К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости
Автор: Тотиева Жанна Дмитриевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.21, 2019 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается обратная задача определения матричного ядра K(t)=(K1,K2,K3)(t), t∈[0,T], входящего в систему интегро-дифференциальных уравнений анизотропной вязкоупругости. Прямая начально-краевая задача состоит в определении вектор-функции смещения u(x,t)=(u1,u2,u3)(x,t), x=(x1,x2,x3)∈R3, x3>0. Предполагается, что коэффициенты уравнений системы (плотность и модули упругости) зависят только от пространственной переменной x3>0. Источник возмущения упругих волн сосредоточен на границе области x3=0 и представляет собой дельта-функцию Дирака (граничное условие Неймана специального вида). Обратная задача сводится к изученным ранее задачам определения скалярных ядер Ki(t), i=1,2,3. В качестве дополнительного условия задается значение преобразования Фурье по x2 от функции u(x,t) на поверхности x3=0. Приводятся теоремы глобальной однозначной разрешимости и устойчивости решения обратной задачи. Идея доказательства глобальной разрешимости состоит в применении принципа сжатых отображений к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в банаховом пространстве с весовыми нормами.
Обратная задача, устойчивость, дельта-функция, модули упругости, матричное ядро
Короткий адрес: https://sciup.org/143168799
IDR: 143168799 | DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32117
Текст научной статьи К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости
волн, а для акустических и упругих волн — с наличием вязкости среды. Сама теория линейной вязкоупругости достаточно развита и доступна для широкого применения (см. [1-4] и цитированную там литературу). Но, как отмечается в работе [5], «многие математические свойства линейного определяющего соотношения вязкоупругости — даже напрямую связанные с моделированием классических реологических эффектов и типичных кривых поведения материалов — еще малоизвестны, полный арсенал возможностей линейной теории не выявлен, область ее адекватности до сих пор не очерчена достаточно четко и явно, а компьютерное моделирование нередко остается без необходимого фундамента».
Необходимость разработки методов решения обратных задач теории волновых процессов в вязкоупругих средах обуславливает актуальность данного исследования.
Статья обобщает результаты работы [6] на случай матричного ядра. В ней определялось одномерное скалярное ядро интегрального оператора типа свертки, входящего в систему изотропной вязкоупругости для сосредоточенного источника возмущений, локализованного на границе рассматриваемой области. При этом в качестве дополнительной информации задавался след решения прямой задачи на поверхности хз = 0. В работах [6-9] приводится подробный обзор имеющихся публикаций по данному направлению исследований. Можно добавить к имеющемуся обзору работы [10, 11], в которых решены задачи по определению скалярных ядер для интегро-дифференциальных уравнений акустики и SH-волн в вязкоупругой пористой среде соответственно. Работы [12, 13] содержат результаты по определению матричных ядер для системы уравнений анизотропной вязкоупругости для однородной среды и для случая изотропной вязкоупругости с источником возмущения типа направленного взрыва для неоднородной среды.
Полная система дифференциальных уравнений для неоднородной анизотропной вязкоупругой среды состоит из следующих уравнений:
d2ui _ dTij р dt2 = 52 дх/ i = 1,2,3‘ (1Л)
j=1
Здесь х = (х1,х2,хз) € R3, р = р(х) — плотность нео,диородиой среды. р(х) > 0. u = (u1(x,t),u2(x,t),из(х,t)) — вектор смещений.
В вязкоупругих материалах для тензора напряжений имеют место представления:
Tij = 52 cijkl k,l=1
t
Ski + У Ki (t - т )Ski(x,T ) dT ,
i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3,
(1.2)
где
Ski = 1 (dT + , k = 1, 2, 3, l = 1, 2, 3,
-
2 \dxi dxk
2. Постановка задачи
cijkl = cijkl(x) — модули упругости, K (t) = (K1, K2, K3)(t) — функция релаксации среды. Симметричность тензора напряжений уменьшает число независимых модулей упругости с 81 до 21. Если принять, что cae = cjki, где a = (ij) ив = (kl), в соответствии с обозначениями (11) ^ 1, (22) ^ 2, (33) ^ 3, (23) = (32) ^ 4, (13) = (31) ^ 5, (12) = (21) ^ 6, то матрице независимых модулей упругости можно придать вид симметрической матрицы порядка 6 х 6, поскольку в паре индексов (i, j) порядок не играет роли и существует только шесть различных парных комбинаций. Будем рассматривать анизотропные среды с матрицей независимых модулей упругости следующего вида:
c11 c12 |
c12 |
||||||
c12 c11 |
c12 |
0(3x3) |
|||||
c12 c12 |
c11 |
||||||
сав |
c44 |
0 |
0 |
||||
0(3x3) |
0 |
c44 |
0 |
||||
0 |
0 |
c44 |
/ |
(1.3)
Рассмотрим при x = (х1,Х2,Хз) G R3, t G R, Х3 > 0, систему интегро-дифференциальных уравнений динамической вязкоупругости (1.1)—(1.2)
„ d2ui _ '^ dTij р dt2 = v dx - ’ i =12,3 x3 >0, j=1 j при следующих начальных и граничных условиях:
uj\t<0 = 0, j = 1, 2, 3, (2.2)
Т3з\х3=+о = f (xi,t), j = 1, 2, 3. (2.3)
Далее предполагаем, что модули упругости сц, С12, С44 и плотность р являются функциями только одной переменной Х3, а вектор-функция (сц, щ2, С44, р) принадлежит классу Л(т) m = const:
Л(т) = ^(cii(хз),С12(хз),С44(хз),р(хз)) :
с11 ^ m > 0, с44 > m > 0, с11 > с12, с11 + 2с12 > 0, р ^ m > 0, С11(+0) = 0, с44(+0) =0, р‘(+0) =0, с11,с44,р G C2(R+), с12 G C(R+)}, R+ := [0, TO).
Определим билинейный интегральный оператор L по формуле
t
L[K (t), u(x, t)]
= u(x,t) + j
K(t — т)u(x, т) dT
(здесь K(t), u(x,t) - скалярные функции). В дальнейшем для сокращения записи иногда не будем в операторе L указывать зависимость функций от переменных, подразумевая зависимость первой — от t, а второй — от x, t.
Равенства (2.1)-(2.3) для анизотропных сред с матрицей (1.3) могут быть переписаны в следующем виде:
d2u1 d f du1
∂2u3
∂x1 ∂x3
∂ ∂u3
∂x3 44 ∂x1
p^tr = L[K1’dx3 (c44 9x3) + c12
∂2u1 ∂2u1
+ c44 dx2 + с11 dx2 + (c12 + С44)
∂2u2
∂x1 ∂x2 ,
(2.4)
∂2u2 ∂ ∂u2 ∂2u3 ∂ ∂u3
ρ ∂t2 2, ∂x3 44 ∂x3 12∂x2∂x3 ∂x3 44 ∂x2
∂2u2 ∂2u2 ∂2u1
(2.5)
+ c44 2 + Сц 2 + (ci2 + С44)Д Т
∂x21 ∂x22 ∂x1 ∂x2
д2из _ Г d / диз \
P dt2 = [ 3,дхз Vй дхз/
+ c44
L
L
L K3 ,
+ c44
∂2u2
∂2u1
∂x1 ∂x3 ∂
∂x2∂x3
+ дхз
∂u3 ∂u1
Ki, c44 я--+ c44-
∂x1 ∂x3
∂u3∂u2
K2, c44 7^
∂x2∂x3
∂∂u
+ ТГ- C12 -
∂x3∂x1
∂u2∂ ci2 + c44 n 2 + c44
∂x2∂x
= fi^t), x 3=+0
= MxiA x 3=+0
∂u1 ∂u2 ∂u3
c-2 o--' c-2 o--+ ci- о—
∂x1 ∂x2
∂x3
= Nxbt), x 3=+0
∂2u3
∂x22 ,
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Ui|t<0 — 0
Задачу определения вектора смещения
i = 1, 2, 3.
(2.Ю)
u(x,t), удовлетворяющего (в обобщенном
смысле) равенствам (2.1)—(2.3) при заданных функциях р(хз) сц(хз), с 12 ( хз), с44(хз), Kj(t) fj(x1,t) j = 1, 2, 3, будем называть прямой задачей.
ЗАМЕЧАНИЕ. Так как коэффициенты уравнений и граничные условия в системе (2.4)(2.10) не зависят от переменной Х2, то решение прямой задачи и также не будет зависеть от х2 [14].
Запишем соотношения (2.4)—(2.10) в терминах преобразования Фурье по noil х-. Имеем перемен-
∂2U1 ρ ∂t2
L K1,
∂ ∂U1
∂x3 44 ∂x3
∂U3 ∂
+ iVC-2— " + iVy:-- (C44U3) - V2C-iUi , ∂x3 ∂x3
(2.П)
∂2U2 ρ ∂t2
∂ ∂U2
= L K2, Tj c44 я -
∂x3 ∂x3
ν2c44U2 ,
(2.12)
∂2U3 ρ ∂t2
∂ ∂U3 ∂U1∂
L Кз, я-- с1-п-- + iVC44^--+ "'--- (C12U1) - v C44U3,
∂x3 ∂x3 ∂x3∂x3
(2.13)
∂U1
L K1,iC44 VU3 + C44---
∂x3
L K2,c44∂∂Ux32
= Fi(v,t), x 3=+0
(2.14)
= F2(v,t), x 3=+0
(2.15)
∂U3
L K3,ivci2Ui + cii-— ∂x3
= FMt), x 3=+0
(2.16)
где
∞
Uj(x3,t,v )= j u(x1, Х3, t) exp(ivx1) dx1, j = 1, 2, 3,
-∞
∞
Fj(t,v)= j fj(xi,t)exp(ivxi) dxi, j = 1, 2, 3, -∞ v — параметр, функции Uj,ф G C 1(R; C(D)). D = {(x3,t) : X3 > 0, 0 < t ^ T}. T > 0.
Систему (2.11)—(2.17) можно рассматривать как совокупность двух подсистем. Первая включает равенства (2.11), (2.13), (2.14), (2.16), (2.17) и определяет функции Ui и U3. Вторая — (2.12). (2.15). (2.17) определяет функцию U2.
Обратная задача. Пусть fj(xi,t)= 5'Д)5(х1), j = 1, 2, 3;
где 5'(t) — производная дельта-функции Дирака, ДхД — дельта-функция Дирака. Определить ядро K (t) = diag(Ki, K2, Кз)Д), t > 0, входящее в равенства (2.1) посредством формулы (1.2), если относительно вектор-функции (Ui,U2,U3) решения прямой задачи известна дополнительная информация
Uj (X3,t,v)|x3=+0,v=+0 = gj (t), t> 0, j = 1,2,3, (2.18)
гДе gj (t) — заданные функции.
-
3. Решение обратной задачи
Из равенств (2.11)-(2.17) для функций
Uj1 = Uj(x3,t,v) |v=+o, j = 1,2,3, получаем независимо решаемые задачи (3.1)—(3.2), (3.3)-(3.4) и (3.5)—(3.6)
∂2U11 ρ ∂t2
∂ ∂U1
= L K1, О c44 О ’
∂x3 ∂x3
U1lt ∂U1 L K1 , c44 ∂x3 = 6'(t), x3=+0 ∂2U21 ρ ∂t2 = L^g (C44 ®]> U1lt<0 S 0, ∂U2 L K2 , c44 ∂x3 = 6'(t), x3=+0 ∂2U31 ρ ∂t2 = L^3,dX3 Ong)]' U1lt ∂U3 L K3 , c11 ∂x3 = 5‘(t). x3=+0 (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Введем в рассмотрение новые переменные у, z по формулам x3 У = ф1(х3) := [ vi(x3) := 1 C44(X3) v1(€) P(x3) x3 С11(хз) P(x3) ‘ d^ z = V2(x3) := J V2(D ’V2(x3):=V' Через ф-1 обозшгчим фуикпню. обратную к ф,. j = 1, 2. Пуств Ui1 (ф1 (уИ . , 9 м vi(y,t):=------ту—-, i = 12; s(y) := s(y) у V1(+0)p(+0) v1 Чч1(уЧ p Чч1(уЧ, _ U3 (^2 1(z),t) / X _ I vTC+ojpf+O) := p(z) ’ P(Z):=Vv2 (Ф-^)) p • ' Тогда обратная задача в терминах вновь введенных функций и переменных у, z приводится к задаче определения матричного ядра К(t) = diag(K1, K2, K3)(t) из следующих соотношений: ∂2vj ∂t2 ∂2vj = L K , фут +qy , у > 0, t Е R, L [К,, dvjlyl^) 1 = аЩ). ∂y y=+0 j = 1, 2, ∂2v3 dt2 = L ∂2v3 K3, az2"+q(z)v3 z > 0, t Е R, (3.7) (3.8) (3.9) Lk,dvf^l = b^'(t), (3.10) (З.П) (3.12) ∂z z=+0 vj lt<0 = 0, j = 1,2,3, vj (+0,t)= gj (t), j = 1, 2, 3, где (i - s^y2_9[s‘(y)Г д 1 _p'M_ Jp‘(z)I2 q(y): s(y) 2 s(y) ’ q(z): P(z) 2 P(z) , a := [C44(+0)p(+0)]-1 , b := [cn(+0)p(+0)]-2 . Задача (3.7)-(3.12) распадается на три независимые задачи по определению K1(t), K2(t), K3(t) соответственно. Решение каждой задачи может быть проведено аналогично исследованию обратной задачи, изученной в [6]. Таким образом, из [6] следует справедливость следующих теорем однозначной глобальной разрешимости и устойчивости обратной задачи определения матричного ядра (доказательство проводится по аналогии для каждого элемента Ki(t), i = 1, 2, 3): Теорема 1. Пусть функция gj (t) представима в виде gj(t) = Aj5(t) + 9(t)goj(t), (A1, A2, A3) := (a, a, b) п goj(t) Е C2 [0, T] , j = 1,2,3; 9(t) — функция Хевисайда. Кроме того. (p,c44) Е C3 [0, f--1 (T/2)] щц Е C3 [0, f 1(T/2)] • Тогда существует единственное решение обратной задачи K(t) = diag(K1, K2, K3)(t). t Е C2[0, T], при любом фиксированном T > 0. Пусть r(ho) — множество скалярных функций K(t) Е C2[0,T], удовлетворяющих для t Е [0, T] неравенству ||K(t)\с2[o,T] С ho с фиксированной положительной постоянной ho. Эта постоянная определена в [6]. Теорема 2. Пусть K(t) = diag(Ki,K2,K3)(t). K*(t) = diag(K1*,K2*,K^)(t). Kj(t), K*(t) Е r(hoj), j = 1, 2, 3, — решения обратной задачи с набором данных {РЩУуТ ^Ц’ЩуЛ c11(f21(z)), goj№}, W'-hy)), сЫ^ГСу)). tt1 (z)). j)} соответственно. Тогда найдется такое положительное число C = C(m, ho, hoo,T) hoo = max| HpHc3[o,^-1(T/2)], |c44|c3[o,p-1(T/2)], |c11 |c3[o,p-1(T/2)], |goj(t)|c2[o,T], llp HC3[o,p-1(T/2)] , |c44|C3[o,^-1(T/2)] , Hc11 HC3[o,p-1(T/2)] , llgoj (t) 1C2[o,T] } , что справедлива оценка устойчивости 52 llKj(t) - Kj(t)lC3 [o,T ] < C \\p - p*|C3[o,p-1(T/2)] + |c44 - c44|C3[o,^-1(T/2)] j=1 + |c11 - c11 Hc3[o,^-1(T/2)] +52 lgoj — goj ||c2[o,T] j=1 <1 Из [6] следуют оценки |K1(t) - Ki toile2 [o,T] С C \\\p — p*|C3[o,^-1(r/2)] + |c44 — c44HC3[o,^—1 (T/2)] 11 go 1— go1|c2[o,T] |K2(t) - K2(t)HC2[o,T] С C[Hp — p*HC3[o,p-1(T/2)] + Hc44 — c44 \ C3 [o,^-1 (T/2)] Hgo2 — go2Hc2[o,T] HK3(t)-K3 (t)HC2[o,T] c C [Hp-p* HC3[o,p-1(T/2)]+Hc11 -c11HC3[o,p-1(T/2)] + Hgo3-go3 llc^T] Складывая почленно эти неравенства, мы получаем требуемую оценку. >
Список литературы К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости
- Кристенсен Р. М. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 340 с.
- Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
- Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
- Pipkin A. C. Lectures on Viscoelasticity Theory. Berlin: Springer, 1986. 199 p.
- Хохлов А. В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости//Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2016. № 5. C. 187-245.
- Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости//Сиб. журн. индустр. матем. 2013. Т. 16, № 2. С. 72-82.
- Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении многомерного ядра уравнения вязкоупругости//Владикавк. мат. журн. 2015. Т. 17, № 4. С. 18-43
- DOI: 10.23671/VNC.2015.4.5969
- Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача об определении одномерного ядра электровязкоупругости//Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 3. С. 553-572
- DOI: 10.17377/smzh.2017.58.307
- Тотиева Ж. Д., Дурдиев Д. К. Задача об определении одномерного ядра уравнения термовязкоупругости//Мат. заметки. 2018. Т. 103, № 1. С. 129-146
- DOI: 10.4213/mzm10752
- Сафаров Ж. Ш., Дурдиев Д. К. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения акустики//Диф. уравнения. 2018. Т. 54, № 1. С. 136-147.
- Дурдиев Д. К., Рахмонов А. А. Обратная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость//Теор. и мат. физика. 2018. T. 195, № 3. C. 491-506
- DOI: 10.4213/tmf9480
- Durdiev D. K., Durdiev U. D. The problem of kernel determination from viscoelasticity system integro-differential equations for homogeneous anisotropic media//Наносистемы: физика, химия, математика. 2016. Т. 7, № 3. C. 405-409
- DOI: 10.17586/2220-8054-2016-7-3-405-409
- Durdiev D. K., Totieva Zh. D. The problem of determining the one-dimensional matrix kernel of the system of viscoelasticity equations//Math. Meth. Appl. Sci. 2018. Vol. 17, № 17. P. 8019-8032
- DOI: 10.1002/mma.5267
- Туаева Ж. Д. Многомерная математическая модель сейсмики с памятью//Исслед. по диф. уравнениям и мат. моделированию. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008. С. 297-306.