К теории модельных трехмерных интегральных уравнений типа Вольтерра с граничными особыми, слабо-особыми и сильно особыми ядрами

В работе изучается трехмерное модельное интегральное уравнение типа Вольтерра с граничной слабой особенностью, особенностью и сильной особенностью в ядре.

Отметим, что работы [1, 2] посвящены изучению одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши вида:

A ( t ) ^ ( t ) + ¹ [ K ^{( t,T} ^ ^ ( ^т ) d^T = f ^{( t )} , π t - τ

Γ

(с) 2024 Раджабова Л. Н., Хушвахтзода М. Б.

где интеграл понимается в смысле главного значения, Г — некоторый замкнутый или разомкнутый контур в комплексной плоскости Z , A ( t ) , K ( x, t ) , f (t) — заданные функции, ^(t) — искомая функция.

Следует отметить, что в работах [3, 4] исследованы характеристические сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в исключительном случае, получены условия разрешимости и явная формула представления решения, изучаются вопросы фредгольмовой разрешимости классических сингулярных уравнений с ядром Коши на гладком контуре Г в пространствах Гельдера C ^ (Г) и C 1^ (Г) . Также рассмотрен обобщенный оператор Коши с матричным ядром, играющий важную роль в приложениях.

Интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода и связь уравнений Воль-терра с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши и Гильберта изучены в работе [5].

Главным предметом исследования [6] являются сингулярные интегралы, распространенные по евклидовому пространству или по ляпуновскому многообразию без края, а также уравнения, содержащие такие интегралы, исследование которых проводится в функциональных пространствах L _p .

Работа [7] содержит основные сведения о современном состоянии методов численного решения интегральных уравнений и излагаются основы вычисления определенных, сингулярных и гиперсингулярных одномерных и двумерных интегралов, а также численного решения уравнений с ними.

Статья [8] посвящена решению одного класса уравнений Вольтерра I рода с переменными верхним и нижним пределами и демонстрируется метод получения искомого решения, развивающий метод шагов для одномерного случая.

В монографии [9] рассматриваются сингулярные интегральные уравнения, ядра которых имеют особенности логарифмического или степенного типа, а также одновременно слабые и сильные особенности в различных сочетаниях. Обсуждаются некоторые простые алгоритмы численного решения сингулярных интегральных уравнений, основанные на глобальном выделении особенностей из сингулярного интеграла.

Реализация алгоритмов численного решения сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами и ядрами Коши, основанных на полученных спектральных соотношениях для характеристических операторов, изучено в работе [10].

Работа Н. Раджабова [11] посвящена исследованию одномерных интегральных уравнений типа Вольтерра с фиксированными левым, правым и внутренним сингулярными или сверхсингулярными ядрами. В работах [12, 13] получены явные решения двумерных и некоторых случаев многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми линиями или областями, также со слабо-особыми ядрами на первом квадранте. Исследованию модельных и немодельных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми линиями на полосе посвящены работы [14–18]. В настоящей работе получены явные решения модельного трехмерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особыми ядрами. В зависимости от знака параметров уравнения, решения данного интегрального уравнения может содержать от одного до трех произвольных функций, зависящих от двух независимых переменных и определен случай, когда решение трехмерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особыми ядрами единственно.

• 2.    Основной результат

Через Q обозначим Q = {(x, y,z) : 0 < a < x < от, 0 < b < y < bo, 0 < c < z < co}. Пусть D1 = {(x,y) : 0 < a < x < от, 0 < b < y < bo, z = c}, D2 = {(x,z) : 0 < a < x < от, c < z < c0, y = b}, D3 = {(y,z) : 0 < b < y < b0, c < z < c0, x = от}, 9i = {0 < a < x < от, z = c, y = b}, ^2 = {0 < b < y < bo, x = от, z = c}, ^3 = {0 C c < z < co, x = от, y = b}. В области Q рассмотрим трехмерное интегральное уравнение:

∞yz

V(x.y.z) + Af^^ dt + b[^^ ds + of^^ dT

J (t - a)a        J (s — b)e         J т - c xbc

∞y                 ∞zy

,л [ dt [ ^^(t,y^,z) .               dt [ v^(x,s,T ) ,          [ ^^(t,y^,z) .

+Ai I 7------— I -------7- ds + Bi I  -----7— I ---------dT + Ci I 7-

• ¹    X (t - a) ^ab (s - b) ^{e        1} X ( t - a^i     T - c 1 { (s - b) ^e

z                  ∞yz v    dT + d             №±1.=

J т - c X (t - ^ъ (s - b)e i т - c где A, B, C, Ai, Bi, Ci, D — заданные постоянные, f(x,y,z) — заданная функция, v(x, y, z) — искомая функция, 0 < a < 1, в > 1.

Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций v(x,y,z) G C (Q) , обращающихся в нуль при x ^ от , y ^ b, z ^ c соответственно с асимптотическими поведениями:

v(x, y,z) = o [x ^Z1] ,   Z i >  1 - a,

^^(x,y^,z)= o [⁽ y ^{- b ) Y 1} ] , Y i >^{в -} 1, y ^ ^b,

v(x,y,z) = o [(z - c) ^£ ] , E> 0 , z ^ c.

В данной работе находим решение трехмерного интегрального уравнения (1), когда коэффициенты уравнения связаны условиями

A _i = AB, B _i = AC, C _i = BC, D = AC _i

Интегральное уравнение (1) при помощи интегральных операторов представим в виде [12, 13]:

v + AT ^ (v) + BT b (v) + CT Z (v) + A i T ^ T b (v)

■в Г I (v) + c гl . + dt^TZ(v) = f, где

∞ yz

T » v = [ <&±zl dt, T y, v = [ rt^ ds,  T z v =   V^xdysEl dT.

x J -t - a)a   ’ b^ J (s - b)e    ’    'r J t - c xb  c

В случае, когда коэффициенты уравнения (3) между собой связаны равенствами (2), уравнение (1) представим в виде

L ( v )= П А П В П С ( v ) = f (x,y,z),

где

П А ( v )= v + AT - v, П В (v) = v + BTv, П С ( v )= v + CT v.

Если в (4) введем в рассмотрение неизвестные функции vi (x,У,z)=ПC (v), v2 = ПВ Pl’ ПА v2 = f, придем к решению модельного двумерного интегрального уравнения вида

П А ? ь) = f.                                 (5)

Согласно [12, 13], решение уравнения (5) при A <  0 выражается равенством

^( x,y,z ) = e^ ^(x) p(y,z) + (П ? ) 1 ( f ) ,                      (6)

где

∞

(П?)-1^) = f (x,y,z) - A [ еА^    (x)} f^4 dt j                   (t — a)

x и p(y,z) — произвольная функция точек области D3.

Соответственно при A >  0 , решение уравнения (5) выражается равенством:

^( x,y,z ) = m^{- 1} ( f ) .

В равенстве ^2 = П В ^1 при A <  0 вместо функции ^(x, У, z) поставляя его значение из равенства (6), находим решение уравнения следующего вида:

П В ^1 = e ^-A< ^(x) p(y,z) + (n ? ) ^-1 (f ) .

Согласно [12], решение интегрального уравнения (7) при B <  0 выражается равенством

^1 ( x,y,z ) = e     ^{( y}4(x,z) + e ^-Aw a ^(x) (П ? ) ^-1 p ( y,z ) + (П В ) ^-1 (П ? ) ^-1 ^ ) .      (8)

В равенстве ^1 = П С ^ вместо функции ^1 ( x,y,z ) подставляя ее значение из равенства (8), находим решение уравнения вида

^ ( x,y,z ) + AT C = ^1.

При выполнении всех вышеуказанных условий, общее решение уравнения (1) при A <  0 , B <  0 , C <  0 представимо в виде

^ ( x, У, z ) = ( z - c ) ^- C v ( x, y) + e ^{-A< (х)} (П С ) ^-1 (П В ) ^-1 p(y, z) + e    ^(у) (П С ) ^-1 ^ ( x,z ) + (п c ) ^-1 (П В rW) ^-1 ( f ) .

Из вышеприведенных рассуждений вытекают следующие утверждения:

Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2), A < 0, B < 0, C < 0. Далее, пусть функция f(x,y,z) E C(Q), li^x^? f (x, y, z) = 0 с асимптотическим поведением f (x, y,z) = o рА|ш“ (x)x-Z2j , Z2 > 1 — a, x ^ ro,                  (10)

limy^ ь f (x, y, z) = 0 с асимптотическим поведением f (x,y,z)= o yB^b (y)(y - b)Y2 j , Y2 >e - 1, У ^ b,                (11)

lim z , _c f ( x, y, z ) = 0 с асимптотическим поведением

^{f ( x,}y^{,z )}= o [^{( z - c ) n} 1 ] , П1 >  I C l >^z ^ c.

Тогда интегральное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , всегда разрешимо, общее решение содержит три произвольные функции двух переменных и выражается равенством (9) , где p(y,z) G C ( Q i ) , ^ ( x, z ) G C ( Q 2 ) , v ( x,y ) G C ( ^ 3 ) — произвольные функции точек Q i , ^ 2 , Q 3 , причем p(b, c) = 0 с асимптотическим поведением

p(y,z) = o [_e B^ ^{e (y)} (y - by* (z - c ] , Y3 >e - 1 , П2 >  | C | , y ^ b, Z ^ c, (13) ^ ( ro ,c ) = 0 с асимптотическим поведением

^(x, z) = o ^e ^IAI^ ^{a (x)} x ^{-Z 3} (z — c) ⁿ 3 ] , n ₃ >  | C I , Z3 >  1 — a, x ^ от , z ^ c, (14) v ( от , b ) = 0 с асимптотическим поведением

v(x,y) = o [ e ^{|A|w a (x)} x ^-Z 4 е ^Вшъ (^ (y — b) ^Y 4 ] , Y 4 >в - 1, Z 4 >  1 - a, x ^ от , y ^ b. (15)

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 1 , любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ от , y ^ b , z → c определяется из асимптотических формул

^(x,y,z)= o^A^xx Z5^ , Zb > 1 — a,(16)

^(x,y,z)= o [еВшв(y)(y — b)Y5] , Y5 >в — 1, y ^ b,(17)

^(x,y,z) = o [(z — c)n4 ] , П4 > IC |, z ^ c.(18)

Теорема 2. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2), A < 0, B < 0, C > 0. Далее, пусть функция f(x,y,z) G C(Q), limx ,^ f (x,y,z) = 0, limy , ь f (x,y,z) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями (10), (11) и limz , cf (x,y,z) =0 с асимптотическим поведением f (x, y,z) = o [(z — c)] , e > 0, z ^ c.

Тогда интегральное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , всегда разрешимо, общее решение содержит две произвольные функции двух переменных и выражается равенством

p(x, y, z ) = ■ ^(Х) (П С ) ^-1 (П В ) ^-1 p ( y, z)

+ •    (У)(ПС )-^(x,z) + (nzc )-1(ПВ )-W)-1(f), где p(y,z) G C(Qi), ^(x, z) G C(^2) — произвольные функции точек Qi, Q2, причем p(b,c) = 0, ^(от, c) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями (13), (14).

Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 , любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ от , y ^ b , z ^ c определяется из асимптотических формул (16) , (17) ,

^ ( x, y, z ) = o [( z — c ) ^e ] ,   e > 0, z ^ c.

Теорема 3. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2), A < 0, B > 0, C < 0. Далее, пусть функция f(x,y,z) G C(Q), limx ,^ f (x, y, z) = 0, limz^ c f (x, y,z) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями (10), (12) и limy , ь f (x,y,z) =0 с асимптотическим поведением f (x,y,z) = o [(У - b)Y6] , Y6 >e - 1, У ^ b.                     (22)

Тогда интегральное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , всегда разрешимо, общее решение содержит две произвольные функции двух переменных и выражается равенством

-f(x.y.z) = (z - c)-C v (x,y) + e^^ (Х)(ПС )-1(nB)-1p(y,z) + (ПС )-1(ПВ)—№ )-1(f), где p(y,z) G C(91), v(x,y) G C(9з) — произвольные функции точек 9i, 9з, причем p(b,c) = 0, v(то, b) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями (13), (14).

Следствие 3. При выполнении условий теоремы 3 , любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ то , y ^ b , z ^ c определяется из асимптотических формул (16) , (18) ,

^ ^{( x,}y^{,z )}= o ^[( y ^{- b) Y} 7 ^] , Y7 >^{в - 1} у ^ b.                   ⁽²³⁾

Теорема 4. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2), A > 0, B > 0, C < 0. Далее, пусть функция f(x,y,z) G C(Q) limx ,^ f (x, y, z) = 0, limy , ь f (x, y, z) = 0, limz , c f (x, y, z) = 0, соответственно с асимптотическими поведениями f (x,y,z) = o x- z6 , Z6 > 1 - a, x ^ то,                      (24)

• (22)    и (12) .

Тогда интегральное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , всегда разрешимо, общее решение содержит одну произвольную функцию и выражается равенством

^(x, У, z) = (z - c)-Cv(x, y) + (ПС)-1(ПВ)-1 (П^)-1 (f), где v(x,y) G C(9з) — произвольные функции точек 9з, причем v(то,Ь) =0 с асимптотическим поведением (15).

Следствие 4. При выполнении условий теоремы 4 , любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ то , y ^ b , z ^ c определяется из асимптотических формул (23) , (18) и

^(x,y,z)= o [x ^{- z}7] , Z 7 >  1 - a.                           (25)

Теорема 5. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2) , A <  0 , B >  0 , C >  0 . Далее, пусть функция f(x,y,z) G C (Q) , lim x ,^ f ( x, y, z ) = 0 , lim y , ь f ( x, y, z ) = 0 , lim z , c f ( x, y, z ) = 0 , соответственно с асимптотическими поведениями (10) , (22) , (19) .

Тогда интегральное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , всегда разрешимо, общее решение содержит одну произвольную функцию и выражается равенством

^(x,y,z)= e—A*(x) (ПС )-1 (ПВ )-1 p(y,z) + (nc )-1(ПВ )-W )-1(f), где p(y, z) G C(9i) — произвольная функция точек 9i, причем p(b, c) = 0 с асимптотическим поведением (13).

Следствие 5. При выполнении условий теоремы 5 , любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ от , y ^ b , z ^ c определяется из асимптотических формул (18) , (23) и (16) .

Теорема 6. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2) , A >  0 , B <  0 , C >  0 . Далее, пусть функция f(x,y,z) G C (Q) lim x ,^ f (x, y, z ) = 0 , lim y , ь f (x, y, z ) = 0 , lim _z4 c f (x, y, z) = 0 , соответственно с асимптотическими поведениями (24) , (22) , (12) . Тогда интегра.льное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , всегда разрешимо, общее решение содержит одну произвольную функцию и выражается равенством

^(x, y, z) = (y - b)-B (ПС )-Mx, z) + (ПС )-1 (nB )-W )-1(f), где ^(x, z) G C(^2) — произвольная функция точек ^2, причем ^(от, c) = 0 с асимптотическим поведением (14).

Следствие 6. При выполнении условий теоремы 6 , любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ от , y ^ b , z ^ c определяется из асимптотических формул (18) , (23) и (25) .

Теорема 7. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2) , A > 0, B < 0, C <  0 . Далее, пусть функция f(x,y,z) G C (Q) , lim _x^_№ f ( x, y, z ) = 0 , lim y , ь f (x, y, z ) = 0 , lim z , _c f (x, y, z) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями (19) , (11) , (12) .

Тогда интегральное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , всегда разрешимо, общее решение содержит две произвольные функции двух переменных и выражается равенством

v(x,y,z) = (z - c ) ^-C V (x,y)+ e B^ ^(У) (П С ) ^-1 ^ ( x,z )+ (П С ) ^-1 (n B )-W) ^-1 ( f ) , где v (x,y) G C ( Э 3 ) , ^(x,z) G C ( ^ 2 ) — произвольные функции точек Q 3 , ^ 2 , причем v (x,y)( OT ,b) = 0 , ^ ( от ,с ) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями (15) и (14) .

Следствие 7. При выполнении условий теоремы 7 любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ от , y ^ b , z ^ c определяется из асимптотических формул (25) , (17) и (18) .

Теорема 8. Пусть в интегральном уравнении (1) коэффициенты удовлетворяют условиям (2) , A > 0, B > 0, C >  0 . Далее, пусть функция f(x,y,z) G C (Q) , lim x ,^ f ( x, y, z ) = 0 , lim y , ь f ( x, y, z ) = 0 , lim z , _c f (x, y, z) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями (24) , (22) , (19) .

Тогда интегральное уравнение (1) в классе C (Q) , обращающееся в нуль на D i (1 С i С 3) , имеет единственное решение, которое выражается равенством

^ ( x,y,z ) = (n c ) ^-1 (n B )^-W) ^-1 ( f ) .

Следствие 8. При выполнении условий теоремы 7 , любое решение уравнения (1) из класса C (Q) на D i (1 С i С 3) обращается в нуль и его поведение при x ^ от , y ^ b , z ^ c определяется из асимптотических формул (16) , (18) и (23) .