Контактная задача для двух струн с переменными натяжениями
Бесплатный доступ
Предложена модель струны с переменным непрерывным натяжением на основе предельного перехода для струны из многих звеньев с различными постоянными натяжениями. Рассмотрена задача об одностороннем контакте под заданной нагрузкой двух таких струн различной длины с закрепленным левым концом и свободным правым. Сформулирована строгая постановка задачи, доказана единственность решения и построены аналитические решения в некоторых частных случаях. Показано, что соприкосновение струн может происходить как в одной точке, так и на отрезке.
Струна, переменное натяжение, контактная задача, аналитическое решение
Короткий адрес: https://sciup.org/147158829
IDR: 147158829
Текст научной статьи Контактная задача для двух струн с переменными натяжениями
Струна является одним из классических объектов математической физики [1]. С точки зрения механики, струна - простейший из тонкостенных объектов, к которым относятся также стержни, балки, пластины и оболочки. Для таких объектов, как и для «трехмерных» тел, могут быть рассмотрены контактные задачи [2-7]; для струн такие задачи не являются еще в достаточной мере исследованными. В [6] построено аналитическое решение контактной задачи для системы произвольного числа струн, аналогичной многолистовой рессоре как системе балок. В [7] построено в частном случае аналитическое решение задачи о контакте струны и твердого тела.
В настоящей работе рассматривается обобщение задачи [6] для двух струн; оно состоит в том, что натяжения струн являются переменными и непрерывными. Такая модель струны не является стандартной [1], но допускает наглядную интерпретацию (см. ниже). В работе сформулирована строгая постановка соответствующей контактной задачи, доказана единственность решения и построены аналитические решения в некоторых частных случаях. Этим построением одновременно доказывается существование решения.
Струна с переменным непрерывным натяжением
Рассмотрим малые статические поперечные перемещения струны в плоскости; левый конец струны закреплен; правый - свободен (рис. 1); L > 0 - длина струны. Из стандартной теории

Рис. 1. Струна с закрепленным и свободным концами

Рис. 2. Составная струна
(уравнение равновесия: Ту ‘ = - q ; краевые условия: у (0) = 0, у '( L ) = 0; см. [1, с. 29, 44]) следует, что форма у (1)( x ) струны под нагрузкой имеет вид:
у (1)( x ) = L x f -4г LL( ( t ) dt ) ds ,
0 v T(1) s J где q(x) - плотность нагрузки, T(1) > 0 - (постоянное) натяже- ние струны. Продольными перемещениями точек струны (за счет поперечной нагрузки) пренебрегаем, так как они являются величинами более высокого порядка малости (по параметру qL/T) чем у. Пусть теперь под той же нагрузкой находится струна, состоящая из N звеньев длины L/N каждое (рис. 2) с натяжениями Т(i) = Т (iL/N), где 1 < i < N , Т(x) > 0 - некоторая непрерывная функция. Тогда нетрудно установить, что lim у(N)(x) = у(x), где у(N)(x) - форма N ^^
составной струны
7 1 г Л
Г x 1 Г L z х . I .
y ( x ) = J о тгтт! s q ( t ) dt I ds •
V T ( s ) 7
Такую получающуюся предельным переходом N ^^ систему и будем считать струной с переменным непрерывным натяжением T ( x ), изображая ее так же как на рис. 1 (без показа деления на звенья).
Постановка контактной задачи
Рассмотрим две струны с переменными непрерывными натяжениями (рис. 3); L 1 > L 2 - длины струн; T 1 ( x ), T 2( x ) - натяжения струн; нагрузка приложена к нижней струне. В отсутствие нагрузки струны плотно прилегают друг к другу (на рис. 3 струны для наглядности показаны разнесенными по вертикали). Трение между струнами отсутствует. Из (1) следует, что формы струн имеют вид:
y 1 ( x ) = J,
x
f 1
0 ( T i ( s )
I f 1 q ( t ) dt - [ 2 f ( t ) dt \ J s J s )
ds ,
У 2 ( x ) = I
x
( 1
0 ( T 2 ( s )
I f f (t) dt ds,
J s
где f ( x ) - плотность сил взаимодействия струн. Задача заключается в отыскании f ( x ). Будем считать, что эта функция имеет вид
P ( x ) + S iP i 5 ( x - xi ),
где p(x) > 0 - кусочно-непрерывна, непрерывна слева при 0 < x < L 2 и непрерывна справа при x = 0 ; Pi > 0 ; xi > 0 (все xi различны); сумма конечна; 5 - дельта-функция Дирака. Обозначим r(x) = y 2 (x) - y 1(x) (расстояние между струнами). Из (2), (3) следует, что x L 2
r ( x ) = a ( s ) f ( t ) dt - k ( s ) ds ,
0 s где a (x) = I/ T1 (x) +1[ T2 (x), k (x) =
1 + T 1 ( x)( T 2 ( x )
[ 1 q ( s ) ds . x
Будем считать, что q ( x ) > 0 непрерывна при 0 < x < L 1 , а T 1 ( x ) и T 2( x ) непрерывно дифференцируемы при 0 < x < L 2; тогда k ( x ) > 0 непрерывно дифференцируема при 0 < x < L 2. Условие контакта струн состоит, помимо неотрицательности плотности сил взаимодействия, в том, что расстояние между струнами неотрицательно, а в тех точках, где плотность сил

Рис. 3. Контакт двух струн
взаимодействия положительна, - равно нулю. Окончательно, приходим к следующей математической постановке задачи.
Задача . Найти функцию f ( x ) вида (4) такую, что при 0 < x < L 2
= 0 ( f ( x ) > 0),
> 0 (f (x) = 0), где r(x) выражается формулой (5), в которой a(x) > 0 непрерывна при 0 < x < L 2, k(x) > 0 непрерывно дифференцируема при 0 < x < L 2 .
Доказательство единственности решения
Утверждение 1 . Поставленная задача может иметь только одно решение.
Доказательство. Пусть f ( x ) и f * ( x ) - два решения задачи. По формуле (5) им соответствуют функции r ( x ) и r * ( x ). Обозначим
^( X) = f (X) - f * (X).(7)
Так как f ( х ) и f * ( х ) имеют вид (4), то ^ ( х ) также имеет вид (4), но p ( х ) и P i в (4) могут быть неположительными. Обозначим
E = J02 (r(х) - r*(х))^(х)dx.
Из (6), (7) нетрудно установить, что в (8) подынтегральная функция неположительна; следовательно, E < 0. C другой стороны, подставляя (5) в (8) и учитывая (7), найдем
E = j 2 a(х) J2 (х)dx,(9)
где
J(х) = L 2 ^(s) ds .(10)
x
Из (9) следует, что E > 0. Так как выше было доказано неравенство E < 0, то E = 0 . Далее, учитывая (10) и упомянутый выше вид ^ ( х ), легко установить, что из (9) и равенства E = 0 следует, что J ( х ) = 0 при 0 < х < L 2. Тогда ^ ( х ) = 0 при 0 < х < L 2. Действительно, ^ ( х ) = p ( х ) + ^ iP i S(. х - xi ); предположим, что p ( х ) > 0 при некотором х * > 0. Тогда, в силу непрерывности p ( х ) слева и конечности суммы, можно найти такие Е 1 > Е 2 > 0, что отрезок 0 < х * - Е 1 < х < х * - е 2 не содержит ни одной точки xi и p ( х ) > 0 на этом отрезке; это противоречит равенству J ( х ) = 0 при 0 < х < L 2 . Аналогично устанавливается невозможность неравенств p ( х ) < 0 при х > 0 и p (0) ^ 0; следовательно, p ( х ) = 0 при 0 < х < L 2, откуда ^ ( х ) = ^ ^t^.х - xi ). Пусть х * > 0 - максимальное из чисел xi , соответствующих ненулевым значениям P i . Тогда из (10) следует, что J ( х ) ^ 0 в некоторой левой полуокрестности х * , что противоречит равенству J ( х ) = 0 при 0 < х < L 2. Таким образом, ^ ( х ) = 0 и f ( х ) = f * ( х ) при 0 < х < L 2 ; тем самым утверждение 1 доказано.
Аналитическое решение задачи в некоторых частных случаях
Утверждение 2. Если к‘(х) < 0 при 0 < х < L2, то решение поставленной задачи имеет вид f (х) = - к‘(х) + к (L 2Ж х - L 2)(11)
(соприкосновение по всему отрезку 0 < х < L 2, рис. 4, a ).
Доказательство. Очевидно, что f ( х ) имеет вид (4). Подставляя (11) в (5), найдем, что r ( х ) = 0 при 0 < х < L 2 ; таким образом, (6) выполнено.
Утверждение 3. Если к‘(х) > 0 при 0 < х < L2, то решение поставленной задачи имеет вид f (х) = F5( х - L 2)(12)
(соприкосновение в одной точке, рис. 4, b ; здесь и далее соприкосновение в точке закрепления не упоминается), где
F = Jq 2 a(х)к(х)dx j j^ 2 a(х)dx .(13)
Доказательство. Очевидно, что f (х) имеет вид (4). Подставляя (12) в (5), найдем r (х) = j a (s) (F - к (s)) ds .(14)
Из (13), (14) следует, что r ( L 2) = 0. Так как к ‘ ( х ) > 0, то из последнего равенства вытекает, что к (0) < F < к ( L 2) (иначе из (14) следует, что либо r ( L 2) < 0, либо r ( L 2) > 0). Тогда существует 0 < х * < L 2 такое, что F = к ( х * ), и из (14) следует, что r ( х ) не убывает при 0 < х < х * и не возрастает при х * < х < L 2 . Отсюда и из равенств r (0) = 0, r ( L 2) = 0 вытекает неравенство r ( х ) > 0
при 0 < x < L 2 . Далее, f ( x ) может быть положительно только при x = L 2, а r ( L 2) = 0; таким образом, (6) выполнено.
Утверждение 4 . Пусть существует 0 < x 0 < L 2 такое, что k '( x ) > 0 при 0 < x < x 0, k '( x 0) = 0 , k '( x ) < 0 при x 0 < x < L 2; тогда решение поставленной задачи имеет следующий вид:
a) если Ф (L 2) > 0 , то f (x) = F5( x - L 2) (соприкосновение в одной точке, рис. 4 b);
b ) если Ф ( L 2) < 0 , то
f ( x ) = k ( L 2 W x - L 2 ) +
[ 0
<
- k ‘ ( x )
(0 < x < 2 ), ( 2 < x < L 2)
(соприкосновение по части отрезка 0 < x < L 2, рис. 4 c ), где
Ф ( Л ) = J a ( x ) ( k ( Л ) - k ( x ) ) dx ,
x 0 < 2 < L 2 - корень уравнения Ф ( Л ) = 0, (18)
F выражается формулой (13).
Доказательство
-
a ) Очевидно, что f ( x ) имеет вид (4). Подставляя (15) в (5), найдем для r ( x ) выражение (14). Из (13), (14) следует, что r ( L 2) = 0. Из (13), (17) и условия Ф ( L 2) > 0 следует, что F < k ( L 2) . Из
свойств функции k ( x ) тогда вытекает, что F > k (0) (иначе из (14) следует, что r ( L 2) < 0). Из этих же свойств тогда следует, что существует 0 < x * < x 0 такое, что F = k ( x * ); рассуждая затем так же, как при доказательстве утверждения 3, получим, что r ( x ) > 0 при 0 < x < L 2 и условия (6)
выполнены.
-
b ) Существование корня x 0 < 2 < L 2 следует из непрерывности Ф ( Л ) при x 0 < Л < L 2 и зна
чений Ф(x 0) > 0 (так как функция k(x) достигает максимума в точке x0), Ф(L2) < 0; единст венность корня следует из утверждения 1. Так как k‘(x) < 0 при x 0 < x < L 2, а 2 > x 0, то f (x)
имеет вид (4). Подставляя (16) в (5), найдем с учетом (17), (18)
r ( x ) = <
J a ( s ) ( k ( 2 ) - k ( s ) ) ds
(0 < x < 2 ), ( 2 < x < L 2 ).



Заметим, что k ( 2 ) > k (0); действительно, если k ( 2 ) < k (0), то, в силу свойств функции k ( x ), k ( 2 ) < k ( x ) при 0 < x < 2 ; тогда из (19) следует, что r ( 2 ) < 0, тогда как r ( 2 ) = 0. Из неравенства k ( 2 ) > k (0) следует, что существует 0 < x * < x 0 такое, что k ( 2 ) = k ( x * ); рассуждая затем так же, как при доказательстве утверждения 3, получим, что r ( x ) > 0 при
Рис. 4. Варианты сил взаимодействия в системе двух струн 0 < x < L2 . Далее, f (x) может быть поло жительно только при 2 < x < L2 , а на этом отрезке r(x) = 0; таким образом, (6) выполнено.
Утверждение 5 . Пусть существует 0 < x 0 < L 2 такое, что k ‘ ( x ) < 0 при 0 < x < x 0 , k '( x 0) = 0 , k ‘ ( x ) > 0 при x 0 < x < L 2 ; тогда решение поставленной задачи имеет следующий вид:
a) если Т (0) < 0, то f (X) = F5( x - L 2)
(соприкосновение в одной точке, рис. 4, b). b) если У(0) > 0, то f (x) = k (д)5( x - L 2) + <
'- к ‘ ( X )
(0 < x < д ),
( Д < x < L 2 ),
(соприкосновение по части отрезка 0 < x < L 2 ив точке, рис. 4, d) , где
У ( М ) = j М 2 a ( x ) ( к ( М ) - к ( x ) ) dx ,
0 < ц < x 0 - корень уравнения У ( М ) = 0, F выражается формулой (13).
Доказательство аналогично доказательству утверждения 4 и поэтому здесь не приведено.
Некоторые замечания к полученным результатам и выводы
Можно показать, что утверждения 1-5 остаются справедливыми и при заметном ослаблении требований на гладкость функции к ( x ). Эту функцию можно считать лишь кусочнонепрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой, если понимать к ‘ ( x ) в «обобщенном смысле»: в точках излома к ( x ) доопределять к ‘ ( x ) по непрерывности слева, а в точках разрыва к ( x ) (первого рода) добавлять к к ‘ ( x ) соответствующую 5 -функцию.
Использованный подход к постановке и решению контактной задачи для двух струн может быть применен как для дальнейшего исследования данной задачи (случаи, когда к ‘ ( x ) меняет знак более одного раза), так и для решения близких контактных задач (для балок).
Список литературы Контактная задача для двух струн с переменными натяжениями
- Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. -М.: Изд-во МГУ, 1999. -798 с.
- Григолюк, Э.И. Контактные задачи теории пластин и оболочек/Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев. -М.: Машиностроение, 1980. -415 с.
- Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия/К. Джонсон. -М.: Мир, 1989. -510 с.
- Кравчук, А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике/А.С. Кравчук. -М.: Изд-во МГАПИ, 1997. -340 с.
- Няшин, Ю.И. К теории изгиба листовой рессоры/Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, Р.Н. Рудаков//Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. -2002. -№ 6. -С. 134-143.
- Осипенко, М.А. Об одной контактной задаче для системы струн/М.А. Осипенко//Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. -2005. -№ 1. -С. 82-86.
- Осипенко, М.А. Об одном подходе к решению некоторых одномерных контактных задач/М.А. Осипенко, Ю.И. Няшин//Известия Саратовского университета. Новая серия. сер. Математика. Механика. Информатика. -2011. -Т. 11. -Вып. 1. -С. 77-84.