К теории переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией в общем случае

В дальнейшем обозначим через D треугольную область, ограниченную отрезками

Г = { 0 <  x <  a ₀, y = 0 } , Г₂ = { 0 <  x <  a ₀, y = x }, Г з = { x = a o,O <  y <  a ₀ } .

В области D рассмотрим систему d2 v _ ai( x, У) dv { bi ( x, У) dv dx2 x - y dx x - y dy

. c i ^{( x} , y ) „ . f X ^x , y )

+v +, [ (x - y)2    (x - y)2

d ² v a₂ ( x , y ) d v ^b₂ ( x , y ) d v^

dxdy   x - y dx   x - y dy c 2 ( x’ y )     f2( x’ y )

(x - y)2     (x - y)2 ’ d2v = aз(x’y) dv ^ b3(x,y) dv dy2   x - y dx   x - y dy сз( x ’ у ) v  f(x21

(x - y)2     (x - y)2’ где aj (x, y),bj (x, y), Cj (x, y), fj (x, y)(1 < j < 3) -заданные функции класса   C *( D) n C (D),

v ( x ’ y ) e C ² ( D ) - искомая функция.

Пусть в системе (1) коэффициенты a j ( x ’ y ), bj/ x ’ y )’ Cj ( x , y ) и правые части fj ( x ’ y )(1 <  j <  3) удовлетворяют условиям совместности:

aз (x’ y)’ bз (x’ y)’ cз (x’ y)’ f 3 (x’ y) e Cx (D)’ a2 (x’ y)’ b2 (x’ y)’ c2 (x’ y)’ f, (x, y) e C1 (D)’ (2) ai (x’ y)’ bi (x’ y)’ Ci (x’ y)’ f1 (x’ y) e CУ (D)’

/      \2 d г ^ 2 ( X , У ) i      / XI f \

(x - У) -[J——] + a2(X, У)b2(X, У) dxx д гй1 (x,y)-,

+ c 2( x, У) = (x - y) , |] дуx

+ a ₃( x, y ) b i ( x , y ),

.        . 2 д rb2(x,y)..        ..

(x - У) — [--------] + a 2( x, У) • дxx

■ b i ( x , y ) + b 2 ( x , y ) b 2 ( x , y ) =

,       .2 д rb, (x,y)..       ,.

=(x - y) —[------] + ai(x, У) ■ дyx

■ b 2 ( x , y ) + b i ( x , y ) b з ( x , y ) + c ( x , y ),

(x - У)3    [c2(x,y)] + a2 (x, У) ■ дx (x - y)

■ Ci (x, y) + b2 (x, y)c2 (x, y) = (x - y)3 ■ д r c, (x, y),      ,     ,   , з

■ — [7----j] + a i ( x , y ) c 2 ( x , y ) + ^д У ^{( x -} У )

+ b i ( x , y ) c з ( x , y ),

(x - У)3    [ f 2(x, У2 ] + a2 (x, У) ■ дx (x - y)

■ f . ( x , y ) + b 2 ( x , y ) f 2 ( x , y ) =

= (x - У)3    [ f(x,y)] + a 1(x, У) ■ дУ (x - y)

■ f , ( x , y ) + b i ( x , y ) f з ( x , y ),

,       ,2 д ra3(x,y)..      ,,

(x - y) — [—-----] + ai( x, y) ■ дxx

■ a3 (x, y) + a2 (x, y) b3 (x, y) + c3 (x, y) = д a ( x, y )

= (x - y) — [———] + a 2( x, y) ■ дуx

■ a2 (x, y) + a3 (x, y) b2 (x, y), д rb3(x,y)_,

(x-У) -[J-----] + aз(x,У) ■ дxx д b ( x, y )

■ bi(x,y) = (x-y) — [ 2V ■ '] + дyx

+ a 2 ( x , y ) b 2 ( x , y ) + c 2 ( x , y ),

.        ,3 д rc3 (x, y) _.        ..

^{( x -} У ) _г I -----rd ^{+ a} 3 ^{( x} , У ) ■ д x ( x - y )

■ ci( x, y) + bз( x, y) c 2( x, y) = д c (x, y)

= ^{( x -} У ) _r I -----rd ^{+ a} 2 ^{( x} , У ) ■ д У ( x - y )

■ c 2 ^{( x} , y ) + ^b 2 ^{( x} , y ) c з ^{( x} , y ),

(x - У)3    [ f3(x,y)] + a з(x, У) ■ дx (x - y)

■ ^f .^{( x} , y ) ^{+ b} 3 ^{( x} , y ) ^f 2 ^{( x} , y ) =

,       . 3 д _r f ( x , y ),       ,     .

=^{( x -} y ) —^[d—rd^{+ a} 2 ^{( x} , y ) ■ д У ( x - y )

■ ^f , ^{( x} , y ) ^{+ b} 2 ^{( x} , y ) ^f X ^x , y ).

Тогда, вводя новую функцию v (x, y) = (x - y )-1 u и используя равенства gi(x, У) = bi(x, У), g2 (x, y) = b2 (x, y) + (x - y)e-i, g 3 (x, У) = b3 (x, y) - 2( x - y)Y', из системы (1), получим систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка вида д2u ; g i(x, У) Su_ + f(x,y)

д x² x - y д y x - y ’

. ди _ g 2(x, У ) д u ! f2(x, У)

дx дy   x - y дyx д2u   g3 (x, y) дu   f (x, y)

=1• дy2    x - y дyx

Для системы (11) условиями совместности являются:

д _r g ₂ ( x , y ),

(x - У) — Г л] + g 2( x, У) ■ дxx

■ g2(x,У) = (x - У)2    [gi(x,У) ] + дУx

+ g 3( x, y) g i( x, y), д rf2 (x, y),

(x - У) — [ 2      ] + g 2( x, y) ■ дxx

■ f:(x,y) = (x - y)2 зд[ffert ] + дУx

+ g i(x, У ) f3( x, У X д г g 3(x, У) 1 = д г g 2(x, У) 1(14)

д x x - y     д У x - y ’

(x - У)2 | [f 3(x,y)] + g3 (x, y) ■ дxx

■ f,(x, y) = (x - y )2 | [ f^-y) ] + дyx

⁺ g 2^{( x} , У ) ^f l^{( x} , У )•

Вводя новую функцию ^u = W из двух dу последних уравнений системы (11) получим переопределенную систему в частных производных первого порядка с одной сингулярной линией dW = g 2(х, у) w + fАх, у) дх    х - у      х - у д W = g з( х, У ) w + fАх, У ) ду    х - у      х - у

Сначала находим решение второго уравнения системы (16). В этом случае однородное уравнение имеет вид

Пусть g ₃ (0,0) <  0 и функция g ₃( х , у ) удовлетворяет условию типа Гельдера:

|g з ^{( х} , у ) ^- g з ^(0,0)| <  H 1 ^{( х -} у ) ^{Y 1} ,

H = const >  0, y >  0,          ⁽²⁰⁾

и функция f (х, у) обращается в нуль с асимптотической формулой fз( х, у ) = o[( х - у ) Y2], /2 >- g з(0,0). (21)

Теперь от функции W(х, у) потребуем, чтобы она удовлетворяла первому уравнению системы (16), отсюда находим условие совместности вида д W_g з(х, у ) w ду    х - у

Эту уравнение запишем в виде д ln W _ g з( х, у у) ду     х - у '

Интегрируя от 0 до у , будем иметь

W ( х , у ) = ( х - у ) ^{g з (0,0)} exp[ ® j ( х , у №1 ( х ), ⁽ 17)

2 г fз(х, у )ехР(-уз(х, у)) 1 = дх L      (х - у)1-gз(0,0)

= д |/ g2(х, у) _ дуз(х, у) + ду   х - у

+ g з (0,0))(^ (х) + х - у

+

у fs (х, т) ехр(-©з (х, т )) J       (х - T)1-gз(0’0)‘ где

У (х,у) = у gз(х,Т) - gз(0,0) dT, у (х) -0      х - т произвольная непрерывно-дифференцируемая функция переменной х.

Подставляя значение W(х, у) во второе уравнение и считая, что функция у (х) зависит от переменной у, для нахождение у (х) -будем иметь d У1 (х) = f, (х, у) exp [-®з (х, у)] dy            (х - у)1-gз(0,0)       ’

Интегрируя, находим

«( х ) = ^ ^f ^ ^{^ X} T ^eXpЙ 0^ T + , , ( х ). (18)

00      ( ^{х - T} )’³"'

+

^f 2 ^{( х} , у ^)еХР^{( - У} з ^{( х} , у )) ( х - у ) ^{1 -} g з^

Используя условие (22) из первого уравнения системы (16), получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с одной сингулярной линией вида

d y 2 ( х ) ₌ g 2 ( х ,0) + g з (0,0) dx           x

• У 2 ^{( х} ) ⁺

f 2 ( х ,0)

_v 1- g з (0,0) ■ x

Общее решение уравнения (23) имеет вид

У ₂( х ) = x ^{g 2 (0,0) + g 2 (0,0)} ехр( ® ₂( х ,0)[ c +

x

+ J

f , ( t ,0)ехр( - у ,( t ,0)) t 1+ g 2 (0,0)           ‘

После, подставляя значение у ( х ) из (18) в (17), находим общее решение второго уравнения системы (16) в виде

где у ( х ,0) = [ ^{g 2}( t ^{,0)   g} 2 ^(0,0) dt , ^c 1   ^- произ ^-

0                t

W ^{( х} • у > = ^ у ж] &  2 ^{( х} ) ^{+ ( х - у} )

у f з ( х , т )ехр[ - У з ( х , т )]

+ J         ( х - т )^{1 -} g з ⁽⁰ ' ^{0)           J}.

вольная постоянная.

Пусть функция g ( ,0) удовлетворяет условию

I g 2 ( х ,0) - g 2 (0,0)| <  H 2 ( х ^{Y з}),

H₂ = const >  0, y >  0,

и функция f ₂ ( x ,0) в окрестности точек x = 0 обращается в нуль, и ее поведение определяется следующей асимптотической формулой:

f 2 (x,0) = o[xY4 ], Y > g2 (0,0)

и g 2 (0,0) + g ₃(0,0) >  0.

Тогда, подставляя (24) в (19) и учитывая y u (x, y) = j W (x ,t ) dT + ^3 (x), из первого уравнения системы (11) получим условие

-^r[W(x, y)] = — [g1(x, y) W(x, y) + f (x, y) ]. (28) dx          dy  x - yx

Используя условие (28) для нахождения произвольной функции lg3 (x), получим уравнение вида d2^3(x) _ g3(x,o)exp(^(x,0) dx =

+

x

I

f , ( t ,0)exp( - ® 2 ( t ,0)) t 1+ g 2(0,0)

^[ c i ⁺

■dt ] +

f . ( x , o )

x

Дважды интегрируя (29) по переменной x , произвольную функцию ^ ₃ ( x ) находим в виде

x

V 3 ^{( x} ) = c i J"

+ J ¹

+ J •'

( x - t )( ^g i(X ^o )^ex^p H X ^{t ,}2))^^

f ^{1 -} g 2 C^0,0) ^t

( x - 1 ) ² f 2 ( t ,0) exp( - ^ 2 ( t ,0))

- dt +

■ dt +

2 1 1 + g 2 (0,0)

( x -1 )( f 1 ( t ,0) - f 1 (0,0)) _{dt +} t

+  C1 g 1(0,0) x1+g2(0,0)   + g 2(0,0)( g 2(0,0) +1)

+ f (0,0)[ x In x - x ] + c₂x + c ₃.

Пусть функции g j ( x ,0) и f ( x ,0) влетворяют условию типа Гельдера:

|g 1 ^{( x} , y ) ^e xp( ® 2 ^{( x ,0))} - g 1 ^(0,0)| <  H 3 ⁽ x " ⁵ / H = const > 0, y ₅ >  0,

’ (31)

| f l ( x ,0) - f /0,0)1 <  H 4 ( x 6 ), H = const >  0, y >  0.

удо-

Тогда, подставляя функцию щ3 (x) (30) в (27) и учитывая (19), будем иметь из

y u (x, y) = J

f з ( x , r 1 )exp( - ^ ₃( x , T 1 )) ( x - T ) ^{1 - g} 3 ⁽⁰,⁰⁾

• W (x ,t ) dT + y (x - T)-g3(0,0) + c1[J xg2(0,0)-g3(0,0) ( expC^CxD

exp( - ® ₂ ( x ,0))

x

+J

^{( x -} t ⁾⁽ g 1 ⁽ t ^{,0) ex} p ⁽ ® 2 ⁽ t ^{,0)) -} g 1 ^(0,0))

1 1- g 2 (0,0)

(33) dt ] +

x

+ J K 1 ( x , y , t ) f , ( t ,0) dt + 0

x ( x - 1 )( f _L( t ,0) - f , (0,0)) i                                                                                                                             t I

0 t

+ c g 1(0,0) x1+g2(0,0)  + g 2(0,0)( g 2(0,0) + 1)

+ f (0,0)[ x In x - x ] + c2x + c3, где        W (x,T) = J| (x - s)-g3(0,0) e^x,s)ds,

^T 1

x g 2 (0,0) + g 3 (0,0) ^y

K 1 ^{( x} , y , t ) = ^[     1 + g₂ (0,0)    J ^{( x - T} ) " ^{g 3 (0,0)}

t               0

• exp( ^ ( x , t )) d T + ⁽ x - t ⁾² g ¹⁽ x ^,0) ] •

• exp(^ (x ,0) - ^2 (t ,0)), а c, c2, c3 - произвольные постоянные.

Теорема 1 . Пусть в системе (11), функции g j ( x , y ), fj ( x , y )(1 <  j <  3) - удовле творяют условиям (12), (13), (14), (15), (20), (21), (22), (25), (26), (28), (31), (32) и g₃ (0,0) <  0, g ₂(0,0) + g ₃(0,0) >  0 в области D . Тогда любое решение системы (11) из класса C ² ( D ) представимо в виде (33).

Замечание 1. Решение вида (33) в окрестности сингулярной линии y = x , при выполнении всех условий теоремы 1 непрерывно.

Теорема 2. Пусть в системе (1) коэффициенты a(x, y),b(x, y),c(x, y) и правые части f(x, y)(1 < j < 3) удовлетворяют условиям (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10) и выполнены все условии теоремы 1. Тогда любое решение системы (1) из класса с2(D) представимо в виде v (x, y) = (x - y )-1 u (x, y), (34) где функция u(x, y) имеет вид (33).

Замечание 2. Решение вида (34) в окрестности сингулярной линии y = x при выполнении всех условий теоремы 2 неограниченно.