Комбинаторное описание знакопеременной группы методом трансформаций

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 512.86                                      

Представление группы с позиции образующих и соотношений является одним из эффективных способов их изучения. В указанном направлении на сегодня имеется уже большое количество исследований и методов. Одним из таких инструментов является комбинаторный метод трансформации букв. Суть этого аппарата состоит из преобразования слов выбранного порождающего алфавита к их стандартным формам, применяя при этом найденное предварительно «определяющие» серии соотношений. Метод этот первоначально был задуман как инструмент для описания с комбинаторной позиции некоторых классов линейных групп. Он был успешно применен, например, при получении результа и его содержание подробно разъяснено там же. Как хорошо видно из этого описания, он точно таким же образом может быть применен и к другим классам (не обязательно линейных) групп, если только подвергнуть их названному методу надлежащим образом [1].

Одну из классических серий групп составляют симметрические группы Sₙ и различные их классические подгруппы. Значение этих групп в алгебре колоссально и интерес к ним сохраняется по сей день. В этой работе мы дадим комбинаторное описание знакопеременной n ≥ 3, группы Aₙ степени     , основанное на применении упомянутого только что метода трансформации букв. Отметим, что группа Sₙ и всякие ее подгруппы с различных комбинаторных позиций были рассмотрены многими авторами и до этого [2-6].

Метод в работе использует стандартные формы элементов группы Ап. Пусть 1_п = {1,2,...,п} и для а € А_п 1(a) = {t € 1_п'- ta Ф t} означает подвижное подмножество в П_п этой подстановки а. Из этого соглашения видно, что подстановки из А п в работе будут действовать на символы из 1_п справа. Ясно, что здесь для единичной подстановки а = е 1(a) = 0. Покажем, что для всех неединичных е Ф а € А_п имеют место неравенства

11(а)1 > 3.                                              (>)

Действительно, как видно из импликаций ta Ф t ^ (ta)a Ф ta ^ ta € 1(а), множество 1(а) вместе с каждым своим элементом t содержит также его образ ta. Таким образом, множество 1(а) содержит не менее двух элементов. Оно состоять только из двух элементов также не может, ибо в противном случае эта а переставляя только два элемента t и ta, сказалось бы подстановкой нечетной, что противоречит с а £ Ап. Таким образом, для неединичных а из Ап неравенства (>) действательно будут иметь место.

Очевидно, всякий неединичный тройной цикл а можно представить в виде: а = (ipq) i

причем единственным образом. Представление (i) мы условимся называть приведенной формой подстановки а, а символ же i —ее ведущим элементом. Далее, для номеров i,1 < i < и — 2, формы ступени i мы в этой работе определим либо как fi = е, либо же как приведенные циклы fi = (ipq). В качестве же стандартных форм элементов из Ап здесь мы объявляям всевозможные комбинации вида fn-2...f2f1.                                          (sf)

Стандартное строение в группе Aₙ описывается следующим образом.

Теорема 1. Всякая подстановка аиз А_п представляется в стандартном виде (sf), причем такое представление для единичной подстановки а = е будет единственным.

Доказательство. Существование разложения. Для единичной а = е очевидным образом можно положить f_n-2 =... = f₂ = f = е. Поэтому всюду далее будем считать а неединичной. Сначала покажем, что эту а можно представить в виде произведения:

а = (р **)... (q **)(i **)                                       (*)

конечного числа каких-то приведенных циклов с ведущими элементыми р >...> q > i. Установим этот факт используя индукцию по числу |1(а)|. Если |1(а)| = 3, то а будет просто тройным циклом и выводя на первое место наименьший из передвигающихся символов i, здесь мы будем иметь а = (ikr), i < к, г, т.е. разложение (*) (с одним числом сомножителей) имеет место.

Пусть теперь 1/(а)1 > 3и i —наименьший номер из 1(а). Взяв (произвольным образом!) элемент г из разности I(а)\{i,k} , где к = iа , составим произведение а^кт)^-1 = Д. Очевидно, здесь Д оставляет символ i неподвижно, т.е. 1(Д~) £ I(а)\{i}. А это означает, что |1(Д)| < |1(а)|, следовательно, по предположению индукции подстановка Д будет допускать разложение Д = (р **)... (q **), где все сомножители - приведенные и для них р >.. .> q. Подставляя теперь вместо Д (в ее введении) это разложение, мы тем самым приходим к требуемому представлению (*).

Единственность для е. Допустам, что кроме тривиального е... ее = е существует для е еще одно разложение:

е = gn-2...g2gi.                                         ⁽=)

Но так может быть, очевидно, только тогда, когда gi = (ikr) Фе и д— =... = д1 = е при некотором i. А последнее иметь место не может, поскольку правая часть в (=) переводит символ i в к в то время, когда левая часть — нет. Полученное противоречие показывает на правильность и второго утверждения теоремы и, тем самым, наше доказательство завершено.

Замечание. Что касается единственности разложения (*) в общем виде (т.е. для любой подстановки а из А_п), то она имеет место при п = 3 очевидным образом. При же п > 3, ввиду произвольности выбора компоненты г из I(а)\{i, к}, такая единственность для всех а уже не имеет место.

Порождаемость группы Ап тройными циклами (ikj), i,k,j£ln, была известиа еще задолго до этого [8]. Доказанная же теорема 1 не только обобщает этот факт, она здесь используется и для других наших целей. Ниже для представления группы Aₙ изберем именно этот (естественный) порождающий алфавит:

(rsl), r, s,1 e In

(g)

(здесь r,s,l — попарно различны). В алфавите (g) имеют место следующие соотношения группы Aₙ:

• 1.    (rsl) = (ipq), где i = min{r, s, 1}

• 2.    (ipq)2 = (iqp), i

• 3.    (ipq)3 = e, i

• 4.    (rpq)(ips) = (spq)(isp),

  q ^ s;

  {p, q} Л {k, s} = 0;

  s ^ i;

  i < p, q; k < r, s; {p, q} Л {k, r, s} = 0.

  
  

• 5.    (ipq)(iks) = (qks)(ipq),

• 6.    (ipq)(pqs) = (qsp)(ips),

• 7.    (ipq)(krs) = (krs)(ipq),

Правильность этих соотношений может быть проверена непосредственно. Останавливаться на этом не будем. Суть нашего метода, как уже упомянулось выше, состоит из преобразования слов алфавита (g) к их стандартным формам (не важно каким!), используя при этом соотношения только из 1-7. Вводим сперва для номеров i, 1 < i < п — 2, и слов

i

i

алфавита (g) w, v бинарные отношения —>, положив w —> v тогда и только тогда, когда они связаны соотношением w = XV, где X — либо пустое слово, либо же некоторое слово, состоящее только из букв (pqr), для которых p, q, r > i. Введенные отношения очевидным образом являются рефлексивными и транзитивными. Наши дальнейшие рассуждения основываются на следующую теорему.

Теорема 2 (о трансформации букв). Пусть fi —некоторая форма ступени i, % = (krs) — тройной цикл с номерами k, r, s > i. Тогда применяя соотношения 1-7, можно выполнить i преобразование V = fi% —»gi, где gi —также некоторая форма ступени i.

Доказательство. Ниже наши рассуждения используют следующие множества А = {p, q}, В = {r, s} и С = {k,r, s}. Если это необходимо, то применяя соотношения 1 букву % мы всегда можем считать находящейся в ее приведенной форме. Далее, ниже ради краткости изложения под записью ^ = V соглашаемся понимать преобразование слова W к V, полученное применением соотношения с номером t. Доказательство является комбинаторным и проводится в два этапа.

Этап I. k = i. В этом случае рассматриваемое слово имеет вид V = fi(irs) Если здесь

i

i

fi = e, то (ввиду рефлексивности —») будем иметь сразу V = e(irs) = (irs) —> (irs) = gi

Поэтому всюду далее будем считать, что fi = (ipq) ^ e. При необходимости применяя 1, букву (krs) также можно считать приведенной. В рассматриваемам случае возможны следующие подслучаи.

• а)    А = В (т.е. |А Л В| = 2). Очевидно, здесь имеем либо V = (ipq)2 = (iqp) —* (iqp) = gi, либо же V = (ipq)(iqp) = (iqp)3 = e-U e = gi.

• b)    А и В пересекаются по одному элементу. Этот подслучай дает нам следующие i

результаты: V = (ipq)(ips) = (spq)(isp)—> (isp) = gi;

V = (ipq)(irp) = [(ipq)(ipr)](ipr) = (rpq)(irp)(ipr) = (rpq)(irp)3 = (rpq)e =

(rpq) -^ e = gi;

V = (ipq)(iqs) = (qip)(iqs) = (qip)(isq)2 = [(qip)(qis)](isq) =

(sip)(qsi)(isq) = (ips)(iqs)(isq) = (ips)(isq)³ = (ips)e = (ips)-^ (ips) = gi,

Используя последовательно только что выведенные (из 1-4) соотношения (ipq)(irp) = (rpq) и (ipq)(iqs) = (ips), имеем также V = (ipq)(ikq) = (ipq)[(ikp)(ipk)](ikq) = ^[(ipq)⁽ⁱkp)^][(ipk)⁽ikq^)] = ⁽kpq⁾(ipq⁾ -^ (ipq) = gi.

• c)    A A 5 = 0. Здесь мы имеем преобразования V = (ipq)(irs) = (krs)(ipq) —* (ipq) =

gi.

Этап II. к > i. Здесь рассматриваемое слово примет вид V = fi(krs). При fi = е и здесь i мы имеем V = e(krs)—*е = gi, т.е. к требуемому виду приходим тривиальным образом. Считая fi ^ е, далее мы остановимся на оставшихся (возможных) случаях. Разберем сначала случай, когда Au С пересекаются по двум элементам (т.е. A с С).

• а)     A = {k,r}.     Если     здесь     p = k и q = r,     то     имеем     V =

i

(ⁱpq⁾pq^s) = ⁽q^sP⁾⁽ⁱq^s) —* ⁽ⁱq^s) = gi.

Если же p = r, q = к, то к требуемому виду приходим как V = (ⁱpq⁾qp^s) = ⁽pqⁱ⁾⁽p^sq) = ^[(pqⁱ⁾⁽pq^s)](pq^s) = ^(sqⁱ⁾⁽p^sq⁾⁽pq^s) = ^(sqⁱ⁾⁽p^sq⁾³ = ^(sq^i)e = i

(isq) —* (isq) = gi.

• b)    A = {k, s}. Если при этом p = k, q = s, то имеем преобразования V = (ipq)(prq) = (pqi)(rqp) = (pqi)(rpq)2 = ^[(pqi)(pqr)^](rpq) =

(rqi)(prq)(pqr) = (irq)(prq)³ = (irq)e —*(irq) = gi. 1,2                     3

При     p = s, q = k     требуемую     форму     получаем     так     V =

i

(ipq)qrp) = (ipq)(pqr) = (qrp)(iqr)---*(iqr) = gi.

• с)    A = {r, s}. Если здесь p = r, q = s, то можно выполнить преобразования V = i

(ipq)(kpq) = (ipq)(pqk) = (qkp)(iqk) —* (iqk) = gi.

Если же p = s, q = r, то мы имеем V = (ipq)(kqp) = (ipq)(kpq)2 = (ipq)(kpq)(kpq) = [(ipq)(pqk)](kpq) = (qkp)(iqk)(kpq) = (qkp)[(iqk)(qkp)] = i (qkp)(kpq()(ikp)---* (ikp) = gi.

Переходим теперь к случаям, когда A и С пересекаются по одному элементу. Разберем сначала случай, когда A А С = {p}.

• а)    Если k = p, то мы имеем преобразования

i

V = (ipq)(prs) = (pqi)(prs) = (irs)(pqi) = (irs)(ipq) = (spq)(irs)—* (irs) = g_i.

• b)    Если же r = p, то требуемую форму мы получаем так

i

V = (ipq)(rps) = (pqi)(psr) = (isr)(pqi) = (isr)(ipq) = (rpq)(isr)—* (isr) = gi.

• c)    При s = p мы имеем

i

V = (ipq)(krp) = (pqi)(pkr) = (ikr)(pqi) = (ikr)(ipq) = (rpq)(ikr)—* (ikr) = gi. Переходим теперь к случаю A А С = {q}.

• а)    Если здесь к = q, то V =

i

(ipqXqrs) = (qip)(qrs) = (prs^qip) = (pr s~)(ipq)--->(ipq) = gi.

• b)    Если же r = q, то мы имеем

i

^V = (№)(№) = ⁽qⁱp⁾⁽q^sk) = (p^qw) = ⁽p^sk)(ipq) —* ⁽ⁱpq) = gi.

• c)    При s = q аналогичным образом получаем

i

^V = ⁽ⁱpq)^(krq) = (qwXqkr) = (pkrXqw) = ⁽p^kr)(ipq) —* (pq) = gi.

Нам осталось разобрать случай, когда А П С = 0. Здесь мы применяя соотношения перестановочности 7, требуемую форму получаем так

i

V = (ipq)(krs) = (krsXipq)---* (ipq) = gi.

i

Таким образом, во всех имеющихся случаях преобразование V = fiX —* gi действительно выполняется, и тем самом, теорема 2 доказана полностью.

Теперь у нас все готово, чтобы сформулировать главное утверждение нашей работы.

Теорема 3. (о комбинаторном описании группы An). Знапопеременная группа An, п>3, в порождающих (g) представляется соотношениями 1-7.

Доказательство этой теоремы также проводится в два этапа.

Этап I. Здесь покажем приводимость всякого непустого слова W алфавита (g) к одной из его стандартных форм S(W), применяя при этом только соотношения 1-7. Не теряя общности это слово можно считать представленным в виде:

W-1*f1X, где f1 —некоторая форма ступени 1 и X —соответсвующее ей дополнение. Пусть X = xY, т.е. X —первая буква дополнения X. Применяя х стыку V = f1x трансформационную теорему 2 11

(т.е. при помощи соотношений 1-7), мы имеем W---*(f1x)Y---*g1Y, т.е. его (ввиду транзитивности---*) можно представить в том же виде (X):

W-*f1Y, но уже с упороченной длиной дополнения. Очевидно, в записи (Y) f1 —уже другая форма ступени 1. Повторяя описанный процесс сокращения дополнений, мы через конечное число шагов приходим к записи вида:

W-*f1.

Но последнее согласно определению отношения---* означает равенство

W = Zfi,(Z)

где f1 — (по-прежнему) некоторая форма ступени 1, а Z же —какое-то слово алфавита (g) , состоящее только из циклов (rsk) , для которых r,s,k > 2. Теперь мы аналогичным образом выделяя из Z форму f₂ (степени 2), для слова W будем иметь представление W = Tf₂f1, где Т —некоторое слово, образованное только из циклов (rsk) с компонентами r,s,n > 3, и т.д. Описанный процесс вытягиваний форм fi на (п — 2) шаге приводит нас к разложению W = Rf_n-₂...f₂fi.

Поскольку в последней записи дополнение R не сможет содержать тройные циклы (r s к), для которых mm{r, s,k} < п — 2, оно обязано быть пустым. Таким образом, действительно пришли к одному из стандартных разложений рассматриваемого слова S(W) = /_п-2.. • /2/1.

Этап II. Пусть теперь W = е —произвольное соотношение группы А_п (в алфавите (д'), разумеется, с непустой левой частью). Применяя к слову W результат установленного только что этапа I, заменим заданное соотношение с его “стандартной” формой/_п-2. • ./2/1 = е.

Но согласно теореме 1 последнее равенство возможно только тогда, когда все формы f_t — единичные. А это уже означает, что (заданное) соотношение W = еесть следствие от серий 17. Теорема 3 доказана в полном объеме. В заключение отметим, что при п = 3 серии 4-7, а при п = 4 серии 5,7, при же п = 5 серия 7 являются неадекватными (т.е. они там не укладываются). Поэтому при указанных значениях п их из формулировки теоремы следует считать опущенными.

Вывод

Продемонстрированный метод трансформации может быть применен и к ряду других (не обязательно линейных) групп при их комбинаторном описании.