Конверсия гравитационных волн в электромагнитные под действием космологического магнитного поля на фоне вселенной Фридмана

Многие модели инфляции Вселенной предсказывают рождение тензорных возмущений метрики -реликтовые гравитационные волны (ГВ) [1-3]. Тем не менее, до сих пор не удалось обнаружить их отпечаток на поляризации реликтового излучения. Напротив, с увеличением точности измерений ограничение на амплитуду реликтовых ГВ становится все более строгим [4, 5]. В данной работе проверяется гипотеза о том, что длинноволновые реликтовые ГВ затухли вследствие их взаимодействия с космологическим магнитным полем в ранней Вселенной.

Эффект конверсии ГВ в электромагнитные волны (ЭМВ) во внешнем электромагнитном поле известен давно. Однако, он не рассматривался в искривленном пространстве-времени. Переход ГВ в ЭМВ происходит при рассмотрении петлевой поправки к действию Максвелла - эффективного действия Гейзенберга-Эйлера [6]. Оно описывает рассеяние фотона на фотоне посредством рождения виртуальной электрон-позитронной пары. Таким образом, действие для электромагнитного поля в приближении В 《 m2 принимает вид:

Л = А_Мах + А не = -1 /d%C ( F² + 4") + /d⁴ ， CCo 卜弓〃 F "” )2 + ； ( 戸"弓〃 )2] • ⑴

Где С。= a2/(90m：), а = 1/137 — постоянная тонкой структуры, Ам — потенциал электромагнитного √ поля. J* — ток. 凡户 = ^2^ Еа/н"F*" — дуальный тензор Максвелла (см. п. 83 кіііігп [7]).

Важно отметить, что несмотря на то, что второе слагаемое в ур.(1) имеет второй порядок малости по а, эффект перехода ГВ в ЭМВ может быть значительным вследствие нескольких соображений:

• 1.    Напряженность космологического магнитного поля растет при движении вспять по времени по закону В (。= Во/@ (。 ², г де @ (。一 масштабный фактор. Таким образом, в эпоху радиационного доминирования (РД) может принимать значения на 8-18 порядков больше современного значения (для а е [ 10^-9, 10^-4]), приводя к значительному эффекту конверсии;

• 2.    В эпоху РД Вселенная была заполнена первичной плазмой, взаимодействие с которой могло приводить к выбыванию рождающихся фотонов из пучка, препятствуя их обратной конверсии в ГВ;

• 3.    РД стадия длилась десятки тысяч лет, и, вероятно, даже малый коэффициент конверсии ГВ в ЭМВ может привести к значительному эффекту затухания амплитуды реликтовых ГВ.

Статья имеет следующую структуру: в разделе 1 кратко описана методика вывода связанной системы уравнений гравитон-фотон на фоне метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛ-РУ), сформулирована рассматриваемая задача и перечислены упрощения, которые были введены с целью оценки эффекта по порядку величины. В разделе 2 описан метод численного решения и представлены результаты. В заключении сделаны выводы по результатам исследования.

• 1.    Методика

Обозначим полные величины верхним подчеркиванием, и разложим их до первого порядка по возмущению gh" - gh" + 九h", 4h 一 4h + 九，

Ғ*" = Ғ*" + 九"=(д*А" — д"АҢ) + (%/" ― д"九)，                 ⑵ где 9四，4，а“ — фоновые значения метрики, потенциала и тензора электромагнитного поля соответственно. 九н"，九，九"—поправки первого порядка，по возмущеишо к этим 本е величинам.

Далее кратко опишем вывод уравнения движения для возмущений метрики и для фотона в общем случае искривленного фонового пространства-времени, не приводя громоздких математических выкладок. После чего, запишем систему для случая метрики ФЛРУ с учетом ряда упрощений, перечисленных в разделе 1.3. Более подробно с выводом читатель может ознакомиться в нашей работе [8].

• 1.1.    Уравнение для гравитационной волны

Запишем уравнение Эйнштейна для полных тензора Риччи, скаляра кривизны, тензора энергии импульса и полной метрики, 冗 丛“ —| g^R = 8 冗 GŽ ^” , и разложим его до первого порядка по возмущению:

時" — 2 gR + g ，" R ⑴ )= 8nG 瑞. ⑶

Обратим внимание, что в правой части уравнения стоит поправка к тензору энергии-импульса электромагнитного поля Т( " = Т *。虱') +7^ 石 ⁽¹ ) . Чтобы ее выразить воспользуемся соотношением Т_М" = ^-| §尸 ii ра ： зложпм до первого порядка ， по возмуш,ешпо ： Т " = Т> +тН2 Здесь N означает действие, выраженное в терминах полных величин.

• 1.2.    Уравнение для электромагнитной волны

Для вывода уравнения движения ЭМВ возьмем вариацию действия электромагнитного поля ⑴， выраженного в терминах полных величин, и приравняем ее к нулю, положив 7^м = 0, /* = 0. Далее, разложим полученное уравнение до первого порядка по возмущению.

Также необходимо учесть взаимодействие фотонов с первичной плазмой. Для этого добавим еще два слагаемых:

(Г,力 +Q：力} Первое слагаемое пропорционально коэффициенту затухания из-за рассеяния фотона на частицах плазмы Г = van 〜а2Т, где。心 1 - относительная скорость фотона и центра рассеяния, n = 0.1g*T3 — плотность заряженных частиц в плазме, g* = 10 — 100 —число сортов заряженных частиц в эпоху РД, a = a2/T — сечение рассеяния. Второе слагаемое пропорционально квадрату плазменной частоты О： = |^ 〜aT2, где 加亡一масса электрона. Оно ограничивает частоты ЭМВ, которые могут распространяться в плазме (® > О「()[9].

Еще один эффект, кторый нужно учесть - конформная аномалия [10,11]. Электромагнитный тензор имеет ненулевое значение следа, что приводит к дополнительному слагаемому в левой части уравнения движения фотона: a« (d^F% ln a — "F\), где / — первый коэффициент разложения бета-функции. Первое слагаемое здесь - это перенормировка заряда, второе - рождение фотонов в конформно-плоской метрике.

• 1.3.    Формулировка задачи и упрощения

• 2.    Результаты

Рассмотрим чисто тензорную ГВ, которая распространяется в метрике ФЛРУ вдоль оси г, и входит в область, заполненную магнитным полем и плазмой. Примем, что магнитное поле однородно, то есть зависит только от масштабного фактора a ⑴ .

В ходе работы было показано, что эффект конверсии отсутствует для ГВ, которая распространяется вдоль вектора внешнего магнитного поля, поэтому для оценки эффекта по порядку величины сверху, примем, что внешнее магнитное поле направлено по оси х.

Важным результатом является также разделение системы уравнений на две независимые подсистемы {fx, hx } ii {Ф, Ф, /у, һ^}. где Ф, W — скалярные степени свободы во^змуттіеішп метрики [3]. Таким образом, в присутствии внешнего магнитного поля ГВ переходит в ЭМВ и в скалярные возмущения пространства-времени. Смешивание мод ГВ легко объясняется тем, что разделение уравнений движения для разложения возмущений метрики по поляризациям возможно только при наличии аксиальной симметрии задачи. В рассматриваемом случае, помимо волнового вектора ГВ, присутствует дополнительный вектор B, нарушающий эту симметрию.

Заметим также, что при высоких температурах, помимо электронов и позитронов, в петлю рассеяния фотона на фотоне дают вклад и другие фермионы. Таким образом, в общем случае коэффициент С = С(Т) зависит от температуры. В рассматриваемой задаче-оценке этой зависимостью можно пренебречь.

Сделаем еще одно важное замечание о том, что мы пренебрегаем поправками к ТЭИ от фонового магнитного поля, так как гравитация фонового магнитного поля пренебрежимо мала по сравнению с гравитацией фона материи.

В представленной работе мы остановимся на решении первой независимой подсистемы дифференциальных уравнений. В терминах масштабного фактора и с учетом вышеперечисленных упрощений система уравнений имеет следующий вид:

尸 : 。 2н 吩〃 + .h² [ 1 + 吃 + 8!h!^ + аН 小产+

+ [ 畳 + ?。"" ' - ^8"2 ME + ^2rH + 呜]尸一。阿 2 (。•严 + ² 尸)

利： а²Н² 娘 + ( 4аЯ² + а2НН ‘ ) 成 + 。 2 + ^⁶^ (1 - 4^0)] 厶

16^GB_oik 八    1682Со 、

=-― ¹ - -^-十 ，

⑷

где штрих означает производную по масштабному фактору, Н — параметр Хаббла, m_pi — масса Планка. G — гра.вптатпіоішая постоянная.

Решение полученной системы производилось численно на языке Python с использованием пакета solve-ivp в интервале а е [ 10^-9,10^-4], для значения напряженности магнитного поля в наше время Во = 1 иГс [12] ii для частот ГВ 10^-18 Гн, ii 10^-16 Гті. В резу, 「 ьта ， те было получено, что к концу РД стадии амплитуды ГВ данных частот были подавлены на величину порядка 0.01%.

Заключение

По результатам исследования можно сделать вывод, что эффект конверсии реликтовых ГВ в ЭМВ под действием космологического магнитного поля незначительно влияет на амплитуду длинноволновых реликтовых ГВ. Действительно, даже для оценки сверху, в предположении однородности магнитного поля и ортогональности вектора распространения ГВ к направлению магнитного поля, было получено подавление ГВ частотой 10-18-10-16 Гц на величину порядка 0.01%. При этом, фоновое реликтовое излучение дает возможность измерения отношения интенсивностей первичных тензорных возмущений к скалярным, которое пропорционально квадрату амплитуды реликтовых ГВ. Таким образом, на наблюдательных данных эффект составит всего одну десятитысячную процента. Значит, гипотеза подавления реликтовых ГВ из-за их взаимодействия с космологическим магнитным полем не подтвердилась.

Тем не менее, полученные в данной работе результаты могут быть полезны в задачах распространения ГВ вблизи источников достаточно сильных магнитных полей (намагниченные газопылевые облака, магнетары). Фоновую метрику нужно будет заменить, воспользовавшись системой уравнений, выведенной в общем случае искривленного пространства-времени. Интересны, к тому же, качественные выводы о смешивании мод различных спиральностей ГВ.

В последующих работах планируется решить вторую подсистему дифференциальных уравнений, так как вопрос о том, бегут ли порождаемые скалярные возмущения является нетривиальным и представляет интерес. Также планируется рассмотреть решение для более высоких частот реликтовых ГВ.