Конечно-элементное моделирование нелинейных задач упругости в абсолютных узловых координатах на неструктурированных шестигранных сетках
Автор: Караваев А.С., Копысов С.П.
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 2 т.17, 2024 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается конечно-элементная формулировка задачи теории упругости в абсолютных узловых координатах (Absolute Nodal Coordinate Formulation - ANCF), то есть большие перемещения тела описываются в глобальной системе отсчета без использования каких-либо локальных координат. Основной особенностью такого представления является отсутствие гироскопических эффектов и, как следствие, постоянство матрицы масс и вектора обобщенной силы тяжести. В отличие от традиционного ANCF подхода наборы узловых степеней свободы конечного элемента формируются только на основе абсолютных координат узлов. Вследствие этого становится возможным решение задачи, в том числе на неструктурированных шестигранных сетках. Для построения матрицы жесткости применяется алгоритм автоматического дифференцирования второго порядка, гарантированно обеспечивающий ее симметричный вид (матрица Гессе) и обладающий аналитической точностью вычисления производной. Указанный подход позволяет также проводить вычисления для моделей гиперупругих материалов без привлечения соответствующего тензора Пиолы-Кирхгофа. В рамках дискретизации уравнения движения наряду с известной схемой численного интегрирования Ньюмарка показана возможность применения HTT-α схемы, являющейся безусловно устойчивой, второго порядка точности и диссипативной для высоких частот. Рассмотрены примеры решения статических и динамических задач упругости для сжимаемых и несжимаемых моделей гиперупругих материалов, функции плотности внутренней энергии тела которых задаются через градиент деформации.
Абсолютные узловые координаты, неструктурированная шестигранная сетка, автоматическое дифференцирование второго порядка, матрица гессе, htt-α схема, гиперупругая модель материала
Короткий адрес: https://sciup.org/143183224
IDR: 143183224 | DOI: 10.7242/1999-6691/2024.17.2.21
A finite element modeling of nonlinear problems of elasticity in absolute nodal coordinates using unstructured hexahedral meshes
We consider a finite element approach to solving the problem of elasticity theory in terms of absolute nodal coordinate formulation (ANCF), in which large body displacements are described in a global reference frame without using any local coordinate system. The main feature of the method is the absence of gyroscopic effects and, as a result, constancy of the mass matrix and the vector of the generalized force of gravity. In contrast to the traditional ANCF approach, the sets of nodal degrees of freedom of the finite element are formed only on the basis of absolute coordinates of nodes, which allows us to solve the problem using, in particular, unstructured hexahedral meshes. To construct the stiffness matrix, we apply a second-order automatic differentiation algorithm, which ensures its symmetrical form (Hessian matrix) and is analytically accurate in calculating the derivative. This approach also makes it possible to carry out calculations for models of hyperelastic materials without the corresponding Piola-Kirchhoff tensor. It has been shown that within the framework of discretization of the equation of motion, along with the well-known Newmark numerical integration scheme, it is possible to use the HTT-α scheme, which is unconditionally stable, second-order accurate and dissipative for high frequencies. We present several examples of solving static and dynamic elasticity problems for compressible and incompressible models of hyperelastic materials, in which the functions of internal energy density of the body are specified in terms of the deformation gradient.
Список литературы Конечно-элементное моделирование нелинейных задач упругости в абсолютных узловых координатах на неструктурированных шестигранных сетках
- Лущин Л.П., Шаранюк А.В. Метод конечных элементов в задачах динамики свободных конструкций // Ученые записки ЦАГИ. 2000. Т. 31, № 3/4. C. 156–177.
- Shabana A.A., Hussien H.A., Escalona J.L. Application of the Absolute Nodal Coordinate Formulation to Large Rotation and Large Deformation Problems // Journal of Mechanical Design. 1998. Vol. 120, no. 2. P. 188–195. DOI: 10.1115/1.2826958.
- Gerstmayr J., Sugiyama H., Mikkola A. Review on the Absolute Nodal Coordinate Formulation for Large Deformation Analysis of Multibody Systems // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 8, no. 3. 031016. DOI: 10.1115/1.4023487.
- Otsuka K., Makihara K., Sugiyama H. Recent Advances in the Absolute Nodal Coordinate Formulation: Literature Review From 2012 to 2020 // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2022. Vol. 17, no. 8. 080803. DOI: 10.1115/1.4054113.
- Olshevskiy A., Dmitrochenko O., Kim C. - W. Three-Dimensional Solid Brick Element Using Slopes in the Absolute Nodal Coordinate Formulation // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2014. Vol. 9, no. 2. 021001. DOI: 10.1115/1.4024910.
- Olshevskiy A., Dmitrochenko O., Yang H.-I., Kim C.-W. Absolute nodal coordinate formulation of tetrahedral solid element // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 88, no. 4. P. 2457–2471. DOI: 10.1007/s11071-017-3389-1.
- Дмитроченко О.Н. Десятичный номенклатурный код dncmkot для идентификации существующих и автоматической генерации новых конечных элементов // Вестник Брянского государственного технического университета. 2017. № 1. C. 207–217. DOI: 10.12737/24955.
- Дмитроченко О.Н. Расширенный десятичный номенклатурный код dncm описания произвольного конечного элемента // Вестник Брянского государственного технического университета. 2017. № 2. C. 155–166. DOI: 10.12737/article_59353e29d22508.11477409.
- Kim H., Lee H., Lee K., Cho H., Cho M. Efficient flexible multibody dynamic analysis via improved C0 absolute nodal coordinate formulation-based element // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2022. Vol. 29, no. 25. P. 4125–4137. DOI: 10.1080/15376494.2021.1919804.
- Obrezkov L.P., Mikkola A., Matikainen M.K. Performance review of locking alleviation methods for continuum ANCF beam elements // Nonlinear Dynamics. 2022. Vol. 109. P. 531–546. DOI: 10.1007/s11071-022-07518-z.
- Hilber H.M., Hughes T.J.R., Taylor R.L. Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1977. Vol. 5. P. 283–292. DOI: 10.1002/EQE.4290050306.
- Караваев А.С., Копысов С.П. Метод композиции решений в контактных задачах с трением деформируемых тел // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2023. Т. 33, № 4. C. 659–674. DOI: 10.35634/vm230408.
- Bücker H.M., Corliss G.F. A Bibliography of Automatic Differentiation // Automatic Differentiation: Applications, Theory, and Implementations. Vol. 50 / ed. by M. Bücker, G. Corliss, U. Naumann, P. Hovland, B. Norris. 2006. P. 321–322. DOI: 10.1007/3-540-28438-9_28.
- Семенов К.К. Автоматическое дифференцирование функций, выраженных программным кодом // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 12. C. 34–39.
- Vigliotti A., Auricchio F. Automatic Differentiation for Solid Mechanics // Archives of Computational Methods in Engineering. 2021. Vol. 28. P. 875–895. DOI: 10.1007/s11831-019-09396-y.
- Караваев А.С., Копысов С.П., Пономарёв А.Б. Алгоритмы построения и перестроения неструктурированных четырехугольных сеток в многосвязных областях // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5, № 2. C. 144–150. DOI:10.7242/1999-6691/2012.5.2.17.
- Караваев А.С., Копысов С.П. Построение адаптивных шестигранных сеток из поверхностной и воксельной геометрических моделей // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2023. Т. 33, № 3. C. 534–547. DOI: 10.35634/vm230310.
- Macneal R.H., Harder R.L. A proposed standard set of problems to test finite element accuracy // Finite Elements in Analysis and Design. 1985. Vol. 1, issue 1. P. 3–20. DOI: 10.1016/0168-874X(85)90003-4.
- Ebel H., Matikainen M.K., Hurskainen V.-V., Mikkola A. Higher-order beam elements based on the absolute nodal coordinate formulation for three-dimensional elasticity // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 88, no. 2. P. 1075–1091. DOI: 10.1007/s11071-016-3296-x.
- Le Clézio H., Lestringant C., Kochmann D.M. A numerical two-scale approach for nonlinear hyperelastic beams and beam networks // International Journal of Solids and Structures. 2023. Vol. 276. 112307. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2023.112307.
- Mengaldo G. Nonlinear Fluid-Structure interaction with applications in computational haemodynamics: PhD thesis / Mengaldo G. 2011. URL: https://www.politesi.polimi.it/retrieve/a81cb059-b461-616b-e053-1605fe0a889a/Master_thesis.pdf.
