К задаче конструирования автоматического регулятора для объекта второго порядка с запаздыванием

Наибольшая экономия тепловой энергии в системах теплоснабжения зданий достигается за счет их автоматизации, поэтому разработка вопросов, связанных с проблемой построения высококачественных систем автоматического управления, является вполне актуальной задачей. В настоящее время в промышленности, в том числе и в системах теплоснабжения зданий для автоматического регулирования различных переменных технологических процессов широко используются ПИД-регуляторы и их частные варианты. Накоплен огромнейший опыт применения таких регуляторов, в частности, разработаны и апробированы различные способы их настройки. Вместе с тем, как неоднократно отмечает В .Я. Ротач в своем сравнительно недавно изданном учебнике [1], П-, ПИ- и ПИД-«...алгоритмы были получены чисто эвристическим путем» [1, с. 82] и что «...достаточно убедительное формальное доказательство целесообразности их применения ...до сих пор получить не удалось» [1, с. 24].

В работе [2], как нам представляется, удалось получить некоторое формальное обоснование це- лесообразности применения ПИД-регуляторов, здесь задача решалась методом «подгонки» передаточной функции замкнутой системы автоматического регулирования к некоторому достаточно разумному и практически достижимому виду. Найдены эталонные структуры и настройки регуляторов для типовых динамических характеристик промышленных объектов управления, при этом установлено, что все эти регуляторы принадлежат ПИД-семейству. Казалось бы, что поставленная цель достигнута, однако для полноты исследования проблемы необходимо рассмотреть вопрос о качестве переходных процессов (ПП) в таких системах и о грубости этих структур и настроек, данная задача и решается в настоящей работе.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления с передаточной функцией вида

1г

WOM=--г28---;exP(~To6Pb (О агр + ахр + \ где £об - коэффициент передачи объекта; тоб -время запаздывания объекта; Oj и а2 - коэффици- енты дифференциального уравнения объекта управления, р - комплексная переменная. По данным [3] такой передаточной функцией описывается, например, канал «расход сетевой воды - температура внутреннего воздуха здания». В соответствии с [2] близким к идеальному для такого объекта будет ПИД-регулятор с передаточной функцией wM=

ai

1     1 а2

1+-- + — р

^j? а_х

:об+0).

где 6 - достаточно малая постоянная времени. Требуется оценить устойчивость САР и качество переходных процессов в ней при вариациях параметров настройки регулятора и параметров объекта управления.

Методика решения задачи

Для анализа переходных процессов в системе с объектом управления данного типа разработаны две компьютерные программы: одна для анализа переходных процессов при возмущении по заданию, а другая - при возмущении со стороны регулирующего                           органа.

В каждой из разработанных программ предусмотрен ввод к_о6, а_г, а₂, т_об, а также коэффициента передачи А_р, времени интегрирования Т_И и времени дифференцирования Т_Д ПИД-регулятора, каждая из программ осуществляет не только построение графика переходного процесса, но и определяет перерегулирование ст и время регулирования /_р, а также вычисляет значения следующих критериев: 'к

4 = .[Ж                (2)

О

Z2 = Je2(/)^,                            (3)

о где e(z) = x3(Z)-x(l) - ошибка регулирования (рассогласование); x3(z) и x(z) - соответственно заданное и действительное значения регулируемой величины; Z - время; ZK - конечное время оценки переходного процесса. Здесь время регулирования Zp определялось как время, по истечении которого отклонение регулируемой величины от задания не будет превышать 5 %. Интегрирование дифференциального уравнения объекта управления осуществляется методом Рунге-Кутты с погрешностью, пропорциональной пятой степени шага по времени. Для компьютерного использования алгоритм ПИД-регулирования представляли в дискретной форме, при вычислении интеграла применяли метод трапеций. С целью сокращения объема необходимых вычислений использовали рекуррентную форму дискретного представления алгоритма ПИД-регулирования, приведенную в работе [4]:

U(m)=U(m -1)+ q^m)+q_xe(m -1) +

+g2e(m-2),                          (4)

где m — номер расчетного шага по времени, % =к_р^Т^к^ТГ^; q_x =к_р [h/2T_u-l-lTjh^ ; q₇ = к_рТ_д [h; h - величина шага по времени; U - выходная величина регулятора (% хода исполнительного механизма (ИМ)). В программах предусматривается ввод нижнего и верхнего пределов изменения регулирующего воздействия U .

Вариация параметров настройки регулятора

Исследование качества переходных процессов в САР проводилось в окрестности базовых настро ек: к_ =---™----г; Т„ = а,; Т„ =      , при выпол- р                      и 1 д 2

нении вычислений параметры объекта управления соответствовали динамическим свойствам канала «расход топлива (угольной пыли) в % хода ИМ -паропроизводительность» котельной установки [5]: ^=1,66 т/ч/%ходаИМ; ^=93,33 с; а2=1550с2;

тоб =30 с. В этом случае базовые значения параметров настройки регулятора составят (параметр

6 полагался равным нулю 0 = 0): к =---^!— =

^об^об

= 1,87 % хода ИМ/т/ч; Т_И =а_х = 93,33 с; Т_д = а_г [а_х = = 16,60 с.

В табл. 1 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях А_р, 7_И и различных значениях Т_д.

Таблица 1

Показатели качества переходных процессов при к_р = 1,87 % хода ИМ/т/ч; Т_и = 93,33с и различных значениях Т_д при возмущении по заданию

	2,2	4,4	8,8	16,6	17,6	20,0
ст, %	15,97	10,34	2,73	0,008	0	0,001
'р,С	1259,7	700,2	413,6	256,2	257,4	247,8
Л,(т/ч)с	200,80	153,47	129,86	120,87	124,58	124,59
/2, (т/ч)2 с	99,11	92,79	90,39	89,61	91,32	91,93

Инженерное оборудование зданий и сооружений

При 7^ = О получили незатухающий, колебательный переходный процесс с амплитудой, составляющей 25,17 % от задания. Анализ полученных значений критериев 7, и 7₂ показал, что базовая настройка времени дифференцирования Т_д =16,6 с, по всей видимости, является оптимальной для обоих критериев. Конечно, для большей уверенности в этом утверждении следует провести более детальный расчет зависимостей 1_Х и 7₂ от Т_д . Тем не менее данные табл. 1 свидетельствуют, что существует значимая окрестность точки Т_д =16,6 с, в которой сохраняется приемлемое качество переходных процессов в САР, высокая точность установки значения Т_ц при настройке регулятора не требуется.

В табл. 2 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях к_р, Т_д и различных значениях времени интегрирования Т_и.

Как видно из табл. 2, базовая настройка времени интегрирования Т_и = 93,33 с не является оптимальной ни по критерию I, , ни по критерию /₂, а также ни по критерию времени регулирования t_p . Вместе с тем, как это нетрудно видеть, такая настройка времени интегрирования является достаточно приемлемой, в значимой окрестности точки Т_и = 93,33 с сохраняется удовлетворительное качество переходного процесса в САР.

В табл. 3 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях

Таблица 2

Показатели качества переходных процессов при кр = 1,87 % хода ИМ / т / ч; Тд = 16,60 с и различных значениях Ти при возмущении по заданию

Т„,с	103,33	98,33	93,33	88,33	83,33	78,33
□, %	0	0	0,008	0,119	0,594	1,253
'р,С	291,1	267,8	256,2	248,3	242,3	237,7
7], (т/ч) с	137,25	128,54	120,87	114,16	108,54	103,81
72, (т/ч)2-с	96,40	92,72	89,60	86,97	84,76	82,92

Окончание табл. 2

^ ’ с	73,33	68,33	63,33	58,33	53,33	48,33
О, %	3,169	10,117	15,044	24,801	33,462	44,840
'р,С	234,2	238,3	247,5	264,2	342,9	436,2
7], (т/ч) с	100,05	100,04	101,66	107,76	116,49	134,25
72, (т/ч)2-с	81,09	79,32	78,57    .	78,33	79,624	84,07

Таблица 3

Показатели качества переходных процессов при Т_и = 93,33 с; 7"_д = 16,60 с и различных значениях к_р при возмущении по заданию

кр, % хода ИМ/т/ч	1,87	1,97	2,07	2,17	2,27	2,37	2,47
а, %	0,008	0,034	0,123	0,399	0,993	1,948	3,088
'р’С	256,2	254,8	250,5	246,0	240,3	334,0	335,9
7], (т/ч)-с	120,87	122,14	121,73	121,61	120,51	119,36	120,92
72, (т/ч)2 с	89,60	89,37	88,49	87,71	86,41	84,77	■ 83,85

Окончание табл. 3

кр, % хода ИМ/т/ч	2,57	2,67	2,77	1,77	1,67	1,57	1,47
<т, %	4,440	6,189	8,626	0	0	0	0
'р’С	335,1	446,7	677,7	265,0	263,9	273,9	274,1
Л, (т/ч) с	124,95	131,28	140,84	125,33	124,05	129,37	130,54 ‘
72, (т/ч)2-с	83,64	83,70	83,86	92,20	92,57	95,69	97,23

Т_И, Т_а и различных значениях коэффициента передачи регулятора к_р.

Также можно отметить, что базовая настройка коэффициента передачи регулятора к_р = 1,87 % хода ИМ/т/ч не является оптимальной ни по критерию /], ни по критерию /₂, а также ни по критерию времени регулирования t_p . Вместе с тем, как это нетрудно видеть, такая настройка времени интегрирования является достаточно приемлемой, в значимой окрестности точки А_р = 1,87 % хода ИМ/т/ч сохраняется удовлетворительное качество переходного процесса в САР. Кроме того, можно заключить, что критерии /, и /₂ имеют несколько локальных экстремумов.

Показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях к_р, Т_И и различных значениях Т_Д при возмущении по нагрузке приведены в табл. 4.

В табл. 5 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях к_р, Т_д и различных значениях времени интегрирования Т_И при возмущении по нагрузке.

В табл. 6 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях Т_И, Т_а и различных значениях коэффициента передачи регулятора к_р при возмущении по нагрузке.

Таким образом, данные табл. 1-6 свидетельствуют о том, что в значимой по размерам окрестности точки с базовыми настройками регулятора к_р =—^—=1,87% ходаИМ/т/ч; Т_И=а_; =93,33 с;

^об^об

Т_а = а_г(а_х = 16,60 с сохраняются устойчивость САР и приемлемое качество регулирования как при возмущении по заданию, так и при возмущении со стороны регулирующего органа, следовательно, большой точности установки численных значений параметров настройки регулятора не требуется. Заметим, что здесь устойчивость системы определяется самым простым и наиболее достоверным способом - это непосредственно по кривой переходного процесса.

Изменение параметров объекта управления

Если робастность рассматривать как грубость системы по отношению к изменениям параметров объекта управления, то можно привести следую-

Таблица4

Показатели качества переходных процессов при *_р = 1,87 % хода ИМ/т/ч ; Т_И = 93,33 с и различных значениях Т_д при возмущении по нагрузке

Гд,С	2,2	4,4	8,8	16,6	17,6	18,6	19,6	20,6
ст, %	48,88	40,37	23,77	1,398	0,267	0,180	0,178	0,229
'Р,с	1495,3	922,0	462,9	272,6	268,1	262,8	258,0	253,8
7], (т/ч)-с	216,74	130,32	77,06	49,58	50,54	50,48	50,48	50,51
72, (т/ч)2-с	57,77	37,43	24,96	18,39	18,14	17,77	17,44	17,15

Таблица 5

Показатели качества переходных процессов при к_р = 1,87 % хода ИМ/т/ч; 7_Д = 16,60 с и различных значениях Т_и при возмущении по нагрузке

Ги,с	103,33	98,33	93,33	88,33	83,33	78,33
а, %	0	0,207	1,398	3,780	7,427	11,077
'р,С	278,8	275,3	272,6	270,5	268,9	268,1
7И (т/ч) с	55,53	52,11	49,58	48,27	47,80	47,86
72, (т/ч)2-с	19,22	18,75	18,39	18,11	17,91	17,79

Окончание табл. 5

	73,33	68,33	63,33	58,33	53,33	48,33
ст, %	15,639	22,011	26,548	35,566	43,609	54,212
?р,с	268,5	273,7	280,3	295,1	306,1	394,4
1А , (т/ч)-с	48,49	50,16	51,85	56,50	62,42	73,77
72, (т/ч)2-с	17,73	17,81	17,99	18,68	19,72	21,94