Конечные разрешимые группы с относительно малыми нормализаторами непримарных подгрупп

В этой работе через N ( A ) и C ( A ) обозначаются нормализатор и централизатор подгруппы A во всей группе G . Если A - произвольная подгруппа группы G , то N ( A ) >  A • C ( A ), а индекс | N ( A ): A • C ( A ) | равен порядку группы внешних автоморфизмов подгруппы A , индуцированных элементами группы G . В данной работе изучается строение конечных групп G , в которых для любой непримарной подгруппы A почти все ее автоморфизмы, индуцированные элементами из G , являются внутренними. А именно, для любой такой подгруппы A индекс | N ( A ): A • C ( A )| делит некоторое простое число. Такие группы будем называть NS _np -группами.

В дальнейшем p , q и r - простые числа, причем p Ф q .

Отметим, что свойство быть NS _np -группой переносится на подгруппы и факторгруппы.

Неабелеву конечную p -группу G условимся называть ( p , n ) -группой, если G обладает абелевой максимальной подгруппой и факторгруппа G Z ( G ) является группой максимального класса n . В частности, ( p ,1) -группы это p -группы с условием | G/Z ( G ) | = p ² . Отметим еще, что если G является ( p , n )-группой и n >  1, то | g/ ( G'• Z ( G ))| = p ² и абелева максимальная подгруппа из G является характеристической подгруппой группы G .

Лемма ([1], теорема 1). В неабелевой конечной p -группе G в том и только том случае индекс | N ( A ): A • C ( A )| делит p для любой подгруппы A , когда G является ( p , n )-группой для некоторого числа n .

Теорема 1. Непримарная неабелева нильпотентная группа G в том и только том случае является NS _np -группой, когда G = P х H , подгруппа H абелева, а силовская p -подгруппа P является ( p , n ) -группой для некоторого числа n .

Доказательство. Если P и Q - неабелевы силовские p -и q -подгруппы из G , G = P х Q х R , а A и B - максимальные абелевы подгруппы из P и Q соответственно, то для подгруппы H = A х B х R индекс | N ( H ): H • C ( H )| = | G : H | делится на pq , что невозможно. Поэтому только одна силовская подгруппа группы G неабелева. Пусть P – эта подгруппа и G = P х R . Если A - произвольная неединичная подгруппа из P и H = A х R , то из того, что индекс | N ( H ): H • C ( H ) | делит p следует, что и | N _P ( A ): A • C _P ( A ) | тоже делит p . В силу леммы P является ( p , n ) -группой для некоторого числа n .

Достаточность следует из леммы.

Теорема доказана.

Теорема 2 . Конечная ненильпотентная разрешимая группа G в том и только том случае является NS np -группой, когда выполняется один из следующих случаев:

• 1)    G = H A P , где H - абелева холлова p' -подгруппа из G , IP : C _p ( H ) | = p , а группа P либо абелева, либо является ( p , n )-группой, и если C _P ( H ) неабелев, то n = 1 и для некоторого z е Z ( P ) P = C p ( H ) ■ <  z ) ;

• 2)    G = H A P, H = Q x K, силовская q -подгруппа Q группы G является ( q ,1)-группой и P действует на Q/Z ( Q ) неприводимо, подгруппа K абелева, а силовская p -подгруппа P группы G либо абелева, либо является ( p , n ) -группой, C _P ( H ) абелев и | P : C _P ( H ) | = p ;

• 3)    G = P A< x ) , P - силовская p -подгруппа, | x | = q и для любой x -допустимой подгруппы A из P индекс |( N _P ( A ) n C ( x )):( A n C ( x )) ■ ( C _P ( A ) n C ( x ))| делит p ;

• 4)    G = P A< x ) , P - силовская p -подгруппа, | x I = q ², P A< x q ) является группой типа 3), для любой x -допустимой подгруппы A из P индекс |( N _P ( A ) n C ( x )):( A n C ( x )) ■ ( C _P ( A ) n C ( x ))| делит p , и если при этом [ x , A ] * 1, то C _P ( x q ) = ( A n C _P ( x q )) ■ ( C _P ( A ) n C ( x q ));

• 5)    G = P A ( < x )x< y ) ), x q = y r = 1, r ^ p , подгруппа P A< t ) является группой типа 3) для любого элемента t простого порядка из < x ) x < y ) , и если A - < x , y ) -допустимая подгруппа из P , то индекс |( N _P ( A ) n C ( < x , y ) )):( A n C ( < x , y ») ■ ( C _P ( A ) n C ( < x , y ») | делит p , и если, например, x ё C ( A ), то C p ( y ) = ( A n C ( y )) ■ ( C p ( A ) n C ( y ));

• 6)    G = P A ( < x ) A < y ) ), x q = y r = 1, r ^ p , xy ^ yx , подгруппа P A< t ) является группой типа 3) для любого неединичного элемента t е < x ) A < y ) , и если A - < x , y ) -допустимая подгруппа из P , то индекс |( N _P ( A ) n C ( < x , y »):( A n C ( < x , y ») ■ ( C _P ( A ) n C ( < x , y »)| делит p , а C _P ( x ) = ( A n C ( x )) ■ ( C _P ( A ) n C ( x ));

• 7)    G = ( F A < x ) ) ■ < y ) , F ■ < y ) - силовская p -подгруппа G , | x | = q , y^p е F , [ x , y ] ё F , подгруппа F A< x ) - группа типа 3), а ( C _P ( x ) x< x ) ) ■ < y ) - группа типа 1), и если A - < x , y ) -допустимая подгруппа из P и H = A ■ < x , y ) , то | C N ( _H ) ( H ): C ( H ) | делит p , а

• Cf (x) = (A n C(x)) ■ ( Cf (A) n C(x));

• 8)    G = ( F A ( < x ) x < y ) ) ) ■ < t ) , F является p -группой, x q = y q = 1, t r е F , элемент t действует на < x ) x < y ) неприводимо, подгруппа F A ( < x ) x < y ) ) является группой типа 5), при этом, если r /: p , то F A < t ) - группа типа 3, и если A - < x , y , t ) -допустимая подгруппа из F , то C f ( < x > x < y » = ( A n C ( < x ) x < y ) )) ■ ( C f ( A ) n C ( < x ) x < y »).

Доказательство. Обозначим через F подгруппу Фиттинга группы G . Тогда, как известно, C ( F ) <  F .

Предположим сначала, что подгруппа F не является примарной группой. Тогда F либо абелева, либо является группой из теоремы 1, а | G : F | = p для некоторого простого числа p . Это означает, в частности, что G = H A P , где H - нильпотентная холлова p ‘ -подгруппа из G , а P -силовская p -подгруппа группы G .

Если A произвольная неединичная подгруппа из P и B = H A A , то из того, что H ■ N _P ( H ) <  N ( B ), C ( B ) <  C ( A ) и определения NS _np -группы следует, что индекс | N_P ( A ): A ■ C _P ( A ) | делит p , т.е. подгруппа P либо абелева, либо является ( p , n ) -группой.

Предположим сначала, что подгруппы P и H абелевы. Если | P | >  p , a - элемент простого порядка из P и B = H A< a ) , то | P : C _p ( H ) | = | G : B ■ C ( B ) | = p , т.е. G - группа типа 1) из условия теоремы.

Пусть теперь H абелева, а P является (p, n) -группой. Если подгруппа H непримарна, то | P : CP (H) | = p . Если же H является q -группой для некоторого простого числа q , то из непри- марности F следует, что F n P Ф1. Но тогда и A = F n Z(P) Ф1, т.е. и в этом случае | P: CP (H) |=| G: H • A • C(H • A) | = p. Предположим, что подгруппа CP (H) неабелева. Если n = 1, то P = CP(H) • Z(P), т.е. P = CP(H) • (z), где zе Z(P) и G - группа типа 1). Пусть n > 1 и P = T • (x), где T - абелева максимальная подгруппа из P. Так как CP (H) неабелев, то можно считать, что x е C(H), т.е. CP (H) = CT (H) • (x). Пусть P0 = CT (H) и A = H x P0. Из H < G следует, что P < P. Так как P0 максимальна в T, то | P: P0 |= p2 . Из n > 1 следует, что CP(P0) = T и, следовательно, C (A) = C (H) n C (P0) = ( (H x P0) • (x) )n (H IT) = H x P0 = A . Но тогда | G: A • C(A) | = | P: P0 |= p2, что невозможно. Таким образом, при n > 1 подгруппа CP (H) абелева и G - группа типа 1).

Предположим теперь, что подгруппа H неабелева. Тогда H = Q x K , где K - абелева хол-лова q ‘ -подгруппа из H , а Q является ( q , n ) -группой для некоторого n >  1. Если n >  1, то абелева максимальная подгруппа T является характеристической подгруппой Q . Если при этом K Ф 1, то подгруппа A = T x K непримарна и инвариантна в G . Но тогда из C q ( A ) = T и определения NS _np -групп следует, что индекс | N ( A ): A • C ( A )| = q , т.е. P <  C ( A ), и, следовательно, группа P действует приводимо на факторгруппе Q/Q ' = ( aQ ^ x ( xQ ^, где а е T и Q = T • ( x ) . В силу теоремы Машке ([2], теорема 20.2.2) можно считать, что подгруппа T 1 = Q '• ( x ) тоже P -допустима. Как и выше, получим P <  C(T 1 x K ). Отсюда следует, что P <  C(T 1 • T ) = C ( Q ) и G = Q x ( K X P ). Пусть A - произвольная подгруппа из R = K X P и B = T x A . Так как | N ( B ): B • C ( B ) | делит простое число и x е N ( B ) \ ( B • C ( B )), то этот индекс равен q и, следовательно, N R ( A ) = A • C _R ( A ). Из произвольности A и леммы 2 из [3] следует, что группа R абелева и G нильпотентна, что невозможно.

Таким образом, в случае n >  1 подгруппа K тривиальна. Но тогда из непримарности F следует, что P n F Ф 1. Заменяя в предыдущих рассуждениях подгруппу K подгруппой P n F , снова получим противоречие. Следовательно, Q является ( q ,1)-группой и P действует на Q/Z ( Q ) неприводимо. Если A - произвольная неединичная подгруппа из P и B = H A A , то из того, что | N ( B ): B • C ( B ) | делит p , следует, что и | N _P ( A ): A • C _P ( A ) | тоже делит p , т.е. P либо абелева, либо является ( p , n ) -группой. Если C _P ( H ) неабелев, то F является нильпотентной NS _np -группой, содержащей две неабелевы силовские подгруппы Q и C _P ( H ) , что невозможно. Таким образом, в этом случае G является группой типа 2).

В дальнейшем считаем, что F является p -группой для некоторого простого числа p . Пусть A/F - минимальная нормальная подгруппа группы G/F . Тогда A/F является элементарной абелевой q -группой, q Ф p . Если а - элемент порядка q из A и B = F А( а ) , то из C ( B ) <  C ( F ) <  F <  B и определения NS _np -группы следует, что индекс | A : B | делит q , т.е. | A/F | < q ². Так как | G : A • C ( A ) | = | G : A | делит простое число, то возможен только один из следующих случаев: а ) | G/F | = q ; б) | G/F | = qr ; в ) | G/F | = q ² r . Рассмотрим каждый из этих случаев:

• а )    G = F A( x ) , x q = 1. Пусть A - x -допустимая подгруппа из F и H = A X^ x ) . В силу леммы Фраттини ([2], лемма 17.1.8)

N ( H ) = A • N_{n (} h )« x ) ) = A • C _{N (} h ) ( x ) = ( A • C _N F ₍ a ) ( x ) ) X{ x ) , а H • C ( H ) = A ( C _F ( A ) n C ( x )) X( x ) . Поэтому

N ( H )/ H • C ( H ) = A • ( N F ( A ) n C ( x ))/ A • ( C _F ( A ) n C ( x ) ) = ( N f ( A ) n C ( x ))/( C f ( A ) n C ( x )) • ( A n C ( x ) ) , т.е. индекс |( N F ( A ) n C ( x )):( C _F ( A ) n C ( x )) • ( A n C ( x ) ) | делит p и G - группа типа 3);

• б)    Предположим, сначала, что G = F X< x ) , | x I = q ². Тогда F X< x^q ) - группа типа 3). Пусть A - неединичная x -допустимая подгруппа из F и H = A X< x ) . Как и в пункте a ) получим, что |( N F ( A ) n C ( x ))/( C _F ( A ) n C ( x )) • ( A n C ( x ) ) | делит p . Рассмотрим подгруппу K = A X< x^q ) . Если x 6 C ( A ), то из x e N ( K ) следует, что | N ( K ): K • C ( K ) | = q . Но тогда N F ( A ) n C ( x q ) = ( C _F ( A ) n C ( x q )) • ( A n C ( x q ) ) .

Заменяя в предыдущих рассуждениях подгруппу A на x -допустимую подгруппу N F ( A ), будем иметь

N f ( N f ( A )) n C ( x q ) = ( C f ( N f ( A )) n C ( x q )) • ( N f ( A ) n C ( x q )) = ( C f ( A ) n C ( x q )) • ( A n C ( x q )).

Продолжая этот процесс и учитывая, что F удовлетворяет нормализаторному условию, через конечное число шагов получим C _F ( x q ) = C _A ( x q ) • C C F ( _A ) ( x q ), т.е. G - группа типа 4).

Случай G = F X ( < x ) x < y ) ), где x q = y r = 1, r * p , рассматривается аналогично. При этом получим группу типа 5).

Пусть теперь G = F X ( < x ) X< y ) ), x q = y r = 1, r * p и xy * yx . Тогда для любого неединичного элемента t e < x , y ) подгруппа F X< t ) является группой типа 3). Пусть A - < x , y ) -допустимая подгруппа из F и H = A X< x , y ) . Как и выше, несложно получить, что индекс |( N F ( A ) n C ( < x , y ) )):( C _F ( A ) n C ( < x , y ») • ( A n C ( < x , y »)| делит p . Если же H = A X< x ) , то из y e N ( H )\ C ( H ) следует, что | N ( H ): H • C ( H )| = r . Как и выше, это приводит к равенству C f ( x ) = C a ( x ) • C C F ,( _A ) ( x ), т.е. G - группа типа 6).

Предположим, наконец, что | G/F | = pq , т.е. G = ( F X{ x ) ) • ( y ) , x q = 1, y p e F . Так как ( F , y ) не инвариантна в G , то [ x , y ] 6 F . Тогда F X( x ) - группа типа 3), а

( C f ( x ) x <  x» X <  y > = <  x ) X ( C f ( x ) • <  y» является группой типа 1). Если A - < x , y ) -допустимая подгруппа из F , то из y e N ( < A , x ) )\ C ( < A , x»      и определения     NS _np -группы    снова    получим,    что

C f ( x ) = C a ( x ) • C C F ₍ a ) ( x ).

Если же H = ( A X< x ) ) • < y ) , то в силу леммы Фраттини N ( H ) = H • C _N ( _H ) ( x ). Учитывая, что C n_h ( x ) = C a ( x ) • C c_{n (} H _{) (} a ) ( x ), имеем N ( H ) = H • C cc_{h (} A _{) (} a ) ( x ). В то же время H • C ( H ) = H • ( C _{C ( A} ) ( x ) n C ( y )). Поэтому индекс | N ( H ): H • C ( H )| = | C _{N ( H} ) ( A X< x ) ): C ( H )| делит p и G - группа типа 7);

• в )    Пусть G = ( F X ( < x ) x < y ) )) • < t ) , x q = y^q = 1, t r e F . В силу леммы Фраттини можно считать, что t e N ( < x , y ». Но тогда из минимальности < x , y ) следует, что t действует на < x ) x < y ) неприводимо. По уже доказанному F X ( < x ) x< y » является группой типа 5) и если r * p , то F X< t ) -группа типа 3). Если A является < x , y , t ) -допустимой подгруппой из F , то полагая B = A X ( < x )x< y ) ) из того, что t e N ( B )\( B • C ( B )) как и выше, получим, что C f ( < x ) x < y ) ) = C a ( < x ) x < y ) ) • C c F ₍ a ) ( < x ) x < y ) ), т.е. G - группа типа 8).

Достаточность следует из приведенных выше рассуждений. Теорема доказана.

Отметим еще, что из условия C _F ( x ) = ( A n C ( x ) ) • ( C _F ( A ) n C ( x )) для любой < x , y ) -допустимой подгруппы (пункты 4)-8) теоремы) следует в частности, что F = [ F , x ] • C _F ([ F , x ]). Кроме того, это условие выполняется автоматически, если подгруппа F абелева.

Примеры. Приведем простейшие примеры, показывающие, что все случаи из теоремы 2 реализуются.

Группы G 1 = S ₃ x< a ) , | a | = 5, G ₂ = ( < a )x< b ) ) X < c ) , a ³ = b ⁴ = c ² = 1, a^c = a ^{- 1}, b^c = b ^{- 1} и G ₃ = ( < a )x Q 8 ) X< c ) , a ³ = c ² = 1, a^c = a ^{- 1}, [ Q ₈, c ] = 1 являются группами из пункта 1) теоремы.

Пусть G = ( Q 8 х ( a» z ( b ) , a ⁹ = b ³ = 1, a^b = a ⁴ и b действует на Q 8 как естественный автоморфизм порядка 3. Тогда G – группа типа 2) с неабелевой подгруппой P , а ее подгруппа Q 8 A( b ) - группа типа 2) с абелевой подгруппой P .

Группа G = « a ) 2 ( b ) ) 2 ( c ) , a⁹ = b ³ = c ² = 1, a b = a ⁴, a^c = a ^{- 1}, b ^c = b является группой типа 3). В ней для подгрупп H 1 = ( a ) 2 ( c ) и H ₂ = ( b ) 2 ( c ) выполняются равенства | N ( H 1 ): H 1 ■ C ( H 1 ) | = 3, а N ( H 2 ) = H 2 ■ C ( H 2 ).

Группа Фробениуса порядка 20 – простейший пример группы типа 4). Более интересным примером группы типа 4) является группа    G = (« a) 2( b)) х (c) х (d)) 2( x), a9 = b3 = c3 = d3 = x4 = 1, ab = a4, ax = a 1, bx = b, cx = cd, dx = cd2. В этой группе для подгрупп H1 = (a)Дx) и H2 = (a)Дx2) выполняются равенства | N(H1):H1 ■ C(H1)| = 3, а N(H2) = H2 ■ C(H2).

Группа Фробениуса порядка 7 ■ 6 - группа типа 5) для r Ф q , а S 3 х S 3 для r = q .

Группа GL (3,2) = PSL (2,7) содержит неабелевы подгруппы H 1 и H ₂ порядков 21 и 6 соответственно. Если A - элементарная абелева группа порядка 8, то G 1 = A A H 1 и G 2 = A A H ₂, где H 1 и H 2 действуют на A как подгруппы GL (3, 2) , являются группами типа 6) и 7) соответственно.

Пусть p Ф 2. Тогда группа G = « a )х( b )х( c ) ) А (( ( x )х( у ) ) Я ( t ) ), где a p = b p = c p = 1, x ² = у ² = t ³ = 1, a x = a , b x = b ¹, c x = c ^{- 1}, a y = a ^{- 1}, b y = b , c y = c ^{- 1}, x t = у , y t = xy , a¹ = c , b^t = a , c^t = b , является группой типа 8).