Компьютерные алгоритмы управления в режиме реального времени на методе синтеза

В современном мире, где сложные системы играют ключевую роль в достижении значимых и стратегически важных целей, задача повышения эффективности управления ими становится все более актуальной [1; 2]. Эти системы, функционирующие в условиях высокой ответственности, часто сталкиваются с необходимостью адаптации к разнообразным и порой крайне неблагоприятным внешним факторам, что делает процесс управления особенно сложным [3]. В связи с этим, проблема оптимизации управления такими системами заслуживает пристального внимания исследователей и практиков, стремящихся найти наиболее эффективные подходы и решения для ее разрешения [4].

Это особенно важно в практических задачах, при управлении подвижными объектами, технологическими процессами, имеющими общий вид, представленный на рисунке 1.

Рисунок 1. Функциональная схема замкнутой системы

Элементы системы:

ОУ – объект управления;

ЗУ – задающее устройство;

ИПУ – измерительно-преобразовательное устройство;

СУ – сравнивающее устройство;

R – регулятор.

Координаты (переменные) системы:

g ( t ) - задающее воздействие;

z ( t ) - управляемая (регулируемая) величина;

v ( t ) - возмущающее воздействие;

x ( t ) - рассогласование (ошибка);

u ( t ) - управляющее воздействие.

Динамическая система представляет собой систему, в которой одним из основных компонентов является независимая переменная, время, определенная на известном интервале [5]. В рамках такой системы фазовые переменные подвергаются изменениям в зависимости от времени. В структуру динамической системы могут быть включены функции времени, определенные на соответствующих интервалах, которые принято называть управляющими воздействиями. Управляющие воздействия, которые демонстрируют прямую зависимость от фазовых переменных, классифицируются как управляющие с обратной связью. Следует отметить, что математические модели, используемые для описания динамической системы, могут иметь разнообразные

формы. В данном контексте мы сосредоточимся на анализе динамической системы, заданной в стандартной форме Коши и характеризующейся управляющими воздействиями без обратной связи [6; 7; 8].

Z ( t ) = { x g R k : щ ( x , t ) < 0 } .         (1)

x (^f ) = f ( x , u , v ,^f) ;

* x ⁽ t 0 ^{) =} t o ^;                             (2)

_ t ^ 1 0 .

где ^ ( x , t ) - некоторая непрерывно-дифференцируемая скалярная функция;

x - вектор k x 1 состояний;

u - вектор n x 1 управляющих воздействий;

v - вектор m x 1 возмущений;

f – вектор-функция, обеспечивающая условия решения задачи Коши.

В качестве f могут выступать совершенно различные функции, описывающие поведение динамической системы.

Синтез системы управления

Вектор состояния системы в момент времени t содержит необходимые параметры, которые описывают текущее состояние системы. В общем случае, состояние системы может быть многомерным и включать различные физические или абстрактные переменные [9].

Необходимо отметить, что задача управления, должна учитывать обеспечение выполнения определенного условия для вектора состояний x ( 1 ₀ ) g Z ( t ) , при t >  1 ₀ , где Z ( t ) определяется исходя из выражения (1) и (2). С помощью этих условий, учитываются различные требования, которые предъявляются к системе, а также те или иные фазовые ограничения [10].

Управляющие воздействия (сигналы), которые влияют на систему в момент времени U ( t ) могут представлять собой команды, подаваемые на исполнительные механизмы, такие как сила, напряжение или другие управляющие параметры. Эти управляющие действия направлены на изменение состояния системы Z ( t ) в соответствии с заданными целями. Для процесса управления стоит выделить следующие ограничения:

u G U ( t ) , t >  1 ₀.                  (3)

Выходные переменные системы, которые могут зависеть как от состояния Z ( t ) , так и от управляющих действий U ( t ) , могут представлять собой измеряемые величины, такие как температура, давление, скорость, положение и т.д.

В контексте управления V ( t ) может использоваться для оценки эффективности управления и достижения заданных целей, для которых можно выделить следующие ограничения:

v ^G V ( t ) , t > t 0 .                  (4)

Таким образом, в задачах управления Z ( t ) описывает текущее состояние системы, U ( t ) - управляющие воздействия, определенные в m-мерном пространстве, а V ( t ) - выходные параметры, которые могут быть использованы для анализа и оптимизации работы системы, и определены в n-мерном пространстве. Эти переменные помогают формализовать задачи управления и разрабатывать алгоритмы для достижения желаемого поведения системы.

Синтез закона управления, для системы (1) с учетом заданных ограничений (4 и 5) и предпочтительной структуры – одна из главных задач настоящей статьи. Рассмотрим, как можно использовать метод вариации фазовых ограничений для этих целей [1].

Чтобы система (1) соблюдала фазовые ограничения (2), (3) и условия управления (4) для всех возможных возмущений v ( t ) , достаточно наличия хотя бы одного законченного управляющего алгоритма, который будет соответствовать установленным критериям (5):

u = й ( x , t ) g U ( t ) , t >  0,           (5)

при котором будет выполняться неравенство (6):

(^V Х У , f ( x , u i ( ^x , t ) , v , t ) ) + d f <  0 ;

dt            (6)

V x e rZ ( t ) , V v e V ( t ) , t >  1 ₀ .

где rZ ( t ) - граница множества Z ( t ) ;

V _x ^ - градиент функции V _x ^ ( x , t ) ;

( V _x ^ , f ) — скалярное произведение векторов V _x ^ и f в пространстве R_n .

Уравнение (6) играет центральную роль в процессе синтеза и дает возможность упростить решение сложных задач, приводя их к более простому виду в качестве алгебраических уравнений на определенных границах множества.

Пусть управление входит в (1) линейно и аддитивно:

x = ^f ( x , v , t ) + A u .              (7)

Тогда в соответствии с (6) получим:

( u , A T V x ^ ) <- ( ^f ( x , v , t ) V x ^)-^ ;

^dt (8)

V x e rZ ( t ) , V v e V ( t ) , t >  1 ₀ .

Для разрешения неравенства (8) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

V x y £ Core ( A T ) ;

V x e UZ ( t ) ;

(. f ( x , v , t ) , ^V x y ) + d y

где Core ( A T ) - ядро матрицы A T .

Таким образом, если (9) справедливо, то всегда можно выбрать такое управление u е R n , для которого обеспечивается (8).

Зададим у ( x , t ) в виде уменьшающейся во времени квадратичной функции:

у ( x , t ) = ( x , Mx ) - qe ^A <  0,       (10)

где q >  0, Л >  0 , М - некоторая положительно-определенная матрица.

Введем обозначения:

a ( x , v , t ) = ^- ( f 1 ( x , v , t ) , V x ^ ) ^- d- = = - ( f . ( x , v , t ) ,2 Mx ) - qAe ~ ^Л .

в ( x , t ) = A T V _x y = 2 A T Mx .       (12)

Здесь a ( x , v , t ) - скалярная функция, в ( x , t ) — m *1 вектор-функция. В результате получаем, что для разрешения (8) необходимо:

V x е R k , y ( x , t ) е { x е R k : a ( x , v , t ) < 0 } :

A^TMx * 0                            (13)

или

Vx g Rk, ATMx = 0: y[ x, t )g g | x g Rk : a (x, v, t )> 0} .             (14)

Достигается выполнение условий (13) или (14) выбором соответствующих значений ^q , Л и матрицы М . За счет изменения этих параметров осуществляется вариация исходных фазовых ограничений.

Представим (10) в виде неравенства (15):

( u , р ( x , t ) ) < а ( x , v , t );

V x e rZ ( t ) , t >  0 .

Неравенство (15) определяет все множество значений вектора и в каждой граничной точке x g rZ (t). Исходя из этого соотношения, аналитически синтезируется закон управления, обеспечивающий решение задачи при наличии параметрической неопределенности объекта управления. Используя вариацию фазовых ограничений, можно обеспечить как разрешимость задачи, так и требуемую структуру управления. При этом формирование управления происходит в режиме реального времени, что позволяет эффективно применять данный метод для систем самого различного назначения.

Заключение

Предложенный метод синтеза нелинейных систем обеспечивает возможность эффективной разработки управленческих алгоритмов разнообразной структуры с учетом существующих ограничений, накладываемых на систему. В рамках данного метода были определены условия, необходимые для успешного решения задачи синтеза, и аналитически сформирован полный спектр управленческих законов, способствующих достижению поставленной цели. Методика предусматривает возможность учета различных характеристик зависимости системы от управленческих воздействий, а также предпочтительного выбора структуры синтезируемого управленческого закона.

Предложенный подход имеет потенциал для применения в задачах синтеза систем управления объектами, предназначенными для различных сфер деятельности.