К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости

волн, а для акустических и упругих волн — с наличием вязкости среды. Сама теория линейной вязкоупругости достаточно развита и доступна для широкого применения (см. [1-4] и цитированную там литературу). Но, как отмечается в работе [5], «многие математические свойства линейного определяющего соотношения вязкоупругости — даже напрямую связанные с моделированием классических реологических эффектов и типичных кривых поведения материалов — еще малоизвестны, полный арсенал возможностей линейной теории не выявлен, область ее адекватности до сих пор не очерчена достаточно четко и явно, а компьютерное моделирование нередко остается без необходимого фундамента».

Необходимость разработки методов решения обратных задач теории волновых процессов в вязкоупругих средах обуславливает актуальность данного исследования.

Статья обобщает результаты работы [6] на случай матричного ядра. В ней определялось одномерное скалярное ядро интегрального оператора типа свертки, входящего в систему изотропной вязкоупругости для сосредоточенного источника возмущений, локализованного на границе рассматриваемой области. При этом в качестве дополнительной информации задавался след решения прямой задачи на поверхности хз = 0. В работах [6-9] приводится подробный обзор имеющихся публикаций по данному направлению исследований. Можно добавить к имеющемуся обзору работы [10, 11], в которых решены задачи по определению скалярных ядер для интегро-дифференциальных уравнений акустики и SH-волн в вязкоупругой пористой среде соответственно. Работы [12, 13] содержат результаты по определению матричных ядер для системы уравнений анизотропной вязкоупругости для однородной среды и для случая изотропной вязкоупругости с источником возмущения типа направленного взрыва для неоднородной среды.

Полная система дифференциальных уравнений для неоднородной анизотропной вязкоупругой среды состоит из следующих уравнений:

d2ui _    dTij р dt2 = 52 дх/ i = 1,2,3‘                          (1Л)

j=1

Здесь х = (х1,х₂,хз) € R³, р = р(х) — плотность нео,диородиой среды. р(х) > 0. u = (u1(x,t),u₂(x,t),из(х,t)) — вектор смещений.

В вязкоупругих материалах для тензора напряжений имеют место представления:

Tij = 52 cijkl k,l=1

t

Ski + У Ki (t - т )Ski(x,T ) dT ,

i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3,

(1.2)

где

Ski = 1 (dT +       , k = 1, 2, 3, l = 1, 2, 3,

• 2    \dxi    dxk

2. Постановка задачи

cijkl = cijkl(x) ^— модули упругости, K (t) = (K1, K₂, K3)(t) — функция релаксации среды. Симметричность тензора напряжений уменьшает число независимых модулей упругости с 81 до 21. Если принять, что c_ae = cjki, где a = (ij) ив = (kl), в соответствии с обозначениями (11) ^ 1, (22) ^ 2, (33) ^ 3, (23) = (32) ^ 4, (13) = (31) ^ 5, (12) = (21) ^ 6, то матрице независимых модулей упругости можно придать вид симметрической матрицы порядка 6 х 6, поскольку в паре индексов (i, j) порядок не играет роли и существует только шесть различных парных комбинаций. Будем рассматривать анизотропные среды с матрицей независимых модулей упругости следующего вида:

		c11 c12	c12
		c12 c11	c12		0(3x3)
		c12 c12	c11
сав				c44	0	0
		0(3x3)		0	c44	0
				0	0	c44	/

(1.3)

Рассмотрим при x = (х1,Х2,Хз) G R3, t G R, Х3 > 0, систему интегро-дифференциальных уравнений динамической вязкоупругости (1.1)—(1.2)

„ d2ui _ '^ dTij р dt2 = v dx - ’ i =12,3 x3 >0, j=1 j при следующих начальных и граничных условиях:

uj\_t<₀ = 0, j = 1, 2, 3,                                     (2.2)

Т₃з\х₃=+о = f (xi,t), j = 1, 2, 3.                            (2.3)

Далее предполагаем, что модули упругости сц, С12, С44 и плотность р являются функциями только одной переменной Х3, а вектор-функция (сц, щ₂, С44, р) принадлежит классу Л(т) m = const:

Л(т) = ^(cii(хз),С12(хз),С44(хз),р(хз)) :

с11 ^ m > 0, с₄₄ >  m > 0, с11 > с₁₂, с11 + 2с12 > 0, р ^ m >  0, С11(+0) = 0, с44(+0) =0, р‘(+0) =0, ^с11^,с44,р ^G C2^(R+⁾, ^с12 ^G C(^R+)}, ^R+ := ^[0, TO).

Определим билинейный интегральный оператор L по формуле

t

L[K (t), u(x, t)]

= u(x,t) + j

K(t — т)u(x, т) dT

(здесь K(t), u(x,t) - скалярные функции). В дальнейшем для сокращения записи иногда не будем в операторе L указывать зависимость функций от переменных, подразумевая зависимость первой — от t, а второй — от x, t.

Равенства (2.1)-(2.3) для анизотропных сред с матрицей (1.3) могут быть переписаны в следующем виде:

d2u1           d f du1

∂2u3

∂x1 ∂x3

∂      ∂u3

∂x3   44 ∂x1

p^tr = L[K1’dx3 (c44 9x3) + c12

∂2u1       ∂2u1

+ c44 dx2 + с11 dx2 + (c12 + С44)

∂2u2

∂x1 ∂x2 ,

(2.4)

∂2u2           ∂ ∂u2         ∂2u3     ∂      ∂u3

ρ ∂t2         2, ∂x3 44 ∂x3      12∂x2∂x3   ∂x3   44 ∂x2

∂2u2      ∂2u2               ∂2u1

(2.5)

⁺ c44   ₂ + Сц   ₂ + ⁽ci2 + ^С44)Д Т

∂x21       ∂x22              ∂x1 ∂x2

д²из _ Г d / диз \

^P dt² = [ ^3,дхз V^й дхз/

+ c44

L

L

L K3 ,

+ c44

∂2u2

∂2u1

∂x1 ∂x3 ∂

∂x2∂x3

+ дхз

∂u3      ∂u1

Ki, ^c44 я--+ c44-

∂x1      ∂x3

∂u3∂u2

K2, c44 7^

∂x2∂x3

∂∂u

+ ТГ- C12 -

∂x3∂x1

∂u2∂ ci2 + c44 n 2 + c44

∂x2∂x

= fi^t), x 3=+0

= MxiA x 3=+0

∂u1      ∂u2      ∂u3

c-2 o--' c-2 o--+ ci- о—

∂x1      ∂x2

∂x3

= Nxbt), x 3=+0

∂2u3

∂x22 ,

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Ui|t<0 — 0

Задачу определения вектора смещения

i = 1, 2, 3.

(2.Ю)

u(x,t), удовлетворяющего (в обобщенном

смысле) равенствам (2.1)—(2.3) при заданных функциях р(хз) сц(хз), с ₁₂ ( хз), с₄₄(хз), Kj(t) fj(x1,t) j = 1, 2, 3, будем называть прямой задачей.

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как коэффициенты уравнений и граничные условия в системе (2.4)(2.10) не зависят от переменной Х2, то решение прямой задачи и также не будет зависеть от х₂ [14].

Запишем соотношения (2.4)—(2.10) в терминах преобразования Фурье по noil х-. Имеем перемен-

∂2U1 ρ ∂t2

L K1,

∂     ∂U1

∂x3   44 ∂x3

∂U3     ∂

+ iVC-2— " + iVy:-- (C44U3) - V²C-iUi , ∂x3     ∂x3

(2.П)

∂2U2 ρ ∂t2

∂     ∂U2

= L K2, Tj  c44 я  -

∂x3     ∂x3

ν2c44U2 ,

(2.12)

∂2U3 ρ ∂t2

∂     ∂U3        ∂U1∂

L Кз, я-- с1-п-- + iVC44^--+ "'--- (C12U1) - v C44U3,

∂x3     ∂x3         ∂x3∂x3

(2.13)

∂U1

L K1,iC44 VU3 + C44---

∂x3

L K2,c44∂∂Ux32

= Fi^(v,t), x 3=+0

(2.14)

= ^F2^(v,t), x 3=+0

(2.15)

∂U3

L K3,ivci2Ui + cii-— ∂x3

= FMt), x 3=+0

(2.16)

где

∞

Uj(x3,t,v )= j u(x1, Х3, t) exp(ivx1) dx1, j = 1, 2, 3,

-∞

∞

Fj(t,v)= j fj(xi,t)exp(ivxi) dxi, j = 1, 2, 3, -∞ v — параметр, функции Uj,ф G C 1(R; C(D)). D = {(x3,t) : X3 > 0, 0 < t ^ T}. T > 0.

Систему (2.11)—(2.17) можно рассматривать как совокупность двух подсистем. Первая включает равенства (2.11), (2.13), (2.14), (2.16), (2.17) и определяет функции Ui и U3. Вторая — (2.12). (2.15). (2.17) определяет функцию U2.

Обратная задача. Пусть fj(xi,t)= 5'Д)5(х1), j = 1, 2, 3;

где 5'(t) — производная дельта-функции Дирака, ДхД — дельта-функция Дирака. Определить ядро K (t) = diag(Ki, K2, Кз)Д), t > 0, входящее в равенства (2.1) посредством формулы (1.2), если относительно вектор-функции (Ui,U2,U3) решения прямой задачи известна дополнительная информация

Uj (X3,t,v)|x3=+0,v=+0 = gj (t), t> 0, j = 1,2,3,                  (2.18)

^гД^е gj (t) ^— заданные функции.

• 3.    Решение обратной задачи

Из равенств (2.11)-(2.17) для функций

Uj1 = Uj(x3,t,v) |v=+o, j = 1,2,3, получаем независимо решаемые задачи (3.1)—(3.2), (3.3)-(3.4) и (3.5)—(3.6)

∂2U11 ρ ∂t2

∂     ∂U1

= L K1, О  c44 О  ’

∂x3     ∂x3

U1lt

∂U1

L K1 , c44

∂x3

= 6'(t), x3=+0

∂2U21 ρ ∂t2

= L^g (C44 ®]>

U1lt<0 S 0,

∂U2

L K2 , c44

∂x3

= 6'(t), x3=+0

∂2U31 ρ ∂t2

= L^3,dX3 Ong)]'

U1lt

∂U3

L K3 , c11

∂x3

= 5‘(t).

x3=+0

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Введем в рассмотрение новые переменные у, z по формулам x3

У = ^ф1^(х3) ^:= [         ^vi(x3) ^:= 1 ^C44(X3)

^v1(€)                     P^(x3)

x3

С11(хз)

P(x3) ‘

d^

z = V2⁽x3) := J V2(D ’^V2⁽x3^):=V'

Через ф^-1 обозшгчим фуикпню. обратную к ф,. j = 1, 2.

Пуств

Ui¹ (^ф1 ⁽уИ . , _{9 м} vi⁽y^,t):=------ту—-, i = 1²; s⁽y) ^:= ^s(y)                                  у

V1(+0)p(+0)

^v1 Чч¹⁽уЧ p Чч¹⁽уЧ,

_ U3 (^2 1^(z),t)     / X _ I     vTC+ojpf+O)

^:=      p(z)     ’ ^P(Z):=Vv2 (Ф^-^)) p         • '

Тогда обратная задача в терминах вновь введенных функций и переменных у, z приводится к задаче определения матричного ядра К(t) = diag(K1, K2, K3)(t) из следующих соотношений:

∂²vj ∂t²

∂²vj

= L K , фут ⁺qy   ,

у > 0, t Е R,

L [К,, ^dvjl^yl^⁾ 1     = аЩ).

^∂y   y=+0

j = 1, 2,

∂²v3

dt² = ^L

∂²v3

K3, az2"+q(z)v3

z > 0, t Е R,

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Lk,dvf^l    = b^'(t),

(3.10)

(З.П)

(3.12)

^∂z    z=+0

vj lt<0 = 0, j = 1,2,3, vj (+0,t)= gj (t), j = 1, 2, 3, где

(i - s^y2_9[s‘(y)Г д 1 _p'M_ Jp‘(z)I2 q(y):    s(y)     2   s(y)    ’   q(z):    P(z)     2  P(z)    , a := [C44(+0)p(+0)]-1 , b := [cn(+0)p(+0)]-2 .

Задача (3.7)-(3.12) распадается на три независимые задачи по определению K1(t), K2(t), K3(t) соответственно. Решение каждой задачи может быть проведено аналогично исследованию обратной задачи, изученной в [6].

Таким образом, из [6] следует справедливость следующих теорем однозначной глобальной разрешимости и устойчивости обратной задачи определения матричного ядра (доказательство проводится по аналогии для каждого элемента Ki(t), i = 1, 2, 3):

Теорема 1. Пусть функция gj (t) представима в виде gj(t) = Aj5(t) + 9(t)goj(t),   (A1, A2, A3) := (a, a, b)

п goj(t) Е C² [0, T] , j = 1,2,3; 9(t) — функция Хевисайда. Кроме того. (p,c₄₄) Е C³ [0, f--¹ (T/2)] щц Е C³ [0, f 1(T/2)] • Тогда существует единственное решение обратной задачи K(t) = diag(K1, K₂, K3)(t). t Е C²[0, T], при любом фиксированном T > 0.

Пусть r(ho) — множество скалярных функций K(t) Е C²[0,T], удовлетворяющих для t Е [0, T] неравенству ||K(t)\с2[o,T] С ho ^с фиксированной положительной постоянной ho. Эта постоянная определена в [6].

Теорема 2. Пусть K(t) = diag(Ki,K2,K3)(t). K*(t) = diag(K₁*,K₂*,K^)(t). Kj(t), K*(t) Е r(hoj), j = 1, 2, 3, — решения обратной задачи с набором данных

{РЩУуТ ^Ц’ЩуЛ c11(^f2¹(^z)), goj№},

W'-hy)), сЫ^ГСу)). tt1 (z)). j)} соответственно. Тогда найдется такое положительное число C = C(m, ho, hoo,T)

hoo = max| HpHc3[o,^-1(T/2)], |c44|c3[o,p-1(T/2)], |c11 |c3[o,p-1(T/2)], |goj(t)|c2[o,T], llp HC3[o,p-1(T/2)] , |c44|C3[o,^-1(T/2)] , Hc11 HC3[o,p-1(T/2)] , llgoj (t) 1C2[o,T] } , что справедлива оценка устойчивости

52 ^llKj^(t) - ^Kj^(t)lC3 [o,T ] < C \\^{p - p}*^|C3[o,^p-1(T/2)] ^{+ |c}44 ^- c44^|C3[o,^^-1(T/2)] j=1

^{+ |c}11 ^- c11 Hc3[o,^^-1(T/2)] ⁺52 ^lgoj — goj ||c²[o,T] j=1

<1 Из [6] следуют оценки

^|K1^(t) - ^Ki toile² [o,T] ^{С C} \\\^{p — p}*^|_C3[_o,^^-1(r/₂)] ^{+ |c}44 ^— c44H_C3[_o,^^—1 (T/2)] 11 go 1^{— g}o1^|c²[o,T] ^|K2^{(t) - K}2^(t)HC2[o,T] ^{С C}[^{Hp — p}*^HC3[o,^p-1(T/2)] ^{+ H}c44 ^— c44 \ C3 [o,^^-1 (T/2)] ^Hgo2 ^{— g}o2^Hc2[o,T] ^HK3^(t)-K3 ^(t)HC²[o,T] ^{c C} [^Hp-p* ^HC3[o,^p-1(T/2)]^+Hc11 ^-c11^HC3[o,^p-1(T/2)] ^{+ Hg}o3^-go3 llc^T] Складывая почленно эти неравенства, мы получаем требуемую оценку. >