Комбинаторный анализ для исследования спектральной модели Фурье по лейкозу крупного рогатого скота

Практичным и полезным инструментом для понимания динамики инфекционных заболеваний, объяснения наблюдаемых закономерностей на основе различных гипотез, а также проверки возможных мер контроля является математическое моделирование [1; 2].

Мониторинг эпизоотического процесса с помощью математического моделирования при различных инфекционных патологиях крупного рогатого скота получил достаточно широкое применение [3–5]. Тем не менее, до настоящего времени практически отсутствуют данные о прогнозировании развития и проявления энзоотического лейкоза – хронического вирусного заболевания, прочно занимающего на протяжении последних десятилетий первое место в структуре инфекционной патологии крупного рогатого скота в Российской Федерации.

На территории Омской области, неблагополучной по данной болезни, характерно чередование периодических подъемов и спадов уровня инфицированности вирусом лейкоза крупного рогатого скота (ВЛКРС). Поэтому из предложенных разными учеными моделей распространения лейкозной инфекции [6–8] можно выделить тригонометрический полином Фурье, позволяющий проводить исследования периодического типа.

Очевидно, что совокупности спектральных показателей математической модели Фурье в определенных комбинациях могут обладать большей прогнозной мощностью, чем взятые по отдельности. В связи с этим применен комбинаторный анализ (раздел математики, объектом исследования в котором являются множества, состоящие из дискретных элементов) [9], позволяющий обнаружить один или несколько трендов, максимально приближенных к реальной тенденции за пределами настройки самой модели.

Цель исследований – усовершенствование математического моделирования эпизоотической ситуации по лейкозу крупного рогатого скота.

Материал и методы исследований

Анализ показателя инфицированности (отношения количества вирусоносителей к количеству исследованных серологическим методом животных) в Омской области за 1993–2018 гг. был осуществлен на основании данных ветеринарной отчетности областной и районных лабораторий.

Математическое компьютерное моделирование проводили с помощью компьютерной программы [10].

Результаты исследований и их обсуждение

Для решения поставленной цели была создана программа на Delphi 2010, на входе которой заносятся коэффициенты (амплитуды и фазы) тригонометрического полинома Фурье спектральной математической модели, описывающие инфицируемость лейкозом крупного рогатого скота в Омской области (рис. 1), полученные ранее [6]. Далее программа генерирует сочетания из n по m без повторения элементов. За число n принимаем число гармоник этой модели, m – число мест, на которых генерируются сочетания. В нашем случае n = 10, m – от 2 до 9 включительно. Всего таких не повторяющихся сочетаний получилось 1012.

Рис. 1. Комбинаторный анализ тригонометрического полинома Фурье

Поскольку использован усеченный ряд Фурье по синусам, то каждая гармоника модели содержит всего два показателя – амплитуду и фазу. Гармоники в спектральной модели являются самостоятельными и могут участвовать в комбинаторных сочетаниях без вреда для результата. Они несут передаточные характеристики от реальных процессов в биосфере, носят вероятностный характер и во многих случаях зависят от человека и его хозяйственной деятельности либо от геофизических параметров. Вполне допус-катся кратковременное либо долгосрочное выпадение (рассинхронизация) отдельных гармоник и таким образом порождение различных комбинаторных сочетаний. При сохранении первой основной гармоники итоговый числовой ряд прогноза искажается не сильно, но позволяет модели быть более гибкой в настройке на реальный производственный тренд.

По результатам генерации в памяти ЭВМ создается таблица базы данных с итоговыми прогнозными цифрами за ряд лет, характеризующими динамику развития инфи-цируемости крупного рогатого скота лейкозом (рис. 2). Для каждого ряда рассчитываются критерий Фишера, коэффициент корреляции Пирсона и другие статистические показатели, оценивающие связь реального тренда с прогнозным. Таблица индексирует- ся по этим показателям, и оператор имеет возможность в дальнейшем выбирать способ сортировки с целью визуального и графического анализа полученных трендов.

Рис. 2. Базы данных

Альтернативно индексации программа позволяет использовать язык SQL-запросов с целью эффективного выбора лучших трендов прогноза инфицируемости (рис. 3). Так, запрос вида «select metka, fisher, pirson, ROUND(fld1,0)as rf1, ROUND(fld2,1)as rf2, fld3, fld4, fld5 from data order by rf1, rf2, fld3» показал неплохой отбор прогнозных трендов, максимально приближенных к реальной динамике инфекции.

Рис. 3. Выбор трендов прогноза с помощью SQL-запросов

С помощью программы можно оценить актуальность гармоник спектральной модели на графике. Для этого считали гистограмму повторяемости гармоник при сортировке результирующей таблицы по Фишеру или Пирсону (рис. 4). За критерий остановки расчета выбрали полное заполнение матрицы счетчиков гармоник. Расчет проводили до тех пор, пока в матрице остается хоть один 0. В обоих случаях первые три гармоники имеют самую высокую частоту повторяемости.

Рис. 4. Гистограмма актуальности гармоник

В отдельном окне мы строим графики (рис. 5) 10 первых комбинаторных прогнозов из таблицы базы данных при выбранной индексной сортировке. Отмечено, что сортировка по критерию Фишера наиболее оптимально отражает степень приближения реального ряда к прогнозному. Наибольшее расхождение в период прогноза до 5 лет не превысило 2%.

Рис. 5. Комбинаторные прогнозные модели

Согласно приведенной математической модели, в 2019 г. коридор прогноза инфи-цируемости составит в среднем от 18 до 21% и в 2020 г. – 23–25%.

Заключение

На основании проведенных исследований можно заключить, что в математическом аппарате спектрального анализа Фурье уже в период создания и настройки модели заложены возможности построения более точных трендов экстраполяции, выявляемых с помощью комбинаторного анализа. Критерий Фишера позволяет наиболее эффективно отобрать комбинации, обладающие большей прогнозной мощностью. Усовершенствованная математическая модель увеличивает многовариантность предполагаемых сценариев распространения вирусной инфекции.

V.S. Vlasenko, E.S. BorisovOmsk Agrarian Scientific Center, Omsk

Combinatorial analysis for the study of Fourier spectral models in cattle leukemia