К теории переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной точкой и одной сингулярной линией

Через D обозначим прямоугольник D = {( x , y ): 0 <  x <  a ₀,0 <  y <  b ₀} .

Соответственно обозначим

Г = {0 <  x <  a ₀, y = 0}, Г₂ = { x = 0,0 <  y <  b ₀}.

В области D рассмотрим систему d2 u = xa1(x, y) du   f,(x, y)

dx1       r    dxr

: d2 u = ya 2( x, y) du   f 2(x, y),(1)

dxdy      r    dxr d2 u   a 3( x, y) du   f5( x, y)

—7 =---1-- dy    y - x dxy где   a (x, y), fj (x, y)(1 < j < 3)   - заданные функции класса, C1 (D) n C(D), r = 7x2 + y2, u(x, y) e C2 (D) - искомая функция.

Пусть в системе (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям совместности:

ai( x’ y), f(x’ y)e Cy(D\ a2(x, y), f г(x, y) e C'(D),               (2)

a з( x’ y)’fз( x’ y)e Cx(D \ d_ ya2(x, y) = d  xai(x, y) , dx  r   dyr r 2 d [ f -I x ’ y ) ] + ya 2 ( x , y ) f. ( x , y ) = dxr d ff (x,y),

= r -P1^] + xai(x, y)f 2(x, y) dyr d a( (x, y) + xa (x, y)a3 (x, y) _ dx  y - x        (y - x) r

= d I ya 2^{( x} ’ y ) ] _{+ (} ya 2^{( x} ’ y ) )2

dyrr

Тогда, вводя новую функцию du = w(xy) из dx        ’ первых двух уравнений системы (1), получим

систему

d W _ xa i( x ’ y )      f ,( x ’ y ) =           W 1 d x       r            r    .            (7)

d W = ya 2( x ’ y ) w ffxyy)

d yr    r

Пусть функции a1(x, y), f(x, y) в окрестности сингулярной точки r = 0 удовлетворяют условиям

|a i ( x , y ) - a i (0,0)| <  H 1 r ^Y ,

H = const > 0, y > 0,              (8)

f.(x, y) = o(r Y2), Y2 > 0.(9)

Тогда общее решение системы (7) имеет вид

W ( x , y ) = exp( ^ ( x , y ) + a_l (0,0) 7 x ² + y ²) •

• [exp( ® 2 (0, y ) - ya i (0,0))( c +

+ Г ^f 2 ^{(0, T} ) e_Xp( - ^ (0, ^ )) d r ) +

⁺ J ^f 1 ⁽ t ^,0) ₇ ^ex p ^{( -} ® i⁽ t ’ y ) ^- 0 tit ² + y²

- a^ (0,0) t ² + y ²) dt ],

где

c – произвольная постоянная.

Далее, учитывая du = w (xy) для нахож-dx’ дения u (x, y ), имеем u (x, y) = J W (t, y) dt +^( y), где ^( y) - произвольная дважды дифференцируемая функция переменного y. Дважды дифференцируя (11) по переменному y, подставляя в третье уравнение системы (1), получим условие совместности вида d {(ya2(x,У) _ d0i(x,У) _ yai<°’°))(pQ.) +

5 x      r         5 y        r

+ 1 f=y exp( - 0 ( t , У ) - a i (°’°)^ t ² + У ²) dt ) + ⁽¹²⁾ ° tit² + y²

+ f г ^{( x , y} ) exp( - 0 ( x , y ) - a , (°,°) ^x ² + y ²} r

= A ( f i ^{( x , y} ) exp( - ^ i ( x , y ) - a i (°,°) x ² + y ² ).

dyr

Используя условие (12) учитывая (10) для нахождение произвольной функции ^ y), получим дифференциальное уравнение d2^ (y)   a3 (°, y).

=exP( 02 (°, y))[ Ci + dy       y

+ jf ^ exp( 0 ^ Ж ] + f^

° T

Дважды интегрируя (13), имеем

* y ) = j

J

°

-^ d T +

y

+ 1

°

y

+ j

°

( y - T )² a 3 (°, t ) f г (°, t )

e«2(°.y)-02(°t) dT +

2 т²

+ ( c,a ₃ (°,°) +

T

+ f 1 (°,°))( y In y - y ) + c 2 y + c 3 .

Подставляя значение произвольной функции ^(y) из (14) в (11) учитывая (10), получим

u ^{( x} . y ) = f - f =^ ^exP^{( -} ® i⁽ t i. y ) ^- ° 4 t i ² + y²

- a i (°,°) 7 1 i ² + y ² ) W ( t i , y ) dt i +

x

+ c [ j exp( 0 ( t , y ) + a (°,°) Jt ² + y ² + °

+ с у₂ (°, y ) - ya , (°,°)) dt +

y

+ j

°

⁽ y ^- ?⁾⁽ a 3 ⁽°. ^T ) ^exP⁽ ^ 2 ⁽° T )) ^- a 3 ⁽°.°)) _d^ ₊ T

y

+ j K ( x , y , т ) f (°, т ) d r +

°

+ J                         d + (   (°   +

°                       ^T

+ f1 (°,°))(y In y - y) + c2y + c3, где x

W(ti, y) = j exp( 0i (ti, y) + ai (0,0)712 + y2)dti, t i ixx

K ( x , y , t ) = [- j exp( 0 i ( t , y ) +

^T °

+ a , (°,°)(7 1 ² + y ² - y ) dt +

(у — т)2 (0,f)

+ ^{( y}   ) 2^{3 ( ,} ) ]exp( ® 2 (°, y ) - 0 2 (°, T )).

2 т

Таким образом, доказано:

Теорема. Пусть коэффициенты и правые части системы (1), удовлетворяют условиям (2), (3), (4), (5), (6), (8), (9), (12) в области D . Кроме того, функции a₃ (Q, y ), f (°, y ), f₃ (°, y ) в окрестности точек контура Г удовлетворяют условиям

| a 3 ^(Q, y ) ^exp^{( 0} 2 ^(Q, y )) ^{- a} 3 (°^,°)| ^ H 2 у ' ^{3 ,}

H2 = const > °, y3 > °, f2 (°, y) = o(yY4),Y4 > i, f1(°, y) = o[yY5], Y5 > °-

Тогда любое решение системы (1) из класса C ² ( d ) представимо в виде (15), где c , c ₂, c₃ - произвольные постоянные числа.

Замечание. Решение вида (15) в окрестности сингулярной точки r = ° и сингулярной линии y = x при выполнении всех условий теоремы ограниченно.