К задаче устойчивости сдвиговых течений относительно длинноволновых возмущений

Рассматривается двумерное x = (x1,x₂) Е R² движение вязкой несжимаемой жидкости под действием поля внешних сил F ( x ,t), периодического по пространственным переменным x1, x₂ с пери одами '1 = 2п и '2 = 2п/а соответственно, в предположении. что волновое число а ^ 0. Неизвестные поле скорости v ( x ,t) и дав .теине p( x ,t) удовлетворяют системе уравнений Навье — Стокса:

dv   ,

— + (v, V)v — vAv = —Vp + F(x,t),  div v = 0, где v — безразмерная вязкость. Через hfi будем обозпачать среднее по xi. а нерез hf ii — среднее по прямоугольнику периодов П = [0,'1] х [0,'2]:

'1

hf i = 'Г / f ( x ,t) ^d xi ,    hhf ii(t) = |П| / f ( x ,t) ^d xi ^d X2 •

Ω

Предполагается, что поле скорости периодично по пространственным переменным с теми же периодами, что и поле внешних сил, и среднее поля скорости задано:

hh v ii = q .

Будем интересоваться потерей устойчивости основного (невозмущенного) стационарного течения общего вида

V = (0, V (xi)), hV i = 0,                                 (1)

которое называется сдвиговым (или параллельным) течением.

Известно, что при достаточно больших значениях вязкости v (малых числах Рейнольдса) основное решение устойчиво. Критическим называется значение параметра v = vc, при котором одно или несколько собственных значений линейной спектральной задачи выходят на мнимую ось. Пусть S2 — замыкание в L2 (П) множества гладких соленоидальных вектор-функций, периодических по пространственным переменным x_i, х₂ с периодами '1 11 '2 соответс/твеиио. П — ортогоиальиый проектор в L2(n) па подпространство S2 (гидродинамический проектор). Линеаризуя уравнения Навье — Стокса на основном течении (1), получим линейную спектральную задачу в S2;

Ay + iw₀y = 0,

A y = -vcnA y + П

∂ϕ yiV (xi)e2 + V(xi) д—

∂x2

e 1 e 2

ния применим схему метода Ляпунова — Шмидта, предложенную В. И. Юдовичем [1]. Сначала рассматривается линейная спектральная задача (2), на втором шаге находятся собственные векторы линейной сопряженной задачи

А*Ф - iШoФ = 0,

V(xi) X f^j +

∂x2   ∂xj j=1              j где A* — гильбертово-сопряженный к оператору A в S2. При исследовании устойчивости относительно длинноволновых возмущений на каждом шаге метода Ляпунова — Шмидта применяются разложения в ряды по малому параметру а.

Впервые длинноволновая асимптотика ( а ^ 0) задачи устойчивости двумерных параллельных пространственно-периодических течений общего вида построена в [2]. При этом поле скорости выражалось через функцию тока, для которой получалась задача Орра — Зоммерфельда. В [3] для построения первых членов асимптотики вторичных автоколебаний рассматривались непосредственно уравнения Навье — Стокса. В [4] с помощью некоторой формализации (применения интегральных операторов типа Вольтерра и вронскианов) получены рекуррентные формулы k-ro члена длинноволновой асимптотики задачи устойчивости (2) стационарных сдвиговых течений с ненулевым средним (1). Настоящая работа посвящена выводу рекуррентных формул k-ro члена длинноволновой асимптотики линейной сопряженной задачи (3). Подробный вывод изложен в [5]. Обоснование асимптотики в данной работе не проводится, но его можно провести, воспользовавшись теоремой о неявной функции для аналитических оператор-функций подобно тому, как это проделано в [2].

• 2.    Первые члены асимптотики

Через H обозначим подпространство функций из L2(0,'_i), ортогональных единице:

H = f € L2(0,'i): hf i = 0}.

Определим интегральный оператор I : H ^ H по правилу

x

If = j ^{f (s)} ds -

Оператор I — обратный к оператору дифференцирования и вполне непрерывный. Через W(f, g) обозначим вройекнан функций f 11 g:

w (f,g) = fd- - gdf. dx dx

Фигурными скобками будем обозначать отклонение периодической функции от ее среднего значения по периоду {F } = F (x) -hF i. Функция 6 характеризует отклонение скорости от ее среднего значения:

6 " = V - hVi, h6i = 0.

Запишем уравнение (3) в виде системы скалярных уравнений (здесь и в дальнейшем применяются обозначения ст = iw; x = x1, z = ax₂)

СТФ1 + Vc

+ a2

д²Ф1 \ ∂z ²

+ aV^ + V (x)

∂z

∂Φ 2

∂x

∂P ∂x ^,

СТФ2 + Vc

∂ ² Φ 2 ∂x ²

2 ^d2ф2 \         ^дф 2

+ a O 9 ) + 2aV “S— =

∂z ²           ∂z

-

∂P ∂z

дФ1 + дФ₂

hФ2i = 0,

2π j Ф1 dz = 0.

Неизвестные поле скорости Ф и давление P (x,z) будем разыскивать в виде рядов по степеням параметра а;

∞∞

Ф = X Фkak, P = X Pkak.(7)

k=0

Собственные значения ст и критическое значение вязкости vc также представим в виде рядов

∞∞ ст(а) = У^ ст к ак, Vc = v* + ^ Vkak.(8)

k=0

В случае линеаризованного оператора Навье — Стокса линейная сопряженная задача (3) является более вырожденной по сравнению с линейной спектральной (2) — несколько первых членов асимптотики обращаются в нуль. Подставив разложения (7)-(8) в систему (4)-(6) и рассмотрев уравнения при к = 0 и к = 1, несложно убедиться, что выполняются равенства

Po = Ф2 = Ф2 = 0, Ф0 = e-im z,

ф1 = Ф1(z), сто = 0, СТ1 =im hV i.

Для давления P ¹ получаем выражение

^{P 1}=q*⁽x) d?+ ^{< P} 1 8

dA q* = -ao(6), ao(6) = —.

dx

Всюду в дальнейшем через ak и q* обозначаются функции, через которые выражаются коэффициенты скорости Ф^к и давления P^к линейной сопряженной задачи, а ak и qk^ это соответствующие коэффициенты скорости y^k и давления Q^k линейной спектральной задачи, найденные в [4].

В [4] показано, что коэффициенты разложений по степеням а собственных функций линейной спектральной задачи имеют следующую структуру:

^k =

• ¹    dk У1 т/             ^Vk-1 1

Ц "ДТ I k-1<^e)) - — *1’

-

Qk =

¹ dk У⁰ а (РА

Vk - 1    ^{qkW —}

νk-2

ν ∗

Q ² ,

yk =

1 dk y0

ν∗k+1 dzk

ak (#) - у д ^2,

где ak- qk выражаютея норе:;: aj. qj щ hi j 6 k — 1. Слагаемое, содержащее Vk-2 в выражении коэффициентов давления Q^k, появляется при четных k >  4.

Коэффициенты разложения собственных значений линейной спектральной задачи и критического значения вязкости при четных k имеют вид [4]

а при нечетных k

"k = о,

k -2

vk-2 = Чт ^0ak-2(^)>,

2 V*

(Ю)

"k =

-

(—im)k

ν∗k-1

Vk-2 = 0.

(И)

Здесь m = 0 — волновое число.

После подстановки разложений (7)—(8) в уравнения (4)-(б) и приравнивания коэффи-

αk k-ro члена асимптотики линейной

сопряженной задачи при k >  2:

-

ν∗

∂2Φ1k ν∗ ∂x2

∂2Φ1k-2

∂z2

-

-

∂Pk ∂x

-

d2Φ01 νk-2 dz2

∂2Φ2k ν∗ ∂x2

-

Φ k-1

-

∂Pk-1

-

- V ^(x)

k-3

X vj j=2

∂z kX d2фк-j j=2 νj ∂x2

-

-

∂Φ₁ ^{k -1} ∂z

∂2Φ1k-j

∂x2

Φ k-1

-

- "k$i(z) - V(x) ^x²

k -3

- X " ^k-j j=3

k-1

2V(x) ^дф— ∂z

k-2

X "j *k-j j=3

-

k-4

X vj j=2

-

-

∂Φk

1 + ∂x

∂Φ2k-1 ∂z

k-5

X vj j=2

∂2Φ1k-j-2

∂²Φ₂ ^{k -2 ν∗} ∂z²

∂2Φ2k-2-j

∂z2

= 0, ( Ф2 ) =0,   / фк dz = 0.

∂z2

,

j граница суммы не меньше нижней.

Будем разыскивать решения системы (12)—(14), периодические по x и по z с периодом 2п. Условием разрешимости уравнений (12) и (13) является равенство нулю среднего правой части по переменной х. Осредненное уравнение (12) имеет вид

k

X "j K-j) + hvi j=1

d( фk-1>

dz

Lh( 9$k^{-1   9} Фk

00         1                2

∂z ∂x

k-2

dL (^k ^{- 2 - j} dz^{2    1}

Среднее давления находим из условия разрешимости уравнения (13):

# (P k -^-) = ^(V(x) ^ dz                    ∂z

.

Приведем схему нахождения к-го члена асимптотики. Пусть ф(( 1 известно. Тогда из уравнения неразрывности (14) находим Фк:

∂Φk-1

Фк = -I     2    + Фк).

Затем из условия разрешимости уравнения (13) находим среднее давления hPk 1), а из

уравнения (13) — Фк- Далее из условия разрешизкости уравнения (12) находим ак+2. Vk и hФ^k-1i. Наконец, из уравнения (12) находим P^к. Далее процесс повторяется.

Продолжим нахождение первых членов асимптотики. Пусть к = 2. Так как Ф2 = 0,

то из уравнения неразрывности (14) следует, что Ф^ = Ф-Д). Из (16) получаем, что

dZhP 1i = 0. Тогда, подставив в (13) известное возражение P ¹ из (9). приходим к уравне

нию для нахождения Ф^:

∂2Φ22 ν∗ ∂x2

d2Φ01 dz2

9' (x).

Отсюда

Ф2 = -      а2(9), a2 (9) = 1 ²(ao) = I9.

ν∗ dz

Из условия разрешимости уравнения (12) находим а₂ = 0, V2 = h(9')²i, Ф-Д) = 0. Подставив найденные выражения Ф-, Ф— Ф2 в (12) при к = 2, пол учим P ²:

20∗

P2 = -     q2(x) + (P2), (2   -I 9'0-hVia2 = 5*-hVД2,(19)

ν dz∂x a2(9) определено в (18). Далее б удем пользоваться обозшхчеппем (П = qn + hVian

Рассмотрим систему (12)—(14) при к = 3. Зная Ф2, из уравнения неразрывности по формуле (17) находим Ф- С учетом условия разрешимости уравнение (13) принимает вид

∂2Φ32 ν ∂x2

-а-Ф2 - 2^ V(x)      -

2            ∂z

∂{P2 } - ∂2Φ22

∂z     ν1 ∂x2 .

После подстановки P ² из (19) и Ф2 из (18) в (20) и применения интегрального оператора I дважды, выделим старшие члены относительно производных по z функции Ф-

Ф2 = A Ш b3(9) - Or12ф2 - V1 Ф2, Ь3 = -12 [2V(x)i2Ы + (2(9)].(21)

ν dz         νν

Нам понадобится также форма представления Ф2, в которой учтено выражение а—

• 3 __ 1 d Ф1 „*(а\    V1 ,/,2    л*(й\ __ г2 г.»0' *    г/д'0

  
  

^Ф2 = V2TZ3"“³<^{9) -} -^Ф2'  ^аз(9) = ^-I I²⁹ a^2- Д "dxj

Выпишем условие разрешимости уравнения (12). Подставив в (15) при к = 3 выражение Φ32     приходим к равенству hVi (Ф?(г) + 5) = -азф0<2) + Ц2 ^ <9'<“3)"> - 2V--2Ф2--I»)

z         νzz

Из условия разрешимости уравнения (23) находим аз = im <9(0%)''),  vi = 0.

ν∗

Убедимся, что аз из (11) и (24) совпадают, т. е. выполняется равенство

- (ao(a*)"> = (ai(a2 )'' ),                                     (25)

где ai = —I {W(9,9')}. Нам понадобится следующее утверждение.

Лемма (о вронскиане). Для любых непрерывно дифференцируемых '1-периоди-чсскпх по x функций f (x). g(x) h(x) справедлива формула

—2fgh) + fH g_d-|^= (I{f},g)h\

Лемму легко доказать, дважды применив интегрирование по частям.

Для проверки соотношения (25) воспользуемся выражением "3 (22) и применим лемму о вронскиане:

∗

— (W (9,9'^02\

— ("0 ^y = 2(9'9''a2> — (9'1 9"-2

По свойству вронскиана W(9,9^м ' ) = dXW(9,9'). Тогда

2 ∗               2 ∗

—(dx W (9’в)аУ = -(1

Найдем P³ из уравнения (12) при k = 3. Воспользовавшись условием разрешимости (15), приведем данное уравнение к виду

—

∂2Φ31

+ V* ч 9 " ∂x2

Подставив в (26) известные Ф3 и ф1, находим третий член асимптотики давления

Р³ — — d ^Ф1 а*     ⁽Р³

^P = V*2 dz3 q^{3 (x) +} V

—

∗

00∂a3        2 ∗          ∗

I ⁹dx^{+ V}*"2 ^{— h}Vi^a3‘

Рассмотрим систему (12)—(14) при k = 4. Зная Ф3, из уравнения неразрывности по формуле (17) находим Ф4. Воспользовавшись условием разрешимости (16) при k = 4, уравнение (13) перепишем в виде

∂2Φ42 ν∗ ∂x2

—а1Ф2 —

2 V(x)

∂z

—

8{P³} ∂z

—

∂2Φ22 ν∗ ∂z2

—

∂2Φ22 ν2 ∂x2 .

Учитывая найденные

ранее выражения Φ22 Φ32 P3 получаем

Φ

, 4 - 1

d4Φ01

²   V³dz⁴

∗ _a∗₄

^ф2,   a4⁽⁹⁾ = —I² [^2{9'0a3^{} +} q*^{+ v}2^a2].

ν∗

Подставив в (15) при к = 4 выражение Ф2 (29), приходим к равенству

(V) (ф3(=) + dS) = -^(z) +     4ф (60(04)" - v2a2)) - 2V2dg1.(30)

dz                  ν∗ dzdz

Из условия разрешимости уравнения (30) находим а4 = 0, V2 = -m (60((a4)00 - v^T).(31)

Убедимся, что v₂ из (10) и (31) совпадают, т. е. выполняется равенство

(aO(a4)00) - v2(a0a2) = (a2(a2У0),(32)

где a2 = -I^2{W^(1а1,0"У1^{- 3}^ie№.

Для проверки равенства (32) применим лемму о вронскиане дважды. Подставим в левую часть (32) выражение a4 из (29) и воспользуемся леммой:

(aa((a4)" - v2a2)) = -2^№}) + (601 {6⁰⁰(a*)⁰}) - 3v2(60a2)

• = (W(6, 0>3) - 3v2(60a*) = -(ai(a*)⁰⁰) - 3v2<6°a2>.                ³³

На втором шаге воспользуемся выражением a* из (22) и вновь применим лемму:

• ^-(^а1^(аз⁾⁰⁰) ^{- 3v}*(⁶0^a2) = ²(ai⁶"^a2) ^-(aiI^{60^0(а2^)0})^{- 3v}2(⁶0^а2)

= -(W(Iai,6")a2) - 3v2(60a2) = (Ы00а2), что и требовалось доказать. Заметим, что из (33) вытекает еще одно соотношение между коэффициентами линейной и линейной сопряженной задачи:

(aa(a4 )00) + (ai(a3)00) + 2v3(aaa2) = 0(34)

Учитывая (31), из (30) получаем, что Ф^Д) = 0. Для четных и нечетных к соотношения, аналогичные (34), различны [5]. Применив лемму о вронскиане, при к = 3, 5, 7 приходим к равенствам

X (a, (ak—j)"} + 2v2 X (a,ak—2—,) + v4 X (I2a,ak—4—,) j=0                   j=0j=0

• ⁺    (^v²" X (^a,+^1(ak-3-j⁾⁰0) = ⁰, ³ ,=0

а при к = 4, 6 имеем

X (a, (ak-,)"} + 2v2 X4 (a,ak—2—,) + v4 X (12a,ak—4-,) j=0                   j=0j=0

• ( 60a2i XX / z *      yo) _ (60a2i2 XX / z зyo

• +    2v2 2^ \aj (ak-2-j) / = 4v4 / , \aj (ak-4-j) /• ∗ j=0

• 3. Общий член асимптотики

К началу k + 1 итерации при k 6 7 известно [5], что коэффициенты разложений собственных функций линейной сопряженной задачи имеют следующую структуру:

Φ1k

-

ν∗k-2

k0

V¹ « ''

-

νk-3_Φ3_1,

ν∗

фк =

_dk_Φ0₁

∗

ν∗

k-1 _dzk ^ak

-

νk-2_Φ2_{2 ,}

ν∗

1 dk Ф0 * P k = ~~ тт qk k-1 _dzk k

-

^νk-2 ν∗

{ P 2} + (P^k У

где ak, qk выражаются через a*, q* при j 6 k — 1- Слагаемое, содержащее Vk-2 в выражении коэффициентов давления P^к, появляется при четных k, удовлетворяющих условию k > 4.

Более подробные выражения собственных функций имеют вид где

∗ qk = -

фк =

-

k-3

- X Zj 1² j=3 ^ν∗

_Φ1k-j

1 dk Ф0 ν∗k-2 dzk k-3

-

фк =

-

k-2

j=2

bk =

i (ьк-1)

X ^Vj ф^;

^ν∗   ¹

j=2

ν∗k-1

-

^ddz^Φk^{1 b∗}k

-

νk-4 _Φ4₁ ν∗    ¹

k-6

νj I2

j=2 ν∗

-

νk-3_Φ3₂

_∂2_Φ1k-2-j

∂z²

,

_ν∗j Φ₂k-j

k-2

ν∗ k-5

-

j=3

^σ_ν∗^jI²Φ2^k-j -     _ν^ν_∗^jI²

_∂2_Φ2k-2-j

j=2

∂z²

,

-I² [2{0⁰⁰ ak-1}^+qk-i^{+ v}2ak-2],

+ v4I 2(ак-з)+ v2bk

qk∗

-1

= 9k - hViak,

"ak 4 (I{9°Ia2} + ak). (43)

Последнее слагаемое в (43) присутствует только при четных k.

Так как при k 6 7 известно, что hФ1i = вид

...

= hФk 2) = 0, то уравнение (15) принимает

k       k-1

hvi (<фк^-1> + ^к О = -^укф0(^г) - (⁹⁰⁰(x)( дФ2 + ^дФ^В dz                                 x      z

-

_d2_Φ0₁ νk-2 _dz2 .

Условием разрешимости уравнения (44) является ортогональность правой части решению однородного сопряженного уравнения.

Пусть k четное. Тогда из условия разрешимости, отделяя вещественную и мнимую части, находим

(im)k 2 Г. .                          , .          .        1 . .. , .

Zk = 0 vk-2 =    fc_1 (^ (ak) к — v* (^ ak-2^ + Д (^ ak-4k(^ a2^ •(45)

V*      L                               2J

Сравнивая (45) с (10) и учитывая, что собственные значения и критическое значение вязкости в линейной спектральной и линейной сопряженной задаче совпадают, получим связь между коэффициентами линейной и линейной сопряженной задачи при четных к.

<Ж)") — v2

При нечетных к вместо (45) приходим к равенствам

Vk-2 = 0, ^k = (-mk [<^0(akП — ^-2)],H")

ν∗ а из (И) и (47) вместо (46) получим соотношения

<^0(ak )00 > — v2<00ak-2> = —<^ak-2).(48)

Так как правая часть (44) равна нулю, то hФk-1i = 0.

Заметим, что левые части равенств (46) и (48) можно преобразовать в правые, если применить лемму о вронскиане к — 2 раза. При этом в качестве промежуточных результатов при к 6 7 приходим к соотношениям между коэффициентами линейной и линейной сопряженной задачи (35) и (36).

Предположим, что формулы (37)—(43), (45), (47) справедливы при n = к. Докажем, что они выполняются для n = к + 1. Для нахождения Ф^¹ воспользуемся (17). Очевидно, Ф^¹ находится по формулам (40). (42)-(43). если в них к заменить на к + 1.

Для нахождения ф2,⁺"1 сгруппируем слагаемые в правой части (13). заменив к на к + 1, и преобразуем их по отдельности. С учетом выражения среднего давления (16) и уравнения (20) для нахождения Ф2 получим

^σ1 Φ

k-1

+ 2V (x)

∂Φ

k-1

∂z

+

_∂Pk-1

∂z

= 2 е"

∂Φ

k-1

∂z

∂Φ

k-1

∂z

+

_∂{Pk-1_}

∂z

d^kΦ⁰₁

∂²Φ₂^k+1

∂x²

k-1

-

j=2

_ν∗k-2

dz^k

Φ

[2{000ak-i} + qkL1] + vk-2

д²ф2

∂x^2.

k-1

из (13) и (49) выводим

1 d^k+1^1

ν_∗^kdz^k+1

[ — 2{9⁰⁰ak}

-

q_k^∗

-

^ν∗^2a∗k-1

-

^νk-2

д²ф2

ν∗

∂x²

_{νj ∂}2_Φ2k+1-j ν∗

∂x²

-

X Zj фk+1-j j=3 ν∗

k-1

k-4

-

_{νj ∂}2_Φ2k-1-j j=2 ^ν∗

∂z²

,

отсюда, находим Ф2+¹ по формулам (41)—(43) (заменой к на к + 1).

Осредненное уравнение (13) при a^k+1 имеет вид (44). если к заменить на к + 1. Из условия разрешимости этого уравнения находим Vk_-1 и ak+₁- Получим формулы (45), (47) с учетом указанной замены. Тогда hФki = 0.

С учетом найденных Vk_-1 11 Ok+н а тешже Ф^¹ 11 Ф^¹. замени в в (12) к на к + 1. приходим к уравнению для нахождения давления:

др^k+1        дФk⁺¹ дФk         д Фk⁺¹

—з— = е —2—+ -^  + hv i —2—

∂x          ∂x ∂z          ∂x

1 d^k+1Ф0             1 d^k+1 Ф0 dbk        д²Ф1

V—⁴ "1+^ I^{(ak-2) —} VP iz^k+rzx^{— Vk-}31x2 *

Воспользовавшись известными выражениями Ф^к, Ф2+1, а также уравнением для нахождения P2. преобразуем (51) к виду

∂Pk+1 ∂x

1 d^k+^0 ν_∗^k dz^k+1

- v#2I(a^i)} } + hVi

da∗k+1 dx

— ^V4I ⁽a^k-2) — ^v2dhk]

+ Vk—i dP² - Vk—3 ν∗ ∂x     ν∗

∂2Φ41

ν∗ ∂x2

+ ^9M

∂z

,

причем слагаемые в (52), содержащие Vk-i и Vk—з, отличны от нуля только для нечетных к. Подставив в (52) известные выражения ф1 и Ф^ а также Vk—з, находим P^k+1 по формулам (39), (43), в которых к нужно заменить на к + 1, что и требовалось доказать.

Заключение. В настоящей работе выведены рекуррентные формулы для нахождения k-го члена длинноволновой асимптотики линейной сопряженной к задаче устойчивости стационарных двумерных сдвиговых течений вязкой жидкости с ненулевым средним hVi — 0. Получены соотношения между коэффициентами асимптотических разложений линейной спектральной и линейной сопряженной задачи.

Пусть отклонение скорости от ее среднего значения {V} является нечетной функцией, тогда 0(x) — нечетная функция. В этом случае из рекуррентных формул следует, что коэффициенты разложения собственных функций сопряженной задачи ak (0),    bk (0), Фк (0)

четные при к четном и нечетные при к нечетном. Аналогичное свойство коэффициентов асимптотики собственных функций выполнялось и в линейной спектральной задаче.

Что касается коэффициентов разложения давления, то в линейной сопряженной задаче при нечетной 0(x) коэффициенты qk — qk+ hViak нечетные при к четном и четные при к нечетном. В то же время, для линейной спектральной задачи аналогичное свойство выполнялось непосредственно для коэффициентов разложения давления qk.