Компактные свойства множеств в пространстве радоновых мер

Сначала вводим некоторые обозначения:

^Q = ^Q\{0} ;  C(zo,r) = {z:Hz-ZoH

Ф - это линейное пространство непрерывных финитных функций на ^Q . Будут рассматриваться как вещественные, так и комплексные пространства Ф.

Напомним теперь некоторые определения и результаты из теории интеграла и меры.

Пусть в пространстве ^Q определена вещественная борелевская мера ц, Е с ^Q - борелевское множество. Ограничением (сужением) меры ц на множество Е называется мер ц_Е, которая определяется формулой ц_Е(А) = ц(АПЕ) для любого борелевского мно-жества А с ^Q.

Величина |ц| = р₊ + р_, называется полной вариацией или модулем меры ц.

Вещественная борелевская мера ц на RQ называется локально конечной, если для любого компакта К с ^Q выполняется неравенство |ц|(/С) < да.

Обозначим через 9Л1 семейство функций множеств , представимых в виде ц = ц1 — ц2, где ц1, ц2 вещественные локально конечные борелевские меры на 1Q . функция [ определена на борелевских множествах Е с 1^ за исключением тех Е , для которых [1(Е) = [2(Е) .

Теорема 1. (С.М [4]). Всякий элемент [ £ 9Л1 эквивалентен разности [1 — [2, где где [1 и [2 - положительные взаимно сингулярные локально конечные борелевские меры на 1Q. Причем [1 и [2 определяются однозначно.

Вещественной радоновой мерой на 1Q называется класс эквивалентных элементов из множества 9Л1. Множество таких мер обозначим Ж.

Из теоремы 1 легко следует, что множество ^ является вещественным линейным пространством. Проверить это свойство, исходя из определении ^, достаточно затруднительно.

Мы будем рассматривать также комплексные меры Радона. Это функции множеств вида [ = [1 + 1[2, где [1 , [2 - вещественные радоновые меры. Ограничение меры [ на множество Е определяется по формуле [_Е = ([1)_Е + i([2)_E. Комплексная мера Радона [ сосредоточена на множестве Е, если выполняется равенство [ = [_Е.

Обозначим через ЖЕ_ это множество комплексных радоновых мер на 1Q. Отметим, что ^с является комплексным линейным пространством. В пространстве ^с вводится понятие широкой сходимости. Говорят, что последовательность радоновых мер [m широко сходится к радоновой мере [ , если для любой функции ф £ Ф(1о) числовая последовательность [m (ф) сходится к [(ф). Обозначение [ = lim [m. m^m

Вводятся некоторые понятия множеств, связанные с пространством ^с .

Множество Е с ^_с называется широко ограниченным, если для любой функции ф £ Ф(1о) выполняется неравенство sup|[(ф)| < ю.

^£Е

Множество Е с ^_с называется сильным ограниченным, если для любого компакта К с 1Q выполняется неравенство sup|[|(K) < ю.

^£Е

Множество Е с ^с называется компактным, если из любой последовательности цт с Е можно извлечь широко сходящуюся подпоследовательность.

Компактный множество в Жс, содержащее пределы широко сходящихся последовательностей элементов этого множества, называется компактом.

Теорема 2. (CM. [5]) Всякая широко ограниченное множество в ^_с является сильно ограниченным множеством.

Для множества положительных мер признак сильной ограниченности можно усилить.

Теорема 3. Пусть E – множество положительных радоновых мер на ⁿ , Ф,- всюду плотно множество в пространстве Ф(□ n). Тогда если множество {(ц,ф)|:цеE} ограничено для любой функции фе Ф,, то множество E сильно ограничено.

Доказательство. Пусть Kcd n - компакт. В множестве Ф, найдётся такая функция ф, что будет выполняться неравенство х (z) = ф(z). Пусть ц е E. Тогда

ц(K) = J Хк (z)dA(z) < J ф(z)dц(z) < sup{(д,ф): ц^{е E}} .

• □0                            □ 0

Из этого следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 4. (критерий компактности). Для того, чтобы множество H c ^_с было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было широко ограниченным.

Доказательство. Необходимость. Докажем от противного. Пусть H с^с -компактное множество. Допустим, что оно не является широко ограниченным. Тогда существует функция фе Ф(□ П) и последовательность ц е H такие, что выполняется неравенство \Ццт ,ф)> m. Но у последовательности цт есть сходящаяся подпоследовательность. Получили противоречие. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть H с^с - широко ограниченное множество. По теореме 3.2 оно является сильным ограниченным. Это означает, что для любого m > 2 существует конст-анта Мт

(                              1

такая, что Ц B (0, m) \ CI 0,—

< м_т m

I           I m для любой меры це H. Пусть ц произвольная последовательность мер из H . По теореме Алаоглу у последовательности ц есть подпоследовательность

ц(1), которая слабо сходится к некоторой мере v₂ на компакте B(0,2) \ C

Из метода математической индукции следует, что существует последовательность Црk), к = 2,3,..., такая, что последовательность Цк+1) является подпоследовательностью последовательности Цк) и последовательность Цк) слабо сходится к некоторой мере vk на компакте

B(0, к) \ C| 0,1 |. Можно считать, что каждая мера v_k есть мера на □ ", считая k к)

v_k равной нулю вне компакта B(0, к) \ C| 0,1 |. Тогда берём диагональную k к)

последовательность ^ = Цк), которая будет слабо сходиться к мере vm на компакте B(0, m) \ C| 0,— | для любого m > 2. Докажем, что vm+,и vm+2 на k m )

компакте B(0,m)\ C| 0,— | совпадают. Берём функцию у, которая та же k m)

функция, что и в тексте доказательства предыдущей теоремы. Тогда

V е С^fB(0, m +1) \ C(0. k             k

]]

m +1)₎

, v g С^fB(0, m + 2) \ C^f0. I              k

¹•—]) m + 2 ))

. Поэтому

lim (a_k v )=    J V ( x ) dv_m+i ( x )=J ф( x ) dv_m+i ( x ) .

B(0,m)\Cf0,-|                          ^{D 0}

lim(^ ,V) = J ф(x) ^dVm+2 (x) . ⁿ 0

Далее, как и в доказательстве предыдущей теоремы, получаем совпадение ограничений мер   vm+1 и   vm+2   на компакте   B (0, m) \ CI 0, — I. Строим

I m)

последовательность vm как ограничение меры vk+1 на компакте B(0, m) \ C| 0,— km и меру це^с такую, что для любого m>2 ограничение ц на компакте

B(0, m) \ CI 0,— I есть v_m. k m)

Теперь докажем, что последовательность ^ сходится к ц. Пусть ф - произвольная функция из Ф (□ П). Существует такое n, что suppф с

< Z х   (   1 ^

B(0, m ) \ CI 0,— I k      ⁷   k  m))

с

( ,         X (      1

B(0, m +1) \ CI 0,-----I k            k m +1))

Поскольку последовательность ^ слабо сходится к v_k+1 на компакте

B(0, m +1) \ CI 0, -^- I, то lim (ст_к, ф) = (v_m+1, ф) = (y_m, ф) = (ц, ф). Теорема доказана. k m +1)     ^m ^^ю

Говорят, что сеть радоновых мер ц., r е (0, да), широко сходится к мере v при r ^да, если для любой функции фе Ф (□ n) выполняется равенство lim (Цг ,ф)=(v ,ф). r ^да