Классификация периодических дифференциальных уравнений по степеням негрубости
Бесплатный доступ
Дифференциальное уравнение вида x' = f(t, x) c правой частью f(t, x), имеющей непрерывные производные до r-го порядка включительно, 1-периодической по t, мы отождествляем с функцией f и рассматриваем как элемент банахова пространства Er таких функций с Сr-нормой. Уравнение f определяет динамическую систему на цилиндрическом фазовом пространстве. Уравнение f называется грубым, если любое достаточно близкое к нему уравнение топологически эквивалентно f, то есть имеет ту же топологическую структуру фазового портрета. Уравнение f имеет k-ю степень негрубости, если любое достаточно близкое к нему негрубое уравнение либо имеет степень негрубости меньшую k, либо топологически эквивалентно f. В работе описано множество уравнений k-й степени негрубости (k r, открыто и всюду плотно в множестве всех негрубых уравнений, не имеющих степень негрубости меньшую k.
Периодическое дифференциальное уравнение, цилиндрическое фазовое пространство, грубость, степень негрубости, бифуркационное многообразие
Короткий адрес: https://sciup.org/147238115
IDR: 147238115 | УДК: 517.925 | DOI: 10.14529/mmph220306
Classification of periodic differential equations by degrees of non-roughniss
A differential equation of the form x' = f(t, x) with the right part f(t, x) having continuous derivatives up to r-th order inclusive, 1-periodic in t, we identify with the function f and consider as an element of the Banach space Er of such functions with the Cr-norm. The equation f defines a dynamical system on a cylindrical phase space. An equation f is called rough if any equation close enough to it is topologically equivalent to f, that is, it has the same topological structure of the phase portrait. An equation f has the k-th degree of non-roughness if any non-rough equation sufficiently close to it either has a degree of non-roughness less than k, or is topologically equivalent to f. The paper describes the set of equations of the k-th degree of non-roughness (k r, are open and everywhere dense in the set of all non-rough equations that do not have a degree of non-roughness less than k.
Список литературы Классификация периодических дифференциальных уравнений по степеням негрубости
- Андронов, А. А. К теории изменения качественной структуры разбиения плоскости на траектории / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович // Доклады АН СССР. - 1938. - Т. 21, № 9. - С. 427430.
- Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1967. - 487 с.
- Peixoto, M. Structural Stability on Two-Dimensional Manifolds / M. Peixoto // Topology. -1962. - Vol. 1, no. 2. - P. 101-120.
- Арансон, С.Х. Об отсутствии незамкнутых устойчивых по Пуассону полутраекторий и траекторий, двоякоасимптотических к двойному предельному циклу у динамических систем первой степени негрубости на ориентируемых двумерных многообразиях / С.Х. Арансон // Мат. Сборник. - 1968. - Т. 76(118), № 2. - С. 214-230.
- Sotomayor, J. Generic one-parameter families of vector fields on two-dimensional manifolds / J. Sotomayor // Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. - 1974. -Vol. 43. - P. 5-46.
- Арансон, С.Х. О неплотности полей конечной степени негрубости в пространстве негрубых векторных полей на замкнутых двумерных многообразиях / С.Х. Арансон // УМН. - 1988. -Т. 43, вып. 1. - С. 191-192.
- Robinson, C. Structural stability of vector fields / C. Robinson // Annals of Mathematics. Second Series. - 1974. - Vol. 99, no. 1. - P. 154-175.
- Hayashi, S. Connecting Invariant Manifolds and the Solution of ^-Stability and Q-Stability Conjectures for Flows / S. Hayashi // Annals of Mathematics. Second Series. - 1997. - Vol. 145, no. 1. -P. 81-137.
- Abraham, R. Non-genericity of Q-stability / R. Abraham, S. Smale // Global Analysis. Proc. of Symposia in Pure Mathematics. 14. - Publ. Am. Math. Soc, 1970. - P. 5-8.
- Шварц, Л. Анализ. Т. 2 / Л. Шварц. - М.: Мир, 1972. - 528 с.
- Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1966. - 568 с.
- Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1968. - 496 с.
