К вопросу о развитии канала искры в ультразвуковом поле

Введение. Рассматривается теория канала искрового разряда [1—3], который является одной из основных частей технологии электроакустического напыления защитных покрытий (ЭЛАН), при учёте в уравнениях баланса энергии действия высокоэнергетического ультразвукового поля. Известно, что при электроискровом разряде в газе образуется сравнительно узкий токопроводящий канал с высокой температурой и ионизацией. В этом канале выделяется джоулево тепло, что приводит к повышению давления и расширению канала. Расширяющийся канал действует подобно «поршню» на остальной газ и, так как расширение происходит со сверхзвуковой скоростью, вызывает в нём ударную волну, которая распространяется впереди этого своеобразного «поршня». Температура в области ударной волны гораздо выше, чем в невозмущённом газе. Плотность газа в канале очень мала, и подавляющая часть массы движущегося газа вытесняется из него, что и даёт возможность рассматривать границу канала как поршень.

Сам факт образования узкого канала можно понять так: при действии ультразвука, а также после пробоя газа и появления в нём проводимости, в местах протекания тока выделяется джоулево тепло. Электропроводность газа, как известно, сильно возрастает с температурой. Так, при высокой ионизации, когда существенны столкновения электронов с ионами, электропровод- 3

ность пропорциональна T 2 . А при малой ионизации эта зависимость ещё более резкая, так как с ростом Т быстро возрастает степень ионизации и, следовательно, появляется тенденция концен- трации тока в сравнительно узком канале, поскольку в местах, где выше температура, проводимость тоже больше, а значит, там течёт больший ток и выделяется больше тепла, что приводит к ещё большему разогреву и т. д.

Физическими процессами, определяющими геометрические параметры канала и предел концентрации тока, являются отвод тепла из канала и расширение нагретой области под действием давления. Каналом можно считать область до точки, где температура и степень ионизации существенно понижается. В канале можно пренебречь инерцией газа, но надо учесть выделение и перенос тепла. В области ударной волны нужно учитывать инерцию, но можно пренебречь электро- и теплопроводностью. Эти две области разделены переходным слоем – «оболочкой» канала. В оболочке происходит нагрев и ионизация входящего в канал газа. Основным уравнением задачи являются уравнения непрерывности, движения и переноса энергии:

dp    dp   d⁽w )

— + u— + p——- = 0

d t     d t d t

I du     du | dp „ p — + u— +— = 0

Vd t     d t J d t

d I pu²) 1 d |      ( p u² )|

— ps +--+---Tpu s +— +--+ dt I         2 ) тdt I      I p 2 JI

д ( т q ) тдт

= jE + U

где р — плотность, и — скорость, p — давление, е — внутренняя энергия на единицу массы газа, q — поток тепла, j — плотность тока, E — электрическое поле, U — вклад ультразвукового поля.

Уравнение состояния имеет вид:

, х     (z + 1)рТ

Р = ( n + П ) Т =-—-—, ei    m

a где ma — средняя масса атома, ne , ni — числа электронов и ионов в единице объёма, z — средний разряд иона, ne = zni.

Температура выражена в энергетических единицах.

Будем считать, что ионизацию в канале можно подсчитывать по формуле Саха [2]. Внутренняя энергия газа:

3p I е = -—+ — =

² P   m a

I

Р 3

р[ 2   ( z + 1 ) T J ,

где I — полная энергия ионизации плюс диссоциации, отнесённая на один атом.

Формулу (5) удобно применять в случае полной ионизации; при неполной ионизации с увеличением Т, при этом, как следует из формулы Саха, I* const, поэтому для е более удобна формула:

е = A ", Y- 1 P где у — эффективный показатель адиабаты; для воздуха X = 1,22 .

Электропроводность в и теплопроводность н сильно ионизированного газа равны:

, _х³    3 в' (zAT ²

в = в 1 ( Т ) Т ² =---- ( )

4 e ²V2n m X

н = н ( z ) ^{Т 2}

Здесь e, m — заряд и масса электрона, X = ln

3 T ²

ze\j4 n n_e

V            7

)

■ , в'( z ) — безразмерный коэф-

не ²

фициент. Для z = 1 значение в' = 1,95. Величина ---, согласно закону Видемана-Франца, по-

6T рядка 1.

.

Для X = 5 в 1 ( 1 ) = 3.4 ■ 10¹³ секeV ~², н 1 ( 1 ) = 3.9 ■ 10²⁰ см ~1 сек"еУ ¹²

Как известно, движение, определяемое всего двумя размерными параметрами, является автомодельным.

Ударная волна. Предположим, что зависимость от времени радиуса канала, граница которого играет роль поршня, вытесняющего газ, имеет вид a ( t ) = At ; движение в области ударной волны определяется двумя размерными параметрами A , р ₀.

В уравнениях (1) — (3) введём безразмерные обозначения ( a c ) — радиус фронта волны

Т            P          и           p x = Гтн, P'(x) = о , и‘(x) = Т, P'(x) = 7^2

a c ^{( t} )              ^P 0              a c             ^P 0 a c

Пренебрегая выделением и переносом тепла, заменяем систему (1) — (3) в форме z , x dp'   ,dx и _n

(U — x у^ + р'—- = 0 dx xdx fi   1)  <  / -    dUU   1 dp'„

1 и + ( u — x ) += 0

(   kJ           dxp' n      1)  ,   / ,     \dp'      ,dxu'_

2 1 — - p' + (u' — x)-^ + yp'—— =0

(    k J    ^v      ' dx xdx

С граничными условиями при x = 1

, Y+1,2,2

P = ^T, » =-----7, p =7

Y —1

Положение поршня определяется, где и' = x . Давление на поршень р k можно выразить через скорость поршня:

P k = ^Кр Р о a 2

Г где «коэффициент сопротивления» K * 0,9 K = p(a)— находится из численного решения P I p a2J системы (9).

Канал. Будем пренебрегать излучением и примем, что:

нdT

q = d т

Пусть температура T в канале во много раз больше, чем требуется для полной ионизации, следовательно, на краю канала T много меньше, чем в центре. Положим, T = 0 при т = a . Введём безразмерные обозначения:

S = ^т 2

S a ² ( t ) ,

„ ,- x   T 1 т Г т u 1 т

Q ⁽ ) = T0, u = Q 2a [ a "^i^J , ^y = 2 a [ Pa ⁺ 2

—

q

5 Ги

2 1 a

—

т

a

,

где

T ₀ — температура на оси. Давление считаем постоянным по сечению (13) запишем в виде:

канала. Тогда (1), (2),

где

Н ( T o ) T o _R в ( T o ) E 2 a² a=         , P=            .

Paa          ^н ( T o ) ^T 0

сти

du =    1 2

ds Q dy = op Q 2

ds 4

—

2 — — 4 k

dQ ds

—

• У + 2 UQ

5 , a SQ ²

y (1) I

Из условия сохранения энергии можно получить, что =------- u (1)    (z + 1) T o

. Для автомодельно-

• a , p и T не должны зависеть от T .

Для поддержания автомодельного режима необходимо показать, чтобы ток нарастал по 3

закону J ~ t ⁴ . Граничные условия для системы (14):

s = 0: u = 0, y = 0, Q = 1

s = 1: y = /    n т , Q = 0 ( Q <  1 )

u ( z + 1 ) 7 0           ^v

Однородная модель канала. Если отвод тепла из канала осуществляется прозрачным излучением, то для области канала можно указать простое автомодельное решение: давление, температура и плотность постоянны по сечению, а скорость пропорциональна радиусу. Все падения температуры сосредоточены в оболочке. Там же поглощается излучение и происходит ионизация газа, поступающего в канал. Считая оболочку тонкой, можно получить систему управлений для основных параметров канала. В общем случае для оценок можно пользоваться этими уравнениями как математической моделью, описывающей, хотя и грубо, основные процессы в канале. При этом приближённо учитывать действия ультразвука и теплопроводность.

Уравнение баланса энергии для канала и оболочки имеет вид:

dW   dпаг  „  „ t + p^T ' Qj+ Qu                        (16)

p ] dM

б + — I at = Q— + QR p ) dt где M, W — масса и энергия газа в канале. Уравнение (16) получается интегрированием (3) по сечению канала (включая оболочку) без предположения о виде распределения величины по сечению. Для однородной модели положим W = Mб , M = na2р. Уравнение (17) есть следствие закона сохранения энергии. Выражения для выделения тепла Qj за счёт электрического поля и тепла QU за счёт ультразвукового поля, а также для теплоотвода излучения QR и теплопроводности QT, можно взять в виде:

Q j =      , Q u = х®                                    (18)

п а в

Q r = п а Q R ( p,7 ) ,    Q — = 1,3 ■ 2 п н7 ,                             (19)

где ю — частота ультразвукового напыления, х — размерный коэффициент.

По порядку Q ~ н f — 1 2 п а , коэффициент же во второй формуле (19) взят в соответствии ' I а )

с решением системы (14). Давление приближённо можно брать из формулы (11) для сильной ударной волны или считать равным давлению невозмущённого газа, когда волна становится слабой и переходит в звуковую.

Пользуясь формулами (11) и (5), перепишем (16) в форме j2

Р 0 2 п а ^ = — + х.ю

b

^ = K p 1 + ( Y- 1 ) - 1 2 ^{— 1} а

d ² a ²

, —2

dt ²

= K p [ 1 + ( ^- 1 ) ¹ ( 2 - k ") ]

at

Здесь k = —, х_к = п а ² х . Сравнивая (16) и (17), получим, что a^k

Q — + Q r =n ( Q j + Q u ) , где n — коэффициент порядка 1. Если 7 не зависит от t , то

4 7 1 + ( Y- 1 ) 20 i

2 fd²a² ) ¹

I dt² )

-I-1

.

Для слабой ударной волны, когда давление в канале можно считать равным давлению невозмущённого газа р0, вместо (20) получим из (5), что р02п2аa =  jj

(y- 1)     6 + х.® позволяет найти все параметры канала.

Рассмотрим канал в воздухе: проводимость в = 2 ■ 10 14 сек ¹ ; K p = 0,9; y = 1,2; J ~ t ;

следовательно, ^ = 4,5.

Для радиуса канала в предложении Q U = 99 J из (20) при этих значениях в и ^ получим выражение

1 - 111

a = 0,93 ( 1 + 9 ) 6 р ₀ ⁶ J ³ t ^{2                                          (24)}

Здесь а дано в мм, J в кА, t в мкс, р_п = 1.29 ■ 10^-3 - г - при атмосферном давлении. Если же ⁰              см ³

ударная волна слабая, то радиус аналогично находится из (23).

Ниже (см. табл. 1) приводятся значения радиуса, рассчитанного по формуле (24), при разных значениях 9 и t (мкс), при напряжении разряда V = 15 kV и ёмкости батареи

VA

C = 0,15 ц Л , а также при индуктивности в цепи L = 2 ц Н (что отвечает j = — = 7.5 ■ 10⁹---).

L        сек

Таблица 1

Значения радиуса искрового канала

t 9	0,3	0,5	1
0	0,65	1,00	1,62
1	0,73	1,12	1,82
2	0,78	1,20	1,95
3	0,82	1,26	2,04

На основании формул (18), (19), (21) проведём оценки температуры в канале. Считая, что П ~ 1, для того же разряда, что и выше в момент t = 1 мкс, при L = 2 цН имеем, что Q, + Qi =(1 + 9)-1.7 ■ 1013 —эрг—. Если считать, что всё тепло переносится электронной тепло-J U         *            См ■ сек проводностью, а излучением пренебречь, то из второй формулы (19) получим, что T « 4 (1 + 9) eV .

Приняв T = 4eV из формул (4) и (11), найдём, что количество ионов в единице объёма в этом случае будет n i = 9 ■ 10¹⁷, что по порядку соответствует экспериментальным значениям.

Заключение. На основании построенной приближённой модели можно сделать следующие выводы о влиянии ультразвука на развитие искрового канала.

• 1.    Радиус канала увеличивается в ( 1 + 9 ) ⁶ раз по сравнению со случаем, когда нет ультразвука, где 9 — отношение энергии электрического и ультразвукового полей. Соответственно, увеличив канал искры, мы увеличиваем перенос вещества с анода на катод.

• 2.    Температура в канале увеличивается пропорционально ( 1 + 9 ) в предположении, что отток тепла осуществляется электронной теплопроводностью.

• 3.    Уже в момент образования ударной волны наступает почти полная ионизация в канале и могут создаваться условия для двукратной ионизации при высоких энергиях ультразвука.