Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа n

Знаком X мы обозначаем полупрямое произведение, знаком < • – максимальность подгруппы и знаком >< – инцидентность двух подгрупп.

Определение 1 . Если порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп группы G делит n, то G назовем F n -группой, или группой с F n -условием.

Другими словами, Fn-группы – это группы со следующим условием инцидентности: любые две истинные подгруппы, порядок пересечения которых не делит фиксированное число n, инцидентны.

Это иной подход к условиям инцидентности, чем в работе автора [1], где введены условия инцидентности для некоторых классов подгрупп.

Если G – конечная F n -группа, то можно считать, что n\ \G\ и n ^ |G|, иначе, вместо n возьмем ( n,\G\)=m и G - F m -группа, а число m уже делит |G|. Случай n=|G| неинтересен, ибо любая группа порядка n является F n -группой.

Лемма 1. Пусть G – F n -группа. Если N <  G и |N| не делит n, то G/N - группа с условием инцидентности (т.е. циклическая р-группа или квазициклическая p-группа).

Доказательство. Если A/N и B/N - подгруппы группы G/N, то N ⊂ ( A ∩ B ) . Так как |N| не делит n, то и | A ∩ B | не делит n.

Значит, в силу F n -условия подгруппы A и B инцидентны, а тогда A/N и B/N – инцидентны. Следовательно, G/N – группа с условием инцидентности. Как известно, тогда она – циклическая р-группа или квазицикличекая р-группа. Лемма доказана.

Легко устанавливается

Лемма 2. F n- условие переносится на подгруппы.

Лемма 3. F n -условие переносится на фактор-группы .

Доказательство. Пусть G – F -группа и N < G . Если подгруппы A/N , B/N и они не инцидентны, то А и В не инцидентны. Тогда в силу Fn-условия | A ∩ B | | n.

Но A / N ∩ B / N = ( A ∩ B ) / N (ибо A,B ⊃ N ) и | (A ∩ B)/ N | | | A ∩ B | | n . Значит, G/N - F_n - руппа. Лемма доказана .

Лемма 4. Пусть G – непримарная F n -группа, P < G , |P| = p ^a и в Р существует максимальная подгруппа S, инвариантная в G. Тогда p ^{α - 1} | n .

Доказательство. Если α = 1 , то утверждение верно. Пусть α >  1 . Тогда S ≠ 1 . Из теории р-групп известно, что | S | = p ^{α - 1} . Пусть р ^{а - 1} не делит n. Тогда, по лемме 1, G/S – q-подгруппа, q ≠ p , ибо G непримарна. Но G/S содержит подгруппу P/S порядка р. Полученное противоречие и доказывает лемму.

Следствие. Если Р – циклическая инвариантная в G подгруппа порядка p ^α F n -группы G, то p ^{α - 1} | n .

Лемма 5. Пусть G = G₁ × G₂ × ... × G_s (2), n ∈ N и существует i такое, что | G | не делит n. Если G – F n -группа, то s ≤ 2 .

Доказательство. Предположим противное. Тогда кроме G в (2) входят G _j и G (числа i,j,k – различные). Рассмотрим подгруппы A = G_i × G _j и B = G × G . Очевидно, (A ∩ B) = G_i . Но n не делит | G_i | , и потому n не делит | A ∩ B | . Следовательно, A> (в силу F –условия). Но это невозможно, т.к. G_j ⊄ B и G ⊄ A . Лемма доказана.

Следствие. Пусть G – F -группа и простое число p не делит n. Тогда всякая элементарная абелева р-подгруппа А группы G име- 2 ет порядок p или p .

Лемма 6. Бесконечная циклическая группа G не является F -группой ни для какого n ∈ N .

Справедливость леммы очевидна.

Следствие. Всякая F -группа G периодическая.

Непримарные конечные нильпотентные F n -группы с непустым множеством π ( G )\ π ( n )

Лемма 7. Пусть периодическая непри-марная ZA–группа G является Fn-группой и π( n ) ∩ π( G ) ≠ Ǿ.     Если     существует p ∈(π(G)\π(n)), то G абелева, |π(G) |=2 и G представима в виде G = P × C m (1) или q

G = P × C ∞ (2), где | P|=p , q ≠ p , и π (n) = q . ^q

Доказательство. Пусть Р – силовская р-подгруппа группы G. Так как G – периодическая ZA -группа, то она локально нильпо-тентна и потому P <  G . Так как P - ZA -группа, то Р имеет нетривиальный центр. Тогда найдется подгруппа Z₁ ⊂ Z( P) такая, что | Z | = p . Но G = P × S ( ввиду локальной нильпотентности G), и потому Z ⊂ Z(G) и Zj <  G. Так как по условию число p не делит n, то по лемме 1 G / Z – циклическая q-группа или квазициклическая q-группа. Но

Z₁ ⊂ Z ( G ) , и потому G абелева. Так как G непримарна, то q ≠ p и G = Z × K , где K ≅ G / Z – циклическая или квазицикличе-ская q-группа. Значит, P = Z₁ . В первом случае G – группа вида (1) (так как циклическая группа порядка pq ^m ), во втором – группа типа (2).

Так как p ⊄ π ( n ) и π ( n ) ∩ π ( G ) ≠ Ǿ, то π ( n ) = q . Лемма доказана.

Следствие. Если G – конечная нильпотентная непримарная F -группа и |G| делится на р, причем р не делит n, то G – циклическая группа порядка pq^m и q^{m - 1} |n.

Доказательство. Из леммы 7 следует, что G = P × C m , где |P|=p, а тогда G – цикли-q ческая группа порядка pqm . Так как p не делит n и n| |G|, то n = qt , по следствию леммы 4. Следствие доказано.

Теорема 1. Конечная непримарная нильпотентная группа G тогда и только тогда является F n -группой, у которой множество π (G)\ π (n) непусто, когда G – циклическая группа порядка pq ^m , n=q^t и t ≥ m - 1 .

Необходимость доказана в следствии леммы 7.

Достаточность. Пусть G – циклическая группа порядка pq^m , n = q^t , t ≥ m - 1 . Тогда p не делит n. Если A,B| A ∩ B | не делит q^m-1 , то либо | A ∩B | делится на р, либо | A ∩B|=q^m . Последнее невозможно, так как подгруппа порядка q^m – максимальная подгруппа группы G. В первом случае A ⊃P,B ⊃ P , где Р – силовская р-подгруппа группы G, и по лемме 1 А><В. Значит, G – F_n -группа. Теорема доказана.

Непримарные конечные нильпотентные Fn-группы, у которых π( G ) = π( n )

Лемма 8. В конечной циклической группе G подгруппы порядков m и k пересекаются по подгруппе порядка, равного (m, k).

Справедливость этого утверждения очевидна.

Теорема 2. Конечная непримарная нильпотентная группа G порядка m является Fn-группой с условием π(G) =π(n) тогда и только тогда, когда G = P×Q ,где | P |= pα , α≥2,| Q |= qβ (q ≠ p), Q – циклическая группа и либо n = pα-1qβ , либо n = pα-1 q β-1, β≥ 2 и G – циклическая группа.

Необходимость. Пусть G – такая F n -группа и π ( m ) = π ( n ) . Как отмечалось выше, можно считать, что n|P|= p ^α не делит n. Из нильпотентности G следует, что P< G. По лемме 1 G/P -примарная циклическая q-подгруппа. Так как G непримарная, то p ≠ q . В силу нильпотентности G = P × Q (3), Q ≅ G / P – циклическая q-группа и | G |= p^αq^β .

Из леммы 4 следует, что p ^{α - 1} | n . Если |Q| |n, то n = p ^{α- 1}q ^β .

Пусть |Q| не делит n. Тогда, как и выше, из леммы 1 и G / Q ≅ P получаем, что Р – циклическая группа, а тогда и G циклическая. Теперь из (3) и леммы 4 вытекает, что q ^{β- 1} | n , т.е. n = p ^{α- 1}q ^{β- 1} . Так как π (n) = π (G) , то β ≥ 2 . Необходимость доказана.

Достаточность. G = P × Q , где | P | = q ^α , | Q | = q ^β и Q – циклическая группа, а n имеет один из видов, указанных в теореме 2.

• 1)    n = p ^{α - 1}q ^β (4).

Если A,Bn-группа.

• 2)    n = p ^{α - 1}q ^{β - 1} , β ≥ 2 и G – циклическая группа. Так как в циклической группе по одной подгруппе каждого возможного порядка, то подгруппы, порядки которых не делят n, имеют либо порядки p ^α q^t(5) , t ≤ ( β - 1) , либо p^lq ^β (6) , l ≤ ( α - 1) . Если одна из них – порядка (5), а другая – (6), то по лемме 8 их пересечение – порядка p^lq^t | p ^{α - 1}q ^{β - 1} = n . Все подгруппы порядков p ^α q ^t1 и p ^α q ^t2 ин-

• цидентны ибо pαq t1 | pαq t2 ; аналогично и подгруппы порядков pl1qγ и pl2 qγ инцидентны. Значит, G – Fn-группа. Теорема доказана.

Конечные р-группы с Fn-условием

Лемма 9. Пусть Р – конечная р-группа порядка p ^m , m ≥ 2 . Тогда для любых двух истинных подгрупп S₁ и S₂ группы Р | S₁ ∩ S₂ | | p^{m - 2} . В частности, Р является F n -группой для n=p^m-2 и n=p^m-1 .

Доказательство.       Пересечение

(S ∩ S ) не может быть максимальной подгруппой группы G, и потому | S₁ ∩ S₂ | | p^{m - 2} , а при n=p^m-2 и n=p^m-1 Р является F_n--группой. Лемма доказана.

Теорема 3. Всякая нециклическая группа G порядка p ^α является F_n-группой тогда и только тогда, когда p ^{α - 2} | n .

Необходимость . Пусть G – нециклическая F n -группа порядка p ^α . Тогда в G найдутся по крайней мере две максимальные подгруппы M и M . Так как | G/M i |=p (i=1,2), то | G/M₁ ∩ M₂ | равен р² . Поэтому | M₁ ∩ M₂ | = p ^{α - 2} и p ^{α - 2} | n .

Необходимость доказана.

Достаточность доказана в лемме 9.

Замечание. Всякая циклическая группа порядка p ^α удовлетворяет условию инцидентности и потому является F_n-группой для любого n = p ^γ , γ <  α .

Из этого замечания и теорем 1–3 вытекает следующее описание конечных нильпотентных F n -групп.

Теорема 4. Конечная нильпотентная группа G является F n -группой тогда и только тогда, когда G – группа одного из типов:

• 1)    нециклическая порядка p ^α и p ^{α - 2} | n ;

• 2)    циклическая порядка p ^α , n = p ^γ , γ < α ;

• 3)    циклическая порядка p ^α q ^β и α - 1 β - 1

p q |n ;

• 4)    G = P × Q , где | P| = p ^α ,   α ≥ 2 ,

| Q | = q ^β , Р нециклическая, Q – цикличе- α - 1 β ская группа и n = p q .

Замечание. Отметим, что в группе типа 3 объединены циклические группы из теорем 2 и 1.

Некоторые свойства конечных Fn-групп

Лемма 10. Пусть Q – неинвариантная силовская q-подгруппа конечной F_n-группы G и |Q| не делит n. Тогда Q не содержится ни в какой истинной инвариантной подгруппе группы G.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует S <  G,S <  G и Q с S . Тогда Q ^ S (ибо Q неинвариантна в G). Так как |G| <® , то в соответствии с леммой Фраттини G = S • N(Q) (1). Отметим, что (S n N(Q) о Q и |Q| не делит n и потому | S n N(Q)I не делит n. В силу F n -условия S>, но тогда из (1) следует, что либо G=S ( но S), либо G=N(Q), а тогда Q< G, вопреки условию. Значит, S и N(Q) не инцидентны, в противоречие с Fn-условием, и такой подгруппы S не существует. Лемма доказана.

Лемма 11. Пусть G -F n -группа, Q и |Q| не делит n. Тогда любые две Q^x – допустимые подгруппы (x е G) S1 и S2 группы G, порядки которых взаимно просты с |Q|, инцидентны.

Доказательство. Так как S₁ и S₂ Q ^x -допустимы и S i n Q^x = 1 (i=1,2), то в G существуют подгруппы T 1 = S 1 A Q^X и T₂ = S₂ A Q^x . Но (T 1 n T₂) о Q^x и | Q x | не делит n. Поэтому в силу F n -условия T_I ><  T₂ . Так как S – инвариантные холловские q-подгруппы групп T (i=1,2), то S₁ ><  S₂ . Лемма доказана.

Лемма 12. Пусть G – конечная F n -группа, Q, Q| не делит n. Если S - Q-допустимая подгруппа группы G, Rj,R₂<S,R_i - Q-допустимы (i=1,2), R₂/R! – элементарная абелева р-группа и р не делит \Q\, то в R2/R1 Q индуцирует группу автоморфизмов без истинных Q-допустимых подгрупп.

Доказательство. Пусть T₁ / R₁ – истинная Q-допустимая подгруппа группы R₂ / R₁ . Тогда по теореме Машке

R 2 /R 1 = T 1 / R 1 x T 2 /R 1 , где T 2 /R 1 Q-допуcтима. Очевидно, T и T Q-допустимы. По лемме 11 T ><  T₂ . Но T n T₂ = R₁ , т.е. T и T не инцидентны. Значит, в R / R нет истинных Q-допустимых подгрупп. Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть G – конечная F n -группа, Q и Q| не делит n. Если Р- нециклическая Q^x-допустимая р-подгруппа группы G (х е G) и число р не делит |Q|, то никакая максимальная подгруппа М группы Р не является Q^x -допустимой..

Доказательство. Предположим противное. Пусть M <  • P и М Q x -допустима. Так как Р – нециклическая группа, то P/Ф(Р) – нециклическая элементарная абелева р-группа. Так как Р и Ф(Р) Q^x-допустимы и \Q\=\Q\, то, по нашему предположению, M/Ф(Р) – истинная Q ^x -допустимая подгруппа группы Р/Ф(Р), в противоречие с леммой 12. Значит, М не является Q^x -допустимой. Следствие доказано.

Следствие 2. Если при условиях леммы 12 Р – Q-допустимая элементарная абелева р-подгруппа, то в Р нет истинных Q ^x -допустимых подгрупп. Получается из леммы 12 при P=R 2 и R 1 =1.

Лемма 13. Пусть S <  G , Q - некоторая подгруппа группы G. Любые Q-допустимые подгруппы группы S тогда и только тогда инцидентны, когда для любого х е G любые Q^x -допустимые подгруппы группы S инцидентны.

Необходимость. Пусть любые Q-допустимые подгруппы группы S инцидентны и подгруппы S и S из S допустимы. Тогда, очевидно, S f ,S 2 Q-допустимы. По условию, S f ><  S 2 , откуда S₁ ><  S₂ . Необходимость доказана.

Достаточность очевидна.

Теорема 5. Пусть Р – силовская р-подгруппа конечной группы G, |P| = р^к , G = SAP (3) и любые две Р - допустимые р / -подгруппы группы S инцидентны. Тогда

• 1)    если T и T – подгруппы группы G и р ^кЦ Т 1 n T 2 | (4), то Т - <1 .;

• 2)    S содержит не более одной минимальной (максимальной) истинной Р-допустимой р^/-подгруппы.

• 3)    если S содержит инвариантную в G элементарную абелеву q-подгруппу Q ( p * q ), то Q – минимальная и максимальная Р-допустимая элементарная абелева р^/-подгруппа и единственная из инвариантных в G элементарных абелевых р^/-подгрупп группы S.

Доказательство.

• 1.    В силу (4) (T 1 о T 2 ) о P x , где P x -некоторая силовская р-подгруппы группа G. Отсюда и из (3) следует, что G = SAP^(x) (5). Так как T i о P^x (i=1,2), то T 1 = S 1 A P^(x) (6) и T 2 = S 2 A P^(x) (7) и P x - силовская р-подгруппа групп T i . Поэтому S – р^/-подгруппы (i=1,2). Так как S _;< T , то они P^x -допустимы. В силу условия теоремы 5 и леммы 13 любые P ^x -допустимые р^/-подгруппы группы S инцидентны, и потому S₁ >< S₂ . Тогда из (6) и (7) получаем, что Tj >< T₂ .

• 2.    Справедливость утверждения 2 теоремы 5 следует из условия теоремы 5 об инцидентности любых Р-допустимых  р^/-

• подгрупп группы S.

• 3.    Если в Q существует истинная Р-допустимая подгруппа S₁ , то, так как (q,|P|)=1, по теореме Машке Q = S 1 х S₂ , где S₂ Р-допустима, а тогда S₁ и S₂ не инцидентны, вопреки условию теоремы 5. Значит, Q – минимальная элементарная абелева Р-допустимая р^/-подгруппа. Аналогично доказывается, что Q – максимальная элементарная абелева Р-допустимая р^/-подгруппа.

Если F – другая инвариантная в G элементарная абелева р^/-подгруппа группы S, то по условию теоремы 5 Q ><  F и по доказанному выше в пункте 3 F – также минимальная Р-допустимая; поэтому Q=F . Отсюда следует единственность Q. Теорема доказана.

Лемма 14. Пусть G – конечная разрешимая F n -группа, Q – ее силовская q-подгруппа и |Q| не делит n. Если S – Q-допустимая подгруппа группы G, то в S существует инвариантный в группе T=SQ ряд T = 1 < T <... < T < T. , < ... <  T, = S (8), каж-

0             2              i       i +1              к дый фактор T / T которого – либо элементарная абелева q-группа, либо элементарная абелева q/-группа, причем в последнем случае в T / T Q индуцирует неприводимую группу автоморфизмов и T / T – единственная инвариантная элементарная абелева q/-подгруппа группы T / Ti .

Доказательство. По лемме 2, Т является F n -группой. В силу леммы 11 все Q-допустимые q^/-подгруппы группы S инцидентны. Если T является q-группой, то существование такого ряда очевидно. Пусть Т не-примарна. Так как S <  T и Т разрешима, то в S найдется минимальная инвариантная элементарная абелева р-подгруппа T 1 * 1 .

Пусть p * q . Тогда T - q^/-группа. По доказанному в пункте 3 теоремы 5 T – единственная инвариантная элементарная абелева q^/-подгруппа группы Т. Если p=q, то Т 1 – элементарная абелева q-подгруппа.

Далее рассмотрим T / T₁ . По лемме 3, эта группа является F_n-группой. Из леммы 11 и условия леммы 14 вытекает, что в подгруппе S / T₁ группа Q индуцирует такую группу автоморфизмов, что все Q-допустимые q^/-подгруппы группы S / T инцидентны. Как и выше, доказывается существование в S / T₁ инвариантной в T / T элементарной абелевой р-подгруппы с указанными в лемме 14 свойствами, и т.д. Отсюда и следует справедливость леммы 14. Лемма доказана.

Следствие 1. Если при условиях леммы 14 S является нильпотентной группой, то I S | = p q m (9) (причем возможно и m=0) и построенный выше ряд (8) является центральным рядом.

Доказательство. Действительно, если |S| делится кроме q на два других простых p и r, то силовская р-подгруппа и силовская r-подгруппа группы S инвариантны в S и потому Q-допустимы, но они не инцидентны, в противоречие с леммой 11. Значит, имеет место (9).

Далее, Z(S) * 1 и Q-допустима. Если Z – нижний слой Z(G) , то он Q-допустим. Если Z 1 примарен, то полагаем Z₁ = T 1 . Если Z непримарен, то в качестве T берем его силовскую q-подгруппу. Аналогично поступаем с T / T и т.д. Ввиду доказанной в лемме 14 единственности q^/-факторов Т_i+1 / T_i получаем ряд (8). Следствие доказано.

Следствие 2. Если при условиях леммы 14 (|S|,q)=1 , то S – p-группа, факторы ее центрального ряда (8) не имеют истинных Q-допустимых подгрупп и T i (i=0,…,k) – все характеристические подгруппы группы S.

Справедливость этого утверждения получается из доказанных в лемме 14 свойств ряда(8), Q-допустимости характеристических подгрупп группы S и леммы 11.

Конечные ненильпотентные F n -группы с инвариантной q-подгруппой Q, порядок которой не делит n

Пусть G – конечная ненильпотентная F n -группа с инвариантной q-подгруппой Q, порядок которой не делит n , удовлетворяющая указанному в заглавии условию. Так как | Q | = q^m по условию не делит n, то по лемме 1 G/Q - циклическая р-группа. Из того, что G ненильпотентна, следует, что p ≠ q . По теореме Шура G = Q λ P (1), где Р – циклическая группа (ибо P ≅ G/ Q ).

Пусть P < •P и Z – центр группы Q. Рассмотрим подгруппу T = ZλP . Имеем T ∩ P = P1 (2). Так как T и Р, очевидно, не инцидентны, то в силу Fn-условия из (2) следует, что | P1 || n . Но | P |= pk , и потому |P1|=pk-1, т.е. pk-1|n.

Если Q содержит P -допустимую максимальную подгруппу Q для некоторой     р-подгруппы       P₁ ≠ 1 ,     то

(Q 1 λ P 1 ) ∩ Q = Q 1 . Так как (Q 1 λ P 1 ) и Q не инцидентны, то в силу F n - условия \Qj\\n , т.е. q^{m - 1} | n . В частности, это выполняется, если Q – циклическая группа.

Если Q – нециклическая группа, то, по лемме 10, q^{m - 2} | n .

Возможны два случая:

• 1.    p ^k не делит n. Тогда, по доказанно-

• m-1 k-1               m-2 k-1

• 2.    p^k | n . Тогда или n = q^{m - 1} p^k , или n = q^{m - 2} p^k . Если Q имеет Р 1 -допустимую максимальную подгруппу для некоторого x е G и р-подгруппы P ^ 1 , в частности, если Q циклическая, то n = q^{m - 1} p^k . Этим доказана необходимость условий следующей теоремы:

му выше, или n = q^m p , или n = q^m p . Если Q циклическая, то имеет место первое из этих равенств. В силу леммы 11 любые P^x -допустимые подгруппы группы Q инцидентны.

Теорема 6. Пусть конечная ненильпотентная группа G имеет инвариантную силов-скую q-подгруппу Q, | Q | = q^m , n ∈ N и |Q| не делит n. Группа G является F_n - группой тогда и только тогда, когда G = Q λ P , где Р – неинвариантная в G циклическая подгруппа порядка p ^k, n = q^lp t , причем l равно (m-2) или (m- 1 ) , а если Q имеет P_} -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы P ≠ 1 (в частности, если группа Q циклическая), то l = (m–1) и выполняется одно из следующих условий:

• 1)    p ^k не делит n, любые Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и t=k-1 ;

• 2)    p k In и t=k.

Достаточность. Пусть G – группа, удовлетворяющая условиям теоремы, S₁ и S ₂ – ее неинцидентные подгруппы. Если одна из них является р-подгруппой, то | S₁ ∩ S₂ || p^{k - 1} | n . Если они – неинцидентные q-подгруппы, то содержатся в Q и, если Q нециклическая, то, по лемме 10, | S₁ ∩ S₂ || q^{m - 2} | n , а в циклической группе Q неинцидентных подгрупп нет.

Пусть S ≤ Q , а S₂ непримарна, т.е. S₂ = Q₁ λ P₁ , Q₁ ≤ Q и P₁ ≠ 1 – р-группа. Если Q₁ = Q , то S₁ ⊂ S₂ вопреки условию. Значит, Q 1 < Q . Если S 1 = Q , то |S 1 ∩ S 2 | = |Q 1 | . Далее, если Q < • Q , то | Q ₁ | = q ^{m - 1} | n по условию теоремы; в остальных случаях |Q 1 ||q^{m - 2}|n .

Осталось рассмотреть случай, когда S₁ и    S₂   непримарны, т.е. S = Q λ P ,

S₂ = Q₂ λ P₂ , Q_i ≤ Q (i=1,2) и Р 1 , Р 2 – отличные от 1 р-подгруппы. Если Q₁ = Q₂ = Q , то S₁ и S 2 инцидентны, так как G/Q - циклическая р-группа. Пусть Q₁>Q. Если Qj <^ Q , то в силу условия теоремы | S₁ ∩ S₂ || q^{m - 1} p^s (3); если же Q – не максимальная в Q, то |S 1 ∩ S 2 ||q^{m - 2}p^r (4).

Далее рассмотрим группы, указанные в условиях 1 и 2 теоремы 5, отдельно.

• 1.    Пусть G – группа с условием 1. Если | S₁ ∩ S₂ | не делится на p^k , то из (3) следует,

• 2.    Пусть G – группа с условием 2. Тогда из (3) получаем |S₁ n S 2 ||q m - ¹ p k (если Q i <• Q ), а последнее число равно n, из (4) следует | S 1 n S₂ || q m - ²p^k |n . Значит, группа с условием 2 теоремы 6 является F_n-группой. Теорема доказана.

что | S 1 n S 2 llq m - ¹ p k - ¹ . Это число равно n, если Q < • Q. Если же Q₂ - не максимальная подгруппа группы Q, то из (4) получаем |S 1 n S 2 llq m - ²p k — ¹ | n .

Пусть теперь |S₁ n S 2 | делится на p k . Так как по условию 1 любые Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны, то в силу утверждения 1 теоремы 5 S₁ ><  S₂ . Итак, при условии 1 G – F n -группа.

Следствие 1. F n -группой является группа G = Q A P , где Q, Р - циклические группы, |Q| = q^m , |P| = p^k при n = q^m - ¹ p k - ¹ и n = q^m - 1 p^k .

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 5 и того, что все подгруппы группы Q инвариантны в G и инцидентны.

Следствие 2. Пусть группа G имеет строение, описанное в теореме 6. Если p ^k не делит n, то подгруппа Q имеет центральный ряд, описанный в лемме 14 и ее следствии 2, члены которого – все характеристические подгруппы группы Q.

Конечные разрешимые ненильпотентные Fn-группы

Пусть G – такая группа. Если в G существует инвариантная силовская q-подгруппа, порядок которой не делит n, то такие группы описаны в теореме 6 (даже без предположения о разрешимости).

Теорема 7. Пусть G – конечная разрешимая ненильпотентная группа, n е N и порядок любой инвариантной силовской р-подгруппы группы G делит n или таких подгрупп в G нет.

Группа G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу Q порядка qm , |Q| не делит n, |G| = kqm, (k,q)=1, G=GQ и если T и T – любые две такие подгруппы группы G, что порядок их пересечения де- лится на qm , то (T1 nG ) и (T2 n G ) инцидентны и n = kqm-1.

Необходимость. Пусть G удовлетворяет условию теоремы и является F_n - группой. Так как |G| не делит n и G ненильпотентна, то в силу условия теоремы она имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу Q, порядок которой q^m не делит n. Из разрешимости G следует, что СР ^ G . Но GQ <  G , и так как Q неинвариантна в G и |Q| не делит n, то, по лемме 10, GQ = G (1).

Рассмотрим Q 1 = Q n G¹ . Подгруппы Q и G / неинцидентны: Q ^ G^/ в силу леммы 10 (так как Q неинвариантна в G), а из G' с Q и (1) следовало бы, что G=Q, но G ненильпо-тентна. Поэтому ввиду F _n- условия | Q || n .

Пусть Р – любая силовская р-подгруппа группы G, p ^ q .

Так как G/G² = QG/G' = Q/Q 1 (2) -q-группа, то P с G . Если Р неинвариантна в G, то, так как G² <  G , в силу леммы 10 |P| делит n. Если же P <  G , то по условию теоремы |P||n. Отсюда следует, что порядок любой силовской р-подгруппы ( p ^ q ) группы G^/ делит n. Так как Q₁ – силовская q-подгруппа группы G^/ и по доказанному вы-ше | Q₁ || n (3), то | G^/ || n (4). Поэтому |G^/| = kq (5), где (k,q)=1 , |G| = kq m (6).

Если Q 1 <» Q , то |Q| = q^m - ¹ , учитывая (3)-(5), получаем, что n = kq m ^{- 1} (7). Если же Qj не максимальная в Q, то найдется M <» Q такая, что M о Qj . Тогда M/Q₂ ^ Q/Qi , и потому T = GM ^ G . Имеем Q n T = M . Отсюда, так как Q ^ T и T ^ Q , в силу F_n-условия получаем, что \M\\n , т.е. q^{m - 1}|n , и число n опять имеет вид (7).

Пусть T и T – две такие подгруппы группы G, что q m || T 1 n T₂ | (8). Но q^m не делит n, и потому из (8) и F n -условия следует, что T 1 ><  T₂ , а тогда (T 1 n G ) ><  (T₂ n G ) . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть группа G порядка kqm , (k,q)=1 (9) имеет указанное в теореме строение. Докажем, что она является Fn- группой для n = kqm 1 (10). Пусть TI, T2 - две подгруппы группы G. Если qm не делит \T1 n T2 I, то из (9) и (10) следует, что \T1 n T2\ \ n . Пусть qm \ \T1 n T2\, тогда существует силовская q-подгруппа Qx группы G такая, что Qx е (T1 n T2) (11). Из G = GQ и того, что k\G/, следует, что G = GQX (12). Из (11) и (12) следует, что T1 = (T1 n G' )QX (13), T2 = (T2 n G/)Qx (14). В силу условия теоремы подгруппы (T n G/) и (T2 n G/) инцидентны, а тогда из (13) и (14) следует, что Ti>

Следствие 1. При условиях теоремы 7 любые Q-допустимые q-подгруппы S1 и S₂ группы G инцидентны.

Доказательство. Рассмотрим T1 = S1AQ, T₂= S2AQ. По теореме 7 (T1 n G ) >< (T₂n G ) (15). Но, так как S_t -q-группы, (i=1,2), то в силу (1), (5) и (6) Si е(TinG^/) и являются инвариантными холловыми q-подгруппами групп (T1 n G^/) и (T₂ n G^/). Ввиду их единственности из (15) следует, что S_} >< S₂. Следствие доказано.

Следствие 2. Если группа G имеет указанное в теореме 7 строение и G^/ является нильпотентной группой (в частности, если G сверхразрешима), то G = PAQ, где Р-р-группа, p ^ q, P с G' и любые две Q-допустимые подгруппы группы Р инцидентны.

Доказательство. В силу следствия 1 леммы 14 G^/ = Pх Q1 (16), где Р - р-группа, Q_l - q-группа. Тогда Q_}< G, и потому Qj с Q (17). Из G Q = G, из выражений (16) и (17) следует, что G = PAQ ибо (\P\,\Q\)=1. Пусть P и P – две Q-допустимые подгруппы группы Р. Так как p ^ q, то в силу следствия 1 теоремы 7 Pj >< P₂.

Наконец, если G сверхразрешима, то G/ нильпотентна и потому утверждение следствия 2 справедливо и для сверхразрешимых групп. Следствие доказано.

Следствие 3. Если неабелева Fn-группа G имеет описанное в теореме 7 строение и G является элементарной абелевой группой порядка ps (p ^ q), то G - группа следующего типа: G = PAQ, Q - абелева q-группа, Р – элементарная абелева р-группа, в Р нет истинных Q-допустимых подгрупп и s m -1 n = p q .

Доказательство. В силу следствия 2 леммы 12 в Р нет истинных Q -допустимых подгрупп и Q = G/G' - абелева группа. Утверждение следствия 2 теоремы 7 об инцидентности Q-допустимых подгрупп является уже излишним, так как таких истинных подгрупп нет. Следствие доказано.

Следствие 4. Неабелева группа G = G' AQ, где G/ - циклическая группа порядка p^s, Q - абелева группа порядка q^m является Fn-группой при n = p^sq^m -¹.

Действительно, такая группа удовлетворяет и остальным условиям теоремы 7, так как в G/ любые две подгруппы инцидентны.

Замечание. Если в группе G = PAQ, удовлетворяющей остальным условиям теоремы 7, группа G'< P, то G^/AQ ^ G, вопреки требованиям теоремы 5, и G не будет Fn-группой.

Следствие 5. Если конечная разрешимая Fn-группа G имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу и |Q| не делит n, то ее коммутант G ^/ имеет инвариантный в G ряд Q-допустимых подгрупп, описанный в лемме 14.

Из теорем 6 и 7 вытекает

Теорема 8. Пусть G – конечная разрешимая ненильпотентная группа. G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она – группа одного из следующих типов:

• 1.    G = QAP, где Р - неинвариантная в G циклическая подгруппа порядка p^k, |Q\=q^m, n = q^lp‘, причем l равно (m-2) или (m-1), а если Q имеет P -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы Pj ^ 1, то l=m-1 и

  • 1.1)    если p^k не делит n, то любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и t=k-1,

  • 1.2)    если p ^k | n , то t=k.

• 2.    G = G ^/ Q , где Q - неинвариантная силовская q-подгруппа группы G, \G\ = kq^m (k,q)=1, n = kq^m-1, и если T, T₂  -

• любые такие подгруппы группы G, что qm ||T1∩T2 |, то (T1 ∩G/ ) и (T2 ∩G/ ) инцидентны.

Следствие 1. Если G – группа типа 2 из теоремы 8 и G ^/ ∩ Q = 1 , то Q – абелева группа.

Действительно, в этом случае G = G ^/λQ и Q ≅ G / G ^/ – абелева группа.

Из теоремы 8 нетрудно получить следующий результат, в котором конкретизируются для случая π(G) ≠π(n) полученные в теореме 8 типы Fn-групп:

Теорема 9. Пусть G – конечная разрешимая ненильпотентная группа, n ∈ N и π( G )\ π( n ) ≠ Ǿ. G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она – группа одного из следующих типов ( ниже всюду q ≠ p ):

• 1.    G = QλP , G нециклическая, |Q|=q, Р – циклическая группа порядка p^k и n = p^k k-1 или n = p ;

• 2.    G = QλP , G неабелева, Q – элементарная абелева группа порядка q ² , Р – циклическая группа порядка p ^k и либо n = p ^k-1 и в Q нет истинных Р-допустимых подгрупп, k либо n = p ;

• 3.    G = QλP , Р неинвариантна в G, |P|=p, |Q|=q^m и n = q ^m-2 или n = q ^m-1 , причем если Q имеет максимальную Р-допустимую подгруппу, то n = q ^m-1 и любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны;

• 4.    G = G^/λQ , |Q|=q, G^/ – нециклическая группа и любые ее Q-допустимые подгруппы инцидентны, n =| G ^/ | ;

• 5.    G = G^/λQ , |Q|=q, G^/ – циклическая р-группа, n =| G ^/ | .

В типах 5 и 4 подгруппа Q неинвариантна, а в типах 1–3 подгруппа Р неинвариантна.

Необходимость. По условию теоремы существует Q – силовская q-подгруппа группы G такая, что |Q| не делит n. Возможны два случая.

• I.    Q< G. К группе G применима теорема 6, поэтому | G |= p^kq^m . По условию, π( n ) ≠ π( G ) , и потому π( n ) – либо р, либо q. Рассмотрим каждый из этих случаев.

• I.    1. π(n) = p. Если | Q |= q^m , то по теореме 6 q^m-1 | n или q^m-2 | n . Но у нас q ⊄ π( n ) , и потому либо m=2, либо m=1. Если m=2, то | Q |= q² и, так как q не делит n, из теоремы 6 следует, что n = p ^k-1 или n = p ^k и Q нециклическая (иначе q|n), т.е. типа q×q . Значит, G – группа типа 2 из теоремы 9. Если m=1, то |Q|=q и n = p^k или n = p^k-1 и G – группа типа 1 из теоремы 9.

  • I.2.    π( n ) = q . Так как в теореме 6 p^k-1| n , то k=1 и |P|=p. Теперь из теоремы 6 получаем, что G – группа типа 3.

• II.    Порядок любой инвариантной силов-ской р-подгруппы группы G делит n (или таких подгрупп нет). По условию существует q ⊂ π( G )\ π( n ) . Тогда силовская q-подгруппа Q группы G неинвариантна в G (в силу условия пункта II ) и |Q| не делит n. По теореме 7 G = G ^/ Q . Как показано при доказательстве теоремы 7, | Q ∩ G^/ |= q^s | n . Но q не делит n, и потому q ^s = 1 , т.е. G^/ ∩ Q = 1 . Далее, если | Q|≠ q , то существует Q₁< Q , что |Q₁ |=q . Тогда (G^/λQ₁)∩Q=Q₁, и, так как G ^/λQ и Q не инцидентны, то ввиду F_n-условия | Q || n и q|n вопреки условию. Значит, Q =Q , т.е. |Q|=q. Теперь из теоремы 7 и ее следствий 1 и 4 получаем, что G – группа одного из типов 4 или 5. Необходимость доказана.

Достаточность. Все типы 1–5 получены из теоремы 7, а все указанные в них группы, как доказано в теореме 7, являются Fn-группами с соответствующими n. Теорема доказана.

В теоремах 4 и 8 получено описание всех конечных разрешимых Fn-групп. Объединяя эти теоремы, получаем:

Теорема 10. Конечная разрешимая группа G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она – группа одного из следующих типов:

• 1)    нециклическая порядка p^α и p^α-2 | n ;

• 2)    циклическая порядка p ^α , n = p^γ , γ<α;

• 3)    циклическая порядка p^αq^β и _pα-1_qβ-1_|n;

• 4)    G=P×Q , где | P|= p^α, α≥2, | Q |= q^β . Р нециклическая, Q – циклическая группа и n = p^α-1q^β .

• 5)    G = QλP , где Р – неинвариантная в G циклическая подгруппа порядка p^k , |Q|=q^m, n = q^l p ^t , причем l равно (m–2) или (m–1), а если Q имеет P₁ -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы P ≠ 1 , то l=m-1 и

  • 5.1)    если p^k не делит n, то любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и t=k-1,

  • 5.2)    если p ^k | n , то t=k.

• 6)    G = G ^/ Q , где Q – неинвариантная си-ловская q-подгруппа группы G, | G |= kq^m (k,q)=1, n = kq^m-1 , и если T , T – любые такие подгруппы группы G, что q^m || T₁ ∩T₂ | , то (T ∩ G^/ ) и (T ∩ G^/ ) инцидентны.