Колебания неоднородного пороупругого слоя с пустыми порами

Автор: Ватульян Александр Ованесович, Шведов Денис Сергеевич

Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu

Рубрика: Физико-математические науки

Статья в выпуске: 1-2 (70-71) т.13, 2013 года.

Бесплатный доступ

В рамках плоской деформации рассмотрена задача об установившихся колебаниях неоднородного по толщине изотропного пористого упругого слоя с пустыми порами. Нижняя грань слоя сцеплена с абсолютно жёстким основанием, колебания вызываются поверхностной нагрузкой на верхней грани. При известных законах неоднородности для аналогов параметров Ляме — положительных функциях вертикальной координаты — колебания слоя описываются системой трёх уравнений в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. С помощью преобразования Фурье и обращения некоторых операторов задача сведена к системе трёх интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывными ядрами. Предложен численный метод нахождения трансформант на основе метода коллокаций. С помощью численного обращения преобразования Фурье осуществлён расчёт вектора смещения и функции относительного объёма.

Еще

Пороупругость, система интегральных уравнений фредгольма второго рода, функция относительного объёма

Короткий адрес: https://sciup.org/14249960

IDR: 14249960

Текст научной статьи Колебания неоднородного пороупругого слоя с пустыми порами

Введение. Теория пористых линейно упругих материалов с пустотами первоначально была разработана Коуином и Нунциато [1]. Она предназначена для моделирования упругих материалов, содержащих распределение малых пор (рис. 1). Главной особенностью данной теории является введение в определяющие соотношения новой переменной, характеризующей относительный объём пор, который берётся в качестве независимой кинематической переменной. Включение новой переменной требует дополнительных сил для обеспечения равновесия объёма пор. Если объём пор обращается в ноль, поведение материала описывается классической теорией упругости.

Теория Коуина—Нунциато хорошо описывает поведение композитных, керамических, пенистых и пористых материалов. При этом ряд функционально-градиентных материалов отличается тем, что распределение физических характеристик неравномерно, что приводит к их зависимости от координат.

Настоящая работа посвящена исследованию колебаний неоднородного по толщине пороупругого слоя с пустыми порами.

1 Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

Постановка задачи. Рассмотрим двумерную задачу об установившихся колебаниях с частотой Q неоднородного изотропного пористого упругого слоя 0 < у< /?, |х| < оо. Нижняя грань слоя горизонтальна и сцеплена с абсолютно жёстким основанием.

Необходимо найти поля перемещений в слое u (x,y^ = 'xu,v'te m и функцию относительного объёма Ф(х,у,Г) = Ф(х,у)е^ при известных законах неоднородности под действием нагрузок, приложенных к верхней границе слоя.

Считая режим колебаний установившимся, отделим временной множитель е !Qt . Будем рассматривать амплитудные значения функций.

Уравнения движения имеют вид [2]:

о

+ ох/ / +pfi2u = 0, + о//к +рП2и = 0.

Компоненты тензора напряжений находятся из следующих определяющих соотношений [2]:

=   +(1-2с2)и' + НФ,

Л + 2р у v ’ у

-^- = (1-2сЧи'х +и' + НФ, о =ц(и' +и' L где Н=—^—, 1-2с2 = ——

Л + 2р          Л + 2р

Полевые характеристики задачи должны быть подчинены следующему уравнению [2]:

д2Ф а2Ф /шЮ + p/rQ2 - 5

Эх2 5у2

а

_ 9и 9v] _

Ф-- — + — = 0.

О ( 9х 9у )

Соответствующие граничные условия для слоя могут быть записаны в виде:

и (х,0) = 0.

—(х,Л) = 0, у

где Л = Л(у), р = р(у) — положительные функции координаты у, являющиеся аналогами параметров Ляме, р — массовая плотность материала; о, Р, 5, со, к — положительные физические параметры, связанные с пористостью [1].

Система интегральных уравнений Фредгольма 2 рода. Отметим, что в представленной постановке колебания описываются системой уравнений в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Наиболее эффективным средством анализа колебаний в слое является использование преобразования Фурье по переменной хи сведение к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [3].

Функция называется прямым преобразованием Фурье f(x). В свою очередь, функция

1 00

fM=^J/r(s)e^s называется обратным преобразованием Фурье и с физической точки зрения это выражение представляет собой интегральную запись принципа суперпозиции гармоник с комплексной амплитудой и волновым числом sc непрерывным спектром.

Системы (1), (2) и уравнение (3) в образах Фурье выглядят следующим образом:

d          i

-•saxx + -3-°XV + PQ 0 = 0, dy y

~ d ~ ч

-■1SOxv^^W^^V-^

б

К

= —isd (А + 2p) + (1 - 2c2 ) (Л + 2p) Д-v + НФ (А + 2p),

= (1 - 2c2) (X + 2p) (-isA 0 + (X + 2p) Д-v + НФ (X + 2p), X           / X          / X / X          /                  X          /

б

( d - . Д d -    . -

= р -и-ISV =р — U -\AISV. {dy ) dy d2 т fлой + pAQ2 -5 2K pf б - . n

—-Ф + ---------- - s Ф - - — v -isu = 0.

dy V ° J QVdy )

Если из (5)—(7) выразить функции                                исключить а также dy у dy уу dy dy dy ввести —Ф = Ф, получается каноническая система обыкновенных дифференциальных уравнений dy

1-го порядка с переменными коэффициентами:

dy у/ dy уу

= is

А

6 - pQ A + 2p yy P

= is6xy - рй2й,

d - 1 ~      . ~

-U=-C + ISV, dy p y d -      1 ~      .

-;-v = ——a + is dy A + 2p yy

—Ф = Ф, dy

—ф =----а dy а(А + 2ц) yy

А + 2p

X - , -т-^-и-НФ, A + 2p

- 2/s - , \ 0 - а А + 2р

О + is2yHCD,

Aofi + pAQ2-^ 2 ----------- - s + - H Ф.

а

а

Граничные условия в образах Фурье имеют вид:

t7(s,O) = O,

6yy(s,A) = 6(s), ^($,А) = 0. vdyv 7

Краевая задача для системы функций (8), (9) после введения безразмерных переменных и пара метров приведена к следующей безразмерной форме:

у did h' dy h dz

(ye[0,/7]^Ze[0,l])

1/ (s,z) = ~^—^' Q($,z) = O(s,z),

LI / P___________

1 Mo^l^ + ZM!^))

После замены для получения вещественных коэффициентов в вырожденной системе (со = 0)

iU=Uv iQxy=Qv QW=Q„ она выглядит следующим образом:

(Ю)

^Qx=-hs-^-Q^ ^h^

dz At + 2pt

k^V+Mj-pn^i Ai + 2M1 Mo

d „   , ~ рП2Л2..

= -J—5—Q + hs 7— 4-Ux - ^ф, dz Kx + 2pt At + 2pt

d

Tz^'

d         p/72

--Ф = —----г dz o(A1+2p1)

Граничные условия:

Ux - "2.hs\\xHx($,

(И)

_ РЛ3             I , 2 wfi + pAQ2-5       2 ДО и I

Q, - 2s -— , L U, - Л2------------ - h2s2 + -— H. cp.

2 a A!+2p! 1 ( a                a J

'^(5,о) = 0,

■И($,0) = 0, ip(s,0) = 0.

В общем случае построение решения канонической системы дифференциальных уравнений (11) с переменными коэффициентами в аналитической форме невозможно, поэтому осуществляется её сведение к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Интегрируя систему (11), учитывая граничные условия (12) и осуществляя элементарные преобразования, получим систему уравнений Фредгольма 2 рода с непрерывными ядрами (отметим, что все неизвестные функции зависят от параметра преобразования Фурье):

С2 = J (ед2 (п) + G^UY (n) + 63Ф (n)) dn - ihsT0 (1 - z) + а0,

О

■ ц = -J (ед2 (п)+ед, (п)+с6ф (п)) dn + /тои/ (z), о ф = J (ед2 (п)+gbuy (п)+ед(п))^п,

G, = ^(z,n), /=1„9.

Ядра системы имеют вид:

>2^2

G.

_ / x L 2 ло^ + pAQ2 ,2 Gq (z,n) = - л ---------- - №

G3(z,^ = -2s2h^YHYKY-^l Ио

G^I = -,K^K=+' g5 (z,n) = [ 452л2 М^±Ы _ 2^ 7 t Ai+2|Ji m0

G6 (z,q) = -2hsyYHYK3 - hsHYKA,

1 - К, - К

где

K, =K\z,x\Y /=1..6; \ =^(0), Mi =Mi(n), X'1(z,n) = max{z,n}-z,

/C2(z,n)= J pt/q, max{z,q} min{z,n} .

^(^П)= J -de,, 0 Pi

A'4(z,n) = z-min{z,n}, к5(^,п)= J g(^du, min{z,q} 1

^(^,0)= J g(^du, max{z,q}

^ + pAQ2 -5 ,2 2 P^2 и V g (q) = - Л2------------ - Л252 + -— HY pc,, v J              G                     G nV                                     /

2 юП + pAQ2 - E

0 Mi

Численный метод решения системы интегральных уравнений и обращения преобразования Фурье. Осуществим дискретизацию системы интегральных уравнений Фредгольма 2 рода (13), используя квадратурную формулу трапеций [4, 5] и метод коллокаций. Придём к следующей алгебраической системе:

Дх = ——,   = st(i-1), / = 1,...,/7, л-1 v '

А=4,=^4 = 4=- = 4,-,=л*,

%, "ZA (Gi,%,      + СЛ) = °« -ihsr^-^V            <14>

7=1

■ uXi +£4 зД5 +^7) = 7=1

Ф/ “ S A ^igQlj + ^ъд^\] + ^9дф; ) = О"

I 7=1

Значения остальных функций в соответствующих узловых точках Q^.V,,^, находятся из интегральных представлений:

Таким образом, для любых значений параметра преобразования можно найти узловые значения переменных, и далее требуется построение обратного преобразования Фурье. Для численного осуществления обратного преобразования Фурье, т. е. для вычисления интеграла

  • 1    00

используем интерполяционную формулу третьей степени, являющуюся аналогом «правила трёх восьмых» Ньютона-Котеса [5, 6]. Оно получается при замене функции F на каждом из отрезков [0,3^],[3^,6^],... алгебраическим многочленом третьей степени, интерполирующим F по четырём значениям.

Возьмём четыре точки                и выполним интерполирование F по её значениям в этих точках

(с _ с Wc _ С Wc _ С 1

р ^kJV ^k’JV5 3k+3) р

2A

Умножение этого равенства на е lsx и интегрирование по отрезку [s^s^ +3^] с последующим суммированием по значениям к = 0,±3,±6,... приводит к представлению:

1 ™                 (v — /б ) ™                   + /б ) ™               я ™

  • •         J Г VP Ub -            r3A+le +   7 2_.ГЗкАе + r3kc +7 l1DJ

    где

    E(s)4,s = 0,


Коэффициенты а3,у3,б3 имеют вид:

О = xhv

h;x hy

г3 sin 30

3 sin 30

/7^63 =59~3 + 3^0~2 -0 Jsin30 + 40 3COS30.

Стоит отметить, что численный эксперимент проводился для п = 30 узловых значений при точности е = 0,001.

Расчёт полей смещений и функции относительного объёма при некоторых законах неоднородности. В качестве примеров реализации предложенной схемы рассмотрим возрастающие и убывающие функции, характеризующие законы неоднородности в случае сосредоточенной и распределённой нагрузки.

Для сосредоточенной нагрузки находим:

о0 (х) = б(х); o0(s)= J б^е'^Фс = 1, т0 (х) = б(х); t0(s)= J ^e”xdx = l.

Для равномерно распределённой на отрезке нагрузки получим № = <>0, |х|<а.          sin (as)

Ь>М = 0, |х|>а '         0 s '

т0(^) = т0, И ^5, то(х) = О, |х|>а '

где а — полудлина области приложения нагрузки.

Будем рассматривать законы неоднородностей, для которых выполняются следующие ра венства:

jA1(z)dz = l, Jp1(z)dz=l, p(z) = 1, о                        о

Согласно физическому смыслу параметры Ляме должны удовлетворять условию

2(A1(z) + p1(z)) 2

Vz 6 [0;1]

Рассмотрим некоторый закон, удовлетворяющий условиям (16), (17) A1(z) = z + 0,5, p1(z) = l,5-z.

Пусть h =0,5; а = 0,01; Р = 10; со = 0,01; 5 = 15; к =0,01; Q = 100, а также

о0 GO = 1> to(s) = o.

Ниже приведены графики полей перемещения и функции относительного объёма. Сплошной ли нией обозначена действительная часть, пунктирной — мнимая часть.

Рис. 2. Поля перемещений в слое и функция относительного объёма

Заключение. Разработан метод решения краевой задачи для неоднородного пороупругого слоя, позволяющий находить поля внутри и на поверхности для широкого класса неоднородностей.

Список литературы Колебания неоднородного пороупругого слоя с пустыми порами

  • Cowin, S. C. Linear elastic materials with voids/S. C. Cowin, J. W. Nunziato//J. Elasticity. -1983. -V. 13, № 2. -Pp. 125-147.
  • Скалия, А. Гармонические колебания жёсткого штампа на пористо упругом слое/А. Скалия//Прикладная математика и механика. -2009. -Т. 73, вып. 3 -С. 484-491.
  • Бабешко, В. А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред/В. А. Бабешко, Е. В. Глушков, Ж. Ф. Зинченко. -Москва: Наука, 1989. -343 с.
  • Манжиров, А. В. Методы решения интегральных уравнений: справочник/А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. -Москва: Факториал, 1999. -272 с.
  • Крылов, В. И. Приближённое вычисление интегралов/В. И. Крылов. -Москва: Наука, 1967. -500 c.
  • Крылов, В. И. Методы приближённого преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа/В. И. Крылов, Н. С. Скобля. -Москва: Наука, 1974. -600 c.
Статья научная