Касательные напряжения в балках, предварительно напряженных вытяжкой стенки

Ранее [1] установлено, что на стадии изготовления стальной тонкостенной биметаллической балки по и ее поперечному сечению (тавру) формируется эпюра нормальных предварительных напряжений, представленных на рисунке 1.

Рис. 1. Распределение сдвигающих усилий и нормальных напряжений по сечению тавра

Особенность напряженного состояния конструкции в том, что верхний поясной лист балки получает сжимающие предварительные напряжения, а стенка, примыкающая к нему, ‒ разнозначные напряжения, причем зона стенки, примыкающая к поясному листу, находится под воздействием предварительных растягивающих напряжений, а крайняя нижняя кромка стенки указанными напряжениями сжата.

Наличие по стенке балки нормальных предварительных напряжений разного знака позволяет думать о том, что в зоне их разделения должны возникать сдвигающие усилия Т , приводящие к касательным напряжениям τ . Сдвиги Т и напряжения τ , должны быть и в месте сопряжения стенки с поясным листом, где также наблюдаются напряжения разного знака (рис. 1).

Противоположно направленные сдвигающие усилия Т , действующие по нейтральной оси эпюры предварительных напряжений стенки должны быть уравновешены.

Усилие Т, вызванное растягивающим предварительным напряжением ctw„, определяется выражением:

^{b        b} 2 KR       2 KR  ^b       2 KR t

Т = f ^ diF = [---- ^y-HF =---- ^y— 1 t_wdy₂ =--- ^y— ( b - y ₂).

^J_o wv       ((2K + 1)      (2 K + 1)^J₀ w ²    (2 K + 1)       ²

То же самое сдвигающее усилие Т , но вызванное нормальным сжимающим предвари- тельным напряжением awn:

aa

^Т = j ^-^dF = 1

KR y

dF =

KR y

(2 K + 1)     (2 K + 1)

a         KRytw twdy\ =---------(a - y2).

^J_o w ^Z1   (2 K + 1)     ^Z2

Пределы интегрирования a и b определяются из подобия треугольников okl , omn :

a = h---^ wn

v ⁺ ^ wn )

Предварительные нормальные напряжения:

; b = h - a.

- растягивающие: г т.

- сжимающие: ^_п

2 KR y

(2 K + 1) ’

KR y

(2 K + 1)

.

Коэффициент асимметрии сечения двутавра K = 1,1754 . Расчетное сопротивление материала стенки R = 23 кН / см ². С учетом указанных параметров:

, = 0,70156 • R_y = 16,1 кН / см ²;

^ wv

^ wn

= 0,35078 • R_y = 8,068 кН / см ²;

a = 0,666 • h ;

b = 0,333 • h .

Максимальное сдвигающее усилие, действующее по нейтральной оси эпюры нормальных предварительных напряжений:

T max

2 KR y t w • 0,333 h   KR y t w, • 0,666 h

(2 K + 1)

(2 K + 1)

= 0,11598 • R/ .

Здесь принято, что площадь поперечного сечения стенки A_w = ht_w = 0,496 A (А - площадь сечения двутавра).

Касательные предварительные напряжения могут быть определены по зависимости:

2 KR                R

т =---=------y— (b - y2) = 0,70156 • -y (b - y2), t L (2K +1)L      2              L       2 , где t , L ‒ толщина стенки и длина балки соответственно; y ‒ текущая ордината, отсчитываемая от нейтральной оси графика нормальных предварительных напряжений.

Аналогичное по своему численному значению касательное напряжение получим по формуле:

KR y

т =----------- ( a - y ,) .

(2 K + 1) L      ¹

Сдвигающее усилие Т , действующее на стыке верхней кромки стенки балки и ее поясного листа, определяется зависимостью:

h            h         a          Rt

Т , = J CT fv dF = O f, J dF = O f, J t w dy =          ⁽ h - y ) .               (6)

0             0          0         ⁽² K ⁺ 1)

Пределы интегрирования в этом случае устанавливаются от оси, проходящей по нижней кромке стенки балки.

Касательные напряжения в стыке стенки и поясного листа:

T = — =----y    (h - y).(7)

1  twL  (2 K +1) LV"

Максимальные касательные напряжения в рассматриваемом месте:

Rh

T = 0,298436     .(8)

График распределения предварительных касательных напряжений по высоте тавра (исходного сечения предварительно напряженной балки) показан на рисунке 2. Из графика следует, что в зоне сопряжения поясного листа со стенкой балки и по стенке, на расстоянии 0,333 h от нее, предварительные касательные напряжения будут совпадать с соответствующими напряжениями от внешней нагрузки, а по нижней зоне стенки, равной 0,666 h , касательные предварительные напряжения будут противоположны касательным напряжениям от внешней нагрузки.

Рис. 2. Графики распределения предварительных касательных напряжений по высоте исходного элемента (тавра)

Преобразуя математические выкладки, приведенные в [2], получим статический момент инерции стенки тавра, предварительно напряженный вытяжкой стенки и осью симметрии на расстоянии 0,666 h от зоны сопряжения поясного листа со стенкой балки:

h /3            t /j2

5 = t J ydy = -⁽— - y i ²⁾ .

0    29

Рис. 3. Общая эпюра предварительных касательных напряжений по высоте тавра

Таким образом, касательные напряжения, возникающие в стенке тавра, распределяются по параболе со смещением максимума на расстояние 0,333 h от нижней зоны стенки. Максимум касательных напряжений, возникающих в месте сопряжения стенки с полкой с противоположным знаком, приходится на верхнюю зону полки. Просуммировав отдельные эпюры касательных напряжений, одновременно возникающие в стенке и поясе в процессе предварительного напряжения, получим общую эпюру распределения, позволяющую определить касательные напряжения в нужном месте. Распределение предварительных касательных напряжений по высоте тавра высотой 400 мм, толщиной стенки 2 мм, шириной полки 200 мм и толщиной полки 6 мм представлено на рисунке 3.