К вопросу о разрешимости краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях

Проблема разрешимости различных краевых задач (в том числе задачи Дирихле) для эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях с предписанными граничными данными на «бесконечности» является, c одной стороны, достаточно интересной в анализе и геометрии, а с другой стороны, достаточно новым направлением в современной математике. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых поверхностей, основанной на изучении некоторых функциональных классов на поверхностях и развитой в работах А. Альфорса, А. Бейрлинга, Л. Сарио и других математиков. Общее представление об истории развития и современных исследованиях в данном вопросе можно получить, например, из работ [13; 14; 16].

Первоначально большое внимание уделялось изучению гармонических функций на многообразиях, то есть решениям уравнения

Au = 0.                                       (1)

Считающаяся ныне классической формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в R ” функция является тождественной постоянной. С другой стороны, класс многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические функции, достаточно обширен. Более того, обнаружены множества некомпактных римановых многообразий, на которых разрешима задача Дирихле о восстановлении гармонической функции по непрерывным граничным данным для случая идеальной границы. Вообще, проблема разрешимости задачи Дирихле о восстановлении решения уравнения по граничным данным на «бесконечности» является в некотором смысле двойственной по отношению к справедливости теорем типа Лиувилля. С этой точки зрения наибольший интерес представляют некомпактные римановы многообразия. Заметим, что сама постановка задачи Дирихле на таких многообразиях может оказаться проблематичной. В некоторых случаях геометрическая компактификация многообразия позволяет сделать это аналогично постановке классической задачи Дирихле в ограниченных областях R ” (см., например, [6; 7; 12]). С другой стороны, в работе [8] предложен достаточно новый подход к постановке краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений на произвольных некомпактных римановых многообразиях.

Рядом авторов решались аналогичные задачи для уравнений более общих, чем уравнение Лапласа — Бельтрами. Например, рассматривались различные множества решений стационарного уравнения Шредингера

Lu = Аи — с(х)и = 0,                             (2)

где с(ж) — гладкая неотрицательная функция, и, в частности,

Аи — и = 0.                                  (3)

Известно, что существование ненулевого ограниченного решения уравнения (3) эквивалентно стохастической неполноте рассматриваемого многообразия. Многообразие называют стохастически полным, если минимальный винеровский процесс на нем имеет бесконечное время жизни (более подробно о таких многообразиях см.: [14]).

В последние годы достаточно активно изучаются решения квазилинейных уравнений вида

Lu = д(х,и),                                    (4)

где L — линейный эллиптический оператор второго порядка, с различными структурными требованиями на правую часть д(х,^ ) (см., например, [2; 3; 9; 10]).

Одним из частных случаев уравнения (4) является полулинейное уравнение вида

Аи = <Д|и | )и,                                        (5)

где 0(£) — неотрицательная, монотонно неубывающая непрерывно дифференцируемая функция при ^ >  0 . Поведение ограниченных решений этого уравнения, вопросы разрешимости краевых и внешних краевых задач, выполнения лиувиллева свойства, а также их устойчивость при вариациях правой части достаточно подробно изучены в работах [9] и [10].

В данной работе исследуется асимптотическое поведение неограниченных решений уравнения (5). Аналогичные задачи для неограниченных решений линейных уравнений Лапласа — Бельтрами и уравнения Шредингера достаточно подробно изучены в работах [15] и [4].

Всюду далее будем полагать М — произвольное полное гладкое связное некомпактное риманово многообразие, В С М — произвольное связное компактное подмножество с гладкой границей, { В _к j^ — исчерпание многообразия М с гладкими границами дВ _к , то есть последовател ь ность прeдкомпактных открытых подмножеств риманова многообразия М таких, что В _к С В _к+1 , М = Jj^ В _к .

Доказательство основных результатов опирается на принцип максимума, теоремы сравнения и единственности для решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений на предкомпактных подмножествах многообразия М . Их справедливость доказывается также как и для ограниченных областей в R ” (см., например, [1, с. 39-40]). Кроме того, в работе применяются аналогичные утверждения для решений полулинейных эллиптических дифференциальных уравнений. Их подробные доказательства можно найти в [11].

1.    Краевые и внешние краевые задачи для полулинейного уравнения

Пусть / ₁ (х) и / ₂ (х) — произвольные непрерывные на М функции.

Будем говорить, что функции /1(х) и /2(х) эквивалентны на М и обозначать /1(х) ~ /2 (ж), если для некоторого исчерпания {Вк}к=1 многообразия М выполнено lim ||/1(ж) - Мж^^м\вк) = 0, к^^

где ^{11 / ( ж ) ||} с 0 ( G ) = SUp _G ^{1 / ( х} ) | .

Обозначим класс эквивалентных / функций через [/] . Ясно, что введенное отношение не зависит от выбора исчерпания многообразия М и характеризует поведение функций вне произвольного компактного подмножества В С М .

Обозначим через v _к — решение уравнения (2) в В _к \ В , удовлетворяющее условиям

^V k ^В = 1,   ^ к ¹эв _к = ^{0 .}

Используя принцип максимума, легко проверить, что последовательность v _к равномерно ограничена на М \ В , и, следовательно, компактна в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций на любом компактном подмножестве G С (М \ В ) . Более того, при к ^ то она монотонно возрастает и сходится на М \ В к решению уравнения (2)

v = lim v _k ,   0 < v <  1,    v l _9B = 1.

к^^

Заметим также, что функция v не зависит от выбора исчерпания { В _к } к = ₁ . Функцию v называют L - потенциалом компакта В относительно многообразия М (см., например, [4; 8]). Для уравнения Лапласа — Бельтрами функция v есть не что иное, как емкостный потенциал компакта В относительно многообразия М (см.: [14]).

Многообразие М будем называть L - строгим многообразием, если для некоторого компакта G С М существует L -потенциал v такой, что v G [0] (если L = А , то многообразие будем называть А - строгим ).

Заметим, что из А -строгости многообразия М следует его L -строгость (обратное не верно). Кроме того, понятие L -строгости не зависит от выбора компакта.

Будем называть функцию / асимптотически неотрицательной , если на М существует непрерывная функция w >  0 такая, что w ~ / .

Будем говорить, что на М разрешима краевая задача для уравнения (5) с граничными условиями из класса [ /] , если на М существует решение и(х) уравнения (5) такое, что и Е [/] .

Пусть Ф(ж) — произвольная непрерывная на дВ функция.

Будем говорить, что для непрерывной на дВ функции Ф(ж) на М \ В разрешима внешняя краевая задача для уравнения (5) с граничными условиями из класса [/] , если на М \ В существует решение и(ж) уравнения (5) такое, что и Е [/] и и | _дВ = Ф | _дВ .

Аналогичным образом можно осуществить постановку краевых задач на произвольных некомпактных римановых многообразиях для уравнений (1), (2) и ряда других эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка (см.: [8–11; 15]). Более того, в [15] доказано, что на L -строгом римановом многообразии М из разрешимости внешней краевой задачи для уравнения (2) с граничными условиями из класса [/] следует разрешимость краевой задачи для уравнения (2) с граничными условиями из того же класса, и наоборот. Аналогичное утверждение имеет место и для решений уравнения Лапласа — Бельтрами на A -строгом многообразии М (см.: [15]).

Замечание. Если многообразие М имеет компактный край или существует естественная геометрическая компактификация многообразия М (например, на многообразиях отрицательной секционной кривизны, на сферически-симметричных, квазимодельных многообразиях), добавляющая границу на бесконечности, данный подход естественным образом приводит к классической постановке задачи Дирихле (см., например, [6; 7; 12]).

Пусть функция ф(£) — ограничена при £ >  0 , то есть существует такая константа А > 0 , что 0 <  ф((; ) <  А при £ >  0 . Положим в уравнении (2) с(ж) = А . В качестве краевых условий будем рассматривать класс [/] — асимптотически неотрицательных на М функций. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть многообразие М является A -строгим многообразием и на М \ \ В для любых постоянных неотрицательных на дВ функций разрешимы внешние краевые задачи для уравнений (1) и (2) с граничными условиями из класса [/] . Тогда

• 1)    на М \ В для любой непрерывной на дВ функции Ф(ж) >  0 для уравнения (5) разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/] ;

• 2)    на М для уравнения (5) разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/] .

Доказательство. Пусть Ф(ж) — произвольная непрерывная неотрицательная на дВ функция. Обозначим С1 = вирФ(ж) > 0. По условию существует функция и0 — ограни-8В ченное решение внешней краевой задачи для уравнения (1) на М\В такая, что и0 Е [/] и и0|дВ = С1|дВ. Причем 0 <и0 на М \ В.

Рассмотрим последовательность функций { и _к } к=1 , являющихся решением задачи

^{А и} к = ^и к ^фф^и к I ) в ^В к \ ^В ,     ^и к ¹ эв _к = ^и 0 ¹ 8В _к      ^и к | дВ = ^{Ф |} дВ .

Учитывая принцип сравнения (см. Приложение), для всех к имеем

0 <  и _к <  и ₀ в В _к \ В.

Более того, последовательность функций { и _к } к =1 является монотонно убывающей.

Действительно, рассмотрим функции и _к и и _{к +1} , которые на множестве В _к \ В являются решениями уравнения (5) и удовлетворяют следующим неравенствам:

0 <  ^и к +1 < ^и 0 ,      ^и к ¹ эв = ^и к +1 ^В ^{Ф |} дВ ,      ^и к ¹ 8В _к = ^и 0 | дВ _к — ^и к +1 ¹ 8В _к •

Используя принцип сравнения в В _к \ В для всех к , получаем и ₀ — и _к — и _к+1 .

Покажем теперь равномерную ограниченность последовательности функций { и _к }^ 1 на любом компактном подмножестве Q С М \ В .

Так как { В _к } £=1 — исчерпание многообразия М , то существует номер к ₀ такой, что для всех к — к ₀ выполнено Q СС В _к \ В . Тогда, учитывая монотонное убывание последовательности функций { и _к } к =1 и принцип максимума для гармонических функций, для всех к — к ₀ во множестве Q получаем

0 < ик < supu0 < sup и0 = max{ sup и0, supu0} = К, Q       Вк0 \В            8Вк0    а В то есть выполнено условие равномерной ограниченности последовательности функций {ик}к=1 на произвольном компактном подмножестве Q С М \ В.

Далее, используя внутренние оценки градиентов в комбинации с внутренними оценками в пространстве Гельдера С ^у (Q) производных для произвольного компактного подмножества Q С М \ В (см., например, [1, с. 294, 346]), получаем, что семейство функций д _к (х) = и _к ф( 1 и _к (х) | ) имеет равномерно ограниченные нормы в С ^у (Q) . Тогда с учетом внутренних оценок Шаудера ([1, стр. 91, 94–95]) получаем компактность семейства { и _к } в классе С 2 '^ (Q) на произвольном компактном подмножестве Q С М \ В . Последнее влечет за собой существование предельной функции и = lim и _к , которая к^^

является решением уравнения (5) на Q таким, что 0 <  и <  и ₀ .

Далее будем в качестве множества Q брать последовательно множества Вк \В для к = 1, 2, • • • Тогда на множестве В1 \ В существует предельная функция и1 = lim и1;к — к^^  '

решение уравнения (5) такое, что и1 |дВ = Ф|дВ. На множестве В2 \ В существует предельная функция и2 = lim и2,к — к^^  '

решение уравнения (5) такое, что и2 |дВ = Ф|^В и т. д. На множестве Вп\В существует предельная функция ип = lim ип к — к^ п'к решение уравнения (5) такое, что ип 19в = Ф|дВ. Кроме того, для всех п выполнено 0 < ип < и0. Также легко показать, что функция и2 является продолжением функции и1, то есть и2 |В1 \В = и1, функция и3 является продолжением функции и2, то есть и3 1В2\В = и2 и т. д. Рассмотрим функцию

	и 1 на В 1 \ В, и 2 на В 2 \ В,
и = <	и п на В п \ В,

Она будет являться решением уравнения (5) на произвольном компактном подмножестве Q С M \ В . Причем 0 <  и <  и ₀ и и \ _ав = Ф | _дв .

Покажем, что и ~ / .

Согласно условию на M \ В существует решение v ₀ уравнения (2) c с(ж) = А такое, что v ₀ | _aB = 0 и v ₀ £ [/] . Используя принцип сравнения 2 (см. Приложение) на M \ В , получаем и ₀ >  v ₀ >  0 .

Более того, для каждого к имеют место следующие неравенства:

Аи к = и к ^( | u _fc | ) <  Аи _к в В _к \ В,

^V 0 | dB <  ^и к | дв , ^y 0 | SB _fe <  ^и к ¹ 8В _к •

Тогда по принципу сравнения 1 в В _к \ В имеем и _к >  v ₀ , и, следовательно, и ₀ >  и _к >  >   v ₀ >  0. Аналогичное неравенство имеет место и для элементов подпоследовательности и о >  и _п ,к >  v o >  0.

Переходя к пределу при к ^ то для каждого п на В _п \ В , получаем и ₀ >  и ^п >  v ₀ . Учитывая вид функции и и условие и ₀ ~ v ₀ ~ / , окончательно имеем и ~ / . Первое утверждение теоремы доказано.

Для доказательства второго утверждения заметим сначала, что из А -строгости многообразия M следует его L -строгость. Далее в работе [15] показано, что на таких многообразиях для уравнений (1) и (2) из разрешимости на M \ В внешних краевых задач с граничными условиями из класса [/] следует разрешимость краевых задач на всем многообразии M с граничными условиями из того же класса [/] . Пусть теперь и ₀ — решение уравнения (1) такое, что и ₀ £ [/] . Ясно, что 0 <  и ₀ на M .

Рассмотрим последовательность функций { и _к } к =1 , являющихся решением задачи

Аи к = и к ф( \ и _к | ) в В к ,     и к 1 _{8В к} = и о 1 _{8В к} •

Как и выше доказывается, что данная функциональная последовательность монотонно не убывает, равномерно ограничена на любом компактном подмножестве Q С M , компактна в классе С ^2,7 (Q) и, следовательно, имеет предельную функцию и = lim и _к , к^^ которая является решением уравнения (5) на Q таким, что 0 <  и <  и ₀ . Далее, как и при доказательстве первого утверждения, строится решение уравнения (5) на всем многообразии M и исследуется его асимптотическое поведение на «бесконечности».

2.    Приложение

Пусть функция д(ж, () в уравнении (4) удовлетворяет структурным требованиям

• 1)    д( ^х ,() £ С ^у (Q х R) для любого подмножества Q СС M , 0 < 7 < 1 ;

• 2)    д(х, 0) = 0 ;

• 3)    д(ж,( 1 ) >  д(ж, ( 2 ) для всех ( 1 > ( 2 .

Тогда справедливы следующие утверждения.

Предложение 1. (Принцип сравнения 1). Пусть Q С M — предкомпактное подмножество и и, v £ С ² (fi) П С 0 (Q) удовлетворяют в Q неравенствам

Lu >  д(ж,и),     Lv <  д(ж,v)

и u | _{s q} <  v | _{S Q} . Тогда и <  v в Q .

Предложение 2. (Принцип максимума). Пусть Q С М — предкомпактное подмножество и и Е С2(fi) П С0(Q) удовлетворяет в Q неравенству Lu > g(x,u) (Lu < < g(x,u)'). Тогда sup и < sup u+ (inf и > inf u-).

Q       d Q        ^{Q      dQ}

Если же Lu = g(x,u в ^, то sup |u| = sup |u|.

Q         d Q

Предложение 3. (Принцип сравнения 2). Пусть Lv <  g(x, v) , Lu >  g(x, u) на М \ В, v l _9B >  u l _8B , v ~ u. Тогда v >  u на М \ В.

Пусть Lv <  g(x,v) , Lu >  g(x,u) на М и v ~ u. Тогда v >  u на М.

Из принципа сравнения непосредственно следует теорема единственности решений краевых и внешних краевых задач для уравнения (5).

Предложение 4. (Теорема единственности). Пусть Lv = g(x,v) и Lu = g(x,u) на М \ В и v l _8B = u l _8B , v ~ u. Тогда w = u на М \ В.

Пусть Lv = g(x, v) , Lu = g(x, u) на М и v ~ u. Тогда v = u на М.

Подробные доказательства этих утверждений можно найти в [11].