Конус устойчивости для линейного матричного дифференциального уравнения с запаздыванием

Рассматривается задача об асимптотической устойчивости уравнения

x(t) + Ax(f) + Bx(t-т) = О, />0                               (1)

с коммутирующими матрицами А и В и запаздыванием г > 0.

Это уравнение моделирует динамику нейронных сетей Хопфилда [1]. Матрица А описывает собственную реакцию нейрона на внешнее воздействие, а матрица В характеризует реакцию нейрона, связанную с его взаимодействием с соседними нейронами.

В [1-7] получены некоторые достаточные условия устойчивости уравнения (1). В самой ранней публикации 3. Рехлицкого [8] (1956 г.) указаны овалы устойчивости для (1) при А = 0, в одной из последних публикаций [9] (2009 г.) исследуется задача устойчивости (1) с 2x2 матрицами А, В специального вида.

Мы требуем одновременной приводимости матриц А и В к треугольному виду. Как известно [10], это возможно для коммутирующих А и В.

Уравнение (1) считаем устойчивым, если его нулевое решение является устойчивым. Рассмотрим вначале скалярный аналог уравнения (1), в котором т = 1:

х(/) + ax(f) + bx(t -1) = 0.                                     (2)

Пусть в (2) а - действительное, b - комплексное число. Следующий результат известен (см., например, [3]).

Теорема 1. Уравнение (2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда а > -1 и на плоскости (u_vu₂) точка (Re b, Im 6) находится внутри овала страницей:

Mj = -acosw + wsinw,

-W] < W < W], где W] есть наименьший положительный корень уравнения а = -w/ tg w.

Если а > -1 и точка (Reb, ImZ>) находится на границе овала (3), то уравнение (2) устойчиво (не асимптотически).

На основе теоремы 1 мы даем критерий устойчивости для матричного уравнения (1), в котором матрицы А и В приводятся к треугольному виду одним преобразованием.

Определение 1. Конусом устойчивости для уравнения (2) назовем поверхность в трехмерном пространстве (и_ъи₂,и₃), сечение которой на уровне и₃ = а есть овал устойчивости (3).

Теорема 2. Пусть А, В, S е Ж^тхт и S~^XAS = А_Т и S~^XBS = В_т, где А_т и В_т - нижние треугольные матрицы с элементами соответственно X_js, ц^, 1 <  j,s

Построим систему точек Mj = (и^,и₂рИ₃Д 1 <  j <т;

Математика

uXj = гI ^ I cos(arg^ + тЬпЯр, u^j" т\^\ sin(arg Hjj + r Im ^ X                           (4)

ы_3у- = r Re Ху.

Уравнение (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все точки Mj, 1 <  j <т находятся внутри конуса устойчивости.

Если хотя бы одна точка Mj лежит вне конуса устойчивости, то уравнение (1) неустойчиво.

Доказательство. Умножим (1) на У^-1 слева. Изменим масштаб времени, положив t-вт. Сделаем замену х^ = Sy(0) . Получим

у(0) + тЛту(0) + тВту(0-Х) = О.(5)

Возвратим имя t переменной 0, положим у = (у_ъ...у_т)^т и выпишем (5) как треугольную систему скалярных уравнений 1 <  j <т\

У]+Т^У}+Т^У1(1~^ = ~Т^    + ^кУк^"У)-(6)

k

В (6) сделаем замену yj = exp(-/Im2y/)z • и умножим (6) на ехр^ТтЯу). Получим треугольную систему с действительными коэффициентами при z_y(l < j <т)\

Zj + rReAJJzJ + TjLijj expOTImA^z// -1) = ^ vjkzk + Gjkzk{t -1),(7)

k

Наряду с (7) рассмотрим диагональную систему

Zj + г Re AjjZj + T^jj ex^iz Im Ajj )z. (/ — 1) = 0.(8)

Пусть все точки Mj = (и^,и^,и^)Д < j определенные равенством (4), лежат внутри конуса устойчивости. В сечении конуса плоскостью м₃ = u_3jg R получим овал (3)

щ = - и3 cos w + w sin w, ы2 = U3j sin w + wcos w, -wx

Ввиду этого, как хорошо известно (см. [3], [5, Appendix В]), система уравнений (8) асимптотически устойчива.

Перейдем к системе (7). Первое из уравнений (7) совпадает с первым уравнением системы (8), и, следовательно, асимптотически устойчиво, а поэтому все его решения экспоненциально убывают. Во всех остальных уравнениях системы (7) мы последовательно видим асимптотически устойчивые левые части и экспоненциально убывающие правые части. Поэтому все их решения экспоненциально убывают [И]. Получаем, что система (7), а, следовательно, и (1) асимптотически устойчивы.

Пусть точка Mj =(u_Xj,u₂j,u₃j), определенная равенством (4), лежит на поверхности конуса устойчивости или вне его. Не теряя общности, можем считать, что j = 1. В сечении конуса плоскостью и₃ =u_3j ей получим овал (3). Если точка М„_х = («₁₁,м₂₁) лежит на границе овала, то первое уравнение системы (7) не является асимптотически устойчивым, поскольку его характеристическое уравнение в этом случае имеет чисто мнимые корни. Если М*_х лежит вне овала, то уравнение (7) при j = 1 вообще неустойчиво (см. [3], [5, Appendix В]). Но система (7) (асимптотически) устойчива тогда и только тогда, когда (асимптотически) устойчива система (1). Теорема 2 доказана.

Рассмотрим примеры применения теоремы.

Пример 1. Положим в (1)

Хохлова Т.Н.                               Конус устойчивости для линейного матричного дифференциального уравнения с запаздыванием f 0,9 6,5)      ( 1,39 0,65)

А =             В =              .                       (10)

(-4,8 0,9/     (-0,48 1,39)

Поскольку В = 0,Ы +1,3/, матрицы А, В коммутируют и, следовательно, могут быть совместно приведены к диагональной форме [10]. Собственные числа матриц А, В суть соответственно:

^22=0,900015,5857/, ^и 22 =1,390010,5586/.                (И)

Вследствие симметрии изучим расположение конической винтовой линии Mj = (u_Xj,u_2j,и₃^) относительно конуса устойчивости только при j = 1 (см. рис. 1).

Рис. 1. Конус устойчивости и кривая (4), (11) в двух проекциях

Кривая (4), (7) дважды выходит из конуса устойчивости при значениях т, равных т_х « 0,2715, т₃ * 1,1965 и входит в конус при значении т , равном т₂ » 0,8392. Поэтому уравнение (1) с матрицами (10) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда

Т е^тДи^Аз)-

Пример 2. Пусть дано уравнение

x(t) + Ax(t) + ВхД - г) = 0, где

'-0,1 -0,01  0,03   2'

• -0,03  0,1  0,5 -0,3

А =                          ,(12)

• -1    5   0,04-2

ч-0,3  0,02 -0,1  0,01,

В = 0,35 - ОДА + 1,5Л².

Требуется определить, при каких значениях т это уравнение устойчиво, а при каких неустойчиво.

Очевидно, матрицы А, В коммутируют. Собственные числа матриц А, В имеют вид: ^=-1,4943,            щ =3,7989,

Л2,₃ =-0,0988 ± 0,7539/, ц₂₃ =-0,5280 + 0,2990/, (13) Л₄ =1,7420, ^₄= 4,6777.

Построим точки Mj = (^i_Xj,u₂j,u₃j\ 1 < 4 и конус устойчивости и проследим их взаимное расположение с изменением т. Четыре системы точек и конус устойчивости изображены на рис. 2.

Математика

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все точки Mj = (u_Xj,u₂j,u_3j), 1< j<4 находились внутри конуса устойчивости. Две системы точек, соответствующие комплексным собственным значениям матрицы А, с изменением т образуют винтовые линии, выходящие из конуса при г = 0 и лежащие за его пределами при всех т > 0.

Рис. 2. Конус устойчивости и кривые (4), (13)

Две другие системы точек, соответствующие действительным собственным значениям матрицы А, образуют прямые, каждая из которых один раз пересекает конус устойчивости, а затем находится вне его.

Согласно теореме 2 для асимптотической устойчивости требуется, чтобы внутри конуса находились все точки Mj =(u_Xj,u₂j,u₃j), 1< j Поэтому уравнение (1) с матрицами (12) неустойчиво при любом т.