Кольцо, определяющее структуру надгрупп нерасщепимого максимального тора

Работа посвящена исследованию сети и сетевого кольца [1–3], ассоциированной с надгруппой нерасщепимого тора, связанного с радикальным расширением основного поля.

Пусть x n — d — неприводимый многочлен степени n над полем k, d Е к. Тогда е г = 9 ^{i - i} , 1 6 i 6 n, образует базис радикального расширения K = k( n d), 9 = n d поля K = k(9) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор T = T (d), который является образом мультипликативной группы поля K = к( n d) при регулярном вложении в G = GL(n,k).

С каждым вектором x = (x i , Х 2 , ...,x n ) Е k n \ 0 связана невырожденная матрица C (x), элементы которой вычисляются по формулам

(C (x))ij= j 6 i;

j >  i + 1.

В выбранном базисе тор T = T(d) определяется как матричная группа

T = T(d) = { C(x) : x Е k n \ 0 } .

С каждой матрицей C = C (x) = (c ij ) связана обратная матрица C ^{- 1} = C (y) = (c 0j ),y = (y 1 ,...,y n ) Е k n , где y i = | C ( X )| , причем C _1i — алгебраическое дополнение элемента сц матрицы C = C (x).

В работе рассматривается унитальное подкольцо R q = R(d) поля k, порожденное элементами x i y j , dx _r y _s :

R q = R(d) = xicyi/j, dx r y s : i + j 6 n + 1, r + s > n + 1, x Е k n \ 0^.

Пусть R — унитальное подкольцо поля k,d Е R. Пусть, далее, A i ,..., A n — идеалы кольца R, причем

A 1 с ... c A n , dA n c A 1 .

(с) 2011 Шилов А. В.

Через ст = (a ij ) = ct ( A 1 , A 2 ,..., A n ) мы обозначаем сеть идеалов, определенную следующим образом

) ^A i+1 - j , j 6 i;

CTij = dAn+i+1-j i j > i + 1.

Сеть ст = (CT ij ) = ct ( A i , A 2 ,..., A n ) мы называем сетью, ассоциированной с тором T . Далее, M (ст) — сетевое кольцо ( G ( ct ) — сетевая группа) [1]. Подгруппу E (ст), порожденную всеми трансвекциями из G ( ct ) , мы называем элементарной сетевой подгруппой, соответствующей тору T .

Основным результатом статьи является следующая

Теорема 1. Тор T нормализует сетевое кольцо M (ст) для произвольной сети ст = ct ( A i , A 2 ,..., A n ), ассоциированной с тором, тогда и только тогда, когда Rq С R.

Квадратную матрицу a = (a ij ) порядка n назовем матрицей сетевого вида, если ее элементы удовлетворяют условиям:

a rs — a r+1,s+1 , < a rn = d ^{- 1} a _r+1,1 ,         ( V r, s < n).

, a ns = da 1,s+1 ; s

Нетрудно видеть, что сумма и произведение матриц сетевого вида является матрицей сетевого вида.

Ясно, что матрица сетевого вида полностью определяется первым столбцом.

Пусть 1 6 s 6 n. Обозначим через (e _s ) матрицу сетевого вида с первым столбцом (0,..., 0,1,0,... , 0) T в котором единица стоит на позиции s. Например, при n = 5, (е з ) выглядит следующим образом:

	0 0	0 0	0 0	d 0	0 d
( e 3 ) =	1	0	0	0	0
	0	1	0	0	0
0		0	1	0	0

Пусть x G k, M , N — подмножества поля k. Тогда положим x • M = { x • m : m G M } и M + N = { m + n : m G M, n G N } .

Далее, пусть a G M (n, k), A = (A _rs ) — квадратная таблица порядка n, состоящая из подмножеств поля k, т. е. A _rs ⊆ k . Определим умножение a ∗ A следующим образом:

n a * A = B

B rs = ^>k • A ks .

k=1

Таким образом, a ∗ A — матрица, состоящая из подмножеств поля k. Аналогично определим A ∗ a.

Пусть таблица A = (A ij ) состоит из подмножеств поля k. Тогда под M (A) мы понимаем множество матриц, у которых на позиции (i, j) стоит элемент из A ij :

M (A) = { a G M (n, k) : a ij G A ij } .

Квадратную таблицу A = (A _rs ), состоящую из подмножеств поля k, называется таблицей сетевого вида , если выполняются условия:

^A rs = ^A r+1,s+1 , A rn = d ^{- 1} A r+1,1 ,

( V r, s < n).

A nns = ^dA 1,s+1

Кольцо, определяющее структуру надгрупп нерасщепимого максимального тора 65

Предложение 1. Пусть a Е M (n, k), A — квадратная таблица порядка n, состоящая из подмножеств поля k. Тогда aM (A) С M (a * A). Обратное включение не всегда верно. Далее, множество элементов, стоящих на позиции (r,s) во множестве матриц aM (A), совпадает с множеством (a * A) rs .

Доказательство теоремы вытекает из следующих двух предложений.

Предложение 2. c(x)ac(y) Е M(ст'), где c(x) Е T, c(y) = c(x) ^{- i} , a Е M (ст).

C Если a Е M (ст),c(x) Е T , то c(x)ac(y) Е M ([c(x) * ст] * c(y)). Таким образом, достаточно показать, что F = [c(x) * ст] * c(y) содержится в ст (т. е. множество, стоящее на позиции (r, s) матрицы F содержится во множестве ст _rs ).

Так как матрицы c(x), ст, c(y) имеют сетевой вид, то их произведение F также имеет сетевой вид, поэтому включение достаточно показать для элементов первого столбца, т. е. Fsi С стs1 = As. При этом Fsi есть произведение s-ой строки матрицы c(x) на матрицу ст и на первый столбец матрицы c(y) (т. е. Fsi = c(x)sстс(у)1).

Рассмотрим случай 1 6 s < n:

F si = c(x) s стс(у) ¹ = (x s ,X s-1 , ... ,x i ,dx n ,... , dx s+i )стc(y) ⁱ = c(x) s (e s+i )(e s+i ) ^{- i} Ac(y) ⁱ = d(x n ,X n—i ,..., x i )Bc(y) ⁱ .

Здесь B = (e s+i ) ^{- i} A — матрица сетевого вида (как произведение матриц сетевого вида). Первый столбец матрицы B выглядит следующим образом:

(A s+i ,A s+2 , ...,A n , d ^{- i} A i ,d ^{- i} A 2 ,..., d ^{- i} A s ) T .

Обозначим через B i = A s+i , B 2 = A s+2 , ..., B n = d ^{- i} A _s . Итак, матрица B является матрицей сетевого вида с первым столбцом: (B i , B 2 ,..., B n ) T .

Далее, исходя из включений A 1 ⊆ A 2 ⊆ . . . ⊆ A _n , dA _n ⊆ A 1 , имеем: B 1 ⊆ B 2 ⊆ . . . ⊆ B n , dB n ⊆ B 1 .

Исходя из вышесказанного, получаем, что включение F _s1 ⊆ A _s равносильно включению:

y 1

(x _n , x _{n -} i , . . . , x i )B       ² С B _n .

...

y n

При s = n получаем аналогичное включение: (x n ,x _{n -} i ,..., x i )Ac(y) ⁱ С A n (т. е. при s = n матрица B совпадает с матрицей A).

Итак, доказываем, что (x _n ,x _{n -} i ,..., x i )Bc(y) ⁱ С B n , т. е.

n xn+1-k yr Bkr ⊆ Bn.

k,r=1

Первый случай : k >  r. Тогда B kr = B j для некоторого номера j. Далее, сумма индексов n + 1 — k + r 6 n + 1, поэтому x n+i—k y r Е R.

Второй случай : k < r. Тогда B kr = dB i для некоторого номера i. Сумма индексов n + 1 — k + r > n + 1, поэтому dx n+_{i -} k y _r Е R.

В обоих случаях получаем включение rB _m ⊆ B _n , r ∈ R , которое является верным. B

Предложение 3. Если тор T нормализует M (ст) для любой сети ст, то R o С R.

C Рассмотрим следующую сеть ст, для которой Cт ij = A при i >  j и Cт ij = dA при i < j.

Из условия получаем c(x)M(ст)с(у) С M (ст) для любой матрицы c(x) Е T . Зафиксируем позицию (r, s). Рассмотрим таблицу ст 0 = (ст ij ), где ст Г_s = ст _rs , остальные ст ij = 0. Ясно, что M (ст ⁰ ) С M (ст) и c(x)M(ст ⁰ )c(y) С M (ст).

Согласно предложению 1 множество элементов, стоящих на позиции (n, 1) во множестве матриц c(x)M (a 0 )c(y), совпадает с множеством

c(x)

∗ σ ⁰ ∗

c(y)

— xn+1-r y s ^ rs .

С другой стороны, множество элементов, стоящих на позиции (n, 1) во множестве M (ст), есть множество a ni — A.

Таким образом, получаем, что x n+i-r • y s • CT rs С A.

Рассмотрим два случая.

Первый случай : n + 1 — r + s 6 n + 1 (т. е. r >  s). В этом случае CT rs — A и x n + 1-r • y s ^E R.

Второй случай : n + 1 — r + s > n + 1 (т. е. r < s). В этом случае CT rs — dA и dx n+1-r • y s ^E R.

Заменим n + 1 — r — k. Тогда получим, что при k + s 6 n + 1, X k y s E R. А при k + s > n + 1, dx k y s E R. Поэтому R q С R. в