Класс дифференциальных игр, в которых отсутствует равновесие по Нэшу, но существует равновесие угроз и контругроз

Математика

S^ x = A ( t ) x + u 1 + u ₂, x ( t ₀) = x ₀.                              (1)

Здесь фазовый n -вектор x e Rⁿ ; момент окончания игры У = const >  0, а само это время продолжительности игры t e [0, У ]; управляющее взаимодействие i -го игрока u i e R n ( i = 1,2); n x n -матрица A ( t ), будем предполагать непрерывность на [0, У ] элементов матрицы A ( t ) и обозначать этот факт A ( • ) e C_{n x n} [0, У ]; пара ( t , x ) e [0, У ] x R n - текущая позиция игры Г , ( 1 ₀, x ₀) - начальная позиция.

Стратегию i -го игрока U i будем отождествлять с n -вектор-функцией u i ( t , x ) (обозначим U i ^ u i ( t , x )), тогда множество стратегий i -го игрока

U i = { U i * u i ( t , x ), u i ( t , x ) = Q i ( t ) x | V Q i ( • ) e C nxn [0, ^ ] ) ; таким образом, выбор своей стратегии i -м игроком сводится к выбору n x n -матрицы Q i (t) ( i = 1,2).

Игра с течением времени развертывается следующим образом. Игроки, не объединяясь в коалиции, выбирают каждый свою стратегию U i ^ Q i ( t ) x ; в результате образуется ситуация игры U = ( U 1 , U ₂) e U = U 1 x U ₂ . Затем находят решение x ( t ), 1 ₀ <  t < У , системы (1) при u i = Q i ( t ) x ( i = 1,2), т. е.

x ( t ) = [ A ( t ) + Q 1 ( t ) + Q ₂ ( t )] x ( t ), x ( 1 0 ) = x 0 .                             (2)

Система линейных однородных дифференциальных уравнений (2) с непрерывными на [ 1 ₀, У ] коэффициентами имеет непрерывное продолжимое на [ 1 ₀, У ] решение x ( t ). Потом игроки строят реализации выбранных ими стратегий u i [ t ] = Q i ( t ) x ( t ) ( i = 1,2) и соответствующую реализацию ситуации u [ t ] = ( u 1 [ t ], u ₂[ t ]), которую образуют два непрерывных на [ 1 ₀, У ] вектора ( u 1 [ t ], u ₂[ t ]).

Функцию выигрыша i -го игрока тогда образует определенный на непрерывных тройках ( x ( t ), u 1 [ t ], u ₂[ t ] 1 1 e [ 1 ₀, У ]) квадратный функционал

У

J i (U 1 , U 2 , 1 0 , x 0 ) = x ‘ ( У ) C i x ( У ) + J ( u ‘ [ t ] D^V t ] + u 2 [ t ] D i 2 u ₂[ t ]) dt   ( i = 1,2),        (3)

t 0

где, не уменьшая общности, считаем постоянные n x n -матрицы С, D j ( i , j = 1,2) симметричными; штрих сверху означает операцию транспонирования ( x ‘ - n -вектор-строка), значение функционала (3) называется выигрышем i -го игрока. Полагаем, что игроки заинтересованы выбрать в игре Г свою стратегию таким образом, чтобы увеличить свой выигрыш.

Цель настоящей статьи - выявить достаточно общий класс линейно-квадратичных дифференциальных позиционных игр двух лиц в нормальной форме вида Г , в котором отсутствует равновесие по Нэшу, но одновременно существует равновесие угроз и контругроз.

Прежде всего приведем для игры Г четыре базовых определения: максимума по Парето, равновесия по Нэшу, активного равновесия и равновесия угроз и контругроз.

Для этого игре Г поставим в соответствие двухкритериальную динамическую задачу

Г _v = (s, U , { J i (U , 1 0 , x 0 ) } i = _1;2).

Здесь динамическая система S совпадает с (1), множество альтернатив U совпадает с множеством ситуаций { U } игры Г , два критерия J i (U , 1 ₀, x ₀) ( i = 1,2) определены в (3).

Цель ЛПР (лица, принимающего решения) в задаче Г v - выбор такой альтернативы (ситуации) U P e U , при которой оба векторных критерия (3) принимали бы одновременно возможно большие значения. Общепринятым здесь является понятие максимума по Парето.

Определение 1.1. Альтернатива (ситуация) UP = (UP, UP) e U называется максимальной по Парето в Гv , если при VU e U и V(10,x0)e [0, У) x Rn , x0 Ф 0n несовместна система неравенств Ji (U, 10, x0) > Ji (UP, 10, x0) (i = 1,2), из которых хотя бы одно строгое, при этом JP = (Ji(Up,t0,x0), J2(UP,t0,x0)) называется максимумом по Парето.

Отметим здесь два обстоятельства, которые сразу следуют из определения 1.1.

Свойство 1.1. Справедлива импликация:

J (U , t 0 , x o ) >  J i (U P , t 0 , x o ) ^ J j (U , t 0 , X o ) <  J j (U P , t 0 , x o )   ( i , j = 1,2; j * i ).

Свойство 1.2. Если для a = const >  0

max { J _i( U , t ₀, x ₀) + a J ₂( U , t ₀, x ₀) } = Idem { U ^ U P } ,

UeU                                            1          J то ситуация UP - максимальна по Парето в Гv ; напомним, что Idem{и ^ UP} означает выра- жение в фигурных скобках из (4), где U заменено на UP .

Перейдем к понятиям равновесных решений игры Г , где J = ( J 1 , J ₂).

Определение 1.2. Пара (Ue, Je = J(Ue, 10, x0)) e U x R2 называется равновесием по Нэшу иг ры Г,если max J (U, Ue, t0, x0) = J (Ue = (Ue, Ue), t0, x0) = Je, и1eU1

max J 2 ( U i e , U 2 , 1 0 , x 0 ) = J 2 ( U e = ( U e , U 2 e ), 1 0 , x 0 ) = J 2e

. ^U 2 ^{e U} 2

при любых V ( 1 ₀, x ₀) e [0, ^ ) x Rⁿ , x ₀ * 0 _n (0 _n - нулевой n -вектор).

Более громоздко выглядит понятие равновесия угроз и контругроз.

Пусть U = ( U 1 , U ₂) некоторая фиксированная ситуация игры Г . Будем считать, что у первого игрока имеется угроза на ситуацию U , если у него существует стратегия U t e U 1 , что

• ^J i^{( U} 1 , ^U 2 , ¹ 0 , ^x 0 ) >  ^J i^{( U} 1 , ^U 2 , ¹ 0 , ^x 0 ).                                    ⁽⁵⁾

Наличие угрозы не означает ее обязательное применение, а лишь « animus denuntiandi »¹. Применение угрозы «выгодно» первому игроку, так как при этом, согласно (5), его выигрыш увеличивается по сравнению с выигрышем в ситуации U .

В ответ на угрозу первого игрока U ₁ ^t у второго имеется «неполная» контругроза , если у него существует стратегия U 2с e U ₂ , при которой

• ^J i^{( U} i , ^U 22 , ¹ 0 , ^x 0 ) - ^J i^{( U} 1 , ^U 2 , ¹ 0 , ^x 0 ),                                     ⁽⁶⁾

и у второго имеется «полная» контругроза , если существует такая стратегия U 2 e U ₂ , что одновременно с неравенством (6) выполняется

• ^J 2^{( U} 1 , ^U 2 , ¹ 0 , ^x 0 ) >  ^J 2^{( U} i , ^U 2 , ¹ 0 , ^x 0 ).                                    ⁽⁷⁾

При наличии «неполной» контругрозы второй игрок за счет выбора своей стратегии U ₂ ^с приводит, согласно (6), выигрыш первого (угрожающего) игрока к значению, не превосходящему его первоначальный выигрыш в ситуации U (но может и уменьшиться!). Все происходит как по девизу Наполеона I « Order, con re-order, disorder »². Таким образом, наличие «неполной» контругрозы «сводит к нулю» применение угрозы. В дополнение к этому, «полная» контругроза «толкает» второго к применению U ^с , ибо в (полученной в результате угрозы и контругрозы) ситуации ( U ₁ , U ₂ ^c ) выигрыш второго увеличится по сравнению с выигрышем в ситуации ( U ₁ , U ₂ ) , сложившейся при реализации угрозы.

Аналогично определяется угроза второго игрока на ситуацию U и ответная контругроза («полная» или «неполная») первого.

Естественно, если в ответ на каждую угрозу на U любого игрока у другого имеется контругроза («полная» или «неполная»), то игроку не имеет смысла применять угрозу, ибо в результате

Математика реакции (контругрозы) на эту угрозу другого игрока его выигрыш не увеличится (но может и уменьшиться!). Этим еще раз подтверждается знаменитый закон римского права «Aequum est ne-minem cum alterius detrimento et injuria fieri locupletiorem»1.

Определение 1.3. Ситуация U P = (U 1 , U P ) e U называется активно равновесной в игре Г , если при любой начальной позиции ( t 0 , x 0 ) e [0, ^ ) х Rⁿ , x 0 ^ 0 _n

• 1)    U^P максимальна по Парето в Γ ν ,

• 2)    в ответ на каждую угрозу U i e U i любого игрока у оставшегося имеется неполная контругроза.

Определение 1.4. Пара (U P , J P ) e U х R ² называется равновесием угроз и контругроз в игре Г , если при любой начальной позиции ( t ₀, x ₀) e [0, ^ ) х Rⁿ , x ₀ ^ 0 _n

• 1 ) U^P – максимальна по Парето в игре Γ,

• 2 ) в ответ на каждую угрозу любого игрока у оставшегося имеется полная контругроза, здесь J P = ( J P , J 2P ), J P = J ( U P , 1 ₀, x ₀) ( i = 1,2).

Из определений 1.3 и 1.4 следует, что любое равновесие угроз и контругроз является одновременно активным равновесием, а равновесие по Нэшу (в силу определения 1.2) не допускает угроз, причем только «самые хорошие» из них (одновременно максимальные по Парето) будут активно равновесными.

Как уже упоминалось в аннотации, приведенные здесь понятия угроз и контругроз основываются на известной [1] в классической теории игр концепции угроз и контругроз. На ее основе в [1, с. 109] определяются устойчивые коалиционные структуры, впервые, по-видимому, рассмотренные для дифференциальных коалиционных игр в [2]. Концепция «угроз и контругроз» для дифференциальных игр введена Э.М. Вайсбордом в 1974 г. в статье [3], развита В.И. Жуковским в [4, 5]. Теоретическим аспектам посвящены работы Вилкаса [6, 7]. Свой способ классификации решений бескоалиционной игры, включающий как составную часть равновесие угроз и контругроз, предложил Э.Р. Смольяков [8] в 1983 г., им же был введен термин «активное равновесие»; развитие этого направления в [9, 10]. Понятие активного равновесия для позиционных, дифференциальных, бескоалиционных игр активно использовалось в [11]. Способ доказательства существования активной равновесности был предложен первым автором настоящей статьи в [11] и затем успешно применен при установлении факта существования такого решения в дифференциальных позиционных играх, описываемых уравнениями с частными производными [12, 13], стохастическими [14], в банаховом пространстве [15], уравнениями с постоянным запаздыванием [16], при использовании программных стратегий [9].

Активно равновесным ситуациям и равновесиям угроз и контругроз присущи все «положительные» свойства ситуации равновесия по Нэшу [17, c. 49]:

• –    во-первых, они устойчивы к отклонению отдельного игрока;

• –    во-вторых, удовлетворяют свойству индивидуальной рациональности;

• –    в-третьих, совпадают с седловой точкой в случае антагонистической игры.

Одновременно с тем эти неулучшаемые равновесия свободны от следующих недостатков [17, с. 58]:

• –    существуют в ряде случаев, когда равновесие по Нэшу отсутствует (например, как в настоящей статье);

• –    в отличие от равновесия по Нэшу неулучшаемы и внутренне устойчивы;

• –    наличие в игре равновесия по Нэшу влечет существование некоторых видов неулучшаемых равновесий, выигрыши всех игроков при которых не меньше, чем при равновесии по Нэшу;

• –    наконец, лишь «самые хорошие» ситуации равновесия по Нэшу (которые одновременно максимальны по Парето) являются равновесиями угроз и контругроз. Однако лишь частные виды игр обладают такими «самыми хорошими» решениями.

• 2. Максимальные по Парето ситуации и выигрыши

Заметим, что указанные свойства имеют место и для позиционных дифференциальных бескоалиционных игр, а в [17] использована математическая формализация стратегий игроков и порожденных ими движений динамической системы, предложенная Н.Н. Красовским в [18].

Далее D <  0 ( > 0) означает, что квадратичная форма x'Dx определенно отрицательна (соответственно, положительна).

Прежде всего приведем вспомогательное утверждение (лемму 2.1)

Рассмотрим двухкритериальную статическую задачу

Г2 = (X = R , { fi(u ) = u1 Di 1 u1 + u 2 Di 2 u 2}. ) , \                1                                         J i=1,2/ в которой ЛПР (лицо, принимающее решение u = (u1, u2) е R2n ) выбирает альтернативу (ситуацию) u с целью достичь одновременно возможно больших значений обеих компонент векторного критерия f (и) = (f1(u), f,(и)). Аналогом определения 1.1 здесь будет:

альтернатива и^р максимальна по Парето в Г ₂ , если при V и е R ^{2 n} несовместна система неравенств f ( и ) >  f ( u^P ) ( i = 1,2), из которых хотя бы одно строгое.

Ниже используем аналог свойства 1.2.

Лемма 2.1. Если в задаче Г симметричные матрицы D j , C i и числа Л _ii , Л у ( i , j = 1,2; i * j )

такие, что

D ii >  0( i = 1,2), D 12 <  0, D 21 <  0,

^Л 11 ^Л 22

< ^Л 2 ^ 21 ,

то существует а = const > 0, при котором квадратичная форма f (и ,а) = f1( и) + а f2( и) = u1 D1(a) и1 + и 2 D 2(a) и 2 становится определенно отрицательной; здесь D1(a) = D11 + aD21 , D2(a) = D12 + aD22 , кроме того Лii - наибольший корень характеристического уравнения А(Л) = det[Dii - ЛЕn ] = 0 (i = 1,2); - Ay (i * j)   так же наибольший (по абсолютной величине наименьший) корень

• 3 ( Х ) = det || D ij - A E n || = 0, E n - единичная n х n -матрица.

Доказательство. В силу симметричности всех четырех используемых в Г ₂ матриц D_ii , D j ( i , j = 1,2; i * j ) корни обоих характеристических уравнений А ( Л ) = 0 и 3 ( Х ) = 0 вещественны, причем корни А ( Л ) = 0 положительны, а 3 ( Х ) = 0 - отрицательны. Обозначим наибольший из n корней уравнения det[ D_ii -Л Е_n ] = 0 через Л _ii , а наибольший из корней уравнения 3 (A) = 0 через

• - A j , тогда из [19, с. 281] следует, что при V и е Rⁿ будет

и'Du <ЛiiUiUi (i = 1,2), и 2 D12 и 2 <-Л2 и 2 и 2 , U1d21u1 < -^21 u1u1 . Поэтому f (и,a) = f1(и) + af2(и) = u1 D1(a)и1 + и2D2(a)и2 = u1[D11 + aD21]и1 + и2[D12 + aD22]и2 < (Л11 - aA21) и1и1 + (-Л12 + aA22 )и2и2 .

Поэтому f ( и,a) <  0 V и е R ^{2 n} , если

Лн - aA^ < 0, - Л2 + aЛ22 < 0.

Таким образом, при

^ ii < a < ^ ^ ^ f ( и , a ) <  0 V и = ( и 1 , и ₂) е R ^{2 n} .                     (9)

^ 21        ^Л 22

Заметим, что, во-первых, (9) имеет место, если Л 11 Л ₂₂ <  Л 21 Л 1 ₂ , во-вторых, можно считать ^a = 2 ^[Л 11 / ^ 21 ⁺ ^ 12 /^Л 22 ] .

Лемма 2.2. Решениям x(t) системы .x = K(t)x, x(10) = x0, где K(•) е Cnхn [0,У] присуще свой- ство x0 * 0n ^ x(t) * 0n Vtе [10,^].

Математика

Здесь 0 n - ноль-вектор из R n .

Доказательство от противного: пусть Я t 1 е [ t ₀, У ] такой, что x ( t 1 ) = 0 n . Тогда бы в момент t 1 через позицию ( t 1 ,0 n ) «проходило» бы два решения системы x = K ( t ) x : именно тривиальное x ⁽¹⁾( t ) = 0 n и нетривиальное x ⁽²⁾( t 1 ), «порожденное» ненулевым начальным условием x ₀ Ф 0 n , что противоречит теореме единственности решения линейного дифференциального уравнения.

Утверждение 2.1. Если в дифференциальной игре Г

D 11 >  0, D 22 >  0, D 12 <  ⁰ , D 21 <  ⁰ , C i <  ^{0 (} i = 1, ²⁾ , ^Л 11 ^Л 22 <  ^ 12 ^A 21 , то максимальная по Парето ситуация U P = ( U P , U P ) в двухкритериальной задаче Г _v будет U P = ( U 1 P , и 2 ) - ( U P ( t , x ), u 2 ( t , x )) = u^P ( t , x ) = ( Qf ( t ) x , Q P ( t ) x ) = ( - D ^{- 1} ( a ) 0 P ( t ) x , - D ₂¹ ( a ) 0 P ( t ) x ), где симметричная непрерывная на [0, ^ ] n х n -матрица: ϑ

0 P ( t ) = [ X ^{- 1} ( t )] ' { C ^{- 1} ( a ) + J X ^{- 1} ( r )[ D 1 ^{- 1} ( a ) + D ₂¹ ( a )] [ X ^{- 1} ( t )] ' d T } ^{- 1} X ^{- 1} ( t ) t

1 Л]

a = --¹

2 A 2

D 1 ( a ) = D 11 + a D ₂₁,   D ₂( a ) = D ₁₂ + a D ₂₂ , С ( a ) = С 1 + a C ₂,

+ Ek;

1 ^Л 22 _

Л ii - наибольший корень характеристического уравнения det[ D ii -Л Е_n ] = 0 ( i = 1,2) ^ ,

• -A y = I 1 ( U t , U 2P , 1 ₀, x ₀) - V 1 ( 1 ₀, x ₀) - наибольший корень характеристического уравнения det[ D ij - A E n ] = 0, ( i , j = 1,2; i Ф j );

E_n - единичная n х n -матрица, X ( t ) - фундаментальная матрица решений векторного уравнения x = A ( t ) x , X ( У ) = E n .

Доказательство. Найдем максимальную по Парето ситуацию UP , применяя лемму 2.1 (конкретно, используя (4)) и метод динамического программирования (МДП) из [20, с. 112]. Сам МДП, с учетом свойства 1.2, здесь сведется к осуществлению двух этапов. Если для задачи Гv удалось найти число a > 0, непрерывно дифференцируемую скалярную функцию V(t, x), а так- же две n -вектор-функции ui (t, x, V) (i = 1,2) такие, что

V ( ^ , x ) = x'Cx V x е Rⁿ ( C = C 1 + a C ₂).

ЭТАП I.

С помощью скалярной функции

∂V

W ( t , x , U]U ₂, V ) =--+

'       ^{1 2 z} d t

∂ V

∂ x

′

( A ( t ) x + u 1 + u ₂) + u ‘ D 1 ( a ) u 1 + u 2 D ₂( a ) u ₂

∂V найти две n -вектор функции ui (t, x, V) (i = 1,2), исходя из (— = gradx V) ∂x

max W(t, x, u1, u2, V) = Idem {ui ^ ui (t, x, V)}, u1 U 2

при любых t е [0,^], x е Rn , V е R . Достаточные условия существования u(t, x, V) в (15) сводят- ся к

(3—) u ( t,xy ) =3" + 2 D i ( a ) u i ( t , x , V ) = 0 n ( i = 1,2),                    (16)

dui           dx

Ui (t, x, V) = -1 D 1a)     (i = 1,2),(18)

и тогда

′′

W (t, x, u (t, x, V), V) = W [ t, x, V ] = dV + dV a (t) x - - IdVI [ Di-1(a) + D^(a)] dV. d t L dx J        4 V дx J

ЭТАП II. Найдем решение вида V = VP (t, x) = x‘0Px, 0P = [0P (t)]‘ дифференциального уравнения с частными производными

W [ t , x , V ] = 0

и граничным условием ( C = C 1 + a C ₂),

V ( У , x ) = x'Cx V x e R n ,

• т. е. для V t e [0, У ], V x e R n имеет место

W [ t , x , V ( t , x ) = x ‘0 P ( t ) x ] = 0, V( У ,x ) = x'Cx V x e R n .

Оба эти требования выполнены, если n х n -матрица 0 P ( t ) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению типа Риккати (0 _{n х n} - нулевая n х n -матрица)

(Э P ( t ) + 0 P ( t ) A ( t ) + A '( t ) 0 P ( t ) -0 P ( t )[ D - ^{- 1}( a ) + D -^x ( a )] 0 P ( t ) = 0 n х n ,

0P (У) = C = C + aC2 .

Решение 0P (t) полученного матричного уравнения типа Риккати имеет [20, с. 65] вид (12), здесь учтена импликация Ci < 0 (i = 1,2) ^ C1 + aC2 < 0. Наконец, из (18) и V(t,x) = x'0P (t)x ^ ^(t’ x) = 20P (t)x приходим к справедливости (11). Таким образом, макси-∂x мальная по Парето ситуация UP в задаче Гv имеет вид (11)-(13).

Перейдем к построению максимальных по Парето выигрышей J P = ( J 1 ( U P , 1 ₀, x ₀), J ₂ ( U P , 1 ₀, x ₀)) = ( J P , J 2 ) опять-таки с помощью идей МДП.

Утверждение 2.2. Пусть выполнены требования (10) (из утверждения 2.1) и для дифференциальной игры Г удалось найти две скалярные непрерывно дифференцируемые функции вида V i ( t , x ) = x ‘0 i ( t ) x ( i = 1,2) и такие, что

• 1)    V i ( У ,x ) = x'Cx V x e Rⁿ ;

  
  

• 2)    система из двух уравнений с частными производными

  d V i + Г d V i Y d t V d x V

  
  

( N ( t ) x + x ‘0 P ( t ) M i ( t ) 0 P ( t ) x ) = 0, V i ( У , x ) = x'Cx

∀ x ∈ Rⁿ

( i = 1,2),

имеет решение вида V i ( t , x ) = x ‘0 i ( t ) x , [ 0 i ( t )] ‘ = 0 i ( t ) ( i = 1,2).

Тогда при любой начальной позиции ( 1 ₀, x ₀) e [0, У ) х R n , x ₀ ^ 0 n имеет место J P = J i (U P , 1 0 , x 0 ) = x 0 0 P ( 1 0 ) x 0 ( i = 1,2).

В (20) непрерывные n х n -матрицы

N ( t ) = A ( t ) - ( D 1 ^{- 1} ( a ) + D ₂¹ ( a )) 0 ^P ( t ),

M i ( t ) = 0 ^P ( t )[ D 1 ^{- 1} ( a ) D i1 D 1 ^{- 1} ( a ) + D 2 ¹ ( a ) D i 2 D 2 ¹ ( a )] 0 ^P ( t ) ( i = 1,2), n х n -матрицы D i ( a ), 0 ^P ( t ) приведены в (12), (13), а симметричная n х n -матрица ϑ

0 i ( t ) = [ У ^{- 1}( t )] ' { C i - J Y( T ) 0 ^P ( T ) M i ( T ) 0 ^P ( T ) Y ( t ) d T } Y ^{- 1}( t ), ( i = 1,2). t

Наконец, У ( t ) - фундаментальная матрица решения однородной системы y = N i ( t ) y , У ( У ) = E_n .

Доказательство. Составим две скалярные функции

Математика дК

W i [ t , x , V i ] = -V + d t

f d V )( dx )

( N ( t ) x + [ u P ( t , x )] D i 1 u P ( t , x ) + [ u P ( t , x )] D i ₂ u P ( t , x )) a ( i = 1,2),

причем u^p ( t , x ) - n -вектор функции, определенные в (11).

Ищем решение V i ( t , x ) ( i = 1,2) системы из двух уравнений с частными производными

W [ t , x , V ] = 0, V ( y , x ) = x'Cx V x e Rⁿ ( i = 1,2)                     (24)

в виде квадратичной формы V i ( t , x ) = x ‘0 i ( t ) x , [ 0 i ( t )] ‘ = 0 i ( t ) ( i = 1,2).

Установим два факта.

Во-первых. Решению системы (23), (24) присуще свойство

V ( t 0 , x o ) = J i (U P , t 0 , x o ) ( i = 1,2),                               (25)

где ситуация U P = ( U P , U P ) имеет вид (11). В самом деле, если U P - ситуация из (11)-(13), то, согласно (23) и (24), решение x^P ( t ) системы x = N ( t ) x , x ( t ₀) = x ₀, с учетом (23) и (24) при x = x^P ( t ) будет

0 = W [ t , x^P ( t ), V ( t , x^P ( t ))] =

d V ( t , x^P ( t )) d t

' d V ⁽ t , ^x P ⁽ t ))

x     dx     ;

N ( t ) x^P ( t ) +

+£[ u P ( t , x^P ( t ))] ' D i, u P ( t , x^P ( t )) = W [ t ]   v t e [ 1 0 , ^ ].

j '=1

Интегрируя обе части этого тождества в пределах от 10 до У, с учетом граничных условий из (24), приходим к

У         У Jv^ * P /*w

0 = j W [ t ] dt = j ^dV i ⁽ t’^{x (} t )) t 0            t 0       ^

У 2

dt + j ^ [ u j ( t , x^P ( t ))] ' Du P ( t , x^P ( t )) dt = V^P ( У , x^P ( У )) - V i ( 1 0 , x 0 ) +

1 0 ^j = 1

У 2                                                     У 2

+ j ^ [ u P ( t , x^P ( t ))] ' D ij- u P ( t , x^P ( t )) dt = x ‘ ( У ) C i x ( У ) + j ^ [ u P ( t , x^P ( t ))] ' Du P ( t , x^P ( t )) dt - V ( 1 0 , x 0 ) =

1 0 ^j = 1                                                                   1 0 ^j = 1

= J i (U P , 1 0 , x 0 ) - V ( 1 0 , x 0 ) (i = 1,2).

Откуда сразу следует справедливость равенств (25).

Во-вторых, установим, что решение V_t ( t , x )   ( i = 1,2) системы (24) имеет вид

V ( t , x ) = x ‘0 j ( t ) x , где симметричная n x n -матрица 0 i ( t ) представима в виде (22). В самом деле, подставив V i = x ‘0 i ( t ) x в (24), получаем справедливость (24), если только 0 i ( t ) ( i = 1,2) является решением матричного линейного неоднородного дифференциального уравнения

0 i +0 i N + N 0 i +0 ^P ( t ) M i ( t ) 0 ^P ( t ) = 0 n x n , 0 i ( У ) = C i ( i = 1,2).            (26)

Нетрудно подстановкой 0 i ( t ) из (22) убедиться, что симметричная n x n -матрица 0 i ( t ) из (22) в самом деле является решением (26), что и завершает доказательство утверждения 2.2.

• 3.    Леммы о мажорантах

Перейдем к утверждениям, которые,

• -    во-первых, позволяют сразу судить об отсутствии в дифференциальных играх вида Г равновесия по Нэшу,

• -    во-вторых, реализуют для Г концепцию равновесия угроз и контругроз.

Причем эти сведения получаются только на основании специальной знакоопределенности квадратичных форм, используемых в интегральных слагаемых функций выигрыша (3).

Не оговаривая особо, далее предполагаем выполненными ограничения (10), и поэтому существует максимальная по Парето в Г ^ ситуация

U^P = ( U P , U P ) - u^P ( t , x ) = ( u P ( t , x ), u P ( t , x )) = ( Q P ( t ) x , Q ₂ ^P ( t ) x ) = ( - D 1 ^{- 1} 0 ^P ( t ) x , - D ₂ 1 0 ^P ( t ) x ).

Лемма 3.1. Пусть в (3) при i = 1 матрица 5 11 >  0, тогда для максимальной по Парето в Г ^ ситуации U P существует постоянная ^ ⁽¹⁾( U P , t ₀, х ₀) >  0 такая, что при VP >  в ¹ (U P , t ₀, х ₀) >  0 и стратегии первого игрока U t ^ в х будет

1 1^{( U} 1 , U 2 , t 0 , ^х 0 ) >  1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^х 0 )                                     ⁽²⁷⁾

для любых начальных позиций ( t ₀, х ₀) е [0, У ) х [ Rⁿ \{0 _n }].

Доказательство. В утверждении 2.2 установлено существование функции Беллмана V 1 ( t , х ) = х '0 1 ( t ) х , для которой

1 1 ( U P , t 0 , х 0 ) = V 1 ( t 0 , х 0 ) = х 0 0 1 ( t 0 ) х 0 ,                                (28)

где непрерывная на [0, У ) матрица 0 1 ( t ) имеет вид (22) ( i = 1).

Рассмотрим теперь стратегию первого игрока Ut ^ ut (t, х) = P х, а величину числового параметра в > 0 определим ниже. Вследствие симметричности матрицы 51 1 и дополнительно 511 > 0 имеет место u‘511u1 > ДЦиЦ2 = X1 u'и1 Vu1 е Rn,                              (29)

где ||-|| - евклидова норма и X >  0 - наименьший корень характеристического уравнения det[ 5 11 - X E_n ] = 0 [21, с. 89].

Далее будем использовать n х n -матрицу 0 ^P ( t ), t е [0, У ] из (12) и (13), а из (11) стратегию U 2 ^ Q 2 ( t ) х второго игрока и неравенство (29).

Рассмотрим теперь скалярную функцию

W1 [t, х] = W1 (t, х, ut (t, х) = P х, и2P (t, х) = Qр (t)х, V1 (t, х) = х‘01 (t)х) = дV(t,х) гдV(t,х)Vr х t, х    P, м

=--+ [---------] [A(t)х + u (t, х) + u^ (t, х)] + дt            дх           '      1     ' Z

+[ ut (t, х)]‘ 51 1 ut (t, х) + [ uP (t, х)]‘ 512 u p (t, х) > х' d0^- х + 2 х '0J (t)[ A (t) + PE + QP (t)] х + х '^P1 E х + х'[ QP (t)]]‘ 512Q2P (t) х = dt              1                 n 2              1 n 2         12 2

= х' | d ⁰^ + 0 1 ( t )[ A ( t ) + P E n + Q P ( t )] + [ A '( t ) + P E n + [ Q P ( t )] ‘ ] 0 1 ( t ) + /Ji' E n + [ dt

+ [ Q P ( t )]] ' 5 12 Q P ( t )

x = хМ ( t , P ) х .

Стоящая здесь в фигурных скобках n х n -матрица М ( t , P ) симметрична и имеет следующий вид (с учетом e_ne_n=n )

М 1 ( t , P ) = X 1 P ² E n + 2 P0 1 ( t ) + K ( t ), здесь n х n -матрица

K ( t ) = 0 1 ( t ) + 2 0 [ A ( t ) + Q P ( t )] + [ Q P ( t )] ' 5 12 Q P ( t ).

Элементы матрицы M ( t , P ) непрерывны по t е [0, У ] и, следовательно, равномерно ограничены на компакте [0, У ], множитель P 2 входит только в диагональные элементы матрицы М ( t , P ); напомним, что X 1 >  0 является наименьшим корнем характеристического уравнения det [ 5 1 1 - X E_n ] = 0, а E_n - единичная n х n -матрица. Поэтому постоянную P = P ⁽¹⁾ ( U 1 _P , 1 ₀, х ₀) >  0 можно выбрать настолько большой, чтобы все ведущие миноры матрицы М ( t , P ) стали положительными V t е [0, У ] и V P >  P^ ^X1(U 1 ). Согласно критерию Сильвестра и лемме 2.2 [5, с. 88] квадратичная форма х'М ( t , P ) х будет определенно положительной для всех t е [0, У ] и постоянных

Математика в> в^Ф1 P,t0,xо) (так как знак x'M(t,в)x определяется знаком квадратичной формы в^] nx'x ).

Фиксируем постоянную в ⁽¹⁾ >  в ( ¹⁾( U 1 P , t ₀, x ₀) и тогда

Wt , x ] = x' M 1 ( t , в ⁽¹⁾) x >  0 V x e [0, f ], V x e Rⁿ \{0 _n }.

Обозначим через x(t) решение (при t e [0, f]) векторного уравнения x = A (t) x + в(1) x + Q2 (t) x, x0 = x (10).

Так как [ x ₀ * 0 n ] ^ [ x ( t ) * 0 n V t e [ t ₀, f ]], то, согласно (29), будет

W [ t , x(t )] >  0 V t e [ 1 ₀, f ].

Отсюда, интегрируя обе части последнего неравенства в пределах от 1 ₀ до f и учитывая граничное условие 0 1 ( f ) = C i , u t [t ] = в® x ( t ), получаем

0 <  [ W [ t , x ( t )] dt = [ ( ^d V¹⁽t , x ) + [ ^d V ¹⁽ t , x ) ] ' [ A ( t ) x + в ⁽¹⁾ E_nx + Q p ( t ) x ] l      dt +

1 0i I    ^d t          Э x                    n    -² - 1 x = x ( t )

[

⁺ j { ^x'^ "Dn^^^{1 x + [ Q} 2P ⁽ t ) ^{x ]} ‘ D 12 ^Q 2P ⁽ t ) ^x } _ dt = x = x ( t )

t ₀

[ | d V ^{1( t} x⁽t» I dt + [ { [^ t ]] ‘ D 11 u t [ t ] + [ u p [ t ]] ‘ D 12 u p [ t ]

I       d t       I t0                            t0

[

= x ( f ) C 1 x f ) + J { [ u t [ t ]] ‘ D 1 1 u t [ t ] + [ u 2p [ t ]] ‘ D ₁₂ u p [ t ] } dt — V 1 ( 1 ₀, x ₀) = t ₀

= 1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) ^{— V} 1⁽ t 0 , ^x 0⁾ .

Отсюда и из 1 1 ( U 1 P , U 2P , 1 ₀, x ₀) = V 1 ( 1 ₀, x ₀) сразу следует справедливость леммы 3.1.

Замечание 3.1. Рассмотрим внутреннюю оптимизационную задачу в игре Г : найти max 1 1 ( U 1 , U 2 , 1 ₀, x ₀) при ограничении (1), фиксированной стратегии U 2P e U ₂ второго игрока и U 1 ^{e U} 1

любых (10,x0)e[0,f)x[Rn \{0n}]. Фактически лемма 3.1 утверждает, что при D11 >0 и x0 *0n эта задача максимизации не имеет решения. В самом деле, какую бы стратегию U1 e U1 первый игрок не выбрал, всегда существует стратегия U1 e U1 этого игрока такая, что

11(U 1 ,U P ) >  I , ( U 1 , U 2 P ) V ( 1 0 , x 0 ) e [0, f ) x [ R n \{0 _n }].

Такой результат позволяет сразу «отметать» (при выборе решения игры Г ) те концепции принятия равновесных решений игровых задач вида Г , в условиях которых фигурирует максимизация функции выигрыша первого игрока (например, не применять при D 11 >  0 концепцию равновесия по Нэшу в качестве принципа выбора решения в игре Г ).

Таким образом, в дифференциальной игре Г ситуация равновесия по Нэшу U e e U не существует. Одновременно с тем, стратегия первого игрока U t ^ в x , V e >  в ⁽¹⁾ = e ⁽¹⁾( U P , 1 ₀, x ₀) реализует, согласно (5), угрозу первого игрока на максимальную по Парето ситуацию U P . В следующих леммах считаем начальную позицию ( 1 ₀, x ₀) «замороженной» и совпадающей с той, которая фигурирует в лемме 3.1, а в «угрожающей» стратегии первого игрока U t ^ в x также считаем скалярную постоянную в = в ⁽¹⁾ • Напомним, что, не оговаривая особо, считаем выполненными ограничения (10).

Лемма 3.2. Справедлива импликация

D₁₂ <  0 ^ 3 в ⁽²⁾ = e ⁽²⁾( U P , U ): V e ^ в ⁽²⁾, 1 1^{( U} 1 , ^U в ’ t 0 , ^x 0 ) <  1 1^{( U} ’ t 0 , ^x 0 ) ,

т. е. стратегия U ^p ^- P x реализует в игре Г неполную контругрозу на ситуацию U P е U .

Доказательство проведем, как и в лемме 3.1, в два этапа. На первом построим функцию Беллмана V ( t , x ) = x ^/0₁ ( t ) x , такую, что

I1(U1 , U2 ,t0, x0) = V1( t0, x 0,P на втором установим, что 3P(2) = P(2)(U1t,UP) = const такая, что имеет место импликация (30), (31).

ЭТАП I. Рассмотрим скалярную функцию («диктуемую» МДП)

W^t , x , V₁] = W₁(t , x , u t (t , x ) = в ⁽¹⁾ x , u P ( t , x ) = - D ₂¹( a ) 0 ^P ( t ) x , V₁) =

= ^d V L + [ ^d V _] ’ [ a ( t ) + _ZK E n - D 2 ¹ ( a ) 0 ^P ( t )] x + [ u t ( t , x )] ' D 1 u t ( t , x ) + ∂ t    ∂ x

+ [ u P ( t , x )] ‘ D 12 u P ( t , x ) "V + [ a ( t ) + /К E n - D 2 ¹ ( a ) 0 ^P ( t )] x + ∂ t    ∂ x

+ x ‘ [( в ⁽¹⁾)² D ₁₁ + 0 ^P ( t ) D ^( a ) D ₁₂ D ₂¹( a ) 0 ^P ( t )] ‘ x .

Тогда W₁[t , x , V₁(t , x ) = x 0 ^ ( t ) x ] = 0, если 0 1 ( t ) будет решением матричного линейного неоднородного дифференциального уравнения

0 1 +0 У [ A ( t ) + в ⁽¹⁾ E n — D 2 ¹( a ) 0 ^P ( t )] + [ A ‘ ( t ) + P ⁽¹⁾ E n —0 ^P ( t ) D ■ '. a >| 0 . +

+ ( в ⁽¹⁾)² D 11 +0 ^P ( t ) D - D 12 D 2 ¹ 0 ^P ( t ) = 0 n _x n , 0 1 ( У ) = C 1 .

Решение этого уравнения 01 (t) существует, единственно и продолжимо на [10, У]. Пусть n- вектор x1 (t), tе [10, У] является решением однородного линейного дифференциального векторного уравнения x = [ A (t) + в(1) En — D 24a)0P (t)] x, x (10) = x 0.

Тогда с учетом (33)

W 1 [ t , x y ( t ), V 1 ( t , x y ( t )) = ( x y ( t )) ‘0 1 ( t ) x y ( t )] =

= dK¹⁽ t , x ⁽ t )) + [ u y ( t , x y ( t ))] ‘ d щУ ( t , x y ( t )) + [ u P ( t , x y ( t ))] ‘ D₁₂u P ( t , x y ( t )) = 0. d t              ^{111 1 12}  

Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 1 ₀ до У , получаем (с учетом U 1 = U t ) ϑ

V 1 ( У , x y ( У )) - V ( 1 0 , x 0 ) + J [( u y [ t ]) ‘ D 11 u y [ t ] + [ u P [ t ]] ‘ D 12 u P [ t ]] dt = t 0

= 1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) ^{- V} 1⁽ t 0 , ^x 0 ) = ⁰ , что и доказывает справедливость (32).

ЭТАП II. Здесь учтем, что из симметричности D ₁₂ <  0 ^ 3Л ₁₂ = const >  0 такого, что ^u 2 ^D 12 ^u 2 -^—Л 12 ^u 2 ^u 2 =^{— Л} 12 I| ^u 21|    ^{V u} 2 ^е R ,                           ⁽³⁴⁾

где —Л ₁₂ наибольший корень характеристического уравнения det [ D ₁₂ — X E_n ] = 0.

С учетом (33) вернемся к скалярной функции W K t , x , V₁) , где учтем (34) и V₁(t , x ) = x'0 1 ( t ) x :

W 1 [ t , x ] = W^r₁ [ t , x , u t ( t , x ), u ₂ = e x , V₁ = x'0 1 ( t ) x ] = ^′

= —¹ + ^ V ¹ I ( A ( t ) + e ⁽¹⁾ E n + P E n ) x + ( в ⁽¹⁾)² x'D 11 x + о t ^ о x )

+ P ² x ‘ D ₁₂ x < -Л ₁₂ P² x ‘ x + 2 x ‘0 ¹ ( t )[ A ( t ) + P^ ¹ E_n + p E_n ] x +

Математика

+в )² x'D 1 1 x = x'L ( t , в ) x , L ( t , в ) = L ‘ ( t , в ), где L ( t , в )    Л . в E n + Wy ( t ) + S 1 ( t ).

Элементы матрицы L ( t , в ) непрерывны на компакте [0, J ] и, следовательно, равномерно ограничены, множитель в ² входит только в диагональные элементы матрицы L ( t , в ). Тогда существует достаточно большое положительное число в ⁽²⁾, такое, чтобы при в - в ⁽²⁾ все ведущие миноры матрицы L ( t , в ) нечетного порядка были отрицательны и четного - положительны. Согласно [22, с. 88], при в - в ⁽²⁾ квадратичная форма x'L ( t , в ) x становится определенно отрицательной.

Воспользуемся снова уже введенной выше скалярной функцией Wi [t, x], где заменим x на xc (t) - решение однородного векторного дифференциального уравнения xc c = [ A (t) + в(1) + в] xc, xc (10) = x0.

В силу леммы 2.2 x c ( t ) ^ 0 _n при V t e [ 1 ₀, J ], и поэтому для в - в ⁽²⁾ будет

W 1 [ t , x c ( t )] = ( x c ( t )) ‘ L ( t , в ) x c ( t ) <  0 V t e [ 1 ₀, J ].

Интегрируем в пределах от 1 ₀ до J обе части полученного строгого неравенства, с учетом и 1 ( t , x ) = в ⁽¹⁾ x , V 1 ( J , x ) = x' C 1 x , x = x c ( t ) приходим к

0 < J W1 [t,xc (t)]dt = J {dV1(t’xc(t)) + [dV1(t’xc(t))]‘[A(t) + (в(1) + в)En ]xc (t) + ∂t∂ t 0

+ [ u ^ ( t , ( x c ( t ))] ‘ D 1 1 u 1 ( t , ( x c ( t )) + в ² ( x c ( t )) ‘ D ₁₂ x c ( t )} dt =

= J dV ( t , x ⁽ t )) dt + J [(^ t ]) ‘ D 11 _Mt [ t ] + в ²( x c ( t )) ‘ D ₁₂ x c ( t )] dt =

10       dt

= V1 (J, xc (J)) - V1( t0, x0) + J [(u1 [ t ])‘ DU [ t ] + в2 (xc (t))‘ D12 xc (t)] dt = t 0

= 1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) ^{— V} 1⁽ t 0 , ^x 0 ).

Отсюда и из (32) сразу получаем справедливость (31).

Аналогично доказательству лемм 3.1 и 3.2 устанавливается справедливость следующих утверждений (леммы 3.3 и 3.4). В них, напомним, считаем «замороженными» начальную позицию ( 1 ₀, x ₀), n х n -непрерывную матрицу 0 P ( t ), стратегию U 2 ^ в ⁽²⁾ x неполной угрозы, фигурирующих в леммах 3.1 и 3.2 и выполнены ограничения (10).

Лемма 3.3. Имеет место импликация D ₂₂ >  0 ^ Э в ⁽³⁾ = в ( ³⁾( и^Р , U i , 1 ₀, x ) = const >  0 такая, что при Vв - в ⁽³⁾, и стратегии U 2 ^ в x будет

I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) >  I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ),                                     ⁽³⁵⁾

т. е. стратегия второго игрока U 2 ^ ( в = тах{ в ( ²⁾, в ⁽³⁾}) x завершает полную контругрозу (совместно с U^cc ^ в ⁽²⁾ x ) на угрозу первого на U P .

Доказательство начнем с применения неполной контругрозы U С первого игрока на U P , такой, что

1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) >  1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) .

На основании максимальности по Парето U P , а также свойства 1.1 (из раздела 1 настоящей статьи) получаем

I 2^{( U} 1 ^ , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) < I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ).

Затем, также как в доказательстве леммы 3.1, во-первых, установим существование функции Беллмана V 2 ( t , x ) = x ‘0 ₂ ( t ) x , для которой

I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) = V 2⁽ t 0 , ^x 0 ) = ^x 0 ⁰ 2⁽ t 0 ) ^x 0 ,                              ⁽³⁶⁾

во-вторых, с учетом D22 = D22 и D22 > 0 и учетом неравенства u2D22u2 - A ||u21| = ^2u2 u2 Vu2 e R , где A2 > 0 - наименьший корень характеристического уравнения det [D22 - AEn ] = 0, составим

W ₂[ t , x ] = W ₂[ t , x , u f ( t , x ) = P’"x , u ₂ = P^x , V ₂ = x '0 ₂( t ) x ] =

= dK,(t,x) +|      j (a(t)x + uy (t,x) + ) + [uy (t,x,d у (t,x) + p2x'd x - dt        V dx )        '       1 x z 2Z 1 ' z 21 1 ' z '        22

= x '| d ⁰^ + © 2 ( t )[ A ( t ) + в ⁽¹⁾ E n + P E n ] x + [ A '( t ) + P ¹E n + P E n ] ® 2 < t ) + ( P ^)² D 21 + ^E n I x =

I dt                                                                                                          J

= x ' M ₂ ( t , P ) x .

При достаточно больших P - P(3), квадратичная форма M2(t, P) > 0 (согласно критерию Сильвестра), кроме того, решение x(t) системы x = [ A (t) + P(1) En + PEn ]x, x (10) = x0 .

При x ₀ * 0 ^ x ( t ) * 0 _n (лемма 2.2), поэтому x '( t ) M ₂( t , P ) x ( t ) >  0 V t e [ 1 ₀, J ]. Интегрируя обе части этого неравенства, получаем

0 < J x '( t ) M ₂( t , P ) x ( t ) dt = J d^x ⁽ t )) dt + J { u t [ t ] D₂₁u^t₁[t ] + u c [ t ] D ₂₂ u ₂ ^c [ t ] } dt = t 0                                     t 0                            t 0

= I 2^{( U} 1 , ^U 1 , t 0 , ^x 0 ) ^{— V} 2⁽ t 0 , ^x 0^).

Отсюда и из (36) сразу следует справедливость (35).

Аналогично лемме 3.2 доказывается

Лемма 3.4. Пусть U 2 - угроза второго игрока на максимальную по Парето в Г v ситуацию

U P = ( U 1 P , U 2P ), т. е. нашлась стратегия U 2 ^ P x P - P >  0 такая, что

I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) >  I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 )

(такая стратегия U 2 существует вследствие D ₂₂ >  0).

Тогда справедлива импликация

D ₂₁ <  0 ^ 3 P ⁽⁴⁾ = const >  0: V P = const - P ⁽⁴⁾

I 2^{( U} 1 ,^U 2 , t 0 , ^x 0 ) < I 2^{( U} , t 0 , ^x 0 )

для стратегии U 1 ^P ^ P x , т. е. U f реализует в игре Г неполную контругрозу на ситуацию U P .

• 4.    Доказательство существования

Теорема 4.1. Предположим, что для игры Г выполнены ограничения (10). Тогда тройка ^{( U} , 1 1 , 1 2 ) = ^{(( U} 1 , ^U 2 ), 1 1^{( U} , t 0 , ^x 0 ), I 2^{( U} , t 0 , ^x 0⁾⁾ =

= ^{(( —} D 1 ^{— 1 ( a )} ® P ⁽ t ) ^x , ^{— D} 2 ^{1 ( a )} ® P ⁽ t ) ^x )» ^x 0 ® 1⁽ t 0 ) ^x 0 , ^x 0 ® 2 ⁽ t 0 ) ^x 0 )

является равновесием угроз и контругроз для дифференциальной игры

Г = ({1,2}, E ^(1.1),{U, };=1,2,{Ii (U1, U 2,10, x0)}=1,2), здесь матрица

— 1

X ^— 1 ( t ),

I J

0 ^P ( t ) = [ X ^{— 1} ( t )] ‘ C -1 ( a ) + J X ^{— 1} ( t )[ D 1 ^{— 1} ( a ) + D — ( a )][ X ^{— 1} ( t )] ‘ dT >

Математика

D i ^{( а )} = D 1, + ^{a D} 2 , , ^{C ( а )} = C 1 + ^{а С} 2 , ^а = - у

² ^ 2

1+712, 1 Л22 _ где Лii - наибольший корень уравнения det [Dii - ЛЕn ] = 0 , -7 - наибольший корень уравнения det [Dij - 7En ] = 0, X(t) - фундаментальная матрица системы 5с = A(t)x, X(У) = En (i, j = 1,2; i * j), а симметричные матрицы 0i (t) (i = 1,2) определены в (22).

Доказательство. Во-первых, из D 11 >  0 следует сразу два вывода: отсутствие в Г ситуации равновесия по Нэшу и наличие угрозы U ₁ ^t со стороны первого игрока на максимальную по Парето ситуацию U P в двухкритериальной задаче Г _v (замечание 3.1). Существование максимальной по Парето ситуации и максимальных по Парето выигрышей в Г v (а также их явный вид при этом) получены в утверждениях 2.1 и 2.2 соответственно. Условие D ₂₁ <  0 позволяет построить неполную контругрозу U ^в второго игрока в ответ на угрозу первого (лемма 3.2), а D ₂₂ >  0 и лемма 3.3 дают возможность довести второму игроку неполную контругрозу U ₂ ^с до полной U ₂ ^с . Одновременно требование D ₂₂ >  0 влечет отсутствие ситуации равновесия по Нэшу (не существует max 1 ₂( U 1 , U ₂, t Q , x ₀) при V U 1 e U 1 ) и возможность аналитически сконструировать второму U 2

игроку угрозу U 2 e U ₂ на U P в игре Г :

I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) ^- I 2^{( U} , t 0 , ^x 0 ).

Условие D ₂₁ <  0 и лемма 3.4 обеспечивают существование неполной контругрозы U С e U 1 первого игрока на угрозу U ₂ ^t второго:

I 2^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) <  I 2^{( U} , t 0 , ^x 0 ).

Наконец, из максимальности по Парето U ^P и свойства 1.1 будет следовать

1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) <  1 1^{( U} , t 0 , ^x 0 ), а из D _n >  0 и леммы 3.1. получаем существование U С e U 1 , такого, что 1 1^{( U} С , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ) >  1 1^{( U} 1 , ^U 2 , t 0 , ^x 0 ).

Таким образом, мы установили, что в игре Г в ответ на угрозу на максимальную по Парето ситуацию U ^P любого игрока, у оставшегося имеется полная контругроза, что доказывает теорему 4.1.

Заключение

Итак, в предлагаемой читателю статье установлено, что в линейно-квадратичной позиционной дифференциальной игре Г при выполнении ограничений (10) не существует ситуации равновесия по Нэшу и одновременно существует равновесие угроз и контругроз. Этот факт показывает настоятельную необходимость дополнительных исследований свойств этого равновесия, вопросов существования, нахождения других классов игр (и не дифференциальных тоже!), обладающих выявленным теоремой 4.1 свойством (отсутствием ситуации равновесия по Нэшу и одновременного существования равновесия угроз и контругроз). Интерес представляют и вопросы устойчивости коалиционных структур [23]. Этому вопросу авторы надеются посвятить дальнейшие исследования.