Конечные и некоторые почти полные группы, в которых одинаковы пересечения любых двух максимальных подгрупп
Автор: Половицкий Я.Д., Волочков А.А.
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 3 (22), 2013 года.
Бесплатный доступ
Описаны конечные и некоторые почти полные группы, в которых любые две максимальные подгруппы пересекаются по подгруппе Фраттини, и их подкласс с Ф(С) = 1.
Группа, пересечение, максимальная подгруппа, тини
Короткий адрес: https://sciup.org/14729871
IDR: 14729871
Текст научной статьи Конечные и некоторые почти полные группы, в которых одинаковы пересечения любых двух максимальных подгрупп
Определение 1. Группу G, в которой либо любая пара различных максимальных подгрупп пересекается по Ф ( G ), либо имеется лишь одна максимальная подгруппа, на зовём Ф- группой.
Отметим, что из этого определения следует, что в Ф -группе G Ф ( G ) = G.
Определение 2. Группу, в которой либо пересечение любых двух различных максимальных подгрупп равно единице (т.е. тривиально), либо имеется лишь одна максимальная подгруппа, назовём 'ПМ-группой (или группой с TIM-условием).
Очевидно, класс TIM-групп является подклассом класса Ф -групп.
Рассмотрим сначала конечные TIM-группы II Ф -группы.
Предварительно докажем одно утверждение, связанное с подгруппой
Фраттшш Ф ( G ).
Лемма 1. Если группа G конечна, то G/Ф ( G )—циклическая группа тогда и толь ко тогда, когда G —циклическая.
Необходимость. Пусть G/Ф ( G ) = (дФ ( G ) Y Тогда
G = (Ф (G) ,д).(1)
Но. как известно. Ф ( G ) состоит из непорождающих элементов, и потому из (1) л конечности G следует, что
G = (д).(2)
Достаточность очевидна.□
Следствие 1.1. Если G —конечная группа, IG/Ф ( G ) | = p 2 и G нециклическая, то G/Ф ( G )— элементарная абелева группа.
Действительно, нециклическая группа порядка p 2—это абелева группа, и потому она является элементарной абелевой группой.
Следствие 1.2. Пусть G —конечная группа. G/Ф ( G )—циклинеская p -группа то гда и только тогда, когда G —циклическая p -группа.
Необходимость.При условиях этого следствия в качестве элемента g в (1) можно взять, как нетрудно видеть, р -элемент, а тогда из (2) получаем, что G = (g) —никлическая р -группа.
Достаточность очевидна.
Теорема 1. Конечная группа G является TIM-группой тогда и только тогда, когда она либо примарная циклическая, либо элементарная абелева группа порядка р 2, либо G = S h Q. г,не | Q | = q. a S— элементарная абелева р -группа, являющаяся минимальной нормальной подгруппой группы G.
Необходимость. Пусть G —конечная TIM-группа. Если в G максимальная подгруппа единственна, то, очевидно, G —циклическая р -группа.
Пусть в G найдутся две максимальные подгруппы M 1 и M 2.
Возможны 2 случая.
-
1. M i < G,M 2 < G.
Тогда \ G/M 1 1 = р. \ G/M 2 1 = q 11 G = M 1 x M 2 (ввиду TIM-условия), и потому | G | = pq и G абелева, т.е. G —либо циклическая группа порядка pq (при р = q), а это одна из групп последнего типа теоремы 1, либо элементарная абелева группа порядка р 2 (при р = q).
-
'2. Сутпествует M l G. такая, что M не инвариантна в G.
Тогда
M = N ( M ) . (3)
Так как У х Е G M x l G 11 в силу (3)
У х Е G \ M M x = M . то M П M x = 1 (ввиду TIM-условия). По теореме Фробениуса
G = S h M. (1)
Пусти M1 l M. Тогда из (1) следует, что M2 = (S h M1) l G. Но M П M2 = M1. a в силу TIM-условия M П M2 = 1, и потому M1 = 1. т.е. |M| = q—простое число. Пере-обознаннм M через Q. Если Q = (b). то в S нет собственных b-допустимых подгрупп. В частности. Уа Е S \ 1 аь = а. т.е. элемент b вызывает в S автоморфизм без отличных от 1 неподвижных элементов. По теореме Томпсона S—нильпотентная группа. Так как в ней нет собственных характеристических подгрупп (ибо Q l S. 11 потому в S нет собственных Q-допустимых подгрупп), то S— элементарная абелева р-группа, и G—группа последнего из типов теоремы 1.
Достаточность. Примарная циклическая группа имеет единственную максимальную подгруппу, и потому она по определению—TIM-группа. Группы порядков р 2 и pq, очевидно, являются TIM-группами, а в группе последнего из типов теоремы 1 максимальными подгруппами являются только Qx для всех х Е S и S, и потому она—TIM-группа. □
Следствие 1. Всякая конечная TIM-группа G разрешима.
Если G неабелева, то она—группа последнего типа теоремы 1, а такая группа, является расширением разрешимой группы S при помощи разрешимой группы Q н потому разрешима.
Следствие 2. Конечная сверхразрешимая группа G является TIM-группой тогда и только тогда, когда G —группа порядка р 2. pq инн циклическая р -группа.
Доказательство. Действительно, из групп, перечисленных в теореме 1, группа последнего типа ( G = S h Q ) сверхразрешима тогда и только тогда, когда | S | = р, т.е. |G| = pq■ □
Теорема 2. Конечная группа является Ф -группой тогда и только тогда, когда G/Ф ( G )—TIM-группа.
Необходимость. Пусть G—Ф -группа. Тогда по определению для любых
M 1 , M 2 l G имеем:
M 1 П M 2 = Ф ( G ) . Д)
Если A/Ф ( G ) l G и B/Ф ( G ) l G. то из A l G, B l G 11 (5) следует, что A П B = Ф ( G ). откуда
A/Ф ( G ) П B/Ф ( G ) = Ф ( G ) /Ф ( G )—единичная группа. Значит, G/Ф ( G )—TIM-группа.
Достаточность. Пусть
G/Ф ( G )—TIM-rpyппа. Если M 1 ,M 2 l G. то M i D Ф ( G ) 11 M i /Ф ( G ) l G/Ф ( G ) ( i = 1 , 2).
По определению TIM-группы
M 1 /Ф ( G ) П M2/Ф ( G ) = Ф ( G ) ( единица группы G/Ф ( G )). онсуда M 1 П M2 = Ф ( G ). т.е. G—Ф -группа. □
Следствие 1. Всякая конечная Ф- группа G разрешима.
Доказательство. Как известно, для конечной группы G подгруппа Ф ( G ) нильпо-тентна и потому разрешима. Из теоремы 2 и следствия 1 теоремы 1 вытекает, что G/Ф ( G ) разрешима, и потому G —расширение разрешимой группы при помощи разрешимой, т.е. G разрешима. □
Следствие 2. Конечная группа G является Ф -группой тогда и только тогда, когда либо G —циклическая р -группа. либо G/Ф ( G )—элементарная абелева группа порядка р 2, либо G/Ф ( G ) = P h Q, г де | Q | = q, ii P —элементарная абелева р -группа. явля ющаяся минимальной нормальной подгруп пой группы P h &р = q-
Необходимость. Пусть G —конечная
Ф -группа. Тогда по теореме 2
G/Ф ( G )—TIM-группа, т.е. одна из групп теоремы 1. Если G/Ф ( G ) является циклической р -группой, то по следствию 1.2 леммы 1 G —циклическая р -группа. В остальных случаях в силу теоремы 1
G/Ф ( G )—группа одного из указанных в теореме 1 видов. Необходимость доказана.
Достаточность. Если
G/Ф ( G )—группа одного из указанных в данном следствии видов, то по теореме 1 она является TIM-группой, а тогда по теореме 2 G—Ф -группа. Циклическая р -группа также является Ф -группой. что н завершает доказательство. □
Следствие 3. Конечная сверхразрешимая группа G является Ф -группой тогда и только тогда, когда либо G —циклическая р -группа. либо G/Ф ( G )—группа порядка рq или элементарная абелева группа порядка р 2.
Необходимость. Пусть G —конечная сверхразрешимая Ф -группа. Тогда G/Ф ( G ) сверхразрешима и является по следствию 2 теоремы 1 либо циклической р -группой, либо группой порядка рq пли р 2. Если G/Ф ( G )—циклическая р -группа, то в силу следствия 1.2 леммы 1 G —циклическая р -группа. В остальных случаях G/Ф ( G )—группа порядка рq пли
________________________________.
нециклическая группа порядка р , т.е. элементарная абелева группа порядка р 2.
Достаточность. Если G —конечная сверхразрешимая группа, у которой G/Ф ( G )—одного из указанных выше типов, то по теореме 1 G/Ф ( G )—TIM-группа. а тогда по теореме 2 G—Ф -группа. □
Следствие 4. Всякая конечная р- группа G, имеющая циклическую подгруппу A индекса р. является Ф -группой.
Доказательство. Если G циклическая, то утверждение очевидно. Если G нециклическая, то Ф ( G ) < A. а G/Ф ( G )— нециклическая группа порядка р , т.е. является TIM-группой, и потому G—Ф -группа (по теореме 2). □
Лемма 2 (см. [1], теорема 4.33). Если G —конечная группа, то п ( G/Ф ( G )) = п ( G ).
Теорема 3. Конечная группа G является Ф -группой тогда и только тогда, когда она—группа одного из следующих типов:
-
1. Циклическая р -группа.
-
3. G = P h Q. где Q —циклическая q -группа. ii для Q 1 l Q имеем: Q 1 < Z ( G ). P—р -группа. ii существует P 1 <1 G такая, что P 1 < ( P E l Ф ( G )). P/P 1— элементарная абе лева группа, являющаяся минимальной нормальной подгруппой группы G/P 1.
2-р-группа. у которой G/Ф (G )— элементарная абелева группа порядка р2.
Необходимость. Пусть G —конечная
Ф -группа. Тогда по теореме 2
G/Ф ( G )-ТШ-группа. Обозначим Ф ( G ) через Ф. Возможны случаи:
-
1. G/Ф—р -группа.
-
2. G/Ф —непримариая группа.
Тогда в силу леммы 2 G —тоже р -группа. Из описания TIM-групп в теореме 1 следует, что G/Ф —либо циклическая р -группа, либо элементарная абелева группа порядка р 2. В первом случае из леммы 1 следует, что G —циклическая р -группа. т.е. группа типа 1 теоремы 3. Во втором случае G —группа типа 2 этой теоремы.
Тогда из описания TIM-групп в теореме 1 следует, что
G/Ф = S/Ф h R/Ф, (6)
где S/Ф —элементарная абелева р -группа. яв ляющаяся минимальной нормальной подгруппой группы G/Ф, и
\ R/Ф \ = q. (/
В силу леммы 1 п ( G ) = { р, q } . Так как под группа Ф, как известно, нильпотентна, то
Ф = P 1 X Q 1 , (8)
где P 1— р -группа. Q 1— q -группа ( Р 1 11 Q 1 мо гут быть и единичными). Очевидно, что Р 1 < G.Q 1 < G.
Рассмотрим подгруппу S. Так как S/Ф = ( S/Q 1 ) / ( Ф/Q 1 ), а S/Ф и Ф ( Q 1 )- р -группы (последнее—ввиду (8)). то S/Q 1— р -группа, и потому по теореме Шура
S = Q 1 h Р, (9)
где Р—р -группа, являющаяся силовской р подгруппой группы G (что следует из (7) и (6)). Применяя к S , инвариантной в G, лемму Фраттини, получаем:
G = SN ( Р ) =
= ( Q 1 h Р ) N ( Р ) = Q 1 N ( Р ) = N ( Р ) , (10)
ибо Q 1 < Ф. а все элементы из Ф —это необ разующие элементы группы G. Из (10) следует, что
Р < G, (11)
и по теореме Шура
G = Р h Q, (12)
где Q —енловекая q -подгруппа группы G. Из (9) и (И) вытекает, что
\ Q/Q 1 \ = q, (IT
-
т е. Q 1 l Q.
Пусть группа Q имеет максимальную подгруппу Q 2. отлипнуто от Q 1. Тогда из (12) следует, что M = ( Р h Q 2 ) l G. Так как S l G (в виду (16)), то при M = S по опре- деленнто Ф -группы ( M П S ) = Ф = Р 1 X Q 1. Но ( M П S ) > Р, и поэтому последнее равенство невозможно. Значит, M = S, т.е. Р h Q 2 = Р X Q 1. онсуда Q 1 = Q 2 (вви ду нильпотентности Р X Q 1), вопреки предположению. Значит, Q 1— единственная максимальная подгруппа группы Q, и потому Q —циклическая группа. Так как в силу (13) Q 1 < C ( Р ). то из (12) к цикличности Q следует. что Q 1 < Z ( G ).
Из (13) к (S) получаем: S/Ф = ( Р x Q 1) / ( Р 1 X Q 1) = Р ( Р 1 x Q 1) / ( Р 1 x Q 1) = Р/ ( Р П ( Р 1 X Q 1)) = Р/Р 1. Так как S/Ф- элементарная абелева р -группа, то из полученного здесь изоморфизма следует, что и группа Р/Р 1 элементарная абелева. Покажем, что она является минимальной нормальной подгруппой группы G/Р 1. Предположим противное. Тогда существует
Р2/Р1 < G/P1,(18 )
где
Р1 <Р2 <Р.(19)
Из (18) следует, что Р 2< G. н потому
Р2Ф/Ф < G/Ф,(20)
причём
Р2Ф/Ф < S/Ф( 21)
(ибо Р 2 < S и Ф < S ). Так как в начале доказательства пункта 2 отмечено, что S/Ф— минимальная нормальная подгруппа группы G/Ф, то из (20) и (21) следует, что либо
Р 2 Ф = Ф, (22)
либо
Р 2 Ф = S. (23)
В случае (22) Р 2 < Ф. к. учитывая (S). Р 2 < Р 1, в противоречие с (19). Если вы полняется (23). то Р 2 Ф = Р 2( Р 1 X Q 1) = Р 2 h Q 1 = S = Р X Q 1 (мы использовали (8), (13) к (19)). откуда Р 2 = Р. опять вопре ки (19).
Значит, Р/Р 1—минимальная нормальная подгруппа группы G/Р 1, и G —группа типа 3 теоремы 3. Необходимость доказана.
Достаточность.Пусть G —конечная группа одного из типов, указанных в теореме 3. Циклическая р -группа имеет единственную максимальную подгруппу и по определению является Ф -группой. Если G—р -группа, у которой
G/Ф ( G )—элементарная абелева группа порядка р2. то по следств!по 2 теоремы 2 G есть Ф -группа.
Если M l G 1 1 | G : M | = ql. то M > P. а тогда M < G ii
M = P x Q i (24)
—такая подгруппа одна. Отметим, что так как Q 1 < G. то Q 1 < Q x V x G G.
Пусть M 1 l G 11 | G : M | = p k. Тогда существует элемент x G G, такой, что
M 1 > Q x ■ Но из G = P h Q следует, что
G = P h Qx,(25)
и потому
Mi = T h Qx,(26)
где
T = Mi n P.(27)
Так как P 1 < Ф ( G ) (по определению группы типа 3). то P i < M i. ii по тому T > P 1. Но P/P !—абелева труп па. ii потому P ‘ < P 1. а тогда P‘ < T. ii потому
T < P. (28)
Далее, из (26) следует, что подгруппа T Q x -допустима, а отсюда и из (28) и (25) получаем, что T < G. п потому
T/P 1 < G/P 1. Теперь из минимальности нормальной подгруппы P/P 1 группы G/P 1 следует, что либо
T = P1,(29)
либо T = P. Последнее равенство невозможно, ибо тогда M = G. Значит, справедливо (29) и
M1 = P1 h Qx.(30)
Отсюда и из (24) получаем
M П M1 = P1 x Q1.(31)
Если теперь M 2 l G 11 | G : M 2 1 = p t. то, как и для M 1, из доказанного выше (см. (30)), получаем:
M2 = P1 h Qy,(32)
и при M 1 = M 2 из (30) и (32)получаем:
(M1 П M2) = P1 x Q1.(33)
Из (31) ii (33) следует, что Ф(G) = P1 x Q1 11 G является Ф-группой.□
Замечание. Если в группе G типа 3 теоремы 3 P 1—абелева группа, то либо
P 1 = C p ( P 1). ,-цкбо P 1 < Z ( P ).
Действительно, так как P 1 <1 G, то C p ( P 1) = L < G ь P 1 < L < P. Отсюда ii из минимальности нормальной подгруппы P/P 1 следует, что либо L = P 1. hi 160 L = P (в последнем случае P 1 < Z ( P ))■ Перейдём к рассмотрению некоторых бесконечных Ф -групп. Здесь полезным будет следующее утверждение:
Лемма 3. Пусть G —периодическая группа, являющаяся расширением отличной от 1 полной абелевой группы P , и G = P. Тогда всякая максимальная подгруппа группы G содержит P ii Ф ( G ) > P.
Доказательство. Пусть M l G (34). Предположим, что M ^ P (35). Рассмотрим H = M П P. Тогда H = P (36).
H = M (37)—ввиду (35) и максималь ности M. ii ввиду (34) G = PM (38). Так как P < G. то H < M. а ввиду абелевости P H < P. Отсюда ii из (38) следует, что H < G и
G/H = P/H h M/H. (39)
В силу (36) и (37) подгруппы P/H и M/H неединичные. Далее, P/H —полная абелева группа (ввиду полноты P). а из (34) следу ет, что
M/H l G/H. ( 40 )
Подгруппа P/H содержит собственную характеристическую подгруппу S/H, порождённую всеми элементами простых порядков группы P/H, и потому
S/H <1 G/H. Отсюда и из (10) следует, что G/H = S/H h M/H. откуда л из P/H D S/H следует, что Р/H = S/H h ( м П P ) /Н = S/H. что невоз можно, ибо S/Hse является полной груп пой. Значит. M > Р.п потому Ф ( G ) > P. □
Следствие 3.1. Если G —периодическая группа, являющаяся расширением отличной от 1 полной абелевой группы Р и G = Р , то Ф ( G/P )= Ф ( G ) /р.
Доказательство. Известно, что если H < Gn H < Ф ( G ). то Ф ( G/H ) = Ф ( G ) /H. Отсюда и из леммы 3 при H = Р вытекает утверждение данного следствия (ибо Р < G л Р<Ф ( G )). □
Следствие 3.2. Периодическая группа G, являющаяся конечным расширением отличной от 1 полной абелевой группы Р, тогда и только тогда является Т1М-группой, когда G/Р —примарная циклическая группа.
Необходимости. Пусть TIM-группа G имеет указанное в данном следствии строение. Ввиду леммы 3 Ф ( G ) > Р, а тогда Ф ( G ) = 1, что возможно в Т1М-группе тогда и только тогда, когда в G имеется единственная максимальная подгруппа. Но в этом случае конечная группа G/Р имеет, ввиду леммы 3, единственную максимальную подгруппу, т.е.
G/Р —примарная циклическая группа.
Достаточности. Если G имеет указанное в данном следствии строение и G/Р —примарная циклическая группа, то в G/Р —единственная максимальная подгруппа, и в силу леммы Зв G единственная максимальная подгруппа, а тогда G по определению является Т1М-группой. □
Теорема 4. Пусть G —периодическая группа, имеющая полную абелеву подгруппу Р конечного индекса. G является Ф -группой тогда и только тогда, когда G/Р —конечная Ф -группа, т.е. группа одного из типов теоремы 3.
Необходимости. Пусть G—Ф-группа. Если Р = 1, то утверждение очевидно. Пусть Р = 1. Тогдa G = Р (ибо Р—не Ф-группа. так как Р = Ф(Р)). Ес.тн в G/Р существует единственная максимальная подгруппа, то G/Р—циклическая р-группа. т.е. Ф-группа.
Пусть в G/Р не менее двух максимальных подгрупп и M 1 /Р и M 2 /Р —две любые её максимальные подгруппы. Тогда Mi l G (г = 1 , 2), и, так как G—Ф -группа. то
M 1 п M 2 = Ф ( G ) , (И)
к потому M 1 /Р П M2/Р = Ф ( G ) /Р. откуда в силу следствия из леммы 3 получаем:
M 1 /Р П M2/Р = Ф ( G/Р ). Значит.
G/Р—Ф -группа. Так как она конечна, то является одной из групп теоремы 3.
Необходимость доказана.
Достаточности. Пусть G удовлетворяет условиям теоремы 4 и G/Р—Ф -группа. Тогда G = Р (ибо единичная группа Р/Р—не Ф -группа). Если в G/Р лишь одна максимальная подгруппа, то G/Р— циклическая р -группа. В силу леммы Зв G единственная максимальная подгруппа, и потому G—Ф -группа. Если M 1, M 2— любые две максимальные подгруппы группы G, то в силу леммы 3 M i > Р и потому M i /Р l G/Р (i = 1 , 2).
Так как G/Р—Ф -группа. то
M 1 /Р П M 2 /Р = Ф ( G/Р ) = Ф ( G ) /Р (последнее равенство выполняется ввиду следствия леммы 3). Отсюда следует, что M 1 П M 2 = Ф ( G ). Зиа Чит. G—Ф -группа. □
Следствие 1. Черниковская группа G с полной частью Р является Ф -группой тогда и только тогда, когда G/Р —группа одного из типов, перечисленных в теореме 3.
Действительно, так как по определению черниковской группы G/Р конечна, то справедливость данного утверждения вытекает из теоремы 4.
Теорема 5. Периодическая группа G, являющаяся конечным расширением полной абелевой группы Р, есть TIM-группа тогда и только тогда, когда либо G —конечная группа одного из типов теоремы 1, либо G/Р— циклическая р -группа.
Доказательство. Если G конечна, то утверждение следствия следует из теоремы 1. Если G бесконечна, то справедливость утверждения вытекает из следствия 3.2. □
Список литературы Конечные и некоторые почти полные группы, в которых одинаковы пересечения любых двух максимальных подгрупп
- Монахов B.C. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск, 2006. 208 с