К вопросу о радиационном давлении в поле плоской бегущей волны в идеальной жидкости

Из всех типов волн, для которых изучается радиационное давление, повышенное внимание уделяется плоской бегущей волне. Связано это не только со сравнительной простотой задачи, но и с важностью этого типа падающего поля. Многие типы волн, такие как сферическая, цилиндрическая, гауссов пучок и т. д., в волновой зоне становятся близкими к плоской бегущей волне. Поэтому важно правильно рассчитывать радиационное давление в плоской бегущей волне, в том числе и на сложных включениях с заданной амплитудой рассеяния. К написанию данной статьи побудил тот факт, что в основополагающей работе [1] полученное общее выражение для радиационного давления в случае общего вида падающей волны оказывается несправедливым в частном случае плоской бегущей волны и автор работы [1] приводит частное альтернативное выражение, справедливое только в этом случае. Поэтому представляется целесообразным выявить причину того, что совершенно справедливое общее выражение для расчета радиационного давления, полученное в [1], не "срабатывает" в таком важном частном случае, каким является случай плоской бегущей волны.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Целью настоящей работы является доказательство того, что упомянутое общее выражение работы [1] является справедливым и в случае плоской бегущей волны, а также выявление причины его неудачного применения к этому частному случаю в работе [1].

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

В работе [1] показано, что радиационное давление в квадратичном приближении в идеальной однородной жидкости для случая произвольного падающего поля может быть представлено в виде суммы двух слагаемых — перекрестного слагаемого с входящими в него первичным и рассеянным полями, а также слагаемого, квадратичного по рассеянному полю. Запишем эти составляющие в терминах работы [2]. Пусть давление рассеянного гармонического поля в волновой зоне имеет вид (рассеиватель расположен в начале координат):

e ikr

Ps (r ,6,Ф) = f0<О,Ф)—, r тогда справедливы следующие выражения для составляющих радиационного давления: для перекрестного

— ( is )

F i

- 1

4 pto ²

J

V

и квадратичного по рассеянному полю ss

Fi' '

2 p c c

J J \f ₎( У , ф )|² cos 6^,_i sin O d O d ф .

Здесь x = (x1,x2,x3) = (x,y,z) = (r,6,ф) — точка наблюдения соответственно в декартовых и сфери- ческих координатах; pinc (x) — поле давления в падающей волне; f0(0,ф) — амплитуда рассеяния включения в поле pinc (x); cos 0i — направляющий косинус радиус-вектора точки на сфере относительно i-й оси координат (отметим, что

дим к необходимости доказательства следующего равенства

a e

ikz

e

, - ikr

^2- j\ dv ( ^А+ k ² ) f^{; (0} ф ) er +H ^d V =

2 k v ^ d Z                      r         J

0 3 = 0 ); i = 1,3 ; p , c — плотность и скорость звука окружающей однородной среды, k = to / c — волновое число; V — охватывающий включение объ-

2 n п

= j j | f , ( 0 , ф )|²sin 0 d 0 d ф .

ем.

Кроме того, в [1] предложено выражение для

суммарного радиационного давления, справедливое только в случае падающей плоской бегущей волны. В случае падающей волны вида p_mc ( x ) = Р о e ik , P о = const, это выражение вновь в

Стоящий в (4) справа интеграл равен полному поперечному сечению рассеяния включения Q [4]. Имеет место следующая оптическая теорема [4, с. 69], справедливая в том числе и в системах с потерями [5, с. 241]:

терминах работы [2] имеет вид

Fi = e J j \_f 0 ( 0 , ф )|² ( 5 3 - cos 0 ) sin 0 d 0 d ф , 00

i = 1,3.

p ²

Здесь 03 — символ Кронекера; E = —°— — сред-2 pc няя плотность энергии в падающей волне; f, (0, ф) — амплитуда рассеяния включения в поле плоской волны pinc (x) = elk. Отметим, что в этом ikr случае ps (r, 0, ф) = f,(0, ф) p0—.

r

Вместе с тем в [1] в силу принятых там допущений выражение (1) дает ложный результат в случае падающего поля, идентичного или близкого к плоской бегущей волне, а в [3] истинность (1) для этого поля не подвергается сомнению, но рассматривается только случай включения в виде монополя или диполя.

Целью настоящей работы является доказательство истинности выражения (1) в том числе и для случая плоской бегущей или близкой к ней волне для произвольных включений с заданной амплитудой рассеяния, а также вывод точных выражений для радиационного давления на включениях в плоской бегущей волне.

Таким образом, необходимо доказать идентичность выражения (3) сумме выражений (1) и (2) в случае плоской бегущей волны.

Легко видеть, что эта задача эквивалентна доказательству того, что сумма F⁽" ) + F ⁽™) из (1), (2)

Q =

= j " j | f ) ( 0 , ф )| 2 sin 0 d 0 d ф = ^П Im( f ,(0 = 0)).   (5)

00                      ^k

Рассмотрим разложение амплитуды рассеяния f0 по сферическим функциям:

to f,(0, ф)=z l=0

A_t ⁰ P l (cos 0 ) +

l

+ ^ [ A lm cos т ф + B lm sin т ф ] P lm (cos 0 ) m = 1

Учитывая, что P l (1) = 1 и P lm (1) = 0 при m = 1,2,..., получаем для Q :

^{2 П П}                                A 7T ^m

Q = j J f 0 ^{( 0 ,} ф ⁾|^{2sin 0 d 0 d} Ф = —^ ^Im( A l ⁰⁾.    ⁽⁶⁾

0 0                                    ^k l = 0

Наконец пользуясь методикой работы [2], получаем

d e

ikz

e

- ikr

-b I ldF ( ^A+ ^{k 2} ) f - " ( ⁰ф ) ev +H ^d V =

2 k v ^ d Z                      r        J

= 4 П jT Im( A i ⁰ ). k

равна F из (3) для случая p_{m c} ( x ) = p ₀ e i^kz . Для составляющих силы при i = 1,2 это очевидно, т. к. F 1,2 ⁽ is ) = 0, а F 1,2 ⁽ ss ) = F 1,2 . Кроме того, вычленяя в (3) квадратичную составляющую (2) F з ⁽ ss ) = - E j j | f )( 0 , ф )| ² cos 0 sin 0 d 0 d ф ,    прихо-

Сравнение (6) и (7) доказывает справедливость (4). Как видно, выражение в (7) просто аннулируется при Im( A l ⁰ ) = 0, l = 0,1,2,...

Можно показать, по крайней мере, для сферически симметричных жидких включений без потерь аналогично тому, как это проделано в работе [6, с. 224], что справедливо следующее равенство:

^{2 1 5} ‘

A ⁰ = (2 1 + 1) e -------, l = 0,1,2,...

^l               2 ik

Здесь 5 l — действительные числа. Отсюда очевидно, что в общем случае Im( A l 0 ) * 0.

Из (1), (7) очевидно, что если по каким-либо соображениям оставлять в коэффициентах A _l ⁰ только реальные составляющие (т. е. по умолчанию полагать Im( A l 0 ) = 0), то выражение (7), а значит и (1), будет тождественно равно нулю при любых Re( A _l ⁰ ) . Вызвано это тем, что в случае плоской волны слагаемые, соответствующие Re( A l 0 ), l — 0,1,2,..., обнуляют само подынтегральное выражение в (7) и соответственно в (1). Ровно это и произошло в работе [1], из чего и было сделано заключение о непригодности (1) в случае плоской бегущей волны. Отметим, что в случае волны, близкой к плоской бегущей, также будет присутствовать эффект практического обнуления подынтегрального выражения в (1) для слагаемых, содержащих реальные составляющие амплитуды рассеяния, что обусловлено близостью Р тс » Р 0 e k .

Таким образом, можно записать точное выражение для радиационного давления на включение с заданной амплитудой рассеяния в плоской бегущей волне p nc ( x ) — p ₀ е^{1 к} для отличной от нуля компоненты перекрестной составляющей силы

Пусть c 1 и p — скорость и плотность шарика соответственно; n — с / с — показатель преломления; в — р / p — отношение плотности включения к плотности пространства; к 1 — ro / с 1 . Пользуясь техникой, изложенной в [6, задача 82], получаем после несложных вычислений для A ₇ ⁰ , l — 0,1:

Re( A c 0 ) —

Im( A 0 0 ) —

( n ² - в ) к ² a

3в

- + O ( к⁴ a 5 ),

( n ² - в ) ² к ⁵ a

9 в ²

- + O ( к ⁷ a ⁸);

Re( A ”) — 'ввОт + O ( ^к^ ’)■ I”' A "' ^— ("ra" + O ( ^к 7 ° ‘^,-

— ( is ) _ ^- p 02 F z —-----z"

4 pro1

Пол у чим из (3) продольное радиационное давление F z для включения с амплитудой рассеяния '

(9), (10) по старой методике F z с помощью прямых вычислений, где доминирующими являются реальные составляющие, и с учетом полученных выше соотношений (8) для перекрестной состав ''

ляющей F z . Согласно (11), квадратичная составляющая также определяется реальными составляющими. Окончательно имеем:

- ikr

ikz

J -—(A + к2)f;(9,Ф)----+ к.с.|dV — j 07 X         7               F           j

v V -z                      r )

я 2 я

— Eff f0(9,^1 sin9d9d(p —

'

Fz — —E x

x ( 3Re( A 0⁰ ) ² + Re( A ,⁰ ) ² - 2Re( A 0⁰ )Re( A ,⁰ ) ) ,

''

Fz — 4nE x

— E —Im( f 0 ( 9 — 0)) — E — £ Im( A ⁰ )      (8)

k                    к 7 — 0

x

Im A ^{0 0)} + "Im^ A " ) - 3 Re( A 0 0 ) Re( A -⁰ ) ] '

(12а)

и для каждой квадратичной составляющей

F ss ) —- E f J|f > ( 9 , p )|²cos 9_t sin 9 d 9 d ф , i — 1,3. (9) 00

После получения описанного результата совершенно резонно перепроверить классический случай расчета радиационного давления на жидкий шарик в поле плоской волны при условии малости его волновых размеров ka << 1, где a — радиус шарика. При этих условиях в амплитуде рассеяния необходимо удерживать только монопольный и дипольный моменты, а сама она обладает азимутальной симметрией f,(9) — A00 + A^cos 9.            (10)

Сам результат в (12), (12а) имеет порядок O ( k ⁴ a ⁶ ), что следует из (11). Анализ (12), (12а) с учетом (11) показывает, что в рассматриваемом ''                             '

примере разность    F z - F z   имеет порядок

F z - F z — O ( к⁸a ¹⁰) и оба результата F z и F z практически тождественны. Это объясняется малостью мнимых составляющих по сравнению с действительными составляющими в данном рассматриваемом случае (11). В общем случае необходимо пользоваться точными выражениями (8) для вычисления перекрестной составляющей. От '

метим, кроме того, что F z из (12) совпадает с результатами, полученными в [1, 7] и др.

Подтвердим, кроме того, подмеченный в [3] факт о том, что если для включения (9) выполняется одно из равенств A ⁰ = 0 или A 10 = 0 , то квадратичная составляющая радиационного давления равна нулю. Это следует непосредственно из (10).

В заключение остановимся на другом особом случае первичного поля — случае стоячей плоской волны. Приведем выражение работы [2, (16)] для перекрестной составляющей силы в случае включений с амплитудой рассеяния вида f , ( 0 , ф ) = f , ( п - 0 , ф ) , что справедливо в данном случае:

_{F z} ( is )

то

—<

■ 4n E st .

-----sin2 kh x k

₄ П ¹ /2 ]

(2 1 — 2 n )!

2 l n !( 1 — n )!( 1 — 2 n )!

I—n

n = 0

I = 0

— 4 n E st k

то sin2khУ (—1)1 Re(Al0).

l = 0

Здесь удалось свернуть конечную сумму в фигурных скобках, т. к. легко показать, пользуясь разложением в ряд для полиномов Лежандра и свойством Pl (1) = 1, что имеет место равенство

^[^^] _{( —} 1) 1 — n       (2 1 — 2 n )!       = _{( —} 1) 1

n ^ ^o         2 ¹ n !( 1 — n )!( 1 — 2 n )! ¹     "

Таким образом, выражение (1) в этом случае аннулирует все слагаемые, содержащие Im( A _l ⁰ ) , оставляя только слагаемые, содержащие Re( A _l ⁰ ) . Отсюда следует, что радиационное давление на такое включение в поле стоячей плоской волны должно отличаться от давления в бегущей волне пропорционально различиям между реальными Re( A _l ⁰ ) и мнимыми составляющими Im( A _l ⁰ ) . Из (11) сразу следует классический результат: для включения (9) соотношение между силами имеет порядок O (( ka ) ³ ) . Отметим, что это соотношение в работе [3] также из свойств включения было получено иначе. Кроме того, отметим структурную схожесть результатов (8) и (13) для перекрестных составляющих сил в бегущей и стоячей волнах.

ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе доказана истинность выражения (1) для перекрестной составляющей радиационного давления в плоской бегущей или близкой к ней волне в случае произвольных включений. Впервые получены точные выражения для радиационного давления на сложных включениях в плоской бегущей волне.