Канонические общие уравнения Гельмгольца нормально намагниченных гиротропных волноводов

В СВЧ приборах, включая гиротропные волноводы, используются ферриты [2–5]. Из экспериментальных данных, полученных в [6], следует, что тангенс угла диэлектрических потерь для феррошпинелей, используемых в СВЧ устройствах, принимает значения в диапазоне (2,5–25)·10 ^-4 .

Следовательно, в зависимости от материала изготовления феррита в гиро-тропных волноводах имеются значительные тепловые потери, влияющие как на характеристики распространяющихся в них электромагнитных волн, так и на основные параметры самих гиротропных волноводов. Поэтому требуется проведение исследований влияния тепловых потерь на упомянутые ранее параметры нормально намагниченных гиротропных волноводов и характеристики распространяющихся в них электромагнитных волн.

В то же время необходимым условием проведения таких исследований является наличие частных уравнений Гельмгольца гибридных НЕ - и ЕН -электромагнитных волн для гиротропных волноводов конкретной (прямоугольной, круглой, эллиптической) формы ортогонального поперечного сечения при нормальном намагничивании с последующим определением граничных условий и решений соответствующей краевой задачи.

В [1] были получены общие уравнения Гельмгольца для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании, содержащие все три компоненты напряженностей электрического и магнитного полей и учитывающие тепловые потери. Эти общие уравнения не позволяют непосредственно из них вывести частные уравнения Гельмгольца, учитывающие тепловые потери для нормально намагниченных гиротропных волноводов с прямоугольной, круглой и эллиптической формами поперечного сечения.

Целью данной работы является определение из общих уравнений Гельмгольца гибридных НЕ - и ЕН - электромагнитных волн, содержащих три компоненты напряженностей электрического и магнитного полей, соответствующие канонические общие уравнения Гельмгольца, содержащие только продольные компоненты напряженностей электрического и магнитного полей для нормально намагниченных гиротропных волноводов с произвольными ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения и учитывающие тепловые потери.

• 1    Канонические общие уравнения Гельмгольца

Общие уравнения Гельмгольца гиротропных волноводов с произвольными ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании, содержащие все компоненты напряженностей электрического и магнитного полей, учитывающие тепловые потери, имеют вид [1]: для гибридной НЕ - волны

А_н H Z + А ₂₂ H Z + J y ( 3 1 H j + 3 ₂ H ₂ ) - J a ² s ' mH ₂ + a ² s ' ^ H Z = 0, (1) для гибридной ЕН - волны

^ цАц E Z + ^ A ₂₂ E Z + J y ( ^3 1 E 1 + ^3 ₂E ₂ ) + 0^3 1 H Z + a ² s ' ^^ E Z = 0. (2) При нормальном намагничивании тензор магнитной проницаемости фер -рита следующий [2]:

(М

0 1

М ik

Здесь м 11 = М || , М 22 = М 33

М = М о + М о

^0 M 0 ^Ю 0

2         2 ;

М

jm

К0

- jm

= м, k = l = 0, m

М J

* ⁰, М || ~ М 0 ,

m = м 0 ——т; ю0 - ю

А» = 5 1 V 1

- — + Г

h 1 Кд x ₁

д

h ^Г

_кд x 1

к

л

-

Г 11

д ;

д x 1 ’

А ₂₂ = 5 2 V ₂

д

V1 =

1 ^h 2 ²

^+

К ^д x 2

д

h 1 д x 1 ’

г

52 =

д

h ₂

¹ Г 12

V

_-

д x ₂

А

Г 222

+ Г

1—1

h 1 д x 1 ₇

д _;

д x ₂ ’

= ± д .

² h ₂ д x ₂;

— — + Г

h

'■ 2 К ^{д Х} 2

;

¹ -1 h 2 ^д x 2 J

Г

д

5 = — — + г

¹ h Кд x 1     •

,2

;

x1 , x2 — поперечные координатные оси произвольной ортогональной

системы координат; h ₁, h ₂ — коэффициенты Ламэ поперечных коорди-„          !     1 д h    ₂      1 д h₂

натных осей [7]; Г_п =--—, Г₂₁ =--² — символы Кристоффеля

• ¹²     h 1 д x ₂    ²¹     h ₂ д x 1

2-го рода [8]; ( E_z , H_z ) — продольные компоненты напряженностей электрического и магнитного полей; j — мнимая единица; у — постоянная распространения;

°

£ = 8 - j — — комплексная диэлектрическая проницаемость феррита; ю е — абсолютная диэлектрическая проницаемость феррита; ю — циклическая частота; ° — удельная электрическая проводимость феррита.

В [1] получены формулы для поперечных компонент

E i =

—

JY

2E -!v 1 E

b

z

юи i m I..

+ —I V 2 + -Y | H z k

E 2 =

—

Y Jv E 2 |^v 2 ^E

a

z

—

— V1 H z k

H 1

= Y | “ v, E

z a [ Y

—

V 1 H z

,

H 2 =

—

^{V E}

z

I

^{+ V} 2 ⁺ V

Y J

H к

гиротропных волноводов с произвольными ортогональными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании. В формулах поперечных компонент

2 2 2 2 2 j 2 2 2 2

a = m s ' Vu — Y = m s ' V || — Y , b = m s ' и ₂₂ — Y = m s ' и — Y .

Отметим, что для получения канонических общих уравнений Гельмгольца для нормально намагниченных гиротропных волноводов с произвольными ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения, учитывающих тепловые потери, необходимо из уравнений (1) и (2) исключить поперечные компоненты напряженностей электрического и магнитного полей.

Поэтому для определения канонического общего уравнения Гельмгольца НЕ - электромагнитных волн, подставляя компоненты H 1 и H ₂ из (7) в (1), будем иметь:

A„ H z + Л ₂₂ H z + j rS , ^Y J — V , E a ² I Y

+

' z — V 1 H z

⁺ j Y^₂

—

^Y | m^ v . e

Y

z

„ m s ' m

+ ^V 2 +------

V

Y

I Hz \

—

— j m ² s ' m

—

j y I ms '

^ । T ^V 1 ^Ez ^{+ V}

V

m ² s' m +

Y

I Hz \

+

+ m ² s ' u H _Z = 0.

Далее, раскрывая скобки в первой и второй строках, также раскрывая фигурную и круглую скобки в третьей строке, получим:

Y             Y ²

A11 HZ + A22HZ   T££ ^12Ez +  T^HHz + a2a2

+ ^Y a£ ' A, , E + ^Y A, HL + ^Y a 2 £ 'm S H — b 212 z b 222 z b 22 z

— j a 2 £ ' m

—

4 ж ' V! E. b 21 z

—

^{Y V} 2 H z ^{— j a} ^ ' mH +

+ a 2 £ ‘ u H Z = 0.

Раскрывая квадратную скобку в (9), будем иметь

Y Y

A11HZ + A 22 HZ    2 a A12 Ez + 2“ A11 Hz + aa

Y Y 7

+ -^Lz-a£ A. E, + ^£tA, H _z + ^--a £mSH b 2      12 z b 222 z b 2         2

z

—

a 3 £ '² m

—

b ²

V 1 E z

—

^Ya ² £ ' m V₂ H_z b 2            2 z

a ⁴ £ '² m ²

—

—

b ²

H_z + a ² £ ' ^ H_Z = 0.

После компоновки (10) получим:

Y

^A 11 ^HZ

—

a ²

—

—

Y

1 +    +A 22 H

A

a

Z

—

Y

A

2 A

1+^

—

1 1 Y

— I ya£ A. Ez + —a £ m S H b ² 7          ¹² z b ^{2             2} z

a 3 £ '² m

b ²

V 1 E z

—

^a ² £ ' m V₂ H_z b 2            2 z

—

—

a ⁴ £ '² m ²

b ²

H_z + a ² £ ' p H_Z = 0.

Произведя дальнейшее преобразование (11), будем иметь:

^A 11 ^HZ

Y i . ² A a + у

A

a ²

—

—

( b ²

—

a ² 1

A

a ² b ²

a 3 £ '² m

b ²

+ A ₂₂ H_Z

Г ^{b 2} + Y ² 1

A

b ²

—

Y^a£ ' ^A 12 E z + b ^ ^{a 2 £} ' m ( ^S 2 ^{— V} 2 ) ^Hz

V 1 E_:

—

z

—

a 4 £ '² m ²

—

b ² a ² £ ^

b ²

H_z = 0.

В (12) сделаем следующие обозначения:

2     22   2

a2 + y 2 _ ю s щ — y + Y _ ю s ц^

a ²

a ²

^,

Y ² + y ² _ ю ² s ' ц

— a2

b ² + y ² _ ю ² s ' ц

b 2 2 "V 2 _ h 2	b 2 — + Г h к d x 2        J	1	b 2 ,
			a	Г1 _ 12
		h 2	d x 2	h 2

.

Тогда (12) с учетом (13), (14), (15) примет вид:

a ²

^A 11 H z +

ю2s' ц л и b 2 A 22 HZ

—

—

2 Л

—

к a b у

. . „ y ю ² s 'm „i

Yюs Ai2 Ez + ~2 t    Г12 Hz b2 h2

—

ю 3 s '² m

—

b ²

V 1 E_:

—

z

42 2  22

-----------z----------Hz _ 0.

Оставив в левой части выражения, зависящие только от H_Z , в правой — от E_Z , получим:

---A ii H_z +

b ²

^A 22 ^HZ +

+

b ²

h ₂

— a

^Г 1 ¹ 2 ^H

z

^“

_b 2         ^Hz

к a и у

ю ³ s '² m

b ²

V 1 E z .

После дальнейших преобразований будем иметь:

2   A11HZ + , 2 A 22 HZ + a2                b2

— ю ² s ' m ² h ₂ + ц Ь ² h ₂ )

b ² h ₂                      ^z

— a

к a и у

ю ³ s '² m

b ²

V i E z .

Умножая обе части (18) на ₂     , получим:

^V b² A H +A H +

2    11 Z 22 Z m Г 12

⁺ - h

-

- a

к a²

+ b ² H 7

z

^Y A. E .

В выражении (19)

b²

-

= о ² s ' v — Y ²

-

- m

--Y = с .

Тогда, подставив (20) в (19), получим каноническое общее уравнение Гельмгольца гибридной НЕ - электромагнитной волны для гиротропных волноводов с произвольными ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании, учитывающее тепловые потери

^v ll ^{b 2}

^A 11 ^HZ + A 22 ^HZ

—

2 a

_к a ²

-^ A E ^A12 ^Ez

7 ov

1 А

к

' 2 7

1 z

z

Для получения канонического общего уравнения Гельмгольца гибридной ЕН - электромагнитной волны для гиротропных волноводов с произвольными ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании подставляем Е 1 и Е ₂ из (7) в (2). Тогда получим:

^V || ^A 11 E Z + ^V 22 E Z +

+nv^

— ■

■ Y Iv, Ez + °Vfv2+ mY 'IH T + b2 I 1 z Y к 2 V J z J

Jr

b

+№ - ^ к E

- z

'-^ Vj H. \ + °Vm51 HZ + Y

+о 2s' VnVEZ = 0.

Далее, раскрывая скобки, будем иметь:

^{p A} ll E Z + H 22 E Z +

Y 2 h b ²

Yapp

Ai Ez +     A Hz +

11 z         2       12 z

+ ^Om 5h. + д„e. -

2       1 z 2     22 z b2             a2

Y^H

2 ^A 12 H z + a ²

+ apnmbl HZ + a2 s' p^pEZ = 0.

После компоновки (23) получим:

^h | ^A 1l E Z

к

2 Л l+у

к

1+Y a у

+

( ।

—

l 1л                      Y

72 |^A l2 ^Hz ⁺ ® ^p| m b' ^{+ 1 5} l ^Hz ⁺

к

Сделаем следующие преобразования в формуле (24)

Y2 _b2 + y 2 _ a2 s' p - y 2 + Y 2 _ a 2s' p l +    ■ b,     “ b2" b ’

Y ² _a ² + Y ² _a s ^- y + Y _a s p^

l +2=2=          2=2

a2       a2               a2

Тогда (24) с учетом (25) и (26) примет вид:

b ²

All Ez + a2

^A 22 ^EZ ⁺

⁺ Y^aP । P

2 a

—

b ² ^

к ^a и у

A l2 H

z

+

b ²

5 l H z +

b ²

и оставив в левой части выражения, завися-

Умножив (27) на 2

a2 s' pp щие только от Ez, а в правой части — от HZ , получим:

A„ E_Z + b- A ₂₂ E_z + b²E_Z = — | b-O- |a_i2 H_z — ambH_z .  (28)

Формула (28) представляет собой каноническое общее уравнение Гельмгольца гибридной ЕН - электромагнитной волны для гиротропных волноводов с произвольными ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании, учитывающее тепловые потери.

Заключение

В работе была поставлена задача определения из общих уравнений Гельмгольца гибридных НЕ - (1) и ЕН - электромагнитных волн (2) для ги-ротропных волноводов с произвольными ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании, содержащих три компоненты напряженностей электрического и магнитного полей и учитывающих тепловые потери, соответствующих канонических уравнений Гельмгольца гибридных НЕ - и ЕН - электромагнитных волн для гиротропных волноводов с произвольными ортогональнокриволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании относительно продольных компонент напряженностей электрического и магнитного полей, учитывающих тепловые потери, которые необходимы для последующего вывода частных уравнений Гельмгольца гибридных НЕ - и ЕН - электромагнитных волн для продольно намагниченных гиротропных волноводов с прямоугольной, круглой и эллиптической формами поперечного сечения, учитывающих тепловые потери.

Основные выводы:

• 1.    Получено каноническое общее уравнение Гельмгольца гибридной НЕ - электромагнитной волны (21), учитывающее тепловые потери, для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании.

• 2.    Получено каноническое общее уравнение Гельмгольца гибридной ЕН - электромагнитной волн (28), учитывающее тепловые потери, для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании.