К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости

Рассматривается обратная задача определения матричного ядра K(t)=(K1,K2,K3)(t), t∈[0,T], входящего в систему интегро-дифференциальных уравнений анизотропной вязкоупругости. Прямая начально-краевая задача состоит в определении вектор-функции смещения u(x,t)=(u1,u2,u3)(x,t), x=(x1,x2,x3)∈R3, x3>0. Предполагается, что коэффициенты уравнений системы (плотность и модули упругости) зависят только от пространственной переменной x3>0. Источник возмущения упругих волн сосредоточен на границе области x3=0 и представляет собой дельта-функцию Дирака (граничное условие Неймана специального вида). Обратная задача сводится к изученным ранее задачам определения скалярных ядер Ki(t), i=1,2,3. В качестве дополнительного условия задается значение преобразования Фурье по x2 от функции u(x,t) на поверхности x3=0. Приводятся теоремы глобальной однозначной разрешимости и устойчивости решения обратной задачи. Идея доказательства глобальной разрешимости состоит в применении принципа сжатых отображений к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в банаховом пространстве с весовыми нормами.