К вопросу о геометрической кратности собственных значений краевой задачи на графе

Последние десятилетия характеризуются довольно бурным развитием теории дифференциальных уравнений на сетях. Подобные задачи возникают при изучении эволюционных процессов в упругих сетках, при моделировании гидросетей, электрических и нейронных сетей.

В настоящей работе рассматривается спектральная краевая задача для дифференциального оператора второго порядка, заданного на геометрическом графе [1]. Ранее [1, с. 31] была установлена оценка геометрической кратности собственных значений краевой задачи на графе. Доказано, что геометрическая кратность любого собственного значения не превосходит числа n — 1 , где n — количество граничных вершин графа. В данной работе в терминах поведения собственных функций описываются необходимое и достаточное условия при которых геометрическая кратность собственного значения равна n — 1 .

• 1.    Основные понятия и обозначения

Начнем с описания основных терминов и обозначений используемых ниже (более подробно см. [1]).

Прежде всего дадим определения графа и функции, заданной на графе. Пусть дано конечное множество попарно непересекающихся открытых отрезков { Y i } m пространства R ⁿ . Обозначим через V множество точек пространства R ⁿ , которые являются концевыми точками двух и более интервалов. Объединение всех точек интервалов γ i и множества V обозначим через Г и будем называть геометрическим графом (в дальнейшем просто ««графом»). При этом интервалы Y i будем называть ребрами графа Г , а точки множества V — его внутренними вершинами. Концевые точки ребер графа не принадлежащие V будем называть граничными вершинами графа Г . Совокупность всех граничных вершин обозначим через дГ . Если вершина а является концевой точкой ребра Y i , то будем говорить, что ребро γ i примыкает к вершине a . Если обе вершины a и b , к которым примыкает ребро γ , внутренние, то ребро γ будем называть внутренним. В противном случае, когда хотя бы одна из вершин a и b граничная, ребро γ назовем граничным. Множество индексов всех ребер, примыкающих к внутренней вершине а обозначим I (а) , а число таких ребер обозначим через d(a) . Маршрут графа, соединяющий вершины а и b , будем обозначать Г(а, b ) Всюду далее полагаем, что граф Г является связным множеством в R n и не содержит циклических маршрутов.

Будем рассматривать вещественнозначные функции у которых переменная имеет областью своего изменения граф Г . Для таких функций примем обозначение u = u(x) , x 6 Г , а через u i будем обозначать сужение функции и на ребро Y i , т- е. U i ( x ) = u ( x ) при x 6 Y i , U i ( x ) = 0 при x 6 r \ Y i - Везде ниже полагаем, что все рассматриваемые функции и : Г ^ R непрерывны на всем графе и равномерно непрерывны на каждом ребре графа. Далее, если a — произвольная вершина (граничная или внутренняя) графа Г , то под u i (a) понимается lim u i (x), x 6 Y i - x → a

Дифференцирование функций по переменной x 6 Г внутри каждого ребра Y 6 Г осуществляется по параметру, причем подразумевается, что для этого ребро параметризовано в одном из двух возможных направлений, т. е.

d        a - b

^{u ( x o )} = ds (b ⁺ s . Й)

, xo 6 Y = (a, b), so = kxo - bk, s=so при ориентации «от b к a».

Под дифференциальным выражением 2-го порядка на графе будем понимать выражение вида

A(x) d + B(x) du + C (x)u. dx ²         dx

Здесь A , B , C — функции одной переменной, определенные на графе Г . Дифференциальное выражение определено на множестве функций имеющих равномерно непрерывные производные на каждом ребре графа. Это выражение можно трактовать в виде системы m обычных дифференциальных выражений

Ai(x) ddxui + Bi (x) dx + Ci(x)ui, x 6 Yi, рассматриваемых на каждом ребре Yi 6 Г, i = 1,m.

В центре внимания работы заданная на графе Г краевая задача на собственные значения

(pu0)0 + qu = Au, x 6 Г(1)

со спектральным параметром λ. В каждой внутренней вершине a ∈ V заданы условия непрерывности и условие согласования ui(a) — ui1 (a) = 0, i,i1 6 I (a),    ^^ ai (a)ui(a) = 0,(2)

ieJ ( a )

а в каждой граничной вершине задаются условия Дирихле

u(a) = 0, a 6 дГ.(3)

В дифференциальном уравнений полагаем, что функции p(-), p0(•), q(-) равномерно непрерывны на каждом ребре графа Г и inf p(x) > 0. В условиях (2) {ai(a)}iGj<а\ — хег наборы положительных чисел, свои для каждой вершины a, а производные подсчитаны при параметризации ребер в направлении к вершине a.

Задача (1)–(3) обладает следующими свойствами [2, 3]:

• 1)    спектр задачи состоит из последовательности собственных значений не имеющей

конечной предельной точки;

• 2)    если граф Г не имеет циклических маршрутов, то спектр задачи вещественен и геометрическая кратность собственных значений не превосходит n — 1 .

• 2.    Некоторые свойства собственных функций

Пусть { Y i } m — множество всех ребер графа Г , занумерованных произвольным образом. Дифференциальное уравнение (1), суженное на ребро γ i , имеет два линейно независимых решения S i ( x, А) и C i ( x, Л) . Продолжим функции S i ( x, Л) и c i (x, Л) на весь граф Г , положив их тождественно равными нулю на остальных ребрах. Получим фундаментальную систему решений {^ k ( x,X ) }‘ 2 m уравнения (1). Обозначим через {l i } 2 m — набор всех линейных функционалов, определяющих полную систему условий (2), (3). Рассмотрим характеристический определитель 4 (Л) = det k l i (^ k ( • , Л)) H i m , множество нулей которого совпадает со спектром (множеством всех собственных значений) краевой задачи (1)–(3).

Пусть Л о — собственное значение. Тогда Л о, как корень уравнения 4 (Л) = 0 , имеет некоторую кратность j , которую мы называем алгебраической кратностью. Кроме того, ранг r соответствующей характеристическому определителю 4 (Л о ) матрицы А(Л о ) строго меньше порядка 2m этого определителя.

Лемма [2] . Число p линейно независимых собственных функций, отвечающих соб ственному значению Л о , равно 2 m — r .

Число р(Л о ) = 2m — r назовем геометрической кратностью собственного значения Л о. Очевидно, что алгебраическая кратность не меньше геометрической.

В этом пункте приводятся некоторые вспомогательные свойства, которые представляют и самостоятельный интерес.

Лемма 1. Пусть u0 — собственная функция, отвечающая собственному значению λ 0 , и не тривиальная на ребре γ 0 . Тогда найдется два граничных ребра γ 1 , γ 2 таких, что функция u0 не тривиальна на ребрах Y i , Y 2 и маршрут Г(Ь 1 , 6 2 ), в котором b i , b 2 € дГ, а ребра γ 1 и γ 2 примыкают к b 1 , b 2 соответственно, содержит ребро γ 0 .

C Пусть Y o = (a i ,a 2 ) . Если ребро Y o граничное, то необходимо показать существование еще одного граничного ребра на котором функция u0 нетривиальна. Пусть вершина a i внутренняя. Поскольку параметры a k (a j ) не равны нулю, то к вершине a i примыкает ребро Y 3 = (a i , а з ) на котором u0 не равна тождественно нулю. Если ребро Y 3 граничное, то лемма верна. В противном случае к вершине a 3 примыкает ребро Y 4 = (a 3 , a 4 ) на котором «( • ) не равна тождественно нулю. Если ребро Y 4 граничное, то лемма верна, иначе к вершине a 4 примыкает ребро Y 5 = (a 4 ,a 5 ) такое, что u = 0 на Y 5 и т. д. Так как граф Г конечный, то через конечное число шагов мы подойдем к граничному ребру Y i = (b i , a n ) на котором функция «( • ) не равна тождественно нулю.

В случае если ребро γ 0 внутреннее нужно рассмотреть вершину a 2 и с помощью аналогичных рассуждений показать существование еще одного граничного ребра, на котором функция u0 не тривиальна. Тот факт, что ребро Y o содержится в маршруте r(b i , 6 2 ) очевиден. B

Лемма 2. Пусть Г — дерево и к каждой внутренней вершине графа Г примыкает не менее трех ребер. Пусть Ло — собственное значение задачи (1)-(3) и u0 — собственная функция отвечающая λ 0 и не равная нулю во внутренней вершине a . Тогда существует не менее трех граничных ребер, на которых функция «( • ) не равна тождественно нулю.

C Если к вершине a примыкает три граничных ребра, то, в силу непрерывности, функция u0 не равна тождественно нулю на всех ребрах примыкающих к вершине, и, следовательно, утверждение леммы верно.

Пусть к вершине a примыкает два граничных ребра. Так как d (a) > 3, то к a примыкает внутреннее ребро Yo на котором функция u (•) не равна тождественно нулю. В силу леммы 1, существует два граничных ребра γ1 и γ2 , примыкающих к граничным вершинам bi и b2, таких, что и (•) не равна тождественно нулю на этих ребрах и маршрут Г(Ь1,Ь2) содержит ребро Y0- Но тогда хотя бы одно из ребер Yi, Y2 не примыкает к вершине a и утверждение леммы верно.

Пусть к вершине а примыкает одно граничное ребро y = (b o , a) . Поскольку d(a) >  3 , то к а примыкают два внутренних ребра (a, a i ) и (а, « 2 ) , при этом функция и ( ^ ) не тривиальна на этих ребрах. Из леммы 1 вытекает существование маршрутов Г (b 1 , b ₂ ) и Г ( Ь з , £ 4 ) ( b i Е дГ) таких, что функция и0 не тривиальна на ребрах, примыкающих к вершинам b i . Если вершина b 0 не совпадает с вершинами b 1 и b 2 , то лемма верна. Если же b o совпадает с одной из вершин b i и b 2 (пусть это будет вершина b i ) , то маршрут Г (b i , b 2 ) содержит ребро (a, a i ) и не содержит ребро (а, « 2 ) . Следовательно, хотя бы одна из вершин b 3, b 4 не совпадает с вершинами b 1, b 2. Т. е. существуют три граничные вершины такие, что функция u ( • ) не тривиальна на ребрах, примыкающих к этим вершинам.

Остается рассмотреть случай, когда к вершине a примыкают только внутренние ребра Y i = (a i ,a), Y 2 = (a 2 ,a), Y 3 = ( « з , a ) , ..., Y d ( a ) = ( a d ( a ) ,a ) . Из леммы 1 следует, что существуют маршруты P(b i , b 2 ), Г( Ь з , 6 4 ), Г( Ь 5 ,Ь 6 ) (b i Е д Г) , содержащие ребра Y i ,Y 2 ,Y 3 соответственно, и такие, что функция и ( • ) не тривиальна на ребрах, примыкающих к вершинам b i . Так как граф Г не имеет циклов, а ребра Y i , i = 1, 3 примыкают к одной вершине, то хотя бы два из маршрутов Г( Ь 1 , b 2 ), Г( Ь з , b 4 ) и P(b 5 , b e ) не совпадают. Это означает, что из вершин b i по крайней мере три различны. B

Лемма 3. Пусть Г — дерево и d(a) >  3 для любой внутренней вершины. Пусть A o — собственное значение задачи (1)-(3) и ему отвечает собственная функция и0 не тривиальная только на двух из всех граничных ребер графа. Тогда функция и0 равна нулю во всех внутренних вершинах, нетривиальна на всех ребрах маршрута, соединяющего эти граничные ребра, и равна тождественно нулю на всех остальных ребрах.

• <1 Пусть Y i и Y 2 граничные ребра, на которых функция и( • ) не равна тождественно нулю. Обозначим через b 1 и b 2 , соответственно, граничные вершины к которым примыкают эти ребра. Покажем сначала, что функция и( ^ ) тривиальна на Г \ Г(Ь 1 , b 2 ) . Предположим противное. Тогда функция и( ^ ) не равна тождественно нулю на ребре Y o, которое не принадлежит Г(Ь 1 , b 2 ) . В силу леммы 1, найдутся два граничных ребра Y 3 ,Y 4 на которых функция и( ^ ) не равна тождественно нулю. Так как ребро Y o не принадлежит Г(Ь ₁ ,Ь ₂ ) , то хотя бы одно из ребер γ 3, γ 4 не совпадает ни с одним из ребер γ 1 , γ 2. Т. е. функция и( ^ ) не тривиальна на трех граничных ребрах, что противоречит условию леммы. Из того, что функция и( ^ ) непрерывна на графе, и = 0 на Г \ Г(Ь 1 , b 2 ) и d(a) >  3 , получаем, что и( ^ ) равна нулю во всех внутренних вершинах. Нам остается показать, что функция и( ^ ) не равна тождественно нулю на всех ребрах маршрута P(b i , b 2 ) . Рассмотрим ребро Y i = (b i , a i ) . Функция u( ^ ) не тривиальна на этом ребре и следовательно, не тривиальна еще хотя бы на одном из ребер примыкающих к этой вершине. Обозначим его (a i ,a 2 ) . Так как и = 0 на Г \ Г(Ь 1 , b 2 ) , то очевидно, что (a i , a 2 ) содержится в маршруте Г(Ь 1 , b 2 ) . Рассмотрим далее вершину a 2. Так как и = 0 на ребре (a i , a 2 ) , то к вершине a 2 примыкает ребро (a 2 , « з ) такое, что функция и( ^ ) не тривиальна на нем. И поскольку и = 0 на Г \ Г(Ь ₁ ,Ь ₂ ) , то ребро (a 2 ,a 3 ) принадлежит маршруту Г(Ь ₁ , b ₂ ) , и т. д. B

• 3.    О максимальной геометрической кратности собственных значений

Обозначим через n — число граничных ребер графа Г .

Теорема 1. Пусть Г — дерево и к каждой внутренней вершине примыкает не менее трех ребер. Пусть Ao — собственное значение задачи (1)-(3) геометрическая кратность которого равна n — 1. Тогда значению Ло отвечает собственная функция равная нулю во всех внутренних вершинах и нетривиальная на всех ребрах графа Г.

C Пусть © u k } П ¹ — линейно независимый набор собственных функций отвечающих Л о. Рассмотрим функцию u n ^-1 ( • ) . Из леммы 1 следует существование двух граничных ребер Y 1, Y 2 на которых функция u n ¹ ( • ) не равна тождественно нулю. Через b i обозначим граничную вершину к которой примыкает ребро Y 1- Построим функции u k ( • ), k = 1, n — 2 по следующему правилу:

u k (x) = u k (x) — ⁽ u k ) ( b ¹ ) u ^n-1 (x). (u ^n-1 ) (b 1 )

Из построения следует, что функции uk (•) равны тождественно нулю на ребре Y1, примыкающем к вершине b1 . А из леммы 1 следует существование двух граничных ребер Y3, Y4 таких, что функция un 2А) не тривиальна на ребрах Y3 и Y4- С помощью функций uk(•) построим функции uk(•), k = 1, n — 3 следующим образом uk (x) = uk (x) —

^uk)^

(Un-4( b 2 )      ⁽ ),

где через b 2 обозначена граничная вершина к которой примыкает ребро γ 3 . Из построения функций u k ( • ) следует, что они равны тождественно нулю на ребрах примыкающих к граничным вершинам b 1 , b 2. Перебирая все оставшиеся граничные вершины, подобным образом мы построим функцию у ¹ ( • ) , не тривиальную лишь на двух граничных ребрах примыкающих к граничным вершинам b n , b _n- i. В силу леммы 3, функция у ¹ ( • ) равна нулю во всех внутренних вершинах, у ¹ = 0 на Г \ Г(Ь _П , b _n-1 ) и у ¹ не тривиальна на всех ребрах принадлежащих маршруту Г( Ь_п, b _n- 1 ) .

Рассмотрим функции v k ( • ) , определяемые следующим образом

• k, k, . (uk )'( b n ) 1, , v ^{( x )} = u ^{( x ) —} (y 1 )'(b _n ) ^{у ( x )}

Функции v k ( • ) равны тождественно нулю на граничном ребре примыкающем к b n . Так как функции u k ( • ) линейно независимы, то среди функций v k ( • ) не менее n — 2 не тривиальны на Г и линейно независимы. Пусть, для определенности, это будут функции v k ( • ), k = 1, n — 2 .

С помощью рассуждений проведенных выше, из функций v ^k ( • ) можно построить функцию у ² ( • ) не равную тождественно нулю лишь на двух граничных ребрах, примыкающих к граничным вершинам, которые мы обозначим через b _n- 1 и b _n- 2 . Так как все функции v k ( • ) равны тождественно нулю на ребре, примыкающем к вершине b n , то среди вершин b n - 1 и b n - 2хотя бы одна отлична от b n . Пусть это будет вершина b n - 1 . В силу леммы 4, функция у ² ( • ) равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна лишь на ребрах маршрута Г( Ь_{п- 1} ,Ь_{п- 2} ) . Очевидно, что функции у ¹ и у ² не пропорциональны.

Рассмотрим функции w k ( • ) , k = 1, n — 2 , определяемые по правилу:

w ^k (x) = v ^k (x) —

(v k )^z(b n - 1 ) ( у ² )'( Ь п - 1 )

у ^{2 ( x )}.

Все эти функции равны тождественно нулю на ребрах примыкающих к граничным вершинам bn и bn — 1. Для функций wk(•) повторяем рассуждения, проведенные для функций vk (•) и т. д. В конечном итоге мы получим набор линейно независимых собственных функций yk(•), k = 1, n — 1, каждая из которых равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна лишь на ребрах некоторого маршрута, соединяющего две граничные вершины графа Г. Поскольку функции yk(•) линейно независимы, то для любой граничной вершины bi0 найдется функция yi0 (•), которая не равна тождественно нулю на ребре примыкающем к этой вершине.

Рассмотрим функции y i0 и y j ( • ) . Предположим, что эти функции нетривиальны на граничном ребре y Е Г . Очевидно, что всегда можно подобрать вещественные константы C i и C j так, что C i y i (x) + C j y j (x) = 0 на ребре y • Аналогично можно подобрать константы C ^k так, что функция u ( x ) = Р П— ¹ C ^k y k (x) будет равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна на всех ребрах графа Г . B

Теорема 2. Пусть А д — собственное значение задачи (1)-(3) и ему отвечает собственная функция u ( • ) равная нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальная на всех ребрах графа Г. Тогда геометрическая кратность А д равна n — 1.

C Пусть { b i } n — множество всех граничных вершин графа Г . Обозначим через у ( • , А д ) решение уравнения (1) суженного на ребро Y i = ( " i , " j i ) такое, что y ( " i , А д ) = 0 . Так как функция u ( • ) равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна на всех ребрах графа Г , то u i (x) = c i y i (x, А д ) , x Е Y i и y i ( " j i , А д ) = 0 .

Рассмотрим функции uk (x) =

f cjyj(x,Ад), x Е Ykj, I 0, x Е Г\Г(Ь1,Ьк+1), k = 1, n — 1.

m k

Здесь Г(Ь1, bk+1)    S Ykj , Ykj    (aj-1, "j), "g   bl, amk bk+1,

j = 1, m k — 1.

j =1

.k = 1 k = ^akj (" j ) ^y j ^:"' ' ° ) k c ¹                    ■ (" j )' y j +1 (" j ,А о ) c j

Так как все a k ( " j ) отличны от нуля и y k, ( " j , А д ) = 0 , то функции u k ( • ) определены корректно. Из построения функций u k ( • ) следует, что они удовлетворяют всем краевым условиям и, следовательно, являются собственными. Их линейная независимость очевидна. Так как геометрическая кратность любого собственного значения не превосходит n — 1 , то геометрическая кратность А д равна n — 1 . B

Таким образом, геометрическая кратность собственного значения А д равна n — 1 тогда и только тогда, когда ему отвечает собственная функция равная нулю во всех внутренних вершинах и не равная тождественно нулю на всех ребрах графа Г .