К теории переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией

Через D обозначим треугольную область, ограниченную отрезками

Г 1 = {0 <  x <  a₀,y = 0},

Г ₂ = {0 <  x <  a ₀, y = x},Г ₃ = { x = a ₀,0 <  y <  a ₀}.

В области D рассмотрим переопределенную систему дифференциальных уравнений d2 v      2  dv    1   dv

=I dx2    x - y dx  x - y dy

1     .. . f 1 ( x , y )

V + ,

( ^x - y )     ( ^x - y )

d ² v _  1 d v 2   dv ₊           ⁽¹⁾

d x d y  x - y d x  x - y d y

,     ¹ f.f 2 ⁽ x , y )

+ v + ,

^{( x -} y )     ^{( x -} y )

d ² v 3   d v      1

=v + dy2   x - y dx  (x - y)

₊ f l e x ’ll

.            (x - y )2’ где fj (x, y)(1 < j < 3) - заданные функции класса C4D) n C(D), v(x, y) e C2(D) — неизвестная функция.

Систему (1) назовем переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией с постоянными коэффициентами.

Пусть в системе (1) правые части fj ( x , y )(1 <  j <  3) удовлетворяют условиям совместности:

f,(x,y) e C1(D), f2(.x, y) e C‘(D), f,(x, y) e Cy (D), fixy) = df;(x, y)

dx         dy’

(x -y)fxyl -2f ;(x,y) = dx                        (4)

d f, (x, y )

=(x - y )   -     + f.(x, y ) + fз(x, y )• dy

При выполнении условии (2), (3), (4), вводя новую функцию v = v(x, y) = (x - y)-1 u из системы (1) получим систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка вида d 2 u =  1  du + f1(x,y)

dx2  x - y dy   x - y ’ d2u _    1  3u  f,(x, y)(5)

1=, dxdy   x - y dyx du     1  d u  f,(x, y)

dy2  x - y dyx

Если будем использовать функцию

W (x, y) = —, тогда из двух последних урав-dy нений системы (5) имеем

|d W =- W + f ( xy ), d x    x - y     x - y      (6)

‘d W = w + f^ . d y  x - y     x - y

Для нахождения общего решения системы (6), предположим, что второе уравнение является основным. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

W = X W • dyx

Однородное уравнение (7) запишем в виде d In W _ dyx

После интегрирования получим

In W ( x , y ) = - ln( x - y ) + W i ( x ), где W i ( x ) - произвольно дифференцируемая функция.

Отсюда

W ( x , y ) = '    x •                 (8)

x - y

Предположим, что функция W i ( x ) зависит не только от переменной x , но и от переменной y , в этом случае, дифференцируя W ( x , y ) по переменной y :

д W ( x , y )   W '1 ( x )( x - y ) + ^ 1 ( x )

y =----(x-?-----’ а после подставляя во второе уравнение системы (6), имеем dW (x, y) = w '1 (x)(x - y) + W1( x) = dy             (x - y )2

₌    1     W '1^{( x} ) ₊ ^f > ( ^x , y )

x - y x - y x - y

Отсюда, для нахождения произвольной функции w ( x ) , получим дифференциальное уравнение w '1 ( x ) = f , ( x , y )•

Интегрируя, находим

y

W 1 ( x ) = J f , ( x , r )d T + w 2 ( x ),         ⁽⁹⁾

где w₂ ( x ) — произвольно дифференцируемая функция.

Значение W i ( x ) подставим в (8) и находим общее решение второго уравнения (6) в виде

y

W ( x , y ) =----- ( w 2 ( x ) +[ f , ( x , r ) d r )•   ⁽¹⁰⁾

^{x -} y         Oo

Из функции W(x, y) потребуем, чтобы она удовлетворяла первому уравнению системы (6), т. е., дифференцируя d W (x, y)          1 у у у ( r \ j \

--- ----= - ;-----77 (W2(x)+ I f.(x, r)dr)+ dx        (x - y)          0

1    UWy ( x ) y d _f yy, у

+----- ( J +1 t( f 3 ( x , r )) dr )

x - y dx * dx и подставляя в первое уравнение системы (6)

—

y

7-----ту ⁽ W 2^{( x} ) ⁺ f ^f з^{( x} , ^r ) ^{d r} ) ⁺

( x - y )²          ₀

d w ₂ ( x )

+—( x - y

•

x - y

dx x - y

y

- + г ( f з ( x , r )) d r ) =

0o ^д x

y

⁽ W 2 ⁽ x ) ⁺ J ^f 3 ⁽ x ^{, r} ) ^{d r} ) ⁺

+ f2( x, y ) x - y ’ отсюда получим d^T^x) = f■( x, y) -J J- (f3( x,r )) dr )• dx• dx

Дифференцируя по переменной y, получим условие совместности (3). Используя условие (3) для нахождения w2 (x), имеем dW;'Y’ = f,(x ,0).

dx

Интегрируя равенство (12), получим

x

V ₂( x ) = f f > ( t ,0) dt + c 1 ,             ⁽¹³⁾

где c – произвольная постоянная.

Значение / ( ^x ) подставим в (10), получим общее решение системы (6) в виде

z ₄ xx ( x — t ) f ( t ,0)_J / ( x ) = ---- dt +

0            t

+--

—

x (1 — -)2 f ;(t,0)dt — 0x c In x + c2x + c3,

W (x, y) =      (c + x f (t ,0) dt + x - У    0

+ ]f , ( x , r ) d r ).

Отметим, что интегралы в правой части равенства (14) сходятся, так как функции f (x,0), f (x,y)   являются непрерывными функциями.

Теперь из общего решения системы (6), то есть из функции W ( x , у ) потребуем, чтобы она удовлетворяла первому уравнению системы (5). Для этого используем

W (x, У) =    , ду в результате получим

где c , c ₂, c₃ - произвольные постоянные.

Предположим,     что     функции f (x,0), f (x,0), имеющие в окрестности точек x = 0, удовлетворяют асимптотическим формулам:

f (x ,0) = o ( x ^{Z 1}), / 1 >  0,          ⁽²⁰⁾

f , ( x ,0) = o ( x ^Y ), у 2 >  1.          ⁽²¹⁾

Тогда интегралы равенства (19) сходятся.

Значение / ₃ ( x ) из равенства (19) подставим в (15) и, учитывая (14), найдем общее решение системы (5) в явном виде

y

^- ^ ) f _s( x , t ) d r + x — T

y u (x, у) =j W (x ,т) dr + / 3( x),       (15)

где v ( x ) - произвольно дифференцируемая функция.

Равенство (15) дифференцируем дважды, будем иметь

+it(1—)2+in—]fj(t,0)dt +(

• 2 xx

C ( ^{x —} t ) ^f .⁽ t ^,0) .1, _ l_n|_r__vl+r Y + r

+ i               dt c in x у + C 2 x + C ^,

д2 u (x, у)   y д2     ,, a 2   = I ^[W(x,r)]dr + дx" дx d^x)

I dx2

Дифференцируя по переменной у , получим условие совместности системы (5) в

виде

д [ W ⁽ x , у ) + ^f ( x , у ) д у      x - у

а2

] ^д    [ W ( x , у )].

д x

Используя условие (17) из равенства (16) для нахождения / (x), приходим к дифференциальному уравнению d/0 = £l + Iff (t ,0) dt+fix0).  (18)

dx²    x²  x ^J/ ²           x

Дважды интегрируя равенство (18), произвольную / ( x ) находим в виде

где c , c ₂, c₃ - произвольные постоянные .

Таким образом, доказано:

Теорема 1. Пусть в системе (5) функции f (x, у) (1 < j < 3) - удовлетворяют усло виям (2), (3), (4), (17), (20). Кроме того, функция f (x, у) в окрестности точек линии у = x, удовлетворяет асимптотической формуле f/ x ,0) = o (xY1), /1 > 0.

Тогда любое решение системы (5) из класса C ²( D ) представимо в виде (22)

Замечание 1 . Решение вида (22) в окрестности точек линии у = x , при выполнении всех условий теоремы 1 имеет логарифмическую особенность.

Теорема 2 . Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда общее решение системы (1) из класса C ²( D ) представимо в виде v ( x , у ) = ( x - у ) ^{— 1} и ( x , у ) ,         ⁽²³⁾

где функция и ( x , у ) имеет вид (22).

Замечание 2 . Решение вида (23) в окрестности точек линии y = x при выполнении всех условий теоремы 2 неограниченно.