Кодирование числовой информации

При вводе различных данных описывающих количество принято использовать числа. Они представляются с помощью разных символов и составляют особые системы, которые принято называть системами счисления. Алфавит (азбука) этих систем включает в себя знаки (символы), называющиеся цифрами. К примеру, в десятичной системе числа можно записать с помощью десяти привычных нам символов от 0 до 9. Система счисления - это особая система записи чисел, использующая для ввода различные алфавиты , с разным количеством символов (цифр) [1]. Любые системы           счисления           подразделяются           на группы: позиционные и непозиционные. В первом случае значение цифры будет зависеть от места расположения в числе, а во втором - нет. Римская система счисления. Одной из самых актуальных непозиционных систем счисления можно назвать римскую. В качестве цифр в ней представлены особые символы , каждому из которых присвоено своё обозначение: I - 1, V -5, X - 10, L – 50,С - 100, D -500, М - 1000. Значение цифр в данном случае не будет зависеть от их места в числе, другими словами значение не зависит от положения. К примеру, в записи XX символ X мы наблюдаем два раза и в обоих вариантах имеет одно и то же значение - 10, два числа по 10 будут равны 20. Значение числа в римской системе счисления можно рассматривать как сумму или разность цифр. Если цифра с меньшим значением стоит слева от той у которой значение превосходит её, то она будет вычетаться , а если она расположена справа – суммироваться. К примеру , наглядное представление десятичного числа 1997 в римской системе счисления можно записать как : MCMXCVII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1. Позиционные системы счисления. Родоначальницей позиционных систем счисления можно считать систему, придуманную в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация состояла из 60 символов. В XIX веке получила признание двенадцатеричная система. До сих пор мы упоминаем дюжину в разговоре. Самыми распространёнными в наши дни позиционными системами счисления можно считать десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричнаую. Любая из них имеет собственные алфавит и запись. Самая известная система счисления- десятичная, она имеет алфавит состоящий из 10 цифр от 0 до 9. Двоичная система состоит из нуля и единицы, восьмеричная – имеет в своём составе восемь знаков от 0 до 8, шестнадцатеричная - шестнадцать символов (использованы и буквы латинского алфавита) (табл. 1).

Таблица 1.[2].

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 777. Цифра 7 записывается три раза, и правая означает единицы, средняя – десятки, и левая -сотни.Место цифры называют её разрядом. Он становится больше начиная с левой позиции и двигаясь вправо.Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления алфавит состоит из двух цифр: 0 и 1. Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, запись двоичного числа может быть представлена так: А2 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2. Или: А2 = 101,012. Позиционные системы счисления с произвольным основанием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q - 1:Aq = an-1 × qn-1 + an-2 × qn-2 + ... + a0 × q0 + a-1 × q-1 + ... + a-m × q-mКоэффициенты аi в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8). Тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число А8 = 673,28 в развернутой форме будет иметь вид:А8 = 6 × 82 + 7 × 81 + 3 × 80 + 2 × 8-1. В шестнадцатеричной системе основание равно шестнадцати (q = 16), тогда записанное в свернутой форме шестнадцатеричное число А16 = 8A,F16 в развернутой форме будет иметь вид: А16 = 8 × 161 + А × 160 + F × 16-1. Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А=10, F=15), то запись числа примет вид: А16 = 8 × 161 + 10 × 160 + 15 × 16-1.[2]/