Комплексные степени одного дифференциального оператора, связанного с оператором Шредингера
Автор: Гиль Алексей Викторович, Ногин Владимир Александрович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
Изучаются комплексные степени дифференциального оператора второго порядка Sλ, с комплексными коэффициентами в главной части. Отрицательные степени этого оператора реализованы как потенциалы Hαλφ с нестандартной метрикой. Положительные степени, обратные к отрицательным, - как аппроксимативные обратные операторы. Описан также образ Hαλ(Lp) в терминах оператора, левого обратного к Hαλ.
Дифференциальный оператор, образ, мультипликатор, комплексные степени, метод аппроксимативных обратных операторов
Короткий адрес: https://sciup.org/14318560
IDR: 14318560
Текст научной статьи Комплексные степени одного дифференциального оператора, связанного с оператором Шредингера
В работе исследуются комплексные степени дифференциального оператора Sy в Rn+1 с комплексными коэффициентами в главной части:
д Дд2
Sx = m I+ ib- + 52(i - iXk ) дХ2, k=1 k
где m > 0, b = 0, A = (A1,..., An), Ak > 0,1 6 k 6 n. Комплексные степени оператора S\ с отрицательными вещественными частями на функциях V(x,t) е Ф(Rn+1), где Ф(Rn+1) -пространство Лизоркина (см. п. 2.2), определяются в образах Фурье равенством
——^^ n \ а/2
(S-а/2 Д(© т) = m2 + йт — |40|2 + i X Ak£2 j Д©т).
k=1
3-^ 4 ^...ДВ € Г. т € R1. Reа> 0.
Получены интегральные представления комплексных степеней (2) в виде интегралов типа, потенциала, с нестандартной метрикой. Соответствующие дробные потенциалы имеют вид:
где
(H V)(x,t)= j
Rn+1
α h\ (У, sMx - У, t - s) dy ds,
x е Rn, t е R1,
α-n-1
α h\ (y,s)= dn,a(A)(s)+ 2 exp
[• У- X k=1
b(Ak - i^yk 4(1 + Ak )s
b(n-a)/2 ( -Ц-п ni)
dn,a(A) = --------^---—.
(4п)п/2Г(a) Q Х Щ k=1
Установлены оценки для оператора Н^ из Lp в Lq. В рамках метода аппроксимативных обратных операторов, построено обращение потенциалов На у, у Е Lp. Дано также описание образа На (Lp) в терминах обращающих конструкций.
Таким образом, в работе получены явные выражения для комплексных степеней Sa/2у с положительными вещественными частями и описаны области определения этих степеней.
В настоящее время имеется ряд работ по теории комплексных степеней дифференциальных операторов второго порядка, с постоянными коэффициентами (см. [4, гл. 9, 11]), обзорную статью [2], а. также работы [3-9]). Рассмотренный здесь случай оператора. (1) является одним из наиболее трудных, что обусловлено анизотропностью соответствующих дробных потенциалов (т. е. комплексных степеней оператора. (1) с отрицательными вещественными частями). Последнее, в свою очередь, связано с наличием комплексных коэффициентов в главной части оператора.
Ранее, в статье [10], был исследован дифференциальный оператор i-gt + Pn=1(1 - iAk ) dX2, представляющий из себя оператор Шредингера
•2 X _dL % 91 + Г1 dx"k, k=1 k
возмущенный комплексными коэффициентами в главной части. Далее, в статье [11], был изучен дифференциальный оператор m2I + igt + Pn=1(1 - iAk) Ц2, связанный с опера-xk торами Шредингера (5) и Гельмгольца m2I + РП=1 уфт• В данной работе рассмотрен dxk наиболее общий случай.
-
2. Вспомогательные сведения
-
2.1. Обозначения, hf, w) = JRn+1 f (x, t)w(x, t) dx dt; (W^y)(x, t) = (w(-, 5) * y)(x, t) — интеграл Гаусса. - Вейерштрасса. где w(x,t,5) = (4п5)-п/2e(-|x|2 -t2)/(45) - ядро Гаусса -Вейерштрасса: S - класс Шварца быстро убгдватопщх гладких функций: Ro - банахова алгебра преобразований Фурье функций, интегрируемых в Rn; Co(Rn+1) = {f : f Е C (Rn+1), f (to) = 0} - пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности.
-
-
2.2. О пространствах Лизоркина Ф, Ф. Через Ф обозначим класс функций из S, которые исчезают вместе со всеми своими производными на совокупности координатных гиперплоскостей в Rn+1: y1 = 0, • • • ,yn+1 = 0.
Лемма [4, лемма 1.31]. Пусть функция f (x,z) аналитична по z в некоторой области D С C лля потmi всех x Е Rn+1 п имеет суммпру:мую мажоранту: |f (x,z)| 6 F (x) Е L1(Rn+1). Тогда iштеграл R Rn+i f (x, z) dx апалптжюп no z в области D.
Пространство Ф является счетно-нормированным пространством, полным относительно набора, попарно-согласованных норм, задаваемых равенствами
H^kN = sup (M (u))N |Dk ^(u)|, N = 0,1, 2,...,
|k|6N, n+i ueRn+1\ U {yeRn+1: yl=o} l=1
ГТ- u = (xA M (u = max{ Щ+Щ, Ш- ^ = mm^...,,^ j
Обозначим через Ф = Ф(Rn+1) пространство прообразов Фурье функций из Ф: Ф = F -1(Ф). Пространства Ф и Ф были введены П. И. Лизоркиным (см., например, [13]). Нам понадобится информация о плотности класса Ф в Lp.
Замечание 1. Известно [4, теорема 2.1], что Класс Ф плотен в Lp, 1 < p < то, и в C0(Rn+1). Как показано в [4. глава 2. §4]. для любой функции w(x,t) € S существует последовательность функций wN(x,t) € Ф. аппрокстшрующая w(x) по иормо Lp . 1 < p < то. ii по норме Co-
-
3. Основные результаты
ЗЛ. Интегральные представления для комплексных степеней S-а/2у, у € Ф. Комплексные степени S-a/2^, у € Ф , определим равенством (2). Интегральное представление для указанных степеней дает следующая
Теорема.
Пусть
0 < Re
a
(s-a/2 у ) ( x,t ) = ( H«y ) ( x,t ) , (6)
где HX - опсратор (3).
C Утверждение теоремы будет следовать из равенства
-
1_ Г Г у 1Д т HpHxi - «т ) ds = I £ (y,s)y(x - - s ) dyds,
(2 n ) n+1 n a/2 J X , У, ,
R1 Rn I m2 + Ьт + P (iXk — 1)^2 ) Rn+1
k=1
где hX (y,s) - ядро (4). Для доказательства (7) установим вначале формулу
1 [тт[
(2 n ) n+1
R1 Rn
<Ж т ) ex P
n
— e р Yk €k k=1
m2 + Ьт
-
ixS — itT
dξ
n a/2
— P YkP+ ie k=1
j ha,E(y,s)y(x — y,t — s ) dyds.
Rn+1
Здесь Re a > 0. Yk = 1 — i^k- ha,E(y,s) =
b(n - a)/2 e X p( — «Tri )
n
(4n)n/2Г(a) П vYk k=1
m2i — eA
( eb + is ) n/2 exp ь --- I
n s — X k=1
by2
4 Yk (be + is )
-2+Reα
( s ) + 2
Yk > 0. k = 1 ,..., n.
Заметим, что ha,£ ( y,s ) € L1.
С помощью формулы Бохнера (в Rn)
получаем:
x
-~-
^е ( ^,т ) =
∞
2exp( —ani )

exp ( —ep + ibтp + im2p ) p1-a/2 ( e + ip)n/2
dρ
n
X Yk sk k=1
1-n/2 ^
Jn-2 2

n
X Yk S2
k=1
dr,
где Jn-2 (z) - функция Бесселя порядка n-2. Применив к внутреннему интегралу в правой частп формуту 6.631.4 из [14]. имеем ha^ ) =
г( a)
∞ exp (-ani/4)

n
-ер + i m2 + Ьт - P YkE2 P
V 2=1
n e P Yk Ek k=1
dρ.
Используя далее формулу 3.381.4 из [14], будем иметь:
/ n n \ —a/2
ЦД^т )=exP l-e X Yfc<2 1 m2 + bT - X Yk^ + iej . (9)
k=1 k=1
Умножив обе части (9) на $(фт ) и применив обратное преобразование Фурье, получаем (8).
Заметим, что обе части (8) аналитичны по Y1 в области D 1 = {Re Y1 > 0, Im Y1 < 0}. Аналитичность правой части этой формулы обосновывается применением леммы 1 с учетом равномерной (в области D1) опенки
|hO.,e(y,s)| 6 C (e2b2 + s2)-n/4, "ьм ■' Rep. (io)
Аналитичность левой части (8) очевидна.
Анализ доказательства, граничной теоремы единственности И. И. Привалова, приведенного в [1, с. 413-415], показывает, что равенство (8) справедливо для Y1 € D1, Y2 > 0,...,7„ > 0
Далее, зафиксируем Y1 € Di и распространим по аналитичности формулу (6) для Y1 € D 1 11 Y2 € D2 = {Re y2 > 0, Im y2 < 0}.
Продолжая процесс последовательного аналитического продолжения (по переменным Y3,...,Yn)- убеждаемся в справедлпвоетп (8) для Yk € Dk = {Re Yk > 0,Im Yk < 0}. k = 1,..., n.
Полагая в (8) Yk = 1 - iXk. k = 1,... ,n. X2 > 0. будем иметь:
PP E(iXk -1)^ -ix^-itT
1 [ a [ ж т ) • expk^1 ______________ d E
(2n)n+1 / J / n \a 2
r+ Rn m2 + Ьт + P (iXk - 1)Ek + ie I k=1
= j hx/y^Mx - y,t - s) dyds, v € ф (n)
Rn+1
где
, a -2+Re« J (m 2 i - e)s X b( i b£ + s )( X k - i )y 2 1
hx,e(y, s )= dn,a ( X )( eb + is ) / ( s )+ 2 eXP|-----b--2^1 4(1+ X k )( e 2 b 2 + s 2 ) J •
Переходя в (11) к пределу при е ^ 0, получаем (7). Предельный переход в правой части (11) обосновывается мажорантной теоремой Лебега, применимой с учетом оценки
//
R1 R n
|v( x - у-Л- s )| n+2-Re a
|s| 2
dy ds < ∞,
Re a < n + 2.
Возможность предельного перехода, под знаком интеграла, в левой части (11) очевидна. Применяя к обеим частям (7) преобразование Фурье, получаем (6). B
-
3.2. Действие оператора H- в L p-пространствах. Д ействие оператора H- из Lp(Rn+1) в Lq (Rn+1) описывается следующей теоремой.
-
3.3. Обращение потенциалов f = НЗ р с L p-плотностями. В рамках метода аппроксимативных обратных операторов, левый обратный к S- a/2 оператор будем строить в виде:
Теорема 2. Оператор H— ограничен из Lp в Lq. 0 < Re a < n + 2. 1 6 p < Rn+a.. = (n+2)p q n+2-p Re a '
Утверждение теоремы 2 легко выводится из [15, теоремы 28.2, с. 412], содержащей (Lp - Lq )-оттеики для параболических потопциалов Джонса - Сэмпсона в Rn+1.
a (Lp (Rn+1)) a
(T-f)(x,t) = lim (Т5Д f )(x,t), где
(Taxf )(x,t) = j ra x (y,s)f (x -
Rn+l
y, t - s ) dy ds,
rax ( y ,s) =F1
n \ a/2
m2 + bT - |e| 2 + i X Xk(k J k=1 /
€i ei + i6
d e-S|5|2 (y,s),
6 > 0 d>n + 1 —
Справедлива, следующая
Теорема 3.
Пусть
0
<
Re
a
Предел по норме- Lp в (12) можно заменить пределом почти всюду. C Заметим, что функция
n a/ 2
m2 + bT - |e|2 + i X Xkek I k=1 /
...) d exp (-< 2 )
принадлежит R q согласно теореме 3.5 iгз [4]. Следовательно, г.д (y, s) G Li- Доказательство равенства. (14) основано на. представлении
αα
(T8,xHx P )(x,t) = (WMs p)(x,t) + (W6 ^)(x,t).
Здесь 0 < Re
a
где
d
(Ms p)(x,t) = ^C (-6)j Дy)(x,i), j=1
(Ajp)(x, t) = j... J--^+-+yj Mx1 - y1
| {z }
j
- ... -
yj ,x2, ...,xn,t) dy i ... dyj .
Равенство (15) проверяется переходом к образам Фурье для v € Ф, с учетом формулы
-—-
([ v)(£,T ) =
d
£1 + i5
-
1 ЬЖТ), V € Ф-
Это равенство распространяется по ограниченности на все Lp, 1 < p < Rn+2, с учетом того, что операторы в обеих частях (15) ограничены из Lp в Lq, q = n^-p R а •
Ограниченность оператора в правой части (15) из Lp в Lq вытекает из теоремы Юнга о свертках, с учетом очевидной otkhikii kMs vkp 6 C || vkp ii ограниченноети оператора Ws из Lp в Lq д.тя 1 6 p 6 q < то.
а а
Оператор Ts-Н- ограшпен из Lp в Lq по теореме 2. в силу того, что T'
δαλ
свертки с интегрируемым ядром.
В случае, когда V € Li. равенство (15) доказывается вначале в смысле Ф0 :
αα hTs,-Н- г-ш) = hWsMsV + WsV^i, ш G ф.( О )
Пусть ш(x,t) € имеем
далее ШN (x,t) — последовательность функций S по норме Lq. q = n-R+|__ п по норме C (ок
Ф замечание 1). В силу (17)
αα hTs-x Нх v,ШN i = hWs Ms V + Ws V,ШN i.(18)
Переходя в (18) к пределу при N ^ то. получаемт (15) для v € L1.
В [2] показано, что если g(x,t) € Lp. 1 6 p< то. то
(WsMsg)(x,t) ^ 0
Lp
Переходя в (15) к пределу при 5 ^ 0 в указанном смыс.те. получаем (14). B
-
3.4. Описание образа H^Lp). Через На ( Lp ) обозначим обгтаз оператора Н а:
Н- (Lp) = { f (u) : f (u) = (Н5 V )(u) , V € Lp}-
Основной результат статьи составляет следующая
Теорема 4.
Пусть
0 < Re
a
Н- (L p ) = {f € Lq : T - f € Lp}.
C Вложение
Н а (Lp) C {f (u) € Lq : T - f € Lp} (20)
вытекает из теорем 2 и 3.
Докажем вложение
Нх (Lp) D {f (u) € Lq : Txf € Lp}, обратное к (20).
Пусть f € Lq. Обозначим v = T'\f- Справедливо равенство hH-V,^i = hv,нaа^i, ш € ф, которое обосновывается применением теоремы Фубини с учетом (Lp — Lq)-оценок оператора НД. приведенных в теореме 3. Здесь Н- - оператор с символом
n
-
\ а/ 2 i)€kj
m2 + Ьт + (i\k k=1
Далее имеем hH-'у, wi = /у, Н-'шЕ = й Tа.f, Н-‘ш\
А м, \v’ д / \ s >0 "’А ’ А /
= lim /т-тf’H-ш\ = lim (/ЖН - ш\. (21) S,0 \ S’A ’ А / S,0 \ ",А А /
Последнее из равенств (21) вытекает из того, что сходимость в Lp влечет сходимость в ф0
С учетом (21) и (15), будем иметь:
α кН- у^ = lim hf, (Ws Ms + WsM = lim h(Ws Ms + Ws )f,wi = hf,wi. (22)
s >0 s ,0
Второе из равенств (22) обосновывается применением неравенства Гёльдера при p > 1 и мажорантной теоремы Лебега при p = 1.
Используя рассуждения, аналогичные применявшимся при переходе от (15) к (17), получаем:
hf,wi = hHAУ’Ш^’ ш G S’ откуда вытекает, что f(x,t) = (НДy)(x,t) для шлitii всех x G Rn t G R1. Следовательно. f(x,t) G НД(Lp). B
Список литературы Комплексные степени одного дифференциального оператора, связанного с оператором Шредингера
- Factional powers of differential operators of the second order with constant coefficients in Lp-spases//Докл. АН. 1995. Vol. 341, № 3. P. 295.
- Karapetyants A. N., Nogin V. A. Complex powers of the second order non-homogeneous elliptic differential operators with degenerating symbols in the spaces Lp(Rn))//Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2001. Vol. 7. P. 193-209.
- Karasev D. N., Nogin V. A. On the boundedness of some potential-type operators with oscillating kernels//Mathematische Nachrichten. 2005. Vol. 278, № 5. P. 554-574.
- Гиль А. В., Ногин В. A. Обращение и описание образов потенциалов с особенностями ядер на сфере//Владикавк. матем. журн. 2012. Т. 14, № 4. С. 10-18.
- Гиль А. В., Ногин В. A. Описание функциональных пространств, связанных с обобщенными операторами Шредингера//Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2014. № 1. С. 10-13.
- Гиль А. В., Ногин В. A. Комплексные степени одного дифференциального оператора в Lp-пространствах//Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2014. № 5. С. 5-10.
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 630 c.
- Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций//Тр. МИАН. 1969. Т. 105. P. 89-167.
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1971. 1108 с.
- Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.