Компактность в пространстве квази абсолютно непрерывных функций

,

,

просмотреть копию этой лицензии, посетите

В курсе математического анализа рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах, а также исследуется вопрос о "полноте" таких семейств [1, 2]. В частности, возникает вопрос о существовании предела для последовательности непрерывных функций, заданных на числовых отрезках [a, b], а также о свойствах данного предела. Согласно Коши, равномерный предел непрерывных функций также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства C [a ,b ]. Существенным здесь является то, что область определения функций – компактное подмножество X вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в множестве Y пространства R (Ус R).

Аналогичный результат можно получить, если возьмем класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство [3– 11].

• 1.1.    Определения и свойства

Определение. Функция f, определенная на множестве X с R, называется непрерывной, если для любого х Е X и любой окрестности U точки f(x), существует окрестность V точки x в множестве X такая, что f(V ) с U.

Определение . Функция f : X ^ R непрерывна на множестве X , если для любой точки х₀ этого множества и любой последовательности точек х_п Е X, сходящейся к х₀, будет выполнено: f(x_n~) ^ f(x 0 ).

Рассмотрим пространство C [a ,b ] непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b], вместе с метрикой равномерной сходимости. Оно является полным метрическим пространством. Чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было пред-компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространства C[a,b] можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого потребуется использовать следующие новые понятия.

Положим, что F – семейство непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b]. Вводится понятие квази абсолютно непрерывной функции, и дается условие компактности в пространстве квази абсолютно непрерывных на замкнутом отрезке [a, b] функций.

Определение. Непрерывную на [a, b] функцию f(x~) будем называть квази абсолютно непрерывной, если для сколь угодно малого г и сколь угодно большого К < +^ существует 8 такое, что для любой последовательности a1 < b1 < a2 < Ь2 < ••• < ak < bk,(1)

k <К < +», at, bt Е [a, b], i = 1,2, ...,k, удовлетворяющей условию

T,t=i(bi — dt) < 8(2)

будет выполняться неравенство

IS^KfCbi) -f(ai)]| < г .

В определении абсолютно непрерывной функции 8 зависит только от г . Для квази абсолютно непрерывных функций 8 зависит не только от г , но и от k < К.

Определение . Обозначим через A совокупность квази абсолютно непрерывных на [a, b] функций. Будем говорить, что функции, входящие в совокупность A , являются равностепенно квази абсолютно непрерывными, если для сколь угодно малого г и сколь угодно большого К < +^ существует 8 такое, что для любой последовательности вида (1), удовлетворяющей условию (2), и для любой функции f Е А будет выполняться неравенство (3).

Определение . Множество X с R называется компактным, если из каждой последовательности ( X n Е X ) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке х о ЕX.

Компактные множества похожи на отрезок, и непрерывные функции на них ведут себя, как на отрезке. Свойства и критерии для компактных множеств известны, в том числе в виде различных утверждений или теорем.

Они доказываются дословно так же, как и для непрерывных функций на отрезке. Используется только определение непрерывности через последовательности и возможность выбора сходящейся подпоследовательности из последовательности точек компакта.

Теорема Арцела. Функциональное семейство F является предкомпактным в полном метрическом пространстве C [a ,b ] тогда и только тогда, когда это семейство является

• •    равномерно ограниченным;

• •    равностепенно непрерывным.

Теорема Арцела – это утверждение, которое представляет собой критерий [1] пред- компактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство – пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Теорема Арцела находит свое применение в теории дифференциальных уравнений. Применение теоремы Ар-цела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.

Теорема Арцела–Асколи – это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов.

Таким образом, теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.

Существующий критерий предкомпакт-ности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.

• 1.2.    Основные утверждения

Теорема 1. Если A – совокупность равномерно ограниченных и равностепенно квази абсолютно непрерывных на [а, Ь] функций, то из нее можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся к квази абсолютно непрерывной на [а, Ь] функции.

Доказательство. Очевидно, что функции, входящие в совокупность A, являются равностепенно непрерывными.

Тогда в силу теоремы Арцела–Асколи [1] из A можно извлечь подпоследовательность f_n, равномерно сходящуюся к некоторой непрерывной на [а, Ь] функции.

Обозначим эту предельную функцию через f и покажем, что она является квази абсолютно непрерывной.

Пусть это не так. Тогда для некоторых и К₀< +^ и сколь угодно малого найдется последовательность вида (1) с к < К₀ , удовлетворяющая условию (2), и такая, что имеет место неравенство

|Y i=1 [⁽f⁽Ь i ⁾ — f(a i ⁾] | >  £₀        (4)

Зададимся произвольными и К е [К0, +от).

В силу сделанных предположений по и К найдутся и последовательность вида (1), удовлетворяющая условию (2), такие, что для любого п будет выполняться неравенство

IXK i [(f n (b_i)-f_n(a_i)]l <  е, (5) а для функции f будет выполняться неравенство (4).

Выберем N столь большим, чтобы для всех п > N и всех х е [а, Ь] выполнялись неравенства lf(x)-fn(x)l<^- .       (6)

2t\

Тогда будем иметь

|^[(f(Ь i )-f(a i )]|

= |^{(fn(Ьi) - ^г(а^]| +

+ ^[f(Ь i ^{) —} f n (b t)] + ^[fn^(ai^{) — f(a}i^)]}

< ^| ^ ^{(fn(Ь i ^{) - f}n^(ai⁾^^| +

+ ][{(f n (a i ) - Ж)] + |f „ (Ь i ) - f(Ь i )^) <  i=i

<2е < E o ,          (7)

что противоречит неравенству (4). Это противоречие и доказывает справедливость утверждения теоремы.

Теорема 2. Если последовательность ^ = {f_m} квази абсолютно непрерывных функций сходится на [а, Ь] к квази абсолютно непрерывной функции f, то функции, входящие в F, равномерно ограничены и равностепенно квази абсолютно непрерывны.

Доказательство. Поскольку функции f, f 1 ,f 2 ,—. непрерывны, то последовательность {f_n} сходится к f равномерно и является равномерно ограниченной. Покажем, что функции, входящие в последовательность F, являются равностепенно квази абсолютно непрерывными.

Предположим, что это условие не выполняется.

Тогда существуют , К < +» такие, что для сколь угодно малого и сколь угодно большого N найдутся п > N и последовательность вида (1), удовлетворяющая условию (2), такие, что будет иметь место неравенство

^i[(fn(b()-fn(ai)]|>£o- (8)

Выберем произвольное и столь большое N, что для всех п > N и всех % 6 [а, Ь] будет выполняться неравенство (6). Из сделанного предположения и из квази абсолютной непрерывности функции f следует, что для выбранных К и N найдутся п> N и последовательность вида (1), удовлетворяющая условию (2), такие, что будут иметь место неравенства (3) и (8) одновременно. Тогда полу- чим цепочку противоречивых неравенств:

£o - |^[(fn(bi) —fn(ai)]| =

= |^{[ ^(f(b i ⁾ - ^f(ai^{)] + [} f n^(bi⁾ - ^f(bi ]

+ [f(ai) - fn(ai]}| -

- I^Ki[(f(bi)-f(ai)]l + SUlfAbi) — f(bil + lf(ai)-fn(a()|]<2£<£o. (9)

Это противоречие и доказывает теорему. Объединяя теоремы 1 и 2, приходим к следующему результату.

Теорема 3. Для того чтобы бесконечное множество A элементов пространства квази абсолютно непрерывных на [a, Ь] функций было компактно, необходимо и достаточно, чтобы функции, входящие в A, были равномерно ограничены и равностепенно квази абсолютно непрерывны.

Доказательство. Достаточность условий теоремы доказана в теореме 1.

Необходимость условия равномерной ограниченности функций из A вытекает из теоремы об ограниченности компактного множества в метрическом пространстве [1].

Необходимость условия равномерной квази абсолютной непрерывности нетрудно доказать, опираясь на теорему 2.

Обозначим через B совокупность абсолютно непрерывных на [a, Ь] функций.

Будем говорить, что функции, входящие в совокупность B , являются равностепенно абсолютно непрерывными, если для любого найдется такое, что для любой последовательности вида (1), удовлетворяющей условию (2), и для любой функции будет выполняться неравенство (3).

Теорема 4. Если B – совокупность равномерно ограниченных и равностепенно абсолютно непрерывных на [a, Ь] функций, то из нее можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся к абсолютно непрерывной на [a, Ь] функции.

Доказательство. Поскольку функции, входящие в совокупность B , равностепенно абсолютно непрерывны, то они являются и равностепенно непрерывными. Тогда в силу теоремы Арцела–Асколи из B можно извлечь подпоследовательность {f_n}, равномерно сходящуюся к некоторой непрерывной на [a, Ь] функции. Обозначим эту предельную функцию через f и покажем, что она является абсолютно непрерывной.

Пусть это не так. Тогда для некоторого и сколь угодно малого найдется конечная последовательность вида (1), удовлетворяющая условию (2), и такая, что имеет место неравенство (4).

Выберем . Тогда в силу сделанных предположений найдется и конечная последовательность вида (1), удовлетворяющая условию (2), такая, что для любого п будет иметь место неравенство (5), а для функции f – неравенство (4).

Выберем N столь большим, чтобы для всех п > N и сразу для всех % 6 [a, Ь] выполнялось бы неравенство (6). Тогда будет иметь место неравенство (7), которое противоречит предположению (4). Это противоречие и доказывает теорему.

Теорема 4 не может быть обращена, т.е. из факта, что последовательность непрерывных на [a, Ь] функций равномерно сходится к абсолютно непрерывной функции, не только не следует, что функции, входящие в эту последовательность, являются равностепенно абсолютно непрерывными, но и что они вообще являются абсолютно непрерывными.

Справедливость этого утверждения следует из простого примера.

Пример.

Зададим последовательность {fn}, положив fnto = ^cos1, х G [0,1]-     (10)

Эта последовательность равномерно сходится к абсолютно непрерывной на [0,1] функции f = 0, но ни одна из функций f_n не является абсолютно непрерывной.

Заключение

Предложенный подход, с одной стороны, упрощает процесс исследования решений дифференциальных уравнений путем замены непрерывной функции последовательностью приближений, каждое из которых является функцией более простой чем исходная, а с другой стороны дает метод построения абсолютно непрерывной функции.