К теории переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной слабой сингулярной и двумя сверхсингулярными линиями

Дифференцируя равенство (17), после подставляя во второй уравнений системы (16), для нахождения произвольной функции ^ ( x ) имеем:

^ ₁ ( x ) = exp( ® ₂ ( x ,0) - g ₂ (0,0) щ^в ( x ,0) -

- g з (0,0)< ( x ,0))[ c 1 + f f ^⁰) •       ⁽²⁴⁾

^β

0      t

^ '⁽ x ) = ^f 3 ( y 'exp( ® j ( x , y ) g ₃(0,0 И ( x , y ⁾⁾ .

( x - У ) ^Y

Интегрируя, находим

^yy f ( x , т )

^ ^{( x} ) = J _(x_ _ту ^ех^⁽ ^ ^{( x} , ^т )     (18)

• - g₃ (0,0) щ ( x , т )) d T + ^ j ( x ).

Значение ^ ( x ) подставляя в (17) получаем

W ( x, y ) = exp ( щ ( x, y ) + ⁺ g з ^{(0,0) щ ( x} , y » •

г / \ У f a ( x , т )     /    ,    ₃     ⁽¹⁹⁾

• • [ ^ i ^{( x} ) ⁺ L        ^ex p( ^щ ( x ^{, T} )

00 ^{( x - T} ) ^Y

• - g ₃(0,0) ® 1 ^Y ( x , т )) d T ].

Пусть g ₃(0,0) <  0 и функция g ₃( x , y ) удовлетворяет условию типа Гельдера

g з ^{( x} , y ) ^- g з ^(0,0) ^ H i ^{( x} ~ y ) ^{Y 1},        (20)

H = const >  0, y >  Y - 1,

и функция f ( x , y ) обращается в нуль с асимптотической формулой

^f з ( ^x , у ) = ^{o [( x -} y ) ^{Y 2 ]} , Y 2 > Y ^{- 1} .      ⁽²¹⁾

Далее, от функции W ( x , y ) потребуем, чтобы она удовлетворяла первому уравнению системы (16), отсюда находим условие

d , , g 2^{( x} , У ) _ ^д Щ ^{( x} , У )    g з^(0, °) ₎ .

d y  ( x - y ) ^в      d x      ( x - y ) ^Y

У f ( x , т )

• ^[ ^ i^{( x} ) + L         ^ex p ⁽ ® i ( x , ^T )

0 ( x - T )⁷

g з (0,0) ® 1 ⁷ ( x , т )) d T ) +   ²        •

x - y

• exp( - ® 1 ( x , y ) - g з ', 0 ■■  ( x , y ))} =

= я    ^f 3 ⁽ , У х'exp ⁽ ® 1 ⁽ x , У )          ⁽²²⁾

d x ( x - y ) ⁷

^- g з ^(0,°) №^{7 (} x , y ^))] .

Учитывая (22) из первого уравнения системы (16) получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с двумя сверхсингулярными линиями вида

dvAy = ( g^x -O) + g W) .  ₍ x ) +

d^x       x ^β       x ^γ           (23)

„   ^eX P ⁽ g з ^(0,0)< ⁽ x ^,0)) .

x ^β

• • exp( - ® ₂ ( t ,0) + g ₂ (0,0) щ ^в ( t ,0) dt ],

где        щ ( x ,0) = j ^g ‘ ⁽ t ^{,0) - g 2}( ^0,0) dt ,

0           t ^e

Щ ( x ,0) =--- Ц-,

• ²         ( в - 1) x ^{e - 1}

c – произвольная постоянная.

Пусть функция g ₂ ( x ,0) удовлетворяет

условию

• g 2 ^{( x ,0) -} g 2 ^(0,0) ^ H 2 x ^{Y з},        (25)

H₂ = const >  0, y >  в - 1,

и функция f₂ ( x ,0) в окрестности точек x = 0 обращается в нуль, и ее поведение определяется следующей асимптотической формулой:

• f , ( x ,0) = o [ x ^{Y 4} ], y 2 >  a + в - 1,      ⁽²⁶⁾

и g 2 (0,0) >  0 .

Тогда, подставляя (24) в (19) и учитывая ^y

• u ( x , y ) = J W ( x , т ) d r + ^ ₂ ( x ) ,        ⁽²⁷⁾

0

из первой уравнений системы (11) получим условие

122 [ W ( x , y )] = | [ g ^ xy O W W ( x , y ) +

^d x           ^d У ^{( x -} У )             (28)

, ^f .^{( x} , У ) ! ( x - y)^{a L}

Используя условие (28) для нахождения

произвольной функции ^ ₂ ( x ) получим дифференциальное уравнение вида

d ‘^ 2⁽ x >  = ^g(   _е„( щ ( x ,0) -

dx²         x ^a          ‘

g 2^{(0,0) щ} 2 ^{в ( x ,0))[} c 1 ⁺J ‘      •         ⁽²⁹⁾

^β

0      t

• exp ( - щ ( t ,0) + g₂ (0,0) Щ ( t ,0)) dt ] +

₊ f , ( x ,0) 1                                       .

x ^α

Дважды интегрируя (29) по переменной x , произвольную функцию уу, ( x ) находим в виде

^ ( x ) = c 'r l x z t toWs fe^ t +

^J t ^{a ex}p⁽ g 2 ^(0,0) щ^{в (} t ^,0))

J g 1 ( t ,0) f ‘ ( t ,0) exp ( Щ ( x ,0) - g 2 (0,0) щ^в ( x ,0))^ ⁽³⁰⁾

^J ‘ t ^{a + в} ( x - 1 ) - ‘ expim t ,0) - g ‘ (0,0) Щ ( t ,0))

x ( x - 1 ) f 1 ( t ,0) ,

+ J------------- dt + c₂x + c ₃.

Общее решение уравнение (23) имеет вид

0         t