К выводу уравнений гравитационного поля вf (R) гравитации с кинетическим скаляром кривизны

Открытие ускорения в расширении Вселенной привело к активному поиску модифицированной теории гравитации, которая, сохраняя достижения эйнштейновской ОТО, объясняла ускоренное расширение Вселенной без привлечения темной энергии. Многие из таких теорий гравитации, которые можно считать кандидатами на решение проблемы описания ускорения Вселенной в современную эпоху, представлены в обширном обзоре [1]. Особую популярность приобретают теории скалярно-тензорной и f ( R ) гравитации, которые являются эквивалентными на классическом уровне: f ( R ) гравитация может быть представлена как скалярно-тензорная теория с потенциалом [2]. В последнее десятилетие особо привлекательными становятся теории в которые входят производные от скалярной кривизны [3, 4], которые, с одной стороны, могут привести к перенормируемой, в квантовом смысле, теории гравитации, а с другой – к нефизическим массивным духам (см., например, [5] и цитируемую там литературу). Кроме того активно изучаются нелокальные теории, теории гравитации с высшими производными, с неминимальным взаимодействием, гравитация Эйнштейна-Гаусса-Бонне и ее модификации [1].

В настоящей работе мы рассматриваем технические подробности вывода уравнений гравитационного поля в теории f ( R ) гравитации [7], обращаем внимание на контроль за граничными членами теории [6]. В качестве нового результата мы представляем вывод полевых уравнений в f ( R ) гравитации с кинетическим скаляром кривизны: теории, которая обобщает модель Эйнштейна-Гильберта-Подольского и Старобинского-Подольского [5].

S = S Eh + S m ,

S Eh = J d ⁴ x V-g f ( R ),

(1.1)

где S EH - обобщенное действие Эйнштейна-Гильберта, f ( R ) - некоторая функция скалярной кривизны, S_M – действие материи.

Чтобы получить обобщенные уравнения Эйнштейна, выполняем варьирование по метрике g ik . Вариация S EH имеет вид

5S E H = J d 4 x [ 5 V- gf ( R ) + V- g f '( R ) 5R ].		(1.2)
Воспользуемся известными результатами [8] (см. также [7])
5 V- g = - 2 V- g g ik 5g i k , 5g ik = - g im g ki 5gm1 ,		(1.3) (1.4)
5R = 5 ( gikR ik ) = 5g ik R ik + gik5R ik = 5g ik R ik + g mq □ 5gmq - V i V 1 5gil , □ : = V s V s . Подставляя (1.3) и (1.5) в правую часть (1.2), получаем:		(1.5)
5S EH = 1 d 4 xV-g5 g ik (- 2 g ik f + f' R ik ) + 1 1 -	1 2 ,	(1.6)
где 1 1 = J d 4 x V- g5g ik f '( R ) g mq □ 5gmq , 1 2 = J d4x V- g5g ik	: f ‘ ( R ) V i V 1 5gu .	(1.7)

Подынтегральное выражение первого интеграла содержит, в определенном смысле, обобщение тензора Эйнштейна. Очевидно, что тензор Эйнштейна получается при подстановке f ( R ) = R. В интегралах 1 1 и 1 ₂ нужно выделить 4-дивергенцию для применения теоремы Гаусса-Стокса.

Для применения теоремы Гаусса-Стокса нам необходимо получить интеграл следующего вида: / d ⁴ x V- g V ^sN_s . Используя в подынтегральном выражении 1 1 определение оператора □ = v s V ^s = V ^s V s , получаем f ' ( R ) g mq □ 5g^mq = f '( R ) g mq V s V ^s5g^mq .

Чтобы выделить в подынтегральном выражении 4-дивергенцию, применяем ковариантную производную V ^s к выражению ( f ' ( R ) g_mq V _s5g^mq ) ; в результате получаем

V s ( f '( R ) g mq V s 5 g mq ) = g mq ( V s f ' ( R )) V s 5 g mq + g mq f 'V s V s 5 g mq =

= g mq ( V s f'( R )) V s 5g mq + g mq f'( R ) □ 5 g mq . (1.8)

Если выбрать пробное N_s = f '( R ) g mq V _s5g^mq и применить к нему оператор V ^s , получим нужное слагаемое V ^sN_s и слагаемое, содержащее V ^s5g^mq . Для устранения ненужного нам слагаемого, добавим к N_s такое выражение, которое аннулирует мешающий нам член. Таким образом, истинное N s должно включать слагаемое, которое после применения оператора V ^s даст нам - g_mq ( V s f ‘ ( R )) V _s5g^mq . Нужное нам слагаемое можно получить путем следующего преобразования: g mq ( V s f ' ( R )) V s 5g^mq = g mq ( V s f ' ( R )) g sn Vⁿ5g^mq = g mq ( V n f ' ( R )) V n 5g^mq . Меняем немой индекс n на s получаем g mq ( V _sf ' ( R )) V ^s5g^mq . Таким образом искомое N_s имеет вид

N s = f ‘ g mq V s 5 g mq - g mq ( V s f ‘ ) 5 g mq .                           (1.9)

Подынтегральное выражение будет иметь вид VsNs = f1 gmq□ 5gmq - gmq (□ f ‘)5gmq, а интеграл 11 (1.7) можно записать следующим образом j d4x V-g5gikf‘(R)gmq □ 5gmq = J d4x V-g VsNs + J d4x V-ggmq (□ f ‘)5gmq.     (1.10)

Тем самым интеграл I ₁ преобразован к 4-дивергенции от N_s и слагаемому, которое содержит вариацию δg^mq .

По аналогии избавляемся от производной V l 5g il в интеграле 1 ₂ (1.7).

Для того, чтобы получить Jd ⁴ x V- g ) V i M¹ , выбираем пробное M i = f '( R ) V 1 5g^il . Применяя к нему оператор V i , получаем V i M¹ = f ' ( R ) V i V 1 5g il + V i f ' ( R ) V 1 5g il .

Используя алгоритм, описанный для интеграла 1 1 , находим истинное M i :

M i = f ‘ ( R ) V 1 5g il + V i f ‘ ( R ) 5g il .

Далее, аналогичным способом, как для интеграла 1 1 , находим 4-дивергенцию:

V M = f '( R ) V i V 1 5g^u -V i V i f '( R ) 5g^u .

Тогда интеграл 1 ₂ преобразуется к виду

J d ⁴ xV-g5g ik f '( R ) V i V 1 5g^u = J d ⁴ xV-g ) V i M i + J d ⁴ xV-g V i V i f '( R ) 6g i ^l .

В результате варьирования обобщенного действия Эйнштейна-Гильберта (1.6)

5S Eh = / d ⁴ xV-g 6 g ik ( - 2 g ik f + f' R ik + g ik □ f '-V i V k f ‘ ) +

+ J d ⁴ x V—g V ^sN s -J d ⁴ x V— g ") V i M* , (1.11)

здесь выделены интегралы, которые с помощью теоремы Гаусса – Стокса мы переводим в интегралы от 4 -дивергенции к интегралам по гиперповерхности.

Рассматриваем процедуру корректного устранения интегралов по гиперповерхности. Для этого начнем с обозначений, стандартных для теории гиперповерхностей [8]. Ограничимся рассмотрением четырехмерного пространства-времени и трехмерными, ненулевыми гиперповерхностями. Гиперповерхность Σ может задаваться как уравнение зависимости между 4-координатами

Ф ( x i ) = 0.

(1.12)

В этом случае Ф,i, будет нормальным вектором к гиперповерхности I, так как на ней Ф,i = 0, а значит значение Φ меняется только в направлении перпендикулярном Σ. Ортонормальный вектор можно определить так e Ф, i п* = ,               ,

V gik ф, i ф, k где ni nl = e = +1, где верхний знак соответствует пространственноподобной гиперповерхности Σ, нижний – времениподобной. При этом добавляется требование, чтобы ni указывало направление возрастания Ф: ni Ф,i > 0.

Другой способ задания гиперповерхности заключается в указании явной зависимости

4-координат x i от координат на гиперповерхности y a , ( a , b ,

= 1,2,3)

...

x i = x i ( y a ).

Построим базис касательных векторов к гиперповерхности Σ i ∂xi ea : dya‘

Тогда для нормального вектора можно записать:

e i n = 0. a

Индуцированную метрику на поверхности находим, используя способ задания внутренней метрики и условие ортогональности,

∂xi       ∂xk dSI = gikdx dxk|2 = gik [dyajdy [dybjdyb = habdy dyb’ где hab = gik (fx^ (dxb) = gikeiaeb — индуцированная метрика на I или ее первая фундаментальная форма.

Рассматриваем поверхностные интегралы более подробно. В координатах на гиперповерхности имеем:

^ N s d I s = ^ eN s n s V h\ d ³ У ,

где y - координаты на граничной гиперповерхности, e = n_in^l = ± 1 , h ik - метрика на гиперповерхности, причем g^lk = h ik + en^ln^k . Учитывая, что на границе 5g^lk = 5g_ik = 0 , поэтому n s en i n k V s 5g_ik = n s en i n k d s 5g_ik = 0 . Здесь мы использовали тот факт, что частная производная от δg ik принадлежит гиперповерхности и раскладывается по ее базисным векторам e_s , которые ортогональны вектору нормали n^s .

Теперь, учитывая правило поднятия индексов для вариации метрического тензора (1.4), выполняем свертку N s n^s :

N s n = n s ( f ‘ g mq Vs5g^mq - g mq ( V sf ') 5g^mq ) = - f ‘ n s ( en^ln^k + h^ik ) V s5g ik = - f ‘ n^sh^ik V s5 g lk .

В итоге имеем:

J N s d X ^s = -Ief'n^sh^lkV s 5g ik ^ ~hi\d ³ y .

Воспользовавшись тем фактом, что 5g_i k = 0 везде на границе, а значит и её касательные производные должны обращаться в ноль V _s6g ik e^s _a = 0 , мы получаем MM^ldX _i = 0 . Следовательно h is V s 5 g lk = 0 .

Учитывая, что 5g^lk = 0 на границе и формулу (1.4), записываем

M l = g ik f ' V 1 5g mp = - g ik f ‘ g km g lq V 1 5g mq = — 5 m f ‘ g lq V 1 5g mq .

Учитывая, что hlqVl5gmq касательная производная от 5gmq обращается в 0, имеем nlMi = - f ‘nm (enn4 + hlq) V15gmq = -nmhlqV15gmq = 0.

Таким образом, показано, что вариация действия Эйнштейна-Гильберта в теории f ( R ) гравитации приводит к виду

5S eh = Jd ⁴ xV-g5g^lk (-2 g ik f + f'R ik + g ik □ f '-V _{V k f'j-f ef'n^sh^ikV s 5g ik V\h\d ³ У . (1.13)

Как мы видим условия 5g^lk = 0 на границе не достаточно, для того, чтобы граничные члены обращались в ноль, следовательно действия Эйнштейна – Гильберта самого по себе не достаточно. Поэтому добавляем граничный член Гиббонса – Йорка – Хоукинга ( S G _{Y H} ), чтобы избавиться от ненужного слагаемого в (1.13). Чтобы записать вариацию S G _YH , находим вариацию свёртки второй фундаментальной формы (гауссова кривизна) K = V _ln^l = n l .

; ^l

K = n l = g^lkn i ; k = ( en^ln^k + h^ik ) n i ; k = h^lkn i ; k = h^ik ( n i , k - Г ^ _kn_r ).

Теперь варьируем по метрике, учитывая, что на границе 5g^{1 k} = 0 , имеем

5K = - h^ik5 Г rk n r = - 2 h^lk ( 5g_u , k + 5g ki , i - 5g ik , 1 ) g r n r = 2 h^ik5g ik , ni¹ .          (1.14)

Граничный член Гиббонса - Йорка - Хоукинга в f (R) гравитации записывается следующим образом:

S GYH = ²

I d ³ ye Vh\ f '( R ) K .

Используя (1.14), записываем его вариацию

5S_gyh = 2^d³ye V lhi ( f "K5R + f5K ) = 2^d³ye V hAf "5R + j> d³ye V i h i f'h^lk5g_lk , ₁n¹ .

Как мы видим, второй интеграл “вылечивает” граничный член для действия Эйнштейна – Гильберта: для того, чтобы занулить первый, необходимо будет положить на границе 5R = 0 . Таким образом, полагая, что на границе 5R = 0 , получаем хорошо известное [1] уравнение гравитационного поля в теории f ( R ) гравитации:

- 2 g ik f + f' R ik + g lk □ f ' - V i v k f ' = KT ik .

(1.15)

• 2.    / (R) гравитация с кинетическим скаляром кривизны

Рассматриваем модель f ( R ) гравитации с кинетическим скаляром кривизны, действие которой имеет вид:

S KinR = J d ⁴ x V-g ( R j R j X ( R ) + f ( R )) + S matter •

(2.1)

Используя принцип наименьшего действия, находим вариацию для (2.1):

• ^6S    = f d⁴ x ^⁶  [-2 g ( R^RX ^{( R} ) + f ^{( R))} + X 4 ^R ) ^Rij + ^f 4 ^R ) R  + I + ⁶S mat,er , (2.2

  где

  
  

  I = J d ⁴ xV-g [ R , j R ^{, j}X '( R ) g^ik6R ik + 2 X ( R ) g^ijR , j V i 6R + f '( R ) g^ik6R ik ].

  
  

  (2.3)

  
  

  Перепишем (2.3) в более удобной для интегрирования форме (далее будем опускать аргументы функций):

  
  

  I = J d ⁴ xV-g [( R , j R ^{, j}X ' + f ‘ ) ( g mq □ 6g mq -V i V 1 6g il ) + 2 Xg^sjR , j V s ( R ik 6g^ik + g mq □ 6g^mq -ViV 1 6g^u )] .

  
  

  (2.4)

  
  

  Замечаем, что слагаемое 2 Xg^sj R , j V s R ik 6g i ^k в I можно внести в первое слагаемое (2.2), а оставшиеся слагаемые в (2.5) записываем в виде интегралов и интегрируем отдельно каждый. В результате получаем:

  
  

  J d ⁴ xV-g ( R , j R , X ‘ + fg mq □ 6g mq = J d ⁴ xV-gV s M_s

  + J d ⁴ xV-g □ ( R , j R'^jX ‘ + f ') g mq 6g^mq ,

  
  

  (2.5)

  
  

  -J d ⁴ xV-g ( R , j R^{1 j}X' + f ') V i V 1 6g^u = -J d ⁴ xV-g V Li¹

  - J d ⁴ xV-gV i V 1 ( R , j R ■ ^jX' + f ') 6gⁱ¹ ,

  
  

  (2.6)

  
  

  2 J d ⁴ xV-gXg sj R j R ik V s 6 g ik = 2

  
  

  j d ⁴ x v— g V ^jN j -j d ⁴ x V-g V ^jX V j RR ik 6g i ^k

  
  

  -j d ⁴ xV-g X □ RR ik 6g i ^k - j d ⁴ xV-g XV j R V ^j Rf k 6g i ^k j,

  
  

  (2.7)

  
  

  2 J d ⁴ xV-gXg s ^jR , j g mq V s □ 6g mq = 2

  
  

  d ⁴ x V-g V ^jP j -J d ⁴ x V-g V s V s

  - J d ⁴ xV-g □ ( V ^jXV j R + X □ R ) g mq 6g^mq

  
  

  ,

  
  

  (2.8)

  
  

  - 2 J d ⁴ x V-g Xg sj R , j V s V i V 1 6g^d = - 2^ J d ⁴ x V-g V ^jW j -j d ⁴ xV-g V i Z^l

J d ⁴ x V-g V i V i ( V ^jX V j R + X □ R ) 6 g¹¹ ,

(2.9)

где

M s	= ( R , j R’iX’ + f ') g mq V s 5gmq - V s (R , j R-jX’ + f ') g mq 5g mq ,	(2.10)
Li	=   ( R , j R ■ jX ‘ + f ‘ ) V 1 5g il - V 1 ( R , j R ■ jX ‘ + f ‘ ) 5gu ,	(2.11)
N j	= X V j RR ik 5gik ,	(2.12)
P j	= XR , j g mq D 6gmq ,	(2.13)
V s	= ( V jX V j R + X D R ) g mq V s 5gmq - V s ( V jX V j R + X D R ) g mq 5gmq ,	(2.14)
W j	= X V j R V i V 1 5gu ,	(2.15)
Zi	= ( V jX V , R + X D R ) V l 5gu - V l ( V jX V , R + X D R ) 5gu .	(2.16)

Зануляем граничные члены и записываем полевые уравнения:

- 2 g ik f + R ik f ' + D ik f ' + ( - 2 g ik R j R- ^{+ R} . ^R. - ² R ik ^{D R} ) X ^{+ (}- RR R ik ⁾ X ’

- 2 D ik ( X D R ) - D ik ( R , Rx ‘ ) = xT tk , (2.17)

где D ik = ( g ik D -V i V k ) .

Уравнения (2.17) можно переписать в более удобной форме

A ik ^X + B ik ^X ' + C ik ^X " + F ik^X'" ^- ^ g ik f + f'R ik + D ik f' = ^кT ik ^{,            (2}.1⁸⁾

где

A ik = - 2 g ik R , j R'^j + R , i R , k - 2D RR ik - 2 D ik □ R ,                     (2.19)

B ik = - R ik R , j R’^j - D ik ( R , j R’^j ) - 2D RD ik R ,                       (2.20)

C ik = - R , j R ^{, j}D ik R - 2D R ( g ik R ^{, j}R , j - R , i R , k ),                        (2.21)

Очевидно, если принять X ( R ) = 0 , то (2.18) переходит в полевые уравнения f ( R ) гравитации.

Заключение

В первом разделе данной работы мы представили основы теории f ( R ) гравитации с подробным вывод вариации общего действия модели (1.2) и использовании граничного члена Гиббонса–Йорка–Хоукинга для устранения нежелательных слагаемых от граничных интегралов по гиперповерхности. Такой вывод нам представляется полезным, так как в отечественной литературе при выводе уравнений Эйнштейна в ОТО из вариационного принципа (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Теоретическая физика» Т.II: Теория поля) используется переход к локальной-геодезической системе координат с последующим переходом от частной производной в ней к ковариантному обобщению на произвольную систему отсчёта. Такая методика является проблематичной для f ( R ) теории гравитации.

Во втором разделе рассматривается модель f ( R ) гравитации с кинетическим скаляром кривизны (2.1), которая обобщает модель Старобинского-Подольского [5]. В этом случае, зануляются граничные члены, мы записываем полевые уравнения модели в операторном виде. В дальнейшем мы планируем рассмотреть космологические следствия f ( R ) гравитации с кинетическим скаляром кривизны.

Авторы признательны проф. С.Д. Одинцову за интерес к работе и консультации.