Конечные и некоторые почти полные группы, в которых одинаковы пересечения любых двух максимальных подгрупп

Автор: Половицкий Я.Д., Волочков А.А.

Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi

Рубрика: Математика

Статья в выпуске: 3 (22), 2013 года.

Бесплатный доступ

Описаны конечные и некоторые почти полные группы, в которых любые две макси­мальные подгруппы пересекаются по подгруппе Фраттини, и их подкласс с Ф(С) = 1.

Группа, пересечение, максимальная подгруппа, тини

Короткий адрес: https://sciup.org/14729871

IDR: 14729871

Текст научной статьи Конечные и некоторые почти полные группы, в которых одинаковы пересечения любых двух максимальных подгрупп

Определение 1. Группу G, в которой либо любая пара различных максимальных подгрупп пересекается по Ф ( G ), либо имеется лишь одна максимальная подгруппа, на зовём Ф- группой.

Отметим, что из этого определения следует, что в Ф -группе G Ф ( G ) = G.

Определение 2. Группу, в которой либо пересечение любых двух различных максимальных подгрупп равно единице (т.е. тривиально), либо имеется лишь одна максимальная подгруппа, назовём 'ПМ-группой (или группой с TIM-условием).

Очевидно, класс TIM-групп является подклассом класса Ф -групп.

Рассмотрим сначала конечные TIM-группы II Ф -группы.

Предварительно докажем одно утверждение, связанное с подгруппой

Фраттшш Ф ( G ).

Лемма 1. Если группа G конечна, то G/Ф ( G )—циклическая группа тогда и толь ко тогда, когда G —циклическая.

Необходимость. Пусть G/Ф ( G ) = (дФ ( G ) Y Тогда

G = (Ф (G) ,д).(1)

Но. как известно. Ф ( G ) состоит из непорождающих элементов, и потому из (1) л конечности G следует, что

G = (д).(2)

Достаточность очевидна.□

Следствие 1.1. Если G —конечная группа, IG/Ф ( G ) | = p 2 и G нециклическая, то G/Ф ( G )— элементарная абелева группа.

Действительно, нециклическая группа порядка p 2—это абелева группа, и потому она является элементарной абелевой группой.

Следствие 1.2. Пусть G —конечная группа. G/Ф ( G )—циклинеская p -группа то гда и только тогда, когда G —циклическая p -группа.

Необходимость.При условиях этого следствия в качестве элемента g в (1) можно взять, как нетрудно видеть, р -элемент, а тогда из (2) получаем, что G = (g) —никлическая р -группа.

Достаточность очевидна.

Теорема 1. Конечная группа G является TIM-группой тогда и только тогда, когда она либо примарная циклическая, либо элементарная абелева группа порядка р 2, либо G = S h Q. г,не | Q | = q. a S— элементарная абелева р -группа, являющаяся минимальной нормальной подгруппой группы G.

Необходимость. Пусть G —конечная TIM-группа. Если в G максимальная подгруппа единственна, то, очевидно, G —циклическая р -группа.

Пусть в G найдутся две максимальные подгруппы M 1 и M 2.

Возможны 2 случая.

  • 1.    M i <  G,M 2 <  G.

Тогда \ G/M 1 1 = р. \ G/M 2 1 = q 11 G = M 1 x M 2 (ввиду TIM-условия), и потому | G | = pq и G абелева, т.е. G —либо циклическая группа порядка pq (при р = q), а это одна из групп последнего типа теоремы 1, либо элементарная абелева группа порядка р 2 (при р = q).

  • '2. Сутпествует M l G. такая, что M не инвариантна в G.

Тогда

M = N ( M ) .            (3)

Так как У х Е G M x l G 11 в силу (3)

У х Е G \ M M x = M . то M П M x = 1 (ввиду TIM-условия). По теореме Фробениуса

G = S h M.           (1)

Пусти M1 l M. Тогда из (1) следует, что M2 = (S h M1) l G. Но M П M2 = M1. a в силу TIM-условия M П M2 = 1, и потому M1 = 1. т.е. |M| = q—простое число. Пере-обознаннм M через Q. Если Q = (b). то в S нет собственных b-допустимых подгрупп. В частности. Уа Е S \ 1 аь = а. т.е. элемент b вызывает в S автоморфизм без отличных от 1 неподвижных элементов. По теореме Томпсона S—нильпотентная группа. Так как в ней нет собственных характеристических подгрупп (ибо Q l S. 11 потому в S нет собственных Q-допустимых подгрупп), то S— элементарная абелева р-группа, и G—группа последнего из типов теоремы 1.

Достаточность. Примарная циклическая группа имеет единственную максимальную подгруппу, и потому она по определению—TIM-группа. Группы порядков р 2 и pq, очевидно, являются TIM-группами, а в группе последнего из типов теоремы 1 максимальными подгруппами являются только Qx для всех х Е S и S, и потому она—TIM-группа.    □

Следствие 1. Всякая конечная TIM-группа G разрешима.

Если G неабелева, то она—группа последнего типа теоремы 1, а такая группа, является расширением разрешимой группы S при помощи разрешимой группы Q н потому разрешима.

Следствие 2. Конечная сверхразрешимая группа G является TIM-группой тогда и только тогда, когда G —группа порядка р 2. pq инн циклическая р -группа.

Доказательство. Действительно, из групп, перечисленных в теореме 1, группа последнего типа ( G = S h Q ) сверхразрешима тогда и только тогда, когда | S | = р, т.е. |G| = pq■                                       □

Теорема 2. Конечная группа является Ф -группой тогда и только тогда, когда G/Ф ( G )—TIM-группа.

Необходимость. Пусть G—Ф -группа. Тогда по определению для любых

M 1 , M 2 l G имеем:

M 1 П M 2 = Ф ( G ) .          Д)

Если A/Ф ( G ) l G и B/Ф ( G ) l G. то из A l G, B l G 11 (5) следует, что A П B = Ф ( G ). откуда

A/Ф ( G ) П B/Ф ( G ) = Ф ( G ) ( G )—единичная группа. Значит, G/Ф ( G )—TIM-группа.

Достаточность. Пусть

G/Ф ( G )—TIM-rpyппа. Если M 1 ,M 2 l G. то M i D Ф ( G ) 11 M i ( G ) l G/Ф ( G ) ( i = 1 , 2).

По определению TIM-группы

M 1 ( G ) П M2 ( G ) = Ф ( G ) ( единица группы G/Ф ( G )). онсуда M 1 П M2 = Ф ( G ). т.е. G—Ф -группа.                        □

Следствие 1. Всякая конечная Ф- группа G разрешима.

Доказательство. Как известно, для конечной группы G подгруппа Ф ( G ) нильпо-тентна и потому разрешима. Из теоремы 2 и следствия 1 теоремы 1 вытекает, что G/Ф ( G ) разрешима, и потому G —расширение разрешимой группы при помощи разрешимой, т.е. G разрешима.                       □

Следствие 2. Конечная группа G является Ф -группой тогда и только тогда, когда либо G —циклическая р -группа. либо G/Ф ( G )—элементарная абелева группа порядка р 2, либо G/Ф ( G ) = P h Q, г де | Q | = q, ii P —элементарная абелева р -группа. явля ющаяся минимальной нормальной подгруп пой группы P h = q-

Необходимость. Пусть G —конечная

Ф -группа. Тогда по теореме 2

G/Ф ( G )—TIM-группа, т.е. одна из групп теоремы 1. Если G/Ф ( G ) является циклической р -группой, то по следствию 1.2 леммы 1 G —циклическая р -группа. В остальных случаях в силу теоремы 1

G/Ф ( G )—группа одного из указанных в теореме 1 видов. Необходимость доказана.

Достаточность. Если

G/Ф ( G )—группа одного из указанных в данном следствии видов, то по теореме 1 она является TIM-группой, а тогда по теореме 2 G—Ф -группа. Циклическая р -группа также является Ф -группой. что н завершает доказательство.               □

Следствие 3. Конечная сверхразрешимая группа G является Ф -группой тогда и только тогда, когда либо G —циклическая р -группа. либо G/Ф ( G )—группа порядка рq или элементарная абелева группа порядка р 2.

Необходимость. Пусть G —конечная сверхразрешимая Ф -группа. Тогда G/Ф ( G ) сверхразрешима и является по следствию 2 теоремы 1 либо циклической р -группой, либо группой порядка рq пли р 2. Если G/Ф ( G )—циклическая р -группа, то в силу следствия 1.2 леммы 1 G —циклическая р -группа. В остальных случаях G/Ф ( G )—группа порядка рq пли

________________________________.

нециклическая группа порядка р , т.е. элементарная абелева группа порядка р 2.

Достаточность. Если G —конечная сверхразрешимая группа, у которой G/Ф ( G )—одного из указанных выше типов, то по теореме 1 G/Ф ( G )—TIM-группа. а тогда по теореме 2 G—Ф -группа.         □

Следствие 4. Всякая конечная р- группа G, имеющая циклическую подгруппу A индекса р. является Ф -группой.

Доказательство. Если G циклическая, то утверждение очевидно. Если G нециклическая, то Ф ( G ) < A. а G/Ф ( G )— нециклическая группа порядка р , т.е. является TIM-группой, и потому G—Ф -группа (по теореме 2).                           □

Лемма 2 (см. [1], теорема 4.33). Если G —конечная группа, то п ( G/Ф ( G )) = п ( G ).

Теорема 3. Конечная группа G является Ф -группой тогда и только тогда, когда она—группа одного из следующих типов:

  • 1.    Циклическая р -группа.

  • 3.    G = P h Q. где Q —циклическая q -группа. ii для Q 1 l Q имеем: Q 1 Z ( G ). P—р -группа. ii существует P 1 <1 G такая, что P 1 <  ( P E l Ф ( G )). P/P 1— элементарная абе лева группа, являющаяся минимальной нормальной подгруппой группы G/P 1.

2-р-группа.   у которой   G/Ф (G )— элементарная абелева группа порядка р2.

Необходимость. Пусть G —конечная

Ф -группа. Тогда по теореме 2

G/Ф ( G )-ТШ-группа. Обозначим Ф ( G ) через Ф. Возможны случаи:

  • 1.    G/Ф—р -группа.

  • 2.    G/Ф —непримариая группа.

Тогда в силу леммы 2 G —тоже р -группа. Из описания TIM-групп в теореме 1 следует, что G/Ф —либо циклическая р -группа, либо элементарная абелева группа порядка р 2. В первом случае из леммы 1 следует, что G —циклическая р -группа. т.е. группа типа 1 теоремы 3. Во втором случае G —группа типа 2 этой теоремы.

Тогда из описания TIM-групп в теореме 1 следует, что

G/Ф = S/Ф h R/Ф,        (6)

где S/Ф —элементарная абелева р -группа. яв ляющаяся минимальной нормальной подгруппой группы G/Ф, и

\ R/Ф \ = q.               (/

В силу леммы 1 п ( G ) = { р, q } . Так как под группа Ф, как известно, нильпотентна, то

Ф = P 1 X Q 1 ,             (8)

где P 1— р -группа. Q 1— q -группа ( Р 1 11 Q 1 мо гут быть и единичными). Очевидно, что Р 1 <  G.Q 1 <  G.

Рассмотрим подгруппу S. Так как S/Ф = ( S/Q 1 ) / ( Ф/Q 1 ), а S/Ф и Ф ( Q 1 )- р -группы (последнее—ввиду (8)). то S/Q 1— р -группа, и потому по теореме Шура

S = Q 1 h Р,            (9)

где Р—р -группа, являющаяся силовской р подгруппой группы G (что следует из (7) и (6)). Применяя к S , инвариантной в G, лемму Фраттини, получаем:

G = SN ( Р ) =

= ( Q 1 h Р ) N ( Р ) = Q 1 N ( Р ) = N ( Р ) , (10)

ибо Q 1 Ф. а все элементы из Ф —это необ разующие элементы группы G. Из (10) следует, что

Р G,              (11)

и по теореме Шура

G = Р h Q,           (12)

где Q —енловекая q -подгруппа группы G. Из (9) и (И) вытекает, что

S = Q1 x Р. (13) Так как Q1 < G, (14) то Q1 < Q. (15) Из (6) и (7) получаем, что \G/S \ = q, (16) и потому G = SQ. Отсюда и из (13) имеем: G/S = (SQ)/S = Q/(Q П S) = Q/Q1, и в силу (16)

\ Q/Q 1 \ = q, (IT

  • т е. Q 1 l Q.

Пусть группа Q имеет максимальную подгруппу Q 2. отлипнуто от Q 1. Тогда из (12) следует, что M = ( Р h Q 2 ) l G. Так как S l G (в виду (16)), то при M = S по опре- деленнто Ф -группы ( M П S ) = Ф = Р 1 X Q 1. Но ( M П S ) Р, и поэтому последнее равенство невозможно. Значит, M = S, т.е. Р h Q 2 = Р X Q 1. онсуда Q 1 = Q 2 (вви ду нильпотентности Р X Q 1), вопреки предположению. Значит, Q 1— единственная максимальная подгруппа группы Q, и потому Q —циклическая группа. Так как в силу (13) Q 1 < C ( Р ). то из (12) к цикличности Q следует. что Q 1 Z ( G ).

Из (13) к (S) получаем: S/Ф = ( Р x Q 1) / ( Р 1 X Q 1) = Р ( Р 1 x Q 1) / ( Р 1 x Q 1) = Р/ ( Р П ( Р 1 X Q 1)) = Р/Р 1. Так как S/Ф- элементарная абелева р -группа, то из полученного здесь изоморфизма следует, что и группа Р/Р 1 элементарная абелева. Покажем, что она является минимальной нормальной подгруппой группы G/Р 1. Предположим противное. Тогда существует

Р2/Р1 < G/P1,(18 )

где

Р1 <Р2 <Р.(19)

Из (18) следует, что Р 2 G. н потому

Р2Ф/Ф < G/Ф,(20)

причём

Р2Ф/Ф < S/Ф( 21)

(ибо Р 2 < S и Ф < S ). Так как в начале доказательства пункта 2 отмечено, что S/Ф— минимальная нормальная подгруппа группы G/Ф, то из (20) и (21) следует, что либо

Р 2 Ф = Ф,             (22)

либо

Р 2 Ф = S.             (23)

В случае (22) Р 2 Ф. к. учитывая (S). Р 2 Р 1, в противоречие с (19). Если вы полняется (23). то Р 2 Ф = Р 2( Р 1 X Q 1) = Р 2 h Q 1 = S = Р X Q 1 (мы использовали (8), (13) к (19)). откуда Р 2 = Р. опять вопре ки (19).

Значит, Р/Р 1—минимальная нормальная подгруппа группы G/Р 1, и G —группа типа 3 теоремы 3. Необходимость доказана.

Достаточность.Пусть G —конечная группа одного из типов, указанных в теореме 3. Циклическая р -группа имеет единственную максимальную подгруппу и по определению является Ф -группой. Если G—р -группа, у которой

G/Ф ( G )—элементарная абелева группа порядка р2. то по следств!по 2 теоремы 2 G есть Ф -группа.

Если M l G 1 1 | G : M | = ql. то M P. а тогда M G ii

M = P x Q i          (24)

—такая подгруппа одна. Отметим, что так как Q 1 <  G. то Q 1 < Q x V x G G.

Пусть M 1 l G 11 | G : M | = p k. Тогда существует элемент x G G, такой, что

M 1 Q x ■ Но из G = P h Q следует, что

G = P h Qx,(25)

и потому

Mi = T h Qx,(26)

где

T = Mi n P.(27)

Так как P 1 Ф ( G ) (по определению группы типа 3). то P i M i. ii по тому T P 1. Но P/P !—абелева труп па. ii потому P P 1. а тогда P‘ T. ii потому

T P.               (28)

Далее, из (26) следует, что подгруппа T Q x -допустима, а отсюда и из (28) и (25) получаем, что T G. п потому

T/P 1 <  G/P 1. Теперь из минимальности нормальной подгруппы P/P 1 группы G/P 1 следует, что либо

T = P1,(29)

либо T = P. Последнее равенство невозможно, ибо тогда M = G. Значит, справедливо (29) и

M1 = P1 h Qx.(30)

Отсюда и из (24) получаем

M П M1 = P1 x Q1.(31)

Если теперь M 2 l G 11 | G : M 2 1 = p t. то, как и для M 1, из доказанного выше (см. (30)), получаем:

M2 = P1 h Qy,(32)

и при M 1 = M 2 из (30) и (32)получаем:

(M1 П M2) = P1 x Q1.(33)

Из (31) ii (33) следует, что Ф(G) = P1 x Q1 11 G является Ф-группой.□

Замечание. Если в группе G типа 3 теоремы 3 P 1—абелева группа, то либо

P 1 = C p ( P 1). ,-цкбо P 1 Z ( P ).

Действительно, так как P 1 <1 G, то C p ( P 1) = L G ь P 1 L P. Отсюда ii из минимальности нормальной подгруппы P/P 1 следует, что либо L = P 1. hi 160 L = P (в последнем случае P 1 Z ( P ))■ Перейдём к рассмотрению некоторых бесконечных Ф -групп. Здесь полезным будет следующее утверждение:

Лемма 3. Пусть G —периодическая группа, являющаяся расширением отличной от 1 полной абелевой группы P , и G = P. Тогда всякая максимальная подгруппа группы G содержит P ii Ф ( G ) P.

Доказательство. Пусть M l G (34). Предположим, что M ^ P (35). Рассмотрим H = M П P. Тогда H = P (36).

H = M (37)—ввиду (35) и максималь ности M. ii ввиду (34) G = PM (38). Так как P G. то H M. а ввиду абелевости P H P. Отсюда ii из (38) следует, что H G и

G/H = P/H h M/H. (39)

В силу (36) и (37) подгруппы P/H и M/H неединичные. Далее, P/H —полная абелева группа (ввиду полноты P). а из (34) следу ет, что

M/H l G/H.          ( 40 )

Подгруппа P/H содержит собственную характеристическую подгруппу S/H, порождённую всеми элементами простых порядков группы P/H, и потому

S/H <1 G/H. Отсюда и из (10) следует, что G/H = S/H h M/H. откуда л из P/H D S/H следует, что Р/H = S/H h ( м П P ) = S/H. что невоз можно, ибо S/Hse является полной груп пой. Значит. M Р.п потому Ф ( G ) P. □

Следствие 3.1. Если G —периодическая группа, являющаяся расширением отличной от 1 полной абелевой группы Р и G = Р , то Ф ( G/P )= Ф ( G ) /р.

Доказательство. Известно, что если H Gn H < Ф ( G ). то Ф ( G/H ) = Ф ( G ) /H. Отсюда и из леммы 3 при H = Р вытекает утверждение данного следствия (ибо Р G л Р<Ф ( G )).                        □

Следствие 3.2. Периодическая группа G, являющаяся конечным расширением отличной от 1 полной абелевой группы Р, тогда и только тогда является Т1М-группой, когда G/Р —примарная циклическая группа.

Необходимости. Пусть TIM-группа G имеет указанное в данном следствии строение. Ввиду леммы 3 Ф ( G ) >  Р, а тогда Ф ( G ) = 1, что возможно в Т1М-группе тогда и только тогда, когда в G имеется единственная максимальная подгруппа. Но в этом случае конечная группа G/Р имеет, ввиду леммы 3, единственную максимальную подгруппу, т.е.

G/Р —примарная циклическая группа.

Достаточности. Если G имеет указанное в данном следствии строение и G/Р —примарная циклическая группа, то в G/Р —единственная максимальная подгруппа, и в силу леммы Зв G единственная максимальная подгруппа, а тогда G по определению является Т1М-группой.                         □

Теорема 4. Пусть G —периодическая группа, имеющая полную абелеву подгруппу Р конечного индекса. G является Ф -группой тогда и только тогда, когда G/Р —конечная Ф -группа, т.е. группа одного из типов теоремы 3.

Необходимости. Пусть G—Ф-группа. Если Р = 1, то утверждение очевидно. Пусть Р = 1. Тогдa G = Р (ибо Р—не Ф-группа. так как Р = Ф(Р)). Ес.тн в G/Р существует единственная максимальная подгруппа, то G/Р—циклическая р-группа. т.е. Ф-группа.

Пусть в G/Р не менее двух максимальных подгрупп и M 1 и M 2 —две любые её максимальные подгруппы. Тогда Mi l G (г = 1 , 2), и, так как G—Ф -группа. то

M 1 п M 2 = Ф ( G ) ,        (И)

к потому M 1 П M2 = Ф ( G ) /Р. откуда в силу следствия из леммы 3 получаем:

M 1 П M2 = Ф ( G/Р ). Значит.

G/Р—Ф -группа. Так как она конечна, то является одной из групп теоремы 3.

Необходимость доказана.

Достаточности. Пусть G удовлетворяет условиям теоремы 4 и G/Р—Ф -группа. Тогда G = Р (ибо единичная группа Р/Р—не Ф -группа). Если в G/Р лишь одна максимальная подгруппа, то G/Р— циклическая р -группа. В силу леммы Зв G единственная максимальная подгруппа, и потому G—Ф -группа. Если M 1, M 2— любые две максимальные подгруппы группы G, то в силу леммы 3 M i Р и потому M i l G/Р (i = 1 , 2).

Так как G/Р—Ф -группа. то

M 1 П M 2 = Ф ( G/Р ) = Ф ( G ) (последнее равенство выполняется ввиду следствия леммы 3). Отсюда следует, что M 1 П M 2 = Ф ( G ). Зиа Чит. G—Ф -группа.   □

Следствие 1. Черниковская группа G с полной частью Р является Ф -группой тогда и только тогда, когда G/Р —группа одного из типов, перечисленных в теореме 3.

Действительно, так как по определению черниковской группы G/Р конечна, то справедливость данного утверждения вытекает из теоремы 4.

Теорема 5. Периодическая группа G, являющаяся конечным расширением полной абелевой группы Р, есть TIM-группа тогда и только тогда, когда либо G —конечная группа одного из типов теоремы 1, либо G/Р— циклическая р -группа.

Доказательство. Если G конечна, то утверждение следствия следует из теоремы 1. Если G бесконечна, то справедливость утверждения вытекает из следствия 3.2. □

Список литературы Конечные и некоторые почти полные группы, в которых одинаковы пересечения любых двух максимальных подгрупп

  • Монахов B.C. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск, 2006. 208 с
Статья научная