит на прямой, проходящей через a и некоторую точку m Е M, m = а.

Пусть U С Y. Будем говорить, что функция Ф : U ^ Z удовлетворяет на множестве U условию Липшица с постоянной L, если для любых y1 , y2 ∈ U выполняется неравенство l№) — Ф(У1))kz < L 1Ы — У< .

Точную нижнюю границу постоянных L в этом неравенстве будем обозначать Lip(Ф,U).

Следующая теорема представляет собой новый вариант теоремы об обратной функции для липшицевых отображений.

Теорема 1. Пусть У, Z — банаховы пространства, B = B(y ₀ ,r) С Y, и Ф : B ^ Z - ограниченное отображение, удовлетворяющее на B условию: существует такое линейное непрерывное отображение C Е L (Z, Y ) и постоянная q , 0 <  q <  1 , что

Lip(CФ(у) — y,B) <  q< 1.                           (1)

Тогда, если хотя бы для одного у Е B множество п(Ф(у), Ф(В)) совпадает с пространством Z , то множество Ф(В ) открыто и Ф гомеоморфно отображает B на Ф(В). При этом отображения Ф и Ф ^-1 : Ф(В) ^ B удовлетворяют условию Липшица.

Доказательство. Условие (1) означает, что kC(Ф(У2) - Ф(У1)) - (y2 - yi)kY < q ky2 - yikY                  (2)

для всех y 2 , y 1 ∈ B.

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть Y, Z — банаховы пространства, B = B (y _o ,r) C Y, и Ф : B ^ Z — отображение, которое для некоторого C Е L (Z Y ) и постоянной q , 0 <  q <  1 , удовлетворяет на шаре B условию (1). Тогда для каждой точки b Е B выполняется включение

B (CФ(Ь), (1 - q)(r - k b k Y )) C CФ(B(b,r - k b k Y ))

и оператор C отображает Z на Y .

Доказательство. Пусть b Е B = B(yo,r) и Yo = CФ(К). Если Yi Е B(Yo, (1 - q)x x(r - ||bkY), то для всех y Е B(b, r - kbkY) точка Yi + y - CФ(у) также принадлежит B(b, r - ||bkY), поскольку kY1 + y - CФ(у) - bk = kY1 - Yo + {y - b - Cф(у) + Cф(ь)}| <

< k Y 1 - Y o k + q k y - b k <  (1 - q)(r - k b k Y ) + q (r - k b k Y ) = r - k b k Y •

Так как отображение Y _i + y - C Ф(у), y Е B (b, r - k b k Y ), переводит шар B(b, r - ||b k _Y ) в себя и в силу (2) является сжимающим, то оно имеет неподвижную точку y * Е B(b, r - ||b k _Y ). Равенство Y _i + y * - C Ф(у * ) = y * означает, что Y _i = C Ф(у * ) Е C Ф(B(b, r - ||b k _Y )), и поскольку Y _i — произвольная точка шара B (Y _o , (1 - q)(r - k b k Y ), то B(Y _o , (1 - q)(r -k b k Y ) C C Ф(B(b, r -k b k Y ))• Это включение означает, что множество C Ф(B) открыто в Y . Данное множество принадлежит множеству значений оператора C и мы можем сделать вывод, что C отображает Z на Y . Лемма 1 доказана.

Продолжим доказательство теоремы 1. Предположим, что для некоторого y 1 ∈ B множество п(Ф(у₁ ), Ф(B)) совпадает с Z и покажем, что в этом случае оператор C имеет непрерывный обратный оператор.

Пусть z * = 0 и z * Е ker C . Так как множество Ф(B) ограничено, то мы можем считать, что z * / Ф(B)• Поскольку п(Ф(у₁ ), Ф(B)) = Z , то для некоторого t Е R элемент z * t + Ф(у₁) принадлежит Ф(B)• Рассмотрим такой y ₂ Е B , для которого z * t+Ф(y 1 ) = Ф(у 2 ). Так как z * = 0, то y 2 = y i . Но k y2 - y i k Y = k C(z * t) - (y 2 - У 1 )Н у = = | C (Ф(у₂) - Ф(у₁)) - (y 2 - y ₁ ) k _Y <  q k y 2 - y ₁ k _Y • Полученное противоречие означает, что ker C = { 0 } Е Z , и так как C (Z) = Y, то по теореме Банаха об обратном операторе существует непрерывный обратный оператор C ^-1 : Y ^ Z.

Неравенство (2) показывает, что Ф удовлетворяет на B условию Липшица

| Ф(У 2 ) - 4(y i ) B z <  (q +1) ^ C - 1 1 | У 2 - y i B y •

Выше было установлено, что множество C Ф(B) открыто, и теперь, учитывая свойства оператора C , можно сделать вывод, что и множество Ф(B) = C ^-i (CФ(B)) также является открытым. Наконец, в силу (2) выполняется неравенство | Ф(у ₂ ) - Ф(y ₁ ) k _Z >  (l e k ) k y ₂ - y _i k _Y , а значит отображение Ф(у) взаимно однозначно отображает B на Ф(B) и обратное к нему отображение удовлетворяет на Ф(B) условию Липшица с постоянной ⁽ _k ¹ _C ^-q _k ⁾ . Теорема 1 доказана.

Пусть U С Y. Для ограниченной функции Ф : U ^ Z полагаем ш (Ф,и)

inf

C ∈ L ( Z,Y )

Lip(C Ф(у)

- ^y,U ).

Отметим, что для любой ограниченной функции ш (Ф, U) <  1. Если точка a Е U, то ш (Ф, a) = lim ш (Ф, U П B(a, r)) . Пусть п(Ф, а) = П п(Ф(а), Ф(и П B(a, r))).

r → 0+                                       0

Основываясь на доказанной выше теореме 1, получаем следствие.

Следствие 1. Пусть У, Z — банаховы пространства, B = B(y ₀ ,r) С Y, и Ф : B ^ Z — ограниченное отображение, удовлетворяющее условиям ш (Ф, а) < 1 и п(Ф,а) = Z . Тогда для некоторого шара U = B(y 0 ,r 1 ) С B множество Ф(и) открыто и Ф гомеоморфно отображает U на Ф(и). При этом отображения Ф и Ф ^-1 : Ф(и) → B удовлетворяют условию Липшица.

Пусть U — подмножество нормированного пространства X, V С Y и D = U х V. Будем говорить, что функция Ф : D ^ Z удовлетворяет на множестве D условию Липшица с постоянной L, если для любых (x 1 ,y 1 ), (x ₂ ,y ₂ ) Е D выполняется неравенство

||^Ф(х 2 ,У 2 ^{) - Ф( х} 1 ,y i ^{)) k} z <  ^{L (} k x 2 ^- x l k x + k y2 - yi k Y ) .

Точную нижнюю границу постоянных L в этом неравенстве будем обозначать Lip(Ф,D).

В качестве приложения теоремы 1 приведем доказательство теоремы о неявной функции для отображений класса Липшица.

Теорема 2. Пусть U — непустое подмножество пространства X, B = B(y0,r) С Y. Полагаем D = U х B и пусть Ф : D ^ Z — отображение, удовлетворяющее на D условию Липшица. Предположим, что существует такое линейное отображение C Е L(Z,Y) и постоянная q, 0 < q< 1, что kC(Ф(х,У2) - Ф(х,У1)) - (У2 - yi)kY < q ky2 - yikY для всех (x, y2), (x, y1) Е D.

Тогда, если хотя бы для одного (x,y) Е D множество п(Ф(х,у), Ф(х, B)) С Z

совпадает с Z, то для каждой точки (а,Ь) Е D на множестве U _p = B(a,p) П U ,

Р =

^{(1 -} q ^{)( r - | b | )} | C I Lip(Ф,D)

, существует и единственно отображение G : U _p

^ B(b, r —

I b I ) ,

G(a) = b , которое для всех x Е U _p удовлетворяет уравнению

Ф(х, G(x)) = Ф(а, b).

^{( r — | b | ) ρ}

Отображение G липшицево на U _p и Lip(G, U _p ) <

Доказательство. По лемме 1 для каждого фиксированного x, принадлежащего U , множество CФ(х,В) открыто, и поэтому каждое множество п(СФ(х,y), CФ(х,В)) совпадает с Y . Пользуясь теоремой 1, мы можем сделать вывод, что для каждого фиксированного x отображение CФ(х,у) взаимно однозначно отображает B на CФ(х,В) и обратное к нему отображение, которое обозначим 0x(y), у Е CФ(х, B), удовлетворяет условию Липшица с постоянной (1 — q). Поскольку хотя бы для одного (x, у) Е D множество п(Ф(x,y), Ф(x, B)) совпадает с Z, то оператор C имеет непрерывный обратный оператор C-1 Е L(Y,Z). Так как для каждого x Е U множество CФ(x, B) открыто, то и множество Ф(x, B) = C-i(CФ(x, B)) является открытым и п(Ф(x, у), Ф(x,B)) = Z всюду на D.

Пусть M С U — множество тех точек, в которых C Ф(a,b) Е C Ф(x, B). Всюду на M определена функция G(x) = © _x (CФ(a,b)), удовлетворяющая равенству

C Ф(x, G(x)) = C Ф(x, © x (CФ(а, b))) = C Ф(а,b).

Последнее соотношение, с учетом взаимной однозначности оператора C, равносильно уравнению Ф(x, G(x)) = Ф(а, b).

Так как при каждом фиксированном x Е U отображение C Ф(x,y) взаимно однозначно отображает B на C Ф(x, B), то функция G(x), x Е M , определена единственным образом.

, х              (1 - q)(r — \My )

Покажем, что множество U _p = B(a, p)nU , где р =      _т—————, принадлежит

^Р                         k C k Lip(Ф,D)

области определения функции G(x). В самом деле, если x Е Up, то kCФ(x, b) — CФ(а, b) k < kCk Lip(Ф, D)p < (1 — q)(r — \\b\\Y), а значит CФ(a,b) Е B(CФ(x,b), (1 — q)(r — kbkY)) и CФ(а,b) Е CФ(x, B), поскольку по лемме 1 B(CФ(x, b), (1 — q)(r — kbkY)) С CФ(x, B(b,r — kbkY) С CФ(x, B). Итак, функция G(x) определена всюду на Up = B(a, p) П U.

Наконец покажем, что отображение G(x) удовлетворяет на M условию Липшица. В самом деле, G(x) = G(x) — C (Ф(x, G(x)) — Ф(а, b)), и если x 1 , x ₂ Е M, то

| G(x ₂ ) — G(x i ) | = | G(x ₂ ) — G(x i ) — C (Ф(x ₂ , G(x ₂ )) — Ф(x 1 , G(x i )) | <

< | G(x 2 ) — G(x i ) — C (Ф(x 2 , G(x 2 )) — Ф(x 2 , G(x i )) I +

+ ^{| C (ф( x} 2 ^{, G ( x} i ^{)) —} ^^x 1 , G^ i )) ¹ <

< q |G(x2) — G(xi)| + |C| Lip(Ф, D) |x2 — xi| или |G(x2) — G(x1)| <

| C I Lip(Ф,D)

1 — q

| x ₂ - x ₁ | . Теорема 2 доказана.

Следующая теорема 3 дает вариант теоремы об обратной функции, в ется отказаться от условия п(Ф(у), Ф(B)) = Z.

Обозначим через L _o (Z, Y ) замыкание множества тех A Е L (Z, Y ), ker A = 0 Е Z , и пусть L _o = L _o (Z, Y ) U { 0 } , где 0 Е L (Z, Y ).

Пусть U С Y. Для липшицевой функции Ф : U ^ Z полагаем = c n L 0 ^Lip ^{( C Ф(} у) ^— y^,U).

котором уда-

для которых

^ o (Ф,и) =

Теорема 3. Пусть Y, Z — банаховы пространства, B = B(y ₀ ,r) С Y, и Ф : B ^ Z — отображение, удовлетворяющее на B условию Липшица. Предположим, что ш ₀ (Ф,B) < 1. Тогда множество Ф(B) открыто и Ф гомеоморфно отображает B на Ф(B). При этом Ф ^-1 : Ф(B) → B также является липшицевым отображением на множестве Ф(B).

Доказательство. Пусть q = ш ₀ (Ф, B). По условию теоремы существует такой оператор C Е L 0(Z,Y ), что для всех y ₂ ,y1 Е B выполняется неравенство

IIC ^{(Ф( у} 2 ) - ^{Ф( у} 1 )) - ^{( y} 2 - ^y 1 ) k Y <  q k ^y2 - ^y1 k Y .                    ⁽³⁾

Выберем 6 >  0 так, что q + 6 < 1. Так как Ф удовлетворяет условию Липшица и неравенству (3), а C Е L 0(Z,Y ), то найдется оператор С _е Е L 0(Z,Y ), для которого неравенство (3) выполняется с постоянной q + 6 и | С _£ — C || < 6. По лемме 1 оператор С _е отображает Z на Y , и так как C ε взаимно однозначен, то по теореме Банаха об обратном операторе существует и непрерывен С _е - 1 . По лемме 1 множество С _е Ф(В) открыто, а значит для каждого         y           ∈            B        выполняется        равенство

п(С _е Ф(у), С _е Ф(В)) = Y, откуда, учитывая свойства оператора С _£ , делаем вывод, что п(Ф(у), Ф(В)) = Z . По теореме 1 множество Ф(В ) открыто и Ф гомеоморфно отображает B на Ф(В). При этом отображение Ф ^-1 : Ф(В) ^ B удовлетворяет условию Липшица с постоянной ⁽¹ _k ^- _C ^q _ε ^- _k ^ε) . В силу произвольного выбора ε делаем вывод, что отображение Ф ^-1 : Ф(В) ^ B удовлетворяет условию Липшица с постоянной (1 - q) . Теорема 3 доказана.