К вопросу о точности восстановления параметров линейных динамических моделей с дискретным временем

При изучении и моделировании реальных экономических систем приходится наблюдать не один временной ряд, а некоторую совокупность рядов, описывающих совокупность переменных, – так называемые многомерные временные ряды. Целью анализа многомерных временных рядов является их модельное статистическое описание, при этом имеется в виду, что строится (выбирается) модель, описывающая данные наилучшим образом и позволяющая строить наиболее точные прогнозы. Наиболее популярным видом такого рода моделей являются модели векторной авторегрессии (VAR модели). Принято считать, что регулярное использование и исследование таких моделей началось в 1980 г., когда C.A. Sims [1] предложил VAR модели в качестве альтернативы системам одновременных уравнений. Эти модели, будучи линейными моделями, являются довольно удобным инструментом теоретических и прикладных исследований. Легкость и удобство соответствующих вычислительных процедур стали причиной широкого распространения VAR моделей. В настоящее время описание таких моделей можно найти в стандартных учебниках по временным рядам и эконометрике1.

Класс моделей динамики с дискретным временем и постоянными параметрами (коэффициентами) является одним из наиболее популярных как в теоретических, так и в прикладных исследованиях. В линейном случае такая модель имеет вид системы разностных уравнений: pq y=S Bjyt-.j+S Dkut -k + ft+£t, t=1’-’ T,    (1)

. j = 1                  k = 1

где векторная переменная y = col ( y_l ,..., y_n ) (набор эндогенных переменных) описывает наблюдаемое состояние моделируемой системы в моменты времени t ; u = col ( u_l,...,u_r ) - набор экзогенных (в том числе управляющих) переменных, предыстория всех переменных считается задан^ной: y ( % ) = ^ ( % ), и ( % ) = И £ ), если % <  ⁰. Основная причина наибольшей распространенности моделей (1) – детально разработанная теория оценивания параметров таких моделей.

Модели вида (1) систематически использовались компанией «ПРОГНОЗ» [2] при разработке информационноаналитических систем. Следует отметить, что в более общем случае неавтономных моделей проблемы их идентификации исследуются в монографии [3]. Основная идея предлагаемого здесь подхода состоит в выделении подмножества моделей со специальными свойствами. Полученные результаты позволяют исследовать так называемые индексы развития динамических процессов и предложить строгие определения понятий спада и подъема.

Подчеркнем, что модель (1) в стандартной эконометрической интерпретации является моделью наблюдений: каждое y содержит случайное возмущение ^ , включающее в себя все возможные неучтенные факторы влияния на фазовую переменную. По этой причине модель (1) дает описание реального процесса в стохастическом смысле, а все эконометрические оценки параметров и выводы на основе построенной модели носят статистический характер. Такие оценки и выводы базируются на довольно сильных предположениях относительно случайной составляющей £ _t . Кроме того, разработанные методы применимы, как правило, только к случаю, когда последовательность { y_t }, t = 1,2,... (случайный временной ряд) обладает свойством стационарности в сильном смысле, что обеспечивается соответствующими предположениями относительно матриц B [4; 5; 6]. Отдельно отметим работу [7], в которой подробно обсуждаются обобщения задачи аппроксимации финитных последовательностей (временных рядов) решениями разностных уравнений с полностью или частично неизвестными коэффициентами, а также работу [8], где дается теоретическое обоснование сходимости одного итерационного метода восстановления коэффициентов, использующего подход, предлагаемый в [7].

В заключение отметим, что после обзора наиболее значимых отечественных и зарубежных работ по идентификации линейных моделей мы предлагаем рассмотреть линейную детерминированную систему, все компоненты вектора состояний которой доступны наблюдению в конечном числе моментов времени с некоторой погрешностью. Природа этой погрешности неизвестна, и мы не делаем об этом никаких предположений, ограничиваясь только информацией о ее величине: все компоненты погрешности ограничены известными константами. На основе теоремы об обратном операторе формулируется и доказывается утверждение о гарантированной оценке точности приближенных значений коэффициентов модели (этот результат анонсирован без доказательства в кратком сообщении [9]).

Доказанная теорема может найти применение при идентификации линейных гибридных функционально-дифференциальных систем [10‒12], которые позволяют моделировать реальные процессы с учетом эффектов последействий, характерных для развития сложных социальноэкономических систем.

Методы и процедуры построения оценок параметров линейных динами- ческих моделей

В этом разделе мы останавливаемся только на анализе работ и результатов, имею- щих отношение к алгоритмам и процедурам построения приближенных значений параметров линейных разностных систем.

Систематическое и глубокое исследование проблем идентификации указанного класса систем предпринято в цикле работ [13–21]. В этих работах обсуждаются и исследуются различные постановки задач идентификации, варианты постановок экстремальных задач, развивающих идеи классического метода наименьших квадратов, предлагаются методы и алгоритмы нахождения оценок коэффициентов, исследуется сходимость соответствующих итерационных методов, обсуждаются приемы, ускоряющие сходимость. Результаты этих работ имеют высокий потенциал практического использования. В связи с этим особо отметим работу [14], в которой решается задача восстановления параметров однородной линейной модели динамики генной сети. Ряд прикладных аспектов рассмотрен также в [22]. Результаты экспериментов, представленные в [22], показали высокую устойчивость вариационного метода оценки параметров уравнений по отношению к помехам [8; 23; 24; 25].

Отметим, что авторы работ [24; 25] изучают также асимптотические по количеству наблюдений статистические аспекты соответствующей вариационной задачи для случая гауссовских случайных ошибок в элементах исходной последовательности наблюдений. Статистическая состоятельность оценок, полученных вариационным методом, установлена в [25].

В работе¹ рассматриваются VAR модели, в которых не предполагается го-москедастичность инноваций. Проводится сравнительный анализ процедур стандартного МНК ( OLS ), обобщенного МНК ( GLS ) и адаптивного МНК ( ALS ). В частности, отмечается, что GLS требует знаний о структуре ковариационной матрицы, зависящей от времени. А при применении ALS неизвестная ковариационная матрица оценивается с помощью ядерного сглаживания с использованием внешнего произведения остатков, полученных после применения OLS . Выводится асимптотическое распределение предлагаемых оценок и исследуются их свойства. Оценки ALS оказываются асимптотически эквивалентными оценкам «недоступного» варианта GLS оценок. На основе этих результатов предлагаются тесты на непостоянство инновационных возмущений и версии инструментов коррекции. Теоретические результаты иллюстрируются примером с использованием макроэкономических данных США.

В работе² рассматривается VAR модель в стандартных предположениях. В случае ее устойчивости модель приводится к форме со скользящими средними. Дается анализ связанных с этой моделью параметров и характеристик – динамических мультипликаторов, передаточной функции, импульсной функции отклика – и обсуждаются актуальные проблемы идентификации моделей указанного класса и их применения при анализе реальных экономических процессов.

В работе [26] описывается методология оценки коэффициентов, тестирования гипотез о спецификации и проведения сценарных экспериментов с VAR моделями межстранового взаимодействия. Используется байесовский подход, построение импульсного отклика и сценарное прогнозирование производятся с использованием процедур метода Монте-Карло. Приводятся результаты, полученные применительно к странам «Большой семерки» (G7).

В работе [27] предлагается процедура оценивания глобальных VAR моделей ( GVAR ), которая приводит к состоятельным и асимптотически нормальным оценкам параметров. При этом формулируются простые в вычислительном плане условия, гарантирующие устойчивость модели. Эта процедура иллюстрируется примерами оценок, как на примере модельных данных, так и с применением реальной статистической информации. Следует подчеркнуть, что в постановке, принятой автором, вопрос о гарантированной оценке точности получаемых результатов не ставится и не решается.

Отметим, что подробное описание программного комплекса, ориентированного на идентификацию VAR моделей, дается в работе J.H. Kim ¹.

Остановимся теперь на основных результатах работы [28] по методам робастного оценивания VAR моделей. Актуальность этих результатов определяется тем обстоятельством, что параметры VAR моделей обычно оцениваются с помощью вариантов МНК и оказываются очень чувствительными по отношению к единичным выбросам (значительным случайным ошибкам) наблюдений. В работе предлагается новая процедура оценивания, которая представляет собой многомерное обобщение взвешенного МНК.

Так, типичная K-мерная модель авторегрессии порядка p имеет вид

Y = v + BY _, +BY,+...+BpY_p +U,, (2) в которой ошибки U считаются независимыми и одинаково распределенными с плотностью вероятностей вида f (x) = g(XT^ 1 x)

JU^ ’    (det(£))1/2 , где – положительно определенная мат- рица (матрица рассеяния), g – положительная функция. Если существуют вторые моменты случайной величины U , то пропорциональна ковариационной матрице случайных ошибок.

Такая модель обычно оценивается методом наименьших квадратов, который чрезвычайно чувствителен по отношению к возможным выбросам в наблюдениях, поэтому актуальной является задача разработки робастного оценивания для указанного класса моделей. Предположим, имеются наблюдения y , t = 1- p ,..., T . Вводя обозначения

X t = (1, Y Li ,..., Y^ )', B = ( v , B i ,..., B p )', где (•/- символ транспонирования, можно записать (2) в виде

Yt B Xt Ut , или, вводя матрицы

X = ( X1,..., Xt )',  Y = (Y.,y, Yt )', в форме стандартной множественной регрессии

Y =X BUU .

Отсюда сразу получаем оценку параметров

2 B LS =( X'X f X'Y и оценку матрицы :

^LS =(Ykls )(Y - xB_ls ). LS   TK         LS          LS

МНК оценки матрицы B и находятся под сильным влиянием упомянутых выбросов, что приводит к сильно смещенным оценкам и ошибочным прогнозам. Выбросы могут иметь различный характер. Наиболее известны так называемые инновационные и аддитивные выбросы. В контексте VAR моделей наблюдение Y называется инновационным выбросом, если соответствующая ошибка в уравнении (3) является «загрязненной». Благодаря динамической структуре модели инновационный выброс будет воздействовать и на последующие наблюдения. С другой стороны, наблюдение Y называется аддитивным выбросом, если только само это значение оказывается «загрязненным». Хотя адди- тивный выброс является изолированным, он может все-таки приводить к смещению оценок параметров модели. Один из способов преодоления проблем выбросов связан с применением специальных робастных процедур оценивания, включающих обнаружение и удаление выбросов. Многомерность VAR моделей усугубляет проблему обнаружения выбросов по сравнению с ситуацией одномерных временных рядов, поэтому соответствующие процедуры должны быть ориентированы на применение в многомерной ситуации.

Два метода построения робастных оценок для многомерных временных рядов были предложены в работе [29]: Minimum Volume Ellipsoid ( MVE) и Minimum Covariance Determinant ( MCD ). Второй метод дает теоретически более высокую степень состоятельности, поэтому ограничимся кратким описанием этого метода. Пусть имеется n наблюдений Z_n = _{( х₍, y );

i = 1, . .. , n}. MCD оценка - это LS оценка, вычисленная на подвыборке из h наблюдений, соответствующая минимальному значению определителя ковариационной матрицы остатков. Для этого метода быстрые алгоритмы вычисления оценок разработаны в [30]. В работе [31] представлен эквивалентный вариант, связанный с оценкой усеченного метода наименьших квадратов ( Least Trimmed Squares , LTS). Пусть H_{h =} { м _с {1, . . . , n }| #

# M = _h}} — совокупность всех подмножеств с числом элементов h.

В принятых обозначениях оценка многомерного LTS определяется равен- ством

^     . *

B mlts ( Z n ) = Bh ( H ) .

H h = ^arg^min M^H ^det Ё _LS ( M ).

В работе [31] показано, что эта оценка может быть определена эквивалентным образом с помощью равенства

h

B MLTS   arg min    d 2 ) ( B ,2),

B ,E:detE=1 s ₌i

где d(,)(B ,S)< d(2)( B ,S)<...< d(„)(B ,S) - упо- рядоченная последовательность расстояний Махаланобиса, dt ( b ,£) = ((Y-b'x S^y-bX ))1/2.

В работе [32] предложен вариант, в рамках которого при суммировании в (3) вводятся весовые коэффициенты, дающие при условии удачного подбора более точный результат. К сожалению, вопрос о целесообразном выборе весовых коэффициентов остается открытым. Некоторые соображения по этому поводу можно найти в работе [33].

В работе [28] предлагается новый метод оценивания VAR моделей, а именно многомерный взвешенный метод наименьших квадратов. Как было показано в [33; 34] для одномерного случая, этот вариант метода дает лучшие результаты, чем метод урезанных наименьших квадратов. Естественно ожидать, что этот эффект сохранится и в многомерном случае. Предлагаемая модификация может оказаться полезной для получения более устойчивых результатов и в других областях, в частности применительно к дискриминантному анализу и кластерному анализу.

Для всех цитированных работ общей является концепция, в рамках которой оценки находятся в результате решения сложной с точки зрения вычислений экстремальной задачи, что существенно затрудняет получение явных гарантирован- ных оценок точности, выраженных в рамках общих ограничений относительно ошибок наблюдений.

Построение    гарантированных оценок линейных динамических моде- лей

с дискретным временем

Вернемся к модели (1). Принципиальный момент здесь -гипотеза о постоянстве па- раметров модели. Подчеркнем, что модель (1) в стандартной эконометрической интерпретации является моделью наблюде- ний: каждое yt содержит случайное воз мущение £t, включающее в себя все возможные неучтенные факторы влияния на фазовую переменную. По этой причине модель (1) дает описание реального процесса в стохастическом смысле, а все эконометрические оценки параметров и выво- ды на основе построенной модели носят статистический характер.

Принципиальное отличие рассматриваемой в этом разделе задачи состоит в следующем. Мы рассматриваем линейную детерминированную систему, все компоненты вектора состояний которой доступны наблюдению в конечном числе моментов времени с некоторой погрешностью. Природа этой погрешности неизвестна, и мы не делаем об этом никаких предположений, ограничиваясь только информацией о ее величине: все компоненты погрешности ограничены известными константами. На основе теоремы об обратном операторе мы формулируем и доказываем теорему о гарантированной оценке точности приближенных значений коэффициентов модели. Доказательство носит конструктивный характер и приводит к алгоритму получения упомянутых коэффициентов и соответствующей оценки их точности. Этот результат может найти применение при приближенной идентификации линейных     гибридных     функционально дифференциальных систем [10-12].

Рассмотрим линейную модель, описывающую динамику текущего состояния x_t g Rⁿ изучаемой системы:

^Xt = AX, - 1 + A 2 X, - 2 + - + ^Ap^Xt - p + ft , t = 1,..., T .                                              (4)

Матрицы A, , i = 1,..., p размерности n x n неизвестны и должны быть приближенно вычислены на основе приближенных значений компонент состояния и приближенных значений внешнего возмущения f , полученных в моменты времени t = 1,..., T . При этом предполагается, что для упомянутых погрешностей известна лишь оценка сверху по абсолютной величине:

если zit -измерение t -й компоненты xit вектора xt, то

I ^z it ^- x it ^ ^ t , i = ^1,.•.^{, n} , и аналогично для g._t -измерения i -й компоненты f_it вектора f_t имеем

¹ g it ^{- f}t_t ^ П i = V- ⁿ .

Эти предположения касаются также начального состояния x и предыстории x_ _и..., x_b . Примем естественное ограничение относительно числа точек наблюдения: T >  np . В последовательности состояний системы выделим отрезок, начинающийся в момент t = k и содержащий np элементов. Введем матричные обозначения для всей совокупности используемой в дальнейшем информации:

^Хк = ^{( X} k ’ ^X k +1 , ..., ^X k + pn -1 ) ’

A = ( A 1 , A 2 ,..		., A p ) ,
	( X xk - 1	Xk     ...	Xt Xk + pn - 2
Xk =	Xk - 2 ...	Xk - 1     •..	Xk + pn - 3 ...
	1 Xk - p	Xk - ( p - 1)	k + pn - ( p - 1) J

F k = ( f k , f k + ! ,..., f k + pn - 1 ) .

В этих обозначениях имеем систему X( = AXk + Fk с квадратной (np x np) - матрицей . При точных измерениях и обратимости матрицы Xk матрица А может быть вычислена точно: А = (хк - Fk)Д-. При этом результат не зависит от k. По условиям задачи эта возможность не реализуется. Для приближенного вычисления А можно воспользоваться доступной информацией, а именно матрицами

	z z k - 1	z k      ...	z k + pn - 2
*k =	z k - 2	z k - 1     ...	z k + pn - 3 ■            ...
	4 z k - p	z k - ( p - 1)	z k + pn - ( p - 1) j

^Z k   ⁽ z k , z k + 1 ,..., z k + pn - 1 ) ,

^Gk = ⁽ g k , g k + 1 ^,•••^, g k + pn - 1 ) .

Для построения приближения A_k, соответствующего фиксированному k , можно воспользоваться системой

Z k = ДА + G k .               (5)

Для получения оценки погрешности такого приближения введем соответствующие линейные нормированные пространства. Пусть R^{n np} _— линейное пространство

(n x np) -матриц H = {htj }t=1,. ,n, j=1,...,np с нормой || H || Rn x np = max^ n {£ -| h. |} . Норму линейного оператора в этом пространстве (оператора умножения справа на (np x np) -матрицу) обозначим символом

II-II x

R n × np → n × np .

Пусть Ξ – множество таких значений k , для которых матрица обратима.

Рассмотрим случай, когда Ξ – непустое множество. Для k ∈ Ξ имеем 4 = ( z_k - G k ) 4¹.

Отметим, что при каждом k ∈Ξ полученное приближение имеет свою погрешность. Далее сформулируем условия, при которых разность - оценивается по норме пространства Rn×np и можно сделать выбор в пользу наиболее точного результата.

Для формулировки теоремы о гарантированной оценке точности восстановления параметров системы (4) введем следующие обозначения:

W_k = { w k }^n = Z ", k eE ;

pn

^ _k = maxf S | w k ^|} ; % = ^max £ ;

l = 1,..., n                                    = 1,..., n

J = 1

n = ^max n ; A k = pn ^^ k ;

^E 0    ^{{ k e E} • A k <  ^1} ;   ^V k  ^{11 Z}k   ^Gk ^{1 1} R n * np ^;

⁰ k = ⁽¹ — ^A k ) ^{- 1 A} k ^ k ⁽ pn ⁽ ^ + n ) + V ) + S k pn ⁽ % + n )■

Теорема . Пусть множество E_o непусто. Тогда существует приближение A * к матрице Л , для которого имеет место оценка погрешности

6* =ЦА - А\\ np <  min{ 0 k } .   (6)

^{k eE} 0

Матрица А определяется  равен ством

Л • = ( ^Zk 0 - G k . ) C.

k 0 = ^arg^min^{ 0 k ^}.

k ^eE 0

Доказательство. Воспользуемся известной теоремой об обратном операторе (см. [35, с. 99]). В силу этой теоремы, обратимость одного из двух линейных ограниченных операторов L , L , действующих в банаховом пространстве X, скажем для определенности, Lo, влечет обратимость другого, если A =|| L - L01| • || L0-11|< 1. При этом имеет место оценка k -L-1^ (1 -A)-1A ||L--1||.       (7)

Получим в этих условиях оценку для разности решений уравнений x и x ₀ уравнений Lx = f и L x = f соответственно:

|| x - x - || < || L f - L - f JR L"¹ f -

J ^{- 1         - 1} r r^{-1             - 1} r r^-1

- ^L 0 J + ^L0 J - ^L 0 J 0 ^|| < ^{|| L} J - ^L0 J W +

+ || L ^{- 1} f - L - f 0 || < || L -¹ - L ^{- 1} || • || f || +

+ || L - ¹|| • || f - f ) ll < ll L ’¹ - L - ¹|| • || f -

• - f 0 + f -H + 1| L - ¹|| • || f - f Ж L ^-1 - L - ¹|| • || f -

• -f)|| + ||L“1 - L^Hf-|| + ||L-1|H| f - f,|h       (8)

С учетом оценки (7) получаем окончательно

|| x - x - || < (1 -A ) ^{- 1} A || L - ¹||(| | f - f - || +

+ || f ₀||) + || L - ¹|H| f - f - || .                        (9)

Подчеркнем одну особенность этой оценки, которая будет использована ниже. Правая часть неравенства (9) выражена в терминах, касающихся только характеристик оператора L - ¹ правой части f₀ и отклонений || L - L _o ||. || f - f ₀ || . При использовании оценки знание оператора L и правой части f не требуется.

Покажем, что условия теоремы об обратном операторе выполнены и оценка (8) принимает вид (6) при некотором k ∈Ξ. Заметим сначала, что матричная норма, определенная равенством для ςk , согласована с введенной нормой в пространстве

R^{n × np} . Это следует непосредственно из неравенств (индекс k для краткости опускаем) pn pn

pn pn                           pnpn

• <    ^ma x ^{ 2 E ^{| a}v ¹¹ w jm ^} <  ^max{ E ^{| a}y ^| E ^| w m ^} <  ^{l 1},..., ^{n                                                         l 1},..., ⁿ

j =1 m=1                              j=1

• <    ma ^x{ E ^| a ij ^| max ^{ E ^{| w}m ^|}} <

• l = 1,..., n             ^J    J = 1,..., pn

• J =1

• < m ^ax{ E ^| a ij ^|} • ^{max {} E ^{| W}Jm ^|} .

• l=1,...,n                       J =1,...,pn

J=1

В рассматриваемом случае роль оператора L играет оператор умножения справа на матрицу Z , а роль оператора L ‒ оператор умножения справа на матрицу . Оценим разность этих операторов с учетом предположений о погрешности наблюдений:

II ^Xk - ^Zk ^||_Rn X pn^ X pn <  Pn m^ax^{ £ ^} <  Pn ^ . R    ^ R              = 1,..., n

После умножения на g_k правой части этого неравенства получаем А^. . Таким образом, на множестве Н_о выполняется основное условие теоремы об обратном операторе. Для получения оценки (6) остается заметить, что для аналога || f - f || имеем

II ( Z k - G k ) - ( X_k - F k )|| _R n * pn =

= |( Z_k - X_k ) - ( G k - F k )|| r „ * p_H <

2.31   0.82

A =              ,

• ¹   ^ 0.71   - 0.10/

f = 0, x^ ₀ = 5, x _{2 0} = 10 , для возмущения последовательных десяти состояний были использованы псевдослучайные числа с равномерным на отрезке[–0.01, 0.01] распределением:

для первой компоненты состояния –0.001451606618, –0.003577786134, –0.003127338526, –0.000514877128, 0.00116917438, 0.00493507661, –0.009358755558, 0.00445948244, 0.00208611228, 0.00491160075;

для второй компоненты состояния 0.00902107060, –0.007070273856, –0.006888184730, –0.001412146526, 0.00050857022, –0.004547987820, –0.005604798012, 0.00351965868, 0.00690947019, 0.00352941577.

В этом примере общая оценка сверху для модуля погрешности наблюдений составляет 0.01. В процессе вычислений все матрицы Z_k, k = 1,...,10 оказались обратимыми, что позволило найти приближения A_k, k = 1,...,10 . Наилучшую гарантированную оценку погрешности дает матрица

( 2.309915668   0.817672385 Л

^ 0.7096748133   - 0.0994980712J ^.

При этом гарантированная оценка погрешности £* по введенной норме про странства R2x2 составляет 0.01072151360. В приведенных числовых значениях все цифры верные (система Maple, с помощью которой производились вычисления, позволяет точно производить арифметические операции над рациональными числами). Следует отметить, что результат, полученный с помощью стандартного метода наименьших квадратов на том же наборе исходных данных, представляет собой матрицу

~  ( 2.385031259   0.5424549044

.А =

^ 0.7646269870   - 0.3029516038

При этом оценка ставляет 0.3525765550.

погрешности со-

Таким образом, в рамках предлага- емого подхода появляется возможность повышения точности восстановления па- раметров динамической модели с дискрет- ным временем.

Заключение

Результаты применения эконометрического подхода, представленные в обзоре, не дают решения задачи о гарантированных оцен- ках точности восстановления параметров динамической модели. Мы исходим из других предположений относительно характеристик возмущений наблюдаемых значений. В условиях доказанной теоремы требования к точности наблюдений описываются в терминах верхних оценок абсолютных значений погрешностей. Использование известной теоремы об обратном операторе и конструктивный характер доказательства приводят к алгоритму построения гарантированных оценок точности восстановления параметров модели и, таким образом, открывают возможность повышения надежности вычисляемых по модели прогнозных значений моделируемого процесса.

Перспективы дальнейших исследований в этом направлении связаны с возможным расширением класса рассматриваемых моделей. Одним из таких расши- рений является актуальный класс динамических моделей с дискретным и непрерывным временем (гибридные модели), включающих в систему как разностные уравнения с дискретным временем, так и уравнения с непрерывным временем в форме автономных функционально-дифференциальных уравнений. Последние позволяют учитывать при моделировании реальных процессов эффекты последействия, характерные, в частности, для процессов экономической динамики. Распространение предлагаемого подхода на актуальные гибридные экономико-математические модели приведет к повышению адекватности моделей, лежащих в основе современного инструментария анализа социальноэкономических процессов, что позволит повысить обоснованность выводов и принимаемых решений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (договор № 02.G25.31.0039) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-01-0032).