Конечные непростые группы с некоторыми ограничениями на факторгруппы

Автор: Фаерштейн Семен Исаакович, Фаерштейн Игорь Семенович

Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi

Рубрика: Математика

Статья в выпуске: 3 (11), 2012 года.

Бесплатный доступ

Описываются конечные неабелевы p-группы, все факторгруппы которых абелевы, и конеч­ные непростые ненильпотентные группы, все факторгруппы которых нильпотентны.

Неабелевы p-группы, абелевы факторгруппы, непростые ненильпотентные группы, нильпотентные факторгруппы

Короткий адрес: https://sciup.org/14729808

IDR: 14729808

Текст научной статьи Конечные непростые группы с некоторыми ограничениями на факторгруппы

В работе [1] описаны все конечные непростые непримарные группы, у которых все факторгруппы примарны. Настоящая статья продолжает эту тематику.

Через ^ ( G ) обозначается подгруппа p -группы G , порождаемая p -ми степенями всех ее элементов.

Теорема 1. В конечной неабелевой p -группе G все факторгруппы абелевы тогда и только тогда, когда Z ( G ) - циклическая группа и | G '| = p .

Доказательство. Достаточность.

Пусть   Z ( G ) – циклическая группа,

G' = p и N - произвольный неединичный нормальный делитель группы G. Как показано в работе [2], N n Z(G)^ 1. Следовательно, N о G' и, значит, G^ - абелева группа. Достаточность доказана.

Необходимость. Предположим, что Z ( G ) - нециклическая группа. Тогда в Z ( G ) найдутся две различные подгруппы A и B по-

рядка p, из которых по крайней мере одна, скажем A, не содержит G'. Но тогда G/д -неабелева группа. Следовательно, Z(G) - циклическая группа. Пусть a – подгруппа порядка p из Z (G). Так как факторгруппа G/ \ абелева, то  (а} о G'  и, значит,

a

G' = p . Необходимость доказана. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть G – неабелева p -группа с двумя образующими и все факторгруппы группы G – абелевы. Тогда G является одной и только одной из следующих групп:

  • 1.    G = а^ л b , | а | = pn, n >  1,
  • 2.    g = (^ a x Ъ ) ) л c ,

  • 3.    G = Q - группа кватернионов.

| Ъ\ = p, | [а, b ] = p.

|a| = |b| = |c| = p > 2, [a, c] = b, [c, b] = 1.

Доказательство. Достаточность. Легко видеть, что в каждой из перечисленных в условии теоремы 2 групп Z (G) - циклическая группа и G' = p . Поэтому согласно теореме 1

все факторгруппы каждой из указанных групп абелевы. Достаточность доказана.

Необходимость. Пусть a – цикличе-

ская подгруппа группы G максимального порядка, содержащая Z ( G ) и b , c - произволь-

ческая группа и | G ‘ = p . Как показано при доказательстве теоремы 2 G ^(^) - элементарная абелева группа. Следовательно, ^ ( G ) с Z ( G ) - циклическая группа. Отсюда и из того, что G ' = p , следует, что любые 2

ные элементы группы G . Так как | G ‘ = p , то [ c p ,b ] = [ c , bp ] = [ c , b ] p = 1. Это значит, что л ( P ) с Z ( G ) c a . Отсюда в свою очередь вытекает, что факторгруппа G – элемен-

элемента группы G либо перестановочны, либо порождают одну из групп теоремы 2. Отметим, что среди образующих элементов группы G может быть элемент a , |a | = pn ( n 1 ) и a e Z ( G ) . Действительно, возможна такая группа (^ a^ х bb') ) л | C |, где

тарная абелева группа. В частности, если G

|a| = pn (n > 1), [a, c] = 1, [c,b] = ap .

порождается двумя элементами, то

G ^ ^ = p . Все конечные p -группы, имею-

щие циклическую подгруппу индекса p , описаны в [2]. Читая список таких групп (см. [2]), убеждаемся, что группа G является одной и только одной из групп типа 1, 3, указанных в условии теоремы.

Кроме того, если exp ( G ) = p , то ясно, что G – группа типа 2 теоремы.

Необходимость доказана. Теорема доказана.

Пусть N – либо циклическая группа a , порождаемая образующим элементом a , a e Z ( G ) , либо группа типа 1 теоремы 2 с циклической подгруппой ^ a^ |a | = pn ( n 1 ) ,

являющейся циклической подгруппой максимального порядка. Покажем, что любые другие 2 неперестановочных элемента c и d порождают (без ограничения общности) под-

Теорема 3. В конечной неабелевой p -группе G , порождаемой не менее чем тремя элементами, все факторгруппы абелевы тогда и только тогда, когда G является одной из следующих групп:

b e Z (N) и

| b| = p, i = 2,3... n,  Nt о Cg (Nj) (i ^ j),

(i = 1, 2 ... n).

Доказательство. Легко проверить, что Z ( G ) - циклическая группа и | G ‘ = p . В силу теоремы 1 в группе G все факторгруппы абелевы.

Необходимость. Пусть в конечной неабелевой p -группе G все факторгруппы абелевы. Тогда согласно теореме 1 Z ( G ) - цикли

группу порядка p 3 . Без ограничения общности можно полагать, что cc , d e CG (^ a^ ) . Так как n ( G ) – циклическая группа,

^(G)c Z(G), то cp = ap ,1 < k < n -1. Но

тогда

c

a

p

. k 1

= p

и, следовательно,

c 1 ap , d^ - подгруппа порядка p 3. Ясно,

что

N' = N‘ = b (i = 2, 3 ... n),|b| = p, b e Z(N1), а также N e CG (N ), i ^ j (i = 1, 2 ... n). Следовательно, G – одна из групп теоремы. Необходимость доказана. Теорема доказана.

Теорема 4. В конечной непростой ненильпотентной группе G все факторгруппы нильпотентны тогда и только тогда, когда G является одной из следующих групп:

1. G = P л B , где P - силовская p -подгруппа, B – нильпотентная группа. [ P , B ] = A – элементарная абелева p -группа, являющаяся единственным минимальным нормальным делителем, exp ( P ) = p .

2. В G имеется единственный мини-

мальный нормальный делитель N , являющийся неразрешимой группой, и факторгруппа G – нильпотентная группа.

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно.

Необходимость. Пусть G – неразрешимая группа и N – ее минимальный нормальный делитель. Так как факторгруппа G

нильпотентная группа, в частности, разрешимая группа, то N – неразрешимая группа. Ясно, что N – единственный минимальный нормальный делитель. Это значит, что G – группа типа 2 теоремы.

Пусть G – разрешимая ненильпотентная группа, все факторгруппы которой нильпо-тентны. Так как G – разрешимая группа, то в ней имеется неединичная инвариантная абелева подгруппа (например, неединичный абелев член ряда коммутантов). Поскольку вся-

кая характеристическая подгруппа инвариантной подгруппы сама инвариантна, то отсюда следует, что в G имеется инвариантная абелева p -подгруппа A . Покажем, что силов-ская p -подгруппа P группы G инвариантна в

G . Если P = A , то доказывать нечего. Пусть

P * A . Так как факторгруппа

G A

– нильпо-

тентная группа, то ее силовская p -подгруппа

P

инвариантна в

G A .

Поэтому прообраз в G

группы P , силовская p -подгруппа P , инва-

риантна в G . Это значит, что G = P л B , где B – нильпотентная группа. Так как фактор-

группа

G A

нильпотентная, то

[ B , P ] с A .

Ясно, что A – единственный минимальный нормальный делитель.

Так как ( Z ( P ) П A ) G , то отсюда следует, что Z ( P ) о A . С другой стороны, A П Z ( G ) = 1 . Действительно, ес-ли A П Z ( G ) * 1 , то A | = p и A = ^ a ^. Пусть b g P и c g B , | c | = q . Так как a g Z ( G ) , то [ b , c4 ] = [ b , c ] q = 1, что невозможно, так как | [ c , b ] = p . Покажем, что exp ( P ) = p . Предположим, что в P имеется циклическая подгруппа a порядка p 2 . Если все циклические подгруппы порядка p 2 принадлежат CG ( B ) , то либо Н ( P ) о A , либо A П Z ( G ) * 1 . Ни то, ни другое невозможно. Пусть b g B и [ a, b ] = c . Так как c g Z ( P ) , то [ ap , b ] = cp = 1. Отсюда вытекает, что ^ ( P ) c CG ( B ) и, значит, ^ ( P ) о A или A П Z ( G ) * 1 . Ни то, ни другое невозможно.

Следовательно, exp ( P ) = p и G - группа типа 1 теоремы. Необходимость доказана. Теорема доказана.

Список литературы Конечные непростые группы с некоторыми ограничениями на факторгруппы

  • Фаерштейн С.И., Фаерштейн И. С. Конечные непримарные группы, все собственные фактор-группы которых примарны//Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 3(7). С. 17-18.
  • Холл М. Теория групп. М.: Наука, 1962.
Статья научная